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Le tenseur des contraintes de Cauchy
Plan
1 Lois d’Euler du mouvement
2 Representation des efforts interieursLe postulat de CauchyLe lemme d’impariteLe theoreme de Cauchy
3 Equations locales de la dynamiquePremiere loi de Cauchy du mouvementSeconde loi de Cauchy du mouvement
4 Equations aux discontinuites
5 Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique desmilieux continus
6 Etats de contraintes remarquables
Lois d’Euler du mouvement
d
dt
∫Ωt
ρv dv = R
d
dt
∫Ωt
OP ∧ ρv dv = M 0
Lois d’Euler du mouvement 3/60
Lois d’Euler du mouvement
d
dt
∫Ωt
ρv dv =
∫Ωt
ρ(x , t)f (x , t) dv +
∫∂Ωt
t (x , ∂Ωt , t) ds
d
dt
∫Ωt
OP ∧ ρv dv =
∫Ωt
OP ∧ ρ(x , t)f (x , t) dv
+
∫∂Ωt
OP ∧ t (x , ∂Ωt , t) ds
• Elles s’appliquent a tout sous–domaine D ⊂ Ωt .
• On a besoin des deux equations!
• Referentiel non galileen : mettre les forces d’inertie dans f
Lois d’Euler du mouvement 4/60
Plan
1 Lois d’Euler du mouvement
2 Representation des efforts interieursLe postulat de CauchyLe lemme d’impariteLe theoreme de Cauchy
3 Equations locales de la dynamiquePremiere loi de Cauchy du mouvementSeconde loi de Cauchy du mouvement
4 Equations aux discontinuites
5 Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique desmilieux continus
6 Etats de contraintes remarquables
La controverse des “elasticiens” du XIXeme siecle
Cote francais : Navier, Cauchy, Saint–Venant l’hypothese moleculaire
Cote anglais : Young, Green l’approche phenomenologique
Representation des efforts interieurs 6/60
Plan
1 Lois d’Euler du mouvement
2 Representation des efforts interieursLe postulat de CauchyLe lemme d’impariteLe theoreme de Cauchy
3 Equations locales de la dynamiquePremiere loi de Cauchy du mouvementSeconde loi de Cauchy du mouvement
4 Equations aux discontinuites
5 Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique desmilieux continus
6 Etats de contraintes remarquables
Description des efforts interieurs
Ωt
D
∂D
• le vecteur–contrainte
R surf =
∫∂D
t (x , ∂D, t) ds
Representation des efforts interieurs 8/60
Description des efforts interieurs
Ωt
D
∂D
n
t
• le vecteur–contrainte
R surf =
∫∂D
t (x , ∂D, t) ds
• le postulat de Cauchy :
t (x , ∂D, t) := t (x ,n , t)
normale sortante
Representation des efforts interieurs 9/60
Description des efforts interieurs
ΩD1
∂D1
D2
∂D2
n
t
• le vecteur–contrainte
R surf =
∫∂D
t (x , ∂D, t) ds
• le postulat de Cauchy :
t (x , ∂D, t) = t (x ,n , t)
normale sortante
• une consequence
t (x , ∂D1, t) = t (x , ∂D2, t)
Representation des efforts interieurs 10/60
ΩD1
∂D1
D2
∂D2
n 1
n 2
Representation des efforts interieurs 11/60
Plan
1 Lois d’Euler du mouvement
2 Representation des efforts interieursLe postulat de CauchyLe lemme d’impariteLe theoreme de Cauchy
3 Equations locales de la dynamiquePremiere loi de Cauchy du mouvementSeconde loi de Cauchy du mouvement
4 Equations aux discontinuites
5 Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique desmilieux continus
6 Etats de contraintes remarquables
L’argument du cachet d’aspirine
Ωt
S
Dε
n
n
xε
∂D
∂D
• S = S ∩ Dε
∂Dε = ∂D+ ∪ ∂D− ∪Hε
• f , a bornees
• t continu (pas d’efforts
surfaciques concentres)
• premiere loi d’Euler∫∂Dε
t (x ,n , t) ds =
∫Dε
ρ(x , t)(a − f ) dv
Representation des efforts interieurs 13/60
L’argument du cachet d’aspirine
Ωt
S
Dε
n
n
xε
∂D
∂D
• S = S ∩ Dε
∂Dε = ∂D+ ∪ ∂D− ∪Hε
• f , a bornees
• t continu (pas d’efforts
surfaciques concentres)
• premiere loi d’Euler∫∂Dε
t (x ,n , t) ds =
∫Dε
ρ(x , t)(a − f ) dv
Representation des efforts interieurs 14/60
L’argument du cachet d’aspirine
Ωt
S
Dε
n
n
xε
∂D
∂D
• S = S ∩ Dε
∂Dε = ∂D+ ∪ ∂D− ∪Hε
• f , a bornees
• t continu (pas d’efforts
surfaciques concentres)
• Lemme d’imparite
t (x ,−n , t) = −t (x ,n , t)
actio = reactio
Representation des efforts interieurs 15/60
L’argument du cachet d’aspirine
Ωt
S
Dε
n
n
xε
∂D
∂D
• S = S ∩ Dε
∂Dε = ∂D+ ∪ ∂D− ∪Hε
• f , a bornees
• t continu (pas d’efforts
surfaciques concentres)
• Lemme d’imparite
t (x ,−n , t) = −t (x ,n , t)
actio = reactio
• Exemple de representation de t (n ) remplissant cettecondition?
