Le tenseur des contraintes de Cauchy - mms2.ensmp. · PDF fileIl existe un champ de tenseurs du second ordre ... Le tenseur des contraintes Le tenseur des contraintes est la machine

Le tenseur des contraintes de Cauchy

Plan

1 Lois dEuler du mouvement

2 Representation des efforts interieursLe postulat de CauchyLe lemme dimpariteLe theoreme de Cauchy

3 Equations locales de la dynamiquePremiere loi de Cauchy du mouvementSeconde loi de Cauchy du mouvement

4 Equations aux discontinuites

5 Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique desmilieux continus

6 Etats de contraintes remarquables

Lois dEuler du mouvement

d

dt

t

v dv = R

d

dt

t

OP v dv = M 0

Lois dEuler du mouvement 3/60

Lois dEuler du mouvement

d

dt

t

v dv =

t

(x , t)f (x , t) dv +

t

t (x , t , t) ds

d

dt

t

OP v dv =

t

OP (x , t)f (x , t) dv

+

t

OP t (x , t , t) ds

Elles sappliquent a tout sousdomaine D t . On a besoin des deux equations! Referentiel non galileen : mettre les forces dinertie dans f

Lois dEuler du mouvement 4/60

Plan

1 Lois dEuler du mouvement

2 Representation des efforts interieursLe postulat de CauchyLe lemme dimpariteLe theoreme de Cauchy

3 Equations locales de la dynamiquePremiere loi de Cauchy du mouvementSeconde loi de Cauchy du mouvement

4 Equations aux discontinuites

5 Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique desmilieux continus

6 Etats de contraintes remarquables

La controverse des elasticiens du XIXeme siecle

Cote francais : Navier, Cauchy, SaintVenant lhypothese moleculaire

Cote anglais : Young, Green lapproche phenomenologique

Representation des efforts interieurs 6/60

Plan

1 Lois dEuler du mouvement

2 Representation des efforts interieursLe postulat de CauchyLe lemme dimpariteLe theoreme de Cauchy

3 Equations locales de la dynamiquePremiere loi de Cauchy du mouvementSeconde loi de Cauchy du mouvement

4 Equations aux discontinuites

5 Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique desmilieux continus

6 Etats de contraintes remarquables

Description des efforts interieurs

t

D

D

le vecteurcontrainte

R surf =

D

t (x , D, t) ds

Representation des efforts interieurs 8/60

Description des efforts interieurs

tD

D

n

t

le vecteurcontrainte

R surf =

D

t (x , D, t) ds

le postulat de Cauchy :

t (x , D, t) := t (x ,n , t)

normale sortante

Representation des efforts interieurs 9/60

Description des efforts interieurs

D1

D1D2

D2n

t

le vecteurcontrainte

R surf =

D

t (x , D, t) ds

le postulat de Cauchy :

t (x , D, t) = t (x ,n , t)

normale sortante

une consequence

t (x , D1, t) = t (x , D2, t)

Representation des efforts interieurs 10/60

D1

D1

D2

D2

n 1

n 2

Representation des efforts interieurs 11/60

Plan

1 Lois dEuler du mouvement

2 Representation des efforts interieursLe postulat de CauchyLe lemme dimpariteLe theoreme de Cauchy

3 Equations locales de la dynamiquePremiere loi de Cauchy du mouvementSeconde loi de Cauchy du mouvement

4 Equations aux discontinuites

5 Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique desmilieux continus

6 Etats de contraintes remarquables

Largument du cachet daspirine

t

S

D

n

n

x

D

D

S = S D

D = D+ D H

f , a bornees

t continu (pas deffortssurfaciques concentres)

premiere loi dEulerD

t (x ,n , t) ds =

D

(x , t)(a f ) dv

Representation des efforts interieurs 13/60

Largument du cachet daspirine

t

S

D

n

n

x

D

D

S = S D

D = D+ D H

f , a bornees

t continu (pas deffortssurfaciques concentres)

premiere loi dEulerD

t (x ,n , t) ds =

D

(x , t)(a f ) dv

Representation des efforts interieurs 14/60

Largument du cachet daspirine

t

S

D

n

n

x

D

D

S = S D

D = D+ D H

f , a bornees

t continu (pas deffortssurfaciques concentres)

Lemme dimparitet (x ,n , t) = t (x ,n , t)

actio = reactio

Representation des efforts interieurs 15/60

Largument du cachet daspirine

t

S

D

n

n

x

D

D

S = S D

D = D+ D H

f , a bornees

t continu (pas deffortssurfaciques concentres)

Lemme dimparitet (x ,n , t) = t (x ,n , t)

actio = reactio

Exemple de representation de t (n ) remplissant cettecondition?

