[Lecture Notes in Mathematics] Polynômes Orthogonaux et Applications Volume 1171 || Sur quelques...

SUR QUELQUES ESPACES DE DISTRIBUTIONS

QUI SONT DES FORMES LINEAIRES SUR L'ESPACE VECTORIEL DES POLYNOMES.

Pascal MARONI Univers i t~ Pierre et Marie Curie Laborato i re d'Analyse Num~rique 4, place Jussieu 75230 PARIS CEDEX 05

§ 1. L'aspect alg~brique. [1 ]

Soit £ [[X ]] l'espace vectoriel des s~ries formelles sur

not~ aussi ~ .

So i t C [X ]

On a

U = Z U X v ,

v~>O

C , not~ aussi ~ . l 'espace vec to r i e l des polyn6mes sur

~ c ~ .

On peut mettre en dua l i t ~ les espaces vec to r i e l s ~ e t ~ ~ l ' a i d e de la forme

b i l i n ~ a i r e suivante :

(1.1) < u,p > = ~ u p~ v~O

o~ la somme au second membre est f i n i e .

I I est c l a i r que ~ et ~ cons t i tuen t une pai re duale e t on peut iden-

t i f i e r ~ a un sous-espace vec to r i e l de ~* (dual a lg~br ique de ~ ) e t ~

un sous-espace vec to r i e l de ~1~ En f a i t , on peut i d e n t i f i e r ~ ~ (~D, et poser

~ :~C] p* .

La forme b i l i n ~ a i r e (1.1) perm, et de munir ~ de la topo log ie d~ f i n i e par ~ ,

notre o ( ~ , ~ ) , d~ f i n i e par la f a m i l l e de semi-normes :

Ipl u : I < u , p > l , u ~ ~ .

De m~me, la forme b i l i n ~ a i r e (1.1) permet de munir ~ de la topo log ie d~ f i n i e par

, notre o(~,~:>) , d~ f i n i e par la f a m i l l e de semi-normes :

[U[p : I< u , p >1 , p E ~ " ~ -

On a a lors : ~ ' : ~ = ~ *

(1.2) 4' = ~ c ~ (inclusion stricte)

185

OQ ~ ' (resp. ~') est le dual topologique de (~)(resp. ~) muni de o (~ ,~ )

(resp. d ( ~ , ~ ) ) .

Le f a i t important i c i e s t que toute forme l in~a i re sur ~ esi: continue

dans la topologie la moins f ine rendant continues toutes les formes l in#ai res

p ÷ < u ,p> . On a aussi :

~ c ~ et ~ : ~ .

§ 2. L'aspect fonctionnel.

On consid~re dor~navant chaque ~l~ment de

De ce point de vue, on a :

~ c C ~ ,

comme un ~l~menl: de ~CR,~) .

Si ~ n d~signe l 'espace vector ie l des polyn6mes de degr~ au plus ~gal a n , on a :

~0 c ~-~i c ... c ~ c ~J-Dn+l c ...

n~>0 n

Chaque ~ n est muni de sa topologie naturel le qui en f a i t un espace de Banach

et la topologie de ~ n est identique ~ cel le induite par la topologie de ~n+ l "

Une topologie naturel le pour ~ est donc la topologie l im i te s t r i c te des topolo-

gies des espaces ~ n " L'espace c~ devient ainsi un L.F. ( l im i te inductive

s t r i c te de Fr~chet). Dans la sui te, l 'espace ~ sera toujours muni de cette topo-

logie. On a alors

(2.1) ~ ~ E

(2.2) ~ =

o0 ~ d~signe C ~ muni de la topologie de la convergence uniforme sur tout com-

pact, d6f in ie par la fami l le de semi-normes :

ll~lln,K = max max l~(V)(x) l v ~ n x E K

Pour d~montrer la re la t ion (2.1), i l s u f f i t de vo i r que la res t r i c t i on ~ chaque

~ n de l ' i n j e c t i o n de ~ dans ~ est continue. Or en notant

n X x) p(x) = ~. any ,

v=0

pour chaque compact K et chaque ent ier m > 0 , i l existe Bm(K ) > 0 te l que

n

llpllm, K~< gm(K ) ~ lan,~l ~=0

186

Demontrons ( 2 . 2 ) . S o i t

l ' i m a g e de F o u r i e r de

u E E' t e l l e que < u ,x n > = 0 , V n ~> 0 . Cons id~rons

U :

~T'(u)(a) = < u x , e -2i~ax >

=<Ux , Z > ~ 0 v ,

: Z ( - i ) v (2 i~a )V < u ,x v > : 0 v>O v ! x

n (2 i~ax )V ca r ~ ( - I ) v ~=0 v!