Representation des efforts interieurs 16/60
Insuffisance de la representation pressionrepresentation des efforts surfaciques par un champ de pression :
t = −p n
Representation des efforts interieurs 17/60
Insuffisance de la representation pressionrepresentation des efforts surfaciques par un champ de pression :
t = −p n
Representation des efforts interieurs 18/60
Une remarque...
• premiere loi d’Euler∫∂D
t (x ,n , t) ds =
∫D
ρ(x , t)(a − f ) dv
• Quelles sont les conditions sur t pour qu’une integrale devolume se reduise a une integrale de surface?
Representation des efforts interieurs 19/60
Le theoreme de la divergence et autres formes∫Ω
div v dv =
∫∂Ω
v .n ds
Representation des efforts interieurs 20/60
Le theoreme de la divergence et autres formes∫Ω
div v dv =
∫∂Ω
v .n ds
plus generalement, ∫Ω•,i dV =
∫∂Ω•ni ds∫
Ω∇f dv =
∫∂Ω
f n ds∫Ω
div v dv =
∫∂Ω
v .n ds∫Ω
div T∼ dv =
∫∂Ω
T∼ .n ds
Representation des efforts interieurs 21/60
Une remarque...
• premiere loi d’Euler∫∂D
t (x ,n , t) ds =
∫D
ρ(x , t)(a − f ) dv
• Quelles sont les conditions sur t pour que l’on puisse passerainsi du volume a la surface?Si t est un flux ⇐⇒ t lineaire en n ⇐⇒ t = •.n , alors lepassage surface–volume est possible.
La reciproque constitue le theoreme de Cauchy.
Representation des efforts interieurs 22/60
Plan
1 Lois d’Euler du mouvement
2 Representation des efforts interieursLe postulat de CauchyLe lemme d’impariteLe theoreme de Cauchy
3 Equations locales de la dynamiquePremiere loi de Cauchy du mouvementSeconde loi de Cauchy du mouvement
4 Equations aux discontinuites
5 Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique desmilieux continus
6 Etats de contraintes remarquables
L’argument du tetraedre de Cauchy
n
1
2
3
P1
P3
P2M
n = [n1 n2 n3]T
tetraedre ∆h = MP1P2P3
passant par le pointP(hn1, hn2, hn3)hauteur h
surfaces S1,S2,S3,S
∫∆h
ρ(x , t)(a − f ) dv =
∫∂∆h
t (x ,n , t) ds
Representation des efforts interieurs 24/60
L’argument du tetraedre de Cauchy
n
1
2
3
P1
P3
P2M
n = [n1 n2 n3]T
tetraedre ∆h = MP1P2P3
passant par le pointP(hn1, hn2, hn3)
surfaces S1,S2,S3,S
t1(M,n ) = t1(M,
3∑i=1
nie i ) =3∑
i=1
ni t1(M, e i )
Representation des efforts interieurs 25/60
L’argument du tetraedre de Cauchy
n
1
2
3
P1
P3
P2M
n = [n1 n2 n3]T
tetraedre ∆h = MP1P2P3
passant par le pointP(hn1, hn2, hn3)
surfaces S1,S2,S3,S
t1(M,n ) = t1(M,
3∑i=1
nie i ) =3∑
i=1
ni t1(M, e i )
t2(M,n ) = t2(M,
3∑i=1
nie i ) =3∑
i=1
ni t2(M, e i )
t3(M,n ) = t3(M,
3∑i=1
nie i ) =3∑
i=1
ni t3(M, e i )Representation des efforts interieurs 26/60
L’argument du tetraedre de Cauchy
n
1
2
3
P1
P3
P2M
n = [n1 n2 n3]T
tetraedre ∆h = MP1P2P3
passant par le pointP(hn1, hn2, hn3)
surfaces S1,S2,S3,S
ti (M,n ) =3∑
j=1
ti (M, e j)nj
ti = σijnj , σij(M) := ti (M, e j)
Representation des efforts interieurs 27/60
Le theoreme de Cauchy
Il existe un champ de tenseurs du second ordre σ∼(x , t) tel que, entout point regulier de Ωt (t continu, f , a finis),
