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Le tenseur des contraintes de Cauchy
Plan
1 Lois dEuler du mouvement
2 Representation des efforts interieursLe postulat de CauchyLe lemme dimpariteLe theoreme de Cauchy
3 Equations locales de la dynamiquePremiere loi de Cauchy du mouvementSeconde loi de Cauchy du mouvement
4 Equations aux discontinuites
5 Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique desmilieux continus
6 Etats de contraintes remarquables
Lois dEuler du mouvement
d
dt
t
v dv = R
d
dt
t
OP v dv = M 0
Lois dEuler du mouvement 3/60
Lois dEuler du mouvement
d
dt
t
v dv =
t
(x , t)f (x , t) dv +
t
t (x , t , t) ds
d
dt
t
OP v dv =
t
OP (x , t)f (x , t) dv
+
t
OP t (x , t , t) ds
Elles sappliquent a tout sousdomaine D t . On a besoin des deux equations! Referentiel non galileen : mettre les forces dinertie dans f
Lois dEuler du mouvement 4/60
Plan
1 Lois dEuler du mouvement
2 Representation des efforts interieursLe postulat de CauchyLe lemme dimpariteLe theoreme de Cauchy
3 Equations locales de la dynamiquePremiere loi de Cauchy du mouvementSeconde loi de Cauchy du mouvement
4 Equations aux discontinuites
5 Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique desmilieux continus
6 Etats de contraintes remarquables
La controverse des elasticiens du XIXeme siecle
Cote francais : Navier, Cauchy, SaintVenant lhypothese moleculaire
Cote anglais : Young, Green lapproche phenomenologique
Representation des efforts interieurs 6/60
Plan
1 Lois dEuler du mouvement
2 Representation des efforts interieursLe postulat de CauchyLe lemme dimpariteLe theoreme de Cauchy
3 Equations locales de la dynamiquePremiere loi de Cauchy du mouvementSeconde loi de Cauchy du mouvement
4 Equations aux discontinuites
5 Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique desmilieux continus
6 Etats de contraintes remarquables
Description des efforts interieurs
t
D
D
le vecteurcontrainte
R surf =
D
t (x , D, t) ds
Representation des efforts interieurs 8/60
Description des efforts interieurs
tD
D
n
t
le vecteurcontrainte
R surf =
D
t (x , D, t) ds
le postulat de Cauchy :
t (x , D, t) := t (x ,n , t)
normale sortante
Representation des efforts interieurs 9/60
Description des efforts interieurs
D1
D1D2
D2n
t
le vecteurcontrainte
R surf =
D
t (x , D, t) ds
le postulat de Cauchy :
t (x , D, t) = t (x ,n , t)
normale sortante
une consequence
t (x , D1, t) = t (x , D2, t)
Representation des efforts interieurs 10/60
D1
D1
D2
D2
n 1
n 2
Representation des efforts interieurs 11/60
Plan
1 Lois dEuler du mouvement
2 Representation des efforts interieursLe postulat de CauchyLe lemme dimpariteLe theoreme de Cauchy
3 Equations locales de la dynamiquePremiere loi de Cauchy du mouvementSeconde loi de Cauchy du mouvement
4 Equations aux discontinuites
5 Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique desmilieux continus
6 Etats de contraintes remarquables
Largument du cachet daspirine
t
S
D
n
n
x
D
D
S = S D
D = D+ D H
f , a bornees
t continu (pas deffortssurfaciques concentres)
premiere loi dEulerD
t (x ,n , t) ds =
D
(x , t)(a f ) dv
Representation des efforts interieurs 13/60
Largument du cachet daspirine
t
S
D
n
n
x
D
D
S = S D
D = D+ D H
f , a bornees
t continu (pas deffortssurfaciques concentres)
premiere loi dEulerD
t (x ,n , t) ds =
D
(x , t)(a f ) dv
Representation des efforts interieurs 14/60
Largument du cachet daspirine
t
S
D
n
n
x
D
D
S = S D
D = D+ D H
f , a bornees
t continu (pas deffortssurfaciques concentres)
Lemme dimparitet (x ,n , t) = t (x ,n , t)
actio = reactio
Representation des efforts interieurs 15/60
Largument du cachet daspirine
t
S
D
n
n
x
D
D
S = S D
D = D+ D H
f , a bornees
t continu (pas deffortssurfaciques concentres)
Lemme dimparitet (x ,n , t) = t (x ,n , t)
actio = reactio
Exemple de representation de t (n ) remplissant cettecondition?