Donc ~ " ( u ) ( a ) = 0 pour chaque

( 2 , 1 ) e t ( 2 . 2 ) :

converge dans E lorsque n ÷ +

a E ~ , ce qui i m p l i q u e u = 0 . On d ~ d u i t de

(2.3) ~' c ~ '

De fagon plus d6tai l l~e, on a :

(2 .4 ) ~Z)~ L ~ L 1 ' , c' 0 ' c ~ L ~ c ~ ~0~ ~m~

oQ ~ d6signe C O muni de sa topologie naturelle et L~ (1 < p < + ~) e s t

l ' e s p a c e v e c t o r i e l des f o n c t i o n s ~ suppo r t compact de pu issance p sommable.

C ' e s t un p r e m i e r ensemble de sous-espaces de 9 ' : r o u t e s l es d i s t r i b u t i o n s

suppo r t compact.

La forme l i n ~ a i r e assoc i~e aux polyn6mes de Jacob i se t r o u v e dans L I • l a C

forme l i n ~ a i r e assoc i~e aux polyn6mes de t ype J a c o b i , en p a r t i c u l i e r c e l l e assoc i~e i aux polyn6mes de K r a l l se t r o u v e dans c 0 [ 4 ] .

I I es t p o s s i b l e d ' a l l o n g e r l a cha ine ( 2 . 4 ) d 'un ~ l~ment . S o i t E l ' e s p a c e

v e c t o r i e l de C ~ des f o n c t i o n s qui se p r o l o n g e n t dans C en une f o n c t i o n e n t i ~ r e .

O n a :

de l a t o p o l o g i e i n d u i t e par c e l l e de

de s o r t e que :

c ' c E' c ~ '

l a d i s t r i b u t i o n de D i rac d ~ f i n i e par :

< ~ , ~ > = ~ ( 0 ) , ~ E ~ .

A l e sous-espace v e c t o r i e l de ~' engendr~ par

oQ on a muni E

(2 .2 ) e t ~ = E

( 2 . 5 )

S o i t

Notons

c . On a E = c en v e r t u de

{Dn~}n~O . I I es t c l a i r

187

que l'op6rateur de Fourier est un isomorphisme alg6brique de ~ sur A :

5 ( ~ ) : A et ~ : 5 ( A ) .

On munit A de la topo log ie image r~ciproque par ~ de la topolog ie de ~J~ :

A devient a ins i un L.F. et ~ est un isomorphisme topologique de ~ sur A .

On a

(2.6) A C ~'

D'autre part, soi t ( 9 le sous-espace vectoriel de ~ des fonctions qui sont

images de Fourier d'un ~16ment de ~' •

~ ( ~ ' ) : C 9 et ~' : ~(C9)

On munit ( 9 de la topo log ie image r~ciproque par ~d~ de la topolog ie duale f o r t e

de E' ( ~ ) : la topo log ie de ( 3 est plus f i ne que ce l l e i ndu i t e par la topo lo-

gie de ~ . On sa i t que chaque ~l~ment de (9 se prolonge dans C en une fonc t ion

en t i~ re ; on a doric, selon (2.6) :

C ~ c ~ c E.