t = σ∼ .n t1t2t3
=
σ11 σ12 σ13
σ21 σ22 σ23
σ31 σ32 σ33
n1
n2
n3
Representation des efforts interieurs 28/60
Le tenseur des contraintes
Le tenseur des contraintes est la machine a produire les effortss’exercant sur les elements de surface en M :
t ds = σ∼ .n ds = σ∼ .ds
n
t
σn
τ
x3
x1
x2
σ33
σ23
σ13
σ32
σ22
σ12
σ31
σ11
σ21
Representation des efforts interieurs 29/60
Plan
1 Lois d’Euler du mouvement
2 Representation des efforts interieursLe postulat de CauchyLe lemme d’impariteLe theoreme de Cauchy
3 Equations locales de la dynamiquePremiere loi de Cauchy du mouvementSeconde loi de Cauchy du mouvement
4 Equations aux discontinuites
5 Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique desmilieux continus
6 Etats de contraintes remarquables
Plan
1 Lois d’Euler du mouvement
2 Representation des efforts interieursLe postulat de CauchyLe lemme d’impariteLe theoreme de Cauchy
3 Equations locales de la dynamiquePremiere loi de Cauchy du mouvementSeconde loi de Cauchy du mouvement
4 Equations aux discontinuites
5 Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique desmilieux continus
6 Etats de contraintes remarquables
Premiere loi de Cauchy
• Efforts surfaciques∫∂D
t (x ,n , t) ds =
∫∂D
σ∼(x , t).n ds
∫∂D
ti (x ,n , t) ds =
∫∂D
σij(x , t)nj ds
Equations locales de la dynamique 32/60
Premiere loi de Cauchy
• Efforts surfaciques∫∂D
t (x ,n , t) ds =
∫∂D
σ∼(x , t).n ds∫∂D
ti (x ,n , t) ds =
∫∂D
σij(x , t)nj ds =
∫D
∂σij
∂xjdv
(theoreme de la divergence)
Equations locales de la dynamique 33/60
Premiere loi de Cauchy
• Efforts surfaciques∫∂D
t (x ,n , t) ds =
∫∂D
σ∼(x , t).n ds∫∂D
ti (x ,n , t) ds =
∫∂D
σij(x , t)nj ds =
∫D
∂σij
∂xjdv
(theoreme de la divergence)
• Application a la premiere loi d’Euler∫D
(ρ(ai − fi )−
∂σij
∂xj
)dv = 0
• En tout point regulier
∂σij
∂xj+ ρ(fi − ai ) = 0
div σ∼ + ρ(f − a ) = 0
Equations locales de la dynamique 34/60
Plan
1 Lois d’Euler du mouvement
2 Representation des efforts interieursLe postulat de CauchyLe lemme d’impariteLe theoreme de Cauchy
3 Equations locales de la dynamiquePremiere loi de Cauchy du mouvementSeconde loi de Cauchy du mouvement
4 Equations aux discontinuites
5 Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique desmilieux continus
6 Etats de contraintes remarquables
Seconde loi de Cauchy
• Seconde loi d’Euler∫D
(x − x 0) ∧ ρ(a − f ) dv =
∫∂D
(x − x 0) ∧ (σ∼ .n ) ds
Dans une base cartesienne orthonormee directe d’origine x 0,la premiere composante vaut∫D
(x2ρ(a3 − f3)− x3ρ(a2 − f2)) dv =
∫∂D
(x2σ3j − x3σ2j)nj ds
Equations locales de la dynamique 36/60
Seconde loi de Cauchy
• Seconde loi d’Euler∫D
(x − x 0) ∧ ρ(a − f ) dv =
∫∂D
(x − x 0) ∧ (σ∼ .n ) ds
Dans une base cartesienne orthonormee directe d’origine x 0,la premiere composante vaut∫D
(x2ρ(a3 − f3)− x3ρ(a2 − f2)) dv =
∫∂D
(x2σ3j − x3σ2j)nj ds
=
∫D
(x2∂σ3j
∂xj− x3
∂σ2j
∂xj+ δ2jσ3j − δ3jσ2j) dv
Equations locales de la dynamique 37/60
Seconde loi de Cauchy
• Seconde loi d’Euler∫D