Representation des efforts interieurs 16/60

Insuffisance de la representation pressionrepresentation des efforts surfaciques par un champ de pression :

t = p n

Representation des efforts interieurs 17/60

Insuffisance de la representation pressionrepresentation des efforts surfaciques par un champ de pression :

t = p n

Representation des efforts interieurs 18/60

Une remarque...

premiere loi dEulerD

t (x ,n , t) ds =

D

(x , t)(a f ) dv

Quelles sont les conditions sur t pour quune integrale devolume se reduise a une integrale de surface?

Representation des efforts interieurs 19/60

Le theoreme de la divergence et autres formes

div v dv =

v .n ds

Representation des efforts interieurs 20/60

Le theoreme de la divergence et autres formes

div v dv =

v .n ds

plus generalement, ,i dV =

ni ds

f dv =

f n ds

div v dv =

v .n ds

div T dv =

T .n ds

Representation des efforts interieurs 21/60

Une remarque...

premiere loi dEulerD

t (x ,n , t) ds =

D

(x , t)(a f ) dv

Quelles sont les conditions sur t pour que lon puisse passerainsi du volume a la surface?Si t est un flux t lineaire en n t = .n , alors lepassage surfacevolume est possible.

La reciproque constitue le theoreme de Cauchy.

Representation des efforts interieurs 22/60

Plan

1 Lois dEuler du mouvement

2 Representation des efforts interieursLe postulat de CauchyLe lemme dimpariteLe theoreme de Cauchy

3 Equations locales de la dynamiquePremiere loi de Cauchy du mouvementSeconde loi de Cauchy du mouvement

4 Equations aux discontinuites

5 Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique desmilieux continus

6 Etats de contraintes remarquables

Largument du tetraedre de Cauchy

n

1

2

3

P1

P3

P2M

n = [n1 n2 n3]T

tetraedre h = MP1P2P3passant par le pointP(hn1, hn2, hn3)hauteur h

surfaces S1,S2,S3,S

h

(x , t)(a f ) dv =

h

t (x ,n , t) ds

Representation des efforts interieurs 24/60

Largument du tetraedre de Cauchy

n

1

2

3

P1

P3

P2M

n = [n1 n2 n3]T

tetraedre h = MP1P2P3passant par le pointP(hn1, hn2, hn3)

surfaces S1,S2,S3,S

t1(M,n ) = t1(M,3

i=1

nie i ) =3

i=1

ni t1(M, e i )

Representation des efforts interieurs 25/60

Largument du tetraedre de Cauchy

n

1

2

3

P1

P3

P2M

n = [n1 n2 n3]T

tetraedre h = MP1P2P3passant par le pointP(hn1, hn2, hn3)

surfaces S1,S2,S3,S

t1(M,n ) = t1(M,3

i=1

nie i ) =3

i=1

ni t1(M, e i )

t2(M,n ) = t2(M,3

i=1

nie i ) =3

i=1

ni t2(M, e i )

t3(M,n ) = t3(M,3

i=1

nie i ) =3

i=1

ni t3(M, e i )Representation des efforts interieurs 26/60

Largument du tetraedre de Cauchy

n

1

2

3

P1

P3

P2M

n = [n1 n2 n3]T

tetraedre h = MP1P2P3passant par le pointP(hn1, hn2, hn3)

surfaces S1,S2,S3,S

ti (M,n ) =3

j=1

ti (M, e j)nj

ti = ijnj , ij(M) := ti (M, e j)

Representation des efforts interieurs 27/60

Le theoreme de Cauchy

Il existe un champ de tenseurs du second ordre (x , t) tel que, entout point regulier de t (t continu, f , a finis),

t = .n t1t2t3

= 11 12 1321 22 23

31 32 33

n1n2n3

Representation des efforts interieurs 28/60

Le tenseur des contraintes

Le tenseur des contraintes est la machine a produire les effortssexercant sur les elements de surface en M :

t ds = .n ds = .ds

n

t

n

x3

x1

x2

33

2313

32

22

12

31

1121

Representation des efforts interieurs 29/60

Plan

1 Lois dEuler du mouvement

2 Representation des efforts interieursLe postulat de CauchyLe lemme dimpariteLe theoreme de Cauchy

3 Equations locales de la dynamiquePremiere loi de Cauchy du mouvementSeconde loi de Cauchy du mouvement

4 Equations aux discontinuites

5 Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique desmilieux continus

6 Etats de contraintes remarquables

Plan

1 Lois dEuler du mouvement

2 Representation des efforts interieursLe postulat de CauchyLe lemme dimpariteLe theoreme de Cauchy

3 Equations locales de la dynamiquePremiere loi de Cauchy du mouvementSeconde loi de Cauchy du mouvement

4 Equations aux discontinuites

5 Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique desmi