Mais ~ c ~ strictement, car

5 ( ~ ) : ziFVC7 = ~ : A c ~,

I I en r~su l te que ( ~ ' n 'es t pas contenu dans ~ ' et que ~ muni de la topo lo-

g ie i ndu i t e par ce l l e de ~ , not~ ~ , est ferm~ dans ( 9 " . On a doric :

(2.7) E' ~ ~3c~ ~ ~ '

§ 3. La transform~e de Four ier d'un ~l~ment de ~ '

Notons S l 'espace vec to r i e l des fonct ions de C ~ A d~croissance rapide

a ins i que chacune de leurs d@riv~es, c ' e s t - a - d i r e t e l l e s que :

~ e S ~ V m , ~e N , sup Ixm DU~(x)l < + ~ . XE~R

La topologie naturelle de S peut 6tre d~finie par la famil le suivante de semi-

normes :

(3.1) qm,n(~) = max Jlx m ~ (V ) ( x ) I dx , m,n >-- 0 . v<n

Soi t Z le sous-espace vec to r ie l de S des fonc t ions t e l l e s que

~ ( z ) = ~ .

Le sous-espace Z est muni de la topo log ie image r~ciproque par

~ ) , de sorte que cJF(~D') = Z' ( u l t r a d i s t r i b u t i o n s ) . On a :

(3.2) Z c C- ~ c c

(3.3) Z c+ S c+

de ce l l e de

188

oQ les i ~ j e c t i o n s sont a image dense, e t d o n c :

(3.4) E' ~ c 9 ' ~ Z' (3.5) c' ~ S' ~ Z'

On a aussi

(3.6) Z ~ ~ Z ' (3.7) Z ~ ~ ' ~ Z '

Montrons maintenant que ~ = Z' 0

Sc i t u e (Z~) ' = Z t e l l e que

< u , D n a > = 0 V n > 0 Or i l ex i s te ~ e C ~ " 0

< ~ ( ~ ) , D n ~ > = 0 s o i t

< ~C~(D n a ) , ~ > = 0

Finalement : < x n , ~ > = 0 = IK x n ~(x)dx

ce qui entra~ne ~ = 0 e t donc u = 0 .

On en d6du i t :

(3 .8) Z c A'

On a aussi

(3.9) Z = A' 0

car ce t te r e l a t i o n est @quivalente a A ~ Z' qui es t r~alis@e. On peut maintenant

d ~ f i n i r la transform~e de Four ie r d 'un ~l~ment de ~ ' . On a vu que

~ e Isoz} (~ ,A) e t donc t . ~ e I s o m ( A ' , ~ ' ) c ' e s t - a - d i r e :

< t ~ ( u ) , p > : < u , ~ ( p ) >

En p a r t i c t ! l i e r , pour u e Z , on a :

< u , ~ ( p ) > = < ~ ( u ) , p > e t d o n c :

Ains i

(3.10)

< u,v > : 0 , V v e A , c ' e s t - a - d i r e

t e l l e que u = ~(@) e t a ins i :

, V n ~ > O

, V n ~ > O .

, V n ~ > O

, u e a' , p e ~ J ~.

t ~ ( u ) = ~ ( u ) , V u ~ z

Mais d 'apr~s (3.9) et compte tenu de t ~ e I s o m ( A j , ~ j ) , on a

t ~ : ~__~ sur A' .

es t un isomorphisme topo log ique de A' sur 9 ' e t on a :

~ ( ~ ' ) = ~, ; ~ ( ~ ' ) : ~ '

On peut c!enc d ~ f i n i r l a transform~e de Four ie r d 'un ~l~ment de ~ ' par t ranspo-

s i t i o n :

< ~ ( u ) , v > : < u , ~ ( v ) > , u ~ ' ~ v ~ A . De (3.10)~ on d~dui t :

(3.11) Z c C~ c A'

§ 4. L'espace C~M .

Oef in issons le p r o d u i t de convo lu t ion d 'un ~l~ment de ~ '

61~ment de d~ par :

v * p(x) : < Vy , p ( x - y ) > , v e ~ ' , p=~

e t d 'un

189

Lorsque p c ~ n ' a lo rs v * p ~ 0 n ; de p lus , p + v * p ~ £ ( ~ , ~ ) , car

n I < v,Y ~ >I I Iv* pll ~< Ilpll n! n ~=0 ~ !