(x − x 0) ∧ ρ(a − f ) dv =
∫∂D
(x − x 0) ∧ (σ∼ .n ) ds
Dans une base cartesienne orthonormee directe d’origine x 0,la premiere composante vaut∫D
(x2ρ(a3 − f3)− x3ρ(a2 − f2)) dv =
∫∂D
(x2σ3j − x3σ2j)nj ds
=
∫D
(x2∂σ3j
∂xj− x3
∂σ2j
∂xj+ δ2jσ3j − δ3jσ2j) dv
• Seconde loi de Cauchy (milieux non polaires)∫D
(σ32 − σ23) dv = 0
σ23 − σ32 = 0
σ31 − σ13 = 0
σ12 − σ21 = 0Equations locales de la dynamique 38/60
Seconde loi de CauchyLe tenseur des contraintes est un tenseur euclidien d’ordre 2symetrique : c’est une forme bilineaire symetrique...
n 1.σ∼ .n 2 = n 2.σ∼ .n 1
... ou un endomorphisme auto–adjoint
σ∼T = σ∼ , σij = σji
n .σ∼ = σ∼ .n
Consequence?
Equations locales de la dynamique 39/60
Seconde loi de CauchyLe tenseur des contraintes est un tenseur euclidien d’ordre 2symetrique : c’est une forme bilineaire symetrique...
n 1.σ∼ .n 2 = n 2.σ∼ .n 1
... ou un endomorphisme auto–adjoint
σ∼T = σ∼ , σij = σji
n .σ∼ = σ∼ .n
Consequence : le tenseur des contraintes est diagonalisable dansune base orthonormee et ses valeurs propres sont reelles
σ∼ =3∑
i=1
σi n i ⊗ n i , avec σ∼ .n i = σi n i (no sum)
σi : contraintes principalesn i : directions principales des contraintes
Equations locales de la dynamique 40/60
Plan
1 Lois d’Euler du mouvement
2 Representation des efforts interieursLe postulat de CauchyLe lemme d’impariteLe theoreme de Cauchy
3 Equations locales de la dynamiquePremiere loi de Cauchy du mouvementSeconde loi de Cauchy du mouvement
4 Equations aux discontinuites
5 Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique desmilieux continus
6 Etats de contraintes remarquables
Surface de discontinuite mobile
cas de champs continus par morceaux
S
∂D
∂D
D
D
D
wnn
• vitesse de propagation
w = lim∆t→0
MtMt+∆t
∆t= wn n
vitesse relative de lamatiere / S
U = v .n − wn
• saut de f a travers S
[[f ]] := f + − f −
• conservation de la masse
[[ρU]] = 0
• cas S materielle
Equations aux discontinuites 42/60
Premiere loi d’Euler avec discontinuites
S
∂D
∂D
D
D
D
wnn
d
dt
∫D
ρv dv =
∫D
ρ(x , t)f (x , t) dv +
∫∂D
t (x ,n , t) ds
Equations aux discontinuites 43/60
Premiere loi d’Euler avec discontinuites
S
∂D
∂D
D
D
D
wnn
un theoreme de transport
d
dt
∫D
ρv dv =
∫D
ρa dv +
∫S[[v ]]ρU ds
Equations aux discontinuites 44/60
Equations aux discontinuitesn
x
S
∂D
∂D
s
domaine S ⊂ D,S ⊂ S∫D
ρa dv +
∫S[[v ]]ρU ds =
∫D
ρ(x , t)f (x , t) dv +
∫∂D
t (x ,n , t) ds
Equations aux discontinuites 45/60
Equations aux discontinuitesn
x
S
∂D
∂D
s
domaine S ⊂ D,S ⊂ S∫D
ρa dv +
∫S[[v ]]ρU ds =
∫D
ρ(x , t)f (x , t) dv +
∫∂D
t (x ,n , t) ds
a la limite D → S , ∫S[[v ]]ρU ds =
∫S[[σ∼ ]].n ds
Equations aux discontinuites 46/60
Equations aux discontinuites
• cas general[[σ∼ ]].n − ρU[[v ]] = 0
ondes de choc
• cas d’une surface de discontinuite S materielle (ou casstatique)
[[σ∼ ]].n = 0
le vecteur–contrainte est continu au travers de toute surfacematerielle
le tenseur des contraintes n’est pas necessairement continu!
