LES EFFETS DE SECOND ORDRE - HELMo...Dehard 2002 LES EFFETS DE SECOND ORDRE nPrise en compte des...

Dehard 2002

LES EFFETS DE SECOND ORDREn EFFETS P-∆

M1=H.L

P

H

L

P

H∆1

u Un calcul au 1er ordre considère la structure inchangée sous le chargement !

u Un calcul au 2ème ordre considère les effets combinés des déplacements et du chargement !

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LES EFFETS DE SECOND ORDREn EFFETS P-∆u Un calcul au 1er ordre considère la structure

inchangée sous le chargement !u Un calcul au 2ème ordre considère les effets

combinés des déplacements et du chargement !

M1=H.L

P

H

L

P

H∆2

M2=H.L+P.∆2

A l’équilibre

Perte de rigidité transversale

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LES EFFETS DE SECOND ORDREn EFFETS P-∆ : cas d’une ossature

u déplacement des charges verticales ;u → moments complémentaires dans les colonnes

dus aux déplacements différents des étages; u → déplacements transversaux supplémentaires;

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LES EFFETS DE SECOND ORDREn EFFETS P-∆ : cas d’une ossature

u → moments complémentaires dans les colonnes; u → déplacements transversaux supplémentaires;

A l’équilibre, les déplacements et les moments sont supérieurs à ceux de 1er ordre ( Effets P-∆ )

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LES EFFETS DE SECOND ORDREn EFFETS P-δ :

P

L

P

M

M

M1=M δ1

P

P

M

M

u Un calcul au 1er ordre considère les barres inchangées sous le chargement !

u Un calcul au 2ème ordre considère les effets combinés des déformations et du chargement !

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LES EFFETS DE SECOND ORDREn EFFETS P-δ

P

L

P

M

M

M1=M δ2

P

P

M

M

M2=M+P.δ2

A l’équilibre

u Un calcul au 1er ordre considère les barres inchangées sous le chargement !

u Un calcul au 2ème ordre considère les effets combinés des déformations et du chargement !

Perte de rigidité flexionnelle et axiale

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LES EFFETS DE SECOND ORDRE

Longueurs de flambement en mode à

nœuds fixes

Méthode de prise en compte des effets de second ordre ?

n Effets 2ème ordre : à prendre en compte dans l’analyse globale des structures souples !u les effets P-∆ : toujours (les plus importants) !u les effets P-δ : sous certaines conditions! (de

toute façon dans les formules des éléments !)

On peut alors prendre les ...

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LES EFFETS DE SECOND ORDRE

n Prise en compte des EFFETS de 2ème ORDRE

uMéthode d’amplification des moments dus aux déplacements latéraux, valable pour les effets P-∆ uniquement !

uMéthode des charges latérales équivalentes(programme de calcul de 1er ordre itératif), valable pour les effets P-∆ uniquement !

uMéthode générale (programmes de calcul non linéaires spécifiques 2me ordre), valable pour les effets P-∆ et P-δ !;

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uMéthode d’amplification des moments dus à la déformation latérale :

cr

Ed

VV1

1

−

n Prise en compte des EFFETS de 2ème ORDRE

LES EFFETS DE SECOND ORDRE

• applicable si VEd /Vcr ≤ 0,25 (eurocode 3);

• calcul au 1er ordre « amélioré »;• les moments dus aux déplacements latéraux

(Mlt) sont multipliés par:

Ch. verticale totale (de calcul) sur la structure

Ch. critique de flambementélastique de la structure

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uMéthode d’amplification des moments dus aux déplacements latéraux :

n Prise en compte des EFFETS de 2ème ORDRE

LES EFFETS DE SECOND ORDRE

• Moments totaux = (M0 + Mlt majorés)• M0 = moments dans la structure à nœuds fixes

(sans dépl. latéraux);

• Mlt = moments dus aux déplacements latéraux (si les Mlt sont dus aux seules charges horizontales, il suffit de majorer celles-ci)

uComment calculer les moments de déformation latérale ?

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N1

N2

H1

H2 =

N1

N2

H1

H2+

n Prise en compte des EFFETS de 2ème ORDRE

LES EFFETS DE SECOND ORDRE

moments de déformation latérale Mlt

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uMéthode des charges latérales équivalentes :

n Prise en compte des EFFETS de 2ème ORDRE

LES EFFETS DE SECOND ORDRE

• Premier calcul (au 1er ordre);

• Recherche des efforts N et rotation φ de chacune des colonnes ;

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uMéthode des charges latérales équivalentes :

n Prise en compte des EFFETS de 2ème ORDRE

LES EFFETS DE SECOND ORDRE

N

N

φ

N

N

Nφ

Nφ

• Transformation en charges équivalentes ;• Application de ces charges à la structure ;