= x ~ et llpll = max lan~ 1 O~ p(x) ~ anu = 0 O~u~<n

On peut a ins i d ~ f i n i r l e p rodu i t de convo lu t ion de deux ~l~nents de ~ ' par :

v < u * v , p > = < u , v * p > , u , v ~ 9~' , p ~

e t u * v E ~ '

So i t C. l ' espace v e c t o r i e l des fonc t ions cont inues ~ d~croissance rap ide ,

qui s ' i n j e c t e dans ~ ' : ce t espace v e c t o r i e l n ' e s t pas r~du i t ~ {0} , car

C ~ c C. Lorsque u,v ~ C. a lo rs u * v ~ C. oO u * v d~siQne le p rodu i t o r d i - 0 " ~

na i re de convo lu t ion .

Notons S. le sous-espace v e c t o r i e l de S contenu dans C. ; on muni t S.

de la t opo log i e i n d u i t e par c e l l e de S . Si on d~signe par E s le sous-espace

v e c t o r i e l de S des ~l~ments qui se pro longent dans C en une fonc t i on en t i~ re

e t Es son image de Four ie r , on a :

EsC+S. = , : " De plus : ~ = (E ' car de Es S on a -Es S e t donc ~c+ S' c+ E s . s) ° ,

car s o i t u ~ (Es) ~ t e l que < u,x n > = 0 , ¥ n I> 0 . I I ex i s te v ~ E s t e l l e

que 9 = u , d 'o~ < u,x n > = < v , ~ ( x n) > , ce qui entra~ne < v~9 n ~ > = 0 ,

n >i 0 , c ' e s t - ~ - d i r e v (n ) (o ) = 0 , n >i 0 et donc v = 0 , s o i t u = 0 . D'o~

Remarque : La forme l i n ~ a i r e associ~e aux polyn6mes d 'Hermi te es t dans Es [5 ] [ 6 ] .

In t rodu isons maintenant l e sous-espace v e c t o r i e l , not~ ~ , des fonc t ions de C ~

croissance polynomiale a ins i que chacune de leurs d~r iv~es. OR muni t ~ M de la

t opo log ie d~ f i n i e par la f a m i l l e suivante de semi-nomes :

P , n ( f ) : m a x ! I m ( x ) l I f ( ~ ) ( x ) I d x , n ~ , ~ C . . v ~ n

( 4 . 1 )

On a

(4.2)

Car si

e t si

Or, ~ chaque

S c C ~ M c E - ÷

f c s : p~ ,n ( f ) <~ , ~ i l q o , n ( f )

f ~ ~[,I ' on a, de l ' i d e n t i t ~ su ivante :

I X 2 i f ( x ) e -x2 = f ( a ) e -a2 + ( f ( ¢ ) e -~: ) d5

a fx If(x)l ~< e x2 ( I f ' ( g ) l + 21g f (~ ) l ) e -g2 dE: .

J-o~

0 < r < 1 , on peut assoc ier b r > 0 t e l que

190

}xle -x2 < b r e -rx2 x E

de sorte que :

I f ( x ) I < C r e x2 max I l f ( ~ ) ( ~ ) l e -r~2 d~

d'oO, pour un compact K quelconque :

car

Cette app l i ca t i on est i n j e c t i v e et v 6 r i f i e

On a 6galement ~M = (S*)o de sorte que

I +~ i f ( u e-r~2 max max [ f ( U ) ( x ) l ~ Br(K ) max ) (~) I d~ . v~<n xEK ~-<<n+l -~

D'autre part. on a (~M = ~ et donc ~' ÷c (i:/.M " Ensuite : ~ i c+ (S.) °

f E ~M d#f in i t u(f) e fi' - . par

u( f ) ,~ > : J f ( x ) ~(x)dx , ~ ~ S . . <

I< u ( f ) , ~ >I < P~,o ( f ) •

L' in t6r6t d ' introduire --Oq r6side dans le f a i t que ~c+ ,.~ . Car si n n

p E ~ n et p ( x ) = ~ any x V , on a p~ ,m(p)< Bn,m(m)v!O i a n v l " De plus : ~=0

( 4 . 3 ) ~ : M "

Les paragraphes suivants pr6parent la d6monstrat ion de (4 .3 ) .