Equations aux discontinuites 47/60
Plan
1 Lois d’Euler du mouvement
2 Representation des efforts interieursLe postulat de CauchyLe lemme d’impariteLe theoreme de Cauchy
3 Equations locales de la dynamiquePremiere loi de Cauchy du mouvementSeconde loi de Cauchy du mouvement
4 Equations aux discontinuites
5 Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique desmilieux continus
6 Etats de contraintes remarquables
Bilan : cas general
t = σ∼ .n vecteur–contrainte
Equations de champ :
div σ∼ + ρf = ρa quantite de mouvement (Cauchy 1)
σ∼T = σ∼ moment cinetique (Cauchy 2)
Equations aux discontinuites :
[[ρU]] = 0
[[σ∼ ]].n − ρU[[v ]] = 0
Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique des milieux continus49/60
Bilan : cas statique
t = σ∼ .n vecteur–contrainte
div σ∼ + ρf = 0 quantite de mouvement
σ∼T = σ∼ moment cinetique
[[σ∼ ]].n = 0 continuite du vecteur–contrainte
Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique des milieux continus50/60
Plan
1 Lois d’Euler du mouvement
2 Representation des efforts interieursLe postulat de CauchyLe lemme d’impariteLe theoreme de Cauchy
3 Equations locales de la dynamiquePremiere loi de Cauchy du mouvementSeconde loi de Cauchy du mouvement
4 Equations aux discontinuites
5 Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique desmilieux continus
6 Etats de contraintes remarquables
Traction simple
σ∼ = σ d ⊗ d
[σ∼ ] =
σ 0 00 0 00 0 0
(e 1=d ,e 2,e 3)
2
1
σσ
machine de traction hydraulique(capacite 10t)
Etats de contraintes remarquables 52/60
Etat de contraintes biaxialσ∼ = σ1 d 1 ⊗ d 1 + σ2 d 2 ⊗ d 2
avec d 1.d 2 = 0
[σ∼ ] =
σ1 0 00 σ2 00 0 0
(e 1=d 1,e 2=d 2,e 3)
contraintes planes
2
1
σ1σ1
σ2
σ2
machine de traction biaxialepour eprouvettes cruciformes(laboratoire 3S-INPG)
Etats de contraintes remarquables 53/60
Etat de contraintes triaxial
une “compression” de Cesar
Etats de contraintes remarquables 54/60
Etat de contraintes triaxial
[σ∼ ] =
σ1 0 00 σ2 00 0 σ3
mecanique des roches et des
sols
machine de compression plane souspression de confinement (baind’huile, 2MPa, laboratoire 3S-INPG)
Etats de contraintes remarquables 55/60
Etat de contraintes triaxial
[σ∼ ] =
σ1 0 00 σ2 00 0 σ3
mecanique des roches et des sols
machine triaxiale, echantillon
cubique (150x150x150mm3)
(bain d’huile, 2-60MPa, verins
10t, laboratoire 3S-INPG)
Etats de contraintes remarquables 56/60
Etat de contraintes triaxial
[σ∼ ] =
σ1 0 00 σ2 00 0 σ3
machine triaxiale, LMT-Cachan
Etats de contraintes remarquables 57/60
Essai de cisaillement
Etats de contraintes remarquables 58/60
Etat de cisaillement simple
σ∼ = τ (d 1 ⊗ d 2 + d 2 ⊗ d 1)
[σ∼ ] =
0 τ 0τ 0 00 0 0
(e 1=d 1,e 2=d 2,e 3)
2
1
τ
τ
τ
τ
τ
ττ
τ
avec d 1.d 2 = 0
Etats de contraintes remarquables 59/60
Champ de contraintes non homogene
Essais sur structures : flexion 4 et 3 points
Etats de contraintes remarquables 60/60