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uMéthode des charges latérales équivalentes :

n Prise en compte des EFFETS de 2ème ORDRE

LES EFFETS DE SECOND ORDRE

• Second calcul sous charges cumulées ;

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uMéthode des charges latérales équivalentes :

n Prise en compte des EFFETS de 2ème ORDRE

LES EFFETS DE SECOND ORDRE

• Second calcul sous charges cumulées ;

• Recherche des N, φ et charges équivalentes ;

N

N

φ

N

N

Nφ

Nφ

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uMéthode des charges latérales équivalentes :

n Prise en compte des EFFETS de 2ème ORDRE

LES EFFETS DE SECOND ORDRE

• Troisième calcul sous charges cumulées ;

• Application de ces charges à la structure ;

• Convergence des déplacements ;

Etat final incluant le deuxième ordre !

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u Programme spécifique non linéaire 2ème ordre :

n Prise en compte des EFFETS de 2ème ORDRE

LES EFFETS DE SECOND ORDRE

Calcul par « pas de chargement »

Calcul par « itérations »

La matrice de rigidité de la structure dépendant des déplacements et des efforts normaux dans les barres, un calcul direct n’est donc plus possible !

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u Programme spécifique non linéaire 2ème ordre :

n Prise en compte des EFFETS de 2ème ORDRE

LES EFFETS DE SECOND ORDRE

Prise en compte des changements de géométrie dans les matrices des barres :

x

y

z

Nk62

k32 N

k22

k52u les kij dépendront alors des déplacements

transversaux et aussi des efforts normaux !

D2=1

Ω

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u Programme spécifique non linéaire 2ème ordre :

n Prise en compte des EFFETS de 2ème ORDRE

LES EFFETS DE SECOND ORDRE

λ−

λ−

−−λ+

Ω++λ+

−−Ω

k.....kk....0kk...kk0k..

kkkL

kkL

EALN

Lkk

2.

0kk0L

EAL

EA

2322

1211

23

2322212

2

1211

matrice 2e ordre barre bi-encastrée :

Dehard 2002

u Programme spécifique non linéaire 2ème ordre :

n Prise en compte des EFFETS de 2ème ORDRE

LES EFFETS DE SECOND ORDRE

[ ])c1(2as

sacaLEI

k−±−

+−=

[ ])c1(2as

saaLEI

k−±−

+−=λ

(+ en compression et − en traction)

si N<0 (compression) : s = sin a et c = cos a

si N>0 (traction) : s = sinh a et c = cosh a

EI

Net La 2 =αα=

Ω

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u Programme « incrémental »:

n Prise en compte des EFFETS de 2ème ORDRE

LES EFFETS DE SECOND ORDRE

• charge appliquée par «incrément», la matrice étant constante pour chaque pas;

• calcul des accroissements de déplacements et d’efforts aux extrémités des barres avec la matrice du début de pas :

• le calcul de cette matrice «tangente» de la structure se fait à l’aide des déplacements et efforts cumulés obtenus au pas précédent, pour son utilisation au pas suivant;

• etc ...

[ ] iii PDKt ∆=∆

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u Programme « incrémental »:n Prise en compte des EFFETS de 2ème ORDRELES EFFETS DE SECOND ORDRE

• la précision dépendra du nombre de pas de chargement;

P

D

∆P

∆D3

∆P

∆D4

∆P

∆D1

Ke

∆P

∆D2

Kt

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u Programme « itératif »:n Prise en compte des EFFETS de 2ème ORDRE

LES EFFETS DE SECOND ORDRE

• charge totale P appliquée en une étape;

• calcul des efforts aux extrémités des barres àl’aide des matrices de rigidité modifiées(selon déplacements et efforts normaux

obtenus à l’étape précédente);

[ ] PDKe 1 =• calcul des déplacements des nœuds avec la

matrice élastique de départ :

• vu les différences de rigidité entre le calcul des déplacements et des efforts, il n’y a plus équilibre aux nœuds !

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u Programme « itératif »:n Prise en compte des EFFETS de 2ème ORDRE

LES EFFETS DE SECOND ORDRE

• il y a des «résidus de charges nodales» ∆P1;• calcul des accroissements de déplacements

dus à ces résidus avec la matrice de rigiditétangente (correspondant à la nouvelle déformée); [ ] 11 PDKt ∆=∆

• cumul des déplacements D2 et calcul des nouveaux efforts aux extrémités des barres àl’aide des matrices de rigidité modifiées;

• etc … jusqu’à ce que les résidus de charges nodales soient négligeables !

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u Programme « itératif »:n Prise en compte des EFFETS de 2ème ORDRELES EFFETS DE SECOND ORDRE

• bonne convergence en général;

P

D

P

D1

Ke

D

P1

∆P1

D3D2

Kt

∆D1

P2

∆P2