§ 5. Le p rodu i t de convo lu t ion .

D~f in issons le produ i t de convo lu t ion d'un 61~ment de dTt~ et d 'un ~16ment

de E~H par :

(5.1) u*~(x) : < Uy.~(x-y) > , u e O~. , ~ e O H .

Lemme 5.1. 0 . a ~ ÷ u * ~ E ~((~Yr!,e~,q) .

Le f a i t que u * ~ E • f l sera d~montr6 darts le lemme 6.1. On a d o n c :

D ( u * ~ ( x ) ) = < Uy,D x ~ (x -y ) > = - < Uy,Dy ~ (x -y ) > = < DUy,~(x-y) >

e t a ins i Dn(u*~ ) = D n u * ~ = u* D n ~ , n i> 0 .

I I reste ~. v o i r que ~ ÷ u * ~ est cont inue de O q dans lui-m6me. Consid6rons :

P , n ( U * ~ ) = max F Ix (x ) I I By u * ~ ( x ) I dx × v~< n J

, > 0 et m E c. t e l s que : Or i l ex i s te c (u) > 0 m v

iD v u * ~ ( x ) I < C (u) P ,m ( ~ x ~ ) (Tx = t r a n s l a t i o n )

de sorte que :

Px ,n (U*~ ) < C(u) P0,m(~)

n o0 C(u) = max C (u) ; m = max m • o = ( Z I~vl ) * Ix l ~ c . .

v<n u<~n v ' v :o

191

On peut a ins i d ~ f i n i r le p rodu i t de convolu t ion de deux ~l#ments de C ~

par : v

(5.2) < v * u , ~ > = < v , u * ~ > , u , v • ~ ' , ~o • ~4 •

En posant ~* u(x) = < ~ " T U > O0 ~ ÷ ~" est l ' i n j e c t i o n canonique de (~M -X

dans ~)'~ , on vo i t que ~ * u = u*~ et alors le produit (5.].) v~ r i f i e :

v ~4 (5.3) < u * ~ , ~ > = < u , ~ * ~ > , u•(~ , ~ • :, ,~•S

Lemme 5.2. S i u E 0{4 qJt ~ • S , a l o r s ~ ÷ u*~ • £(S,S) .

D~monstration analogue ~ la pr~c~dente.

L_e~e 5.3. Soi~t K • S t ~ e que [K(x)dx = 1. Poso~ K (x) = v K(vx) p o ~ •

>~ 1 . A lo r s pour c l ~ q u e ~ • ~ M ' K * ~ ÷ ~ darts I l o ~ q u e v ÷ + o=

Posons f ( x ) = K * @(x) - $(x) . On a

P ,n( f ) ~< I I K ( t ) l A( t )d t

OQ

A(t) = max I lm(x) l ID p ~(x - t ) _ D ~ ~(x)ic~x . ~ n

Or i l e;,iste B > 0 et • ~> 0 te ls que :

ID I~ ~(u)l ~< B(1 + u2) T , 0 ~< u ~< n

d'oe l 'existence de A I , A 2 > 0 te ls que :

I Du $(x - t ) - D ~ $(x) l ~< AI(1+2x2)T + A 2 t 2~ , 0 ~< p < n ~ V v i> 1 .

Le premier membre tend vers z~ro lorsque v ÷ + ~ pour chaque x , t •IR , 0 ~< ~ ~ n,

et donc A(t) ÷ 0 pour chaque t •IR , d'apr~s le th~or~me de Lebesgue. De plus :

I t2 T z~(t) ~< A I Im(x) l ( l+2x2) T dx + A211J 1

et donc P n(fv) ÷ 0 lorsque v ÷ + ~ , toujours d'apr~s le th~or~me de Lebesgue.

Coro l l a i r e . Pour cheque u E ~rl! ' on a u* K v

dual f o i b l e .

D'apr~s (5.2) et le lemme precedent.

Lemme 5.¢. On a ~ = ~ t l "

So i t $ e 4 1 ' consid~rons la su i te

Puisque Kv*¢ • 0~I , on a f • S . On a : x 2

m - - - DF"~(f (X) - $ (X)) :

÷ u l o r s q u e v ÷ + ~ darts (~ ' M

x 2

fv(x) = e v (K * $ ) ( x ) , v ~> I .

CUre D~(e v )om-P(K v * ~ ( x ) - $ ( x ) ) p:O

x 2 m - - -

+ ~ C ~ DU(e v 1) Dm-u$(x) m p=O

192

d'oO pour ~ E C. :

I ° , j I.>(x)l lDm(f.~(x)-*(x))ldx ~=0 ~ m ~ ]~(x)l IH (}--~)x [ lD~.l-p(ic..¢,_,)(x)idx

X 2

+ l~°(x)l(1-e-5 ) IDm*(x)Idx +p~:l )~ cm~ ~ i l~(x)l IH~(~)IX ]Dm-~q~(x) idx

X 2 X 2

car D~(e-T ) = ~ e - ~ H ( ~ ) .

I I est ~vident d'apr~s le lemme 5.3 que P ,n ( f -~) + 0 lorsque v + +

D'oCI le c e r o l l a i r e :

Proposit ion 5.1. On a © ~ ~ S' .

Remarque. En f a i t on a O ~ c+ ~ ' o0 O ' d~signe le sous-es~ace vec to r ie l de S' , . C C

des ~IC-r~e~ts u (convoleurs de S ) t e l s que :

÷ u * ~ E ~(S,S) .

§ 6. La transform~e de Fourier d'un ~l~ment de

Or. d ~ f i n i t la transform~e de Fourier de

peut le f a i r e pour un ~l~ment de ~' .

Pour cela, consid~rons (x ,y ) ÷ ~ (x ,y ) c ~M(IR 2) , u E ~CIR)

@(x) = < Uy , ~ (x , y ) >

chaque u E (9~4 , on a @ E ~((C~M m2) , OMm)) . Lemme 6.1, Pou~t

~!ontrons d'abord que @ E C ~ . On a :

I I 11 ~ D2~ (x+hT ' y ) ' dT 'h' ~< 1 Im(Y)ID"Ah(Y)IdY ~< lhl Im(y)Idy 01By .x o0 i

I /~h(y ) = ( ~ ( x + h , y ) - ~ ( x , y ) - ~Ox(X,y ) = h (1-h ' r ) ~o . , (x+n'r~y)d 'r . 0 ×c_

Or i l ex is te B> 0 et p i> 0 t e l s que :

[D~ D 2 ~ ( x + h ~ ' y ) l x ~< B ( 3 + 2 x 2 + Y 2 ) P , 0 ~ < ~ ~< n

e t done P n(Ah) ÷ 0 l o r s q u e h ÷ 0 , pour chaque x ~ I 1 . ~qn a a i n s i : II

D u @(x) = < Uy,D x ~ (x ,y ) > •

I I ex is te clonc c(u) > 0 et ~ E c, , n ~> 0 te l s que pour chaque m E~,I :

ID ~ @(x) l <~ c(u) max I Iw (y ) l lD~ D u v~n Y ~(x .y) Idy . 0<~ ~ ~<m

Er, suite, i l existe K> 0 et p i> 0 te ls que

D ~ ID x y ~ ( X , y ) l ~< K ( I + x 2 + y 2 ) p , 0~<~ ~<m , 0<~v~< n

d'o0 ID ~ @(x)l ~ B I + B 2 x 2p , c ' es t -A -d i re @ E ~M "

Finalement, on a de ce qui precede Px,m(@) < c(u) Px @~, n +m(~) "

O 1

u E O~I de l a r:~ame fa~on qu'on

et so i t :

193

D~f in issons ma in tenan t l e p r o d u i t d i r e c t de u x E (~F~i1~x) ^e t Vy • G,~CRy) .

D'apr~s les r ~ s u l t a t s p receden ts , i l e x i s t e Wl,W 2 • ~9~(IR. Z) t e l s que' :

< W l , ~ > = < u x , < V y , ~ ( x , y ) > >

< w2,~ > = < Vy , < u x , ~ ( x , y ) > >

Si on montre que w I = w 2 = w , on ~ c r i r a w = u @ v . Or l ' ~ g a l i t ~ es t v r a i e

a c t u e l l e m e n t l o r sque u x • S ~ x ) e t Vy • S ~ y ) . On en d~du i t :

P r o p o s i t i o n 6 .1 . Pour c I ~ q u e u,v E O ~ ) , on a :

< Wl,~ > = < w2,~ > , m • OH(IR2) •

S o i t p • S(IRx) e t q • S(Ry) v ~ r i f i a n t les c o n d i t i o n s du lemme 5.3 ; on a

< uv (x ) , < v ( y ) , m ( x , y ) >> = < v (y) , < u ( x ) , m ( x , y ) >>

00 on a pos~ u (x) = u * p v ( x ) , v (y) = v * q u ( y ) .

Or < v ( y ) , m ( x , y ) > = < v ( y ) , ~ * m x ( y ) > u + + < v ( y ) , m x ( y ) > e t i l e x i s t e

K1,K 2 > 0 , p > 0 t e l s que :

I< v ( y ) , ~ ( x , y ) >I < K I + K2(I + x 2 ) p , V u > 1

de so r t e que, l o r sque u ÷ +

< u (x) , < v ( y ) , m ( x , y ) >> : < v ( y ) , < u (x) , m ( x , y ) >> .

D'au t re p a r t , on peut v o i r f a c i l e m e n t que p * m y ( X ) ÷ m(x , y ) , v ÷ + ~ dans v

~M(IR2) e t a i n s i < u ( x ) , p * m y ( X ) > ÷ < u (x ) , m ( x , y ) > , ~ ÷ + ~ dans E~M~Ry )

d ' ap r~s l e lemme 6 .1 , d 'oe l e r ~ s u l t a t .

On peut ma in tenan t d ~ f i n i r l a t rans fo rm~e de F o u r i e r de u • ~ : c-~(u)(x) : < u , e - 2 i ~xy > .

La f o n c t i o n ( x , y ) ÷ e - 2 i ~xy es t dams E ~ 2) e t donc ~ ( u ) • O~I .

On v ~ r i f i e , ~ l ' a i d e de la p r o p o s i t i o n 6.1 que ~]C(u) a i n s i d ~ f i n i e c o i n c i d e b ien

avec la t rans fo rm#e de F o u r i e r de u comme ~l~ment de S'

Lemme 6.2. Pou,~ cl~zque u E ( ~ , on a ~ ÷ u * ~ • £(S, ,S, ) .

Soit ~ E S, et u • ~i~ , alors u*m • S et ~ (u *m) E S . Mais

~ ( u * m ) = ~ ( u ) ~ ( ~ ) e t ~(u) E (~[! " ~cj(~)• A' , puisque m • ~ ' • Or

v • A' pour chaque ¢ • C ~ et v • ~' car ~ D n a • ~ , V n i> 0 . Et donc

~ ( u * m ) E A' , ce qui entra~ne u *¢ E ~ ' , d'o0 le r~su l ta t d'agr~s le lemme 5.2.

On peut maintenant ~noncer :

Th~or~n~e. On a © ~11 c ~ '

C 'es t ]a consequence de ~ = ~ H " Car s o i t u E ~ t e l que < u,x n > = 0 , Vn>~0.

D 'au t re p a r t , s o i t K • S, t e l l e que I K ( x ) d x = I e t K (x) =<v K(~x) , v I> 1 .

A lo rs K * x n E ~ e t donc < u , K * x n > = O c ' e s t - ~ - d i r e -" u * K , x n > = 0 ,

• S, e t donc u * Y = 0 , V n i> 0 . D'apr~s le lemme precedent, on a u * K

V ~ >i 1 o et donc u = 0 d'apr~s le c o r o l l a i r e du lemme 5.3.

Conclusion : on a ainsi mis en ~vidence la cha~ne suivante de sous-espaces de ~ ' :

~)~ ~s c s. ~ c. ~ ~ ~ ~ S ~'

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R~f~rences. |1 ] F. TrOves. Topological vector spaces, d is t r ibu t ions and Kernels. Acad.

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