Representation des efforts interieurs 16/60
Insuffisance de la representation pressionrepresentation des efforts surfaciques par un champ de pression :
t = p n
Representation des efforts interieurs 17/60
Insuffisance de la representation pressionrepresentation des efforts surfaciques par un champ de pression :
t = p n
Representation des efforts interieurs 18/60
Une remarque...
premiere loi dEulerD
t (x ,n , t) ds =
D
(x , t)(a f ) dv
Quelles sont les conditions sur t pour quune integrale devolume se reduise a une integrale de surface?
Representation des efforts interieurs 19/60
Le theoreme de la divergence et autres formes
div v dv =
v .n ds
Representation des efforts interieurs 20/60
Le theoreme de la divergence et autres formes
div v dv =
v .n ds
plus generalement, ,i dV =
ni ds
f dv =
f n ds
div v dv =
v .n ds
div T dv =
T .n ds
Representation des efforts interieurs 21/60
Une remarque...
premiere loi dEulerD
t (x ,n , t) ds =
D
(x , t)(a f ) dv
Quelles sont les conditions sur t pour que lon puisse passerainsi du volume a la surface?Si t est un flux t lineaire en n t = .n , alors lepassage surfacevolume est possible.
La reciproque constitue le theoreme de Cauchy.
Representation des efforts interieurs 22/60
Plan
1 Lois dEuler du mouvement
2 Representation des efforts interieursLe postulat de CauchyLe lemme dimpariteLe theoreme de Cauchy
3 Equations locales de la dynamiquePremiere loi de Cauchy du mouvementSeconde loi de Cauchy du mouvement
4 Equations aux discontinuites
5 Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique desmilieux continus
6 Etats de contraintes remarquables
Largument du tetraedre de Cauchy
n
1
2
3
P1
P3
P2M
n = [n1 n2 n3]T
tetraedre h = MP1P2P3passant par le pointP(hn1, hn2, hn3)hauteur h
surfaces S1,S2,S3,S
h
(x , t)(a f ) dv =
h
t (x ,n , t) ds
Representation des efforts interieurs 24/60
Largument du tetraedre de Cauchy
n
1
2
3
P1
P3
P2M
n = [n1 n2 n3]T
tetraedre h = MP1P2P3passant par le pointP(hn1, hn2, hn3)
surfaces S1,S2,S3,S
t1(M,n ) = t1(M,3
i=1
nie i ) =3
i=1
ni t1(M, e i )
Representation des efforts interieurs 25/60
Largument du tetraedre de Cauchy
n
1
2
3
P1
P3
P2M
n = [n1 n2 n3]T
tetraedre h = MP1P2P3passant par le pointP(hn1, hn2, hn3)
surfaces S1,S2,S3,S
t1(M,n ) = t1(M,3
i=1
nie i ) =3
i=1
ni t1(M, e i )
t2(M,n ) = t2(M,3
i=1
nie i ) =3
i=1
ni t2(M, e i )
t3(M,n ) = t3(M,3
i=1
nie i ) =3
i=1
ni t3(M, e i )Representation des efforts interieurs 26/60
Largument du tetraedre de Cauchy
n
1
2
3
P1
P3
P2M
n = [n1 n2 n3]T
tetraedre h = MP1P2P3passant par le pointP(hn1, hn2, hn3)
surfaces S1,S2,S3,S
ti (M,n ) =3
j=1
ti (M, e j)nj
ti = ijnj , ij(M) := ti (M, e j)
Representation des efforts interieurs 27/60
Le theoreme de Cauchy
Il existe un champ de tenseurs du second ordre (x , t) tel que, entout point regulier de t (t continu, f , a finis),
t = .n t1t2t3
= 11 12 1321 22 23
31 32 33
n1n2n3
Representation des efforts interieurs 28/60
Le tenseur des contraintes
Le tenseur des contraintes est la machine a produire les effortssexercant sur les elements de surface en M :
t ds = .n ds = .ds
n
t
n
x3
x1
x2
33
2313
32
22
12
31
1121
Representation des efforts interieurs 29/60
Plan
1 Lois dEuler du mouvement
2 Representation des efforts interieursLe postulat de CauchyLe lemme dimpariteLe theoreme de Cauchy
3 Equations locales de la dynamiquePremiere loi de Cauchy du mouvementSeconde loi de Cauchy du mouvement
4 Equations aux discontinuites
5 Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique desmilieux continus
6 Etats de contraintes remarquables
Plan
1 Lois dEuler du mouvement
2 Representation des efforts interieursLe postulat de CauchyLe lemme dimpariteLe theoreme de Cauchy
3 Equations locales de la dynamiquePremiere loi de Cauchy du mouvementSeconde loi de Cauchy du mouvement
4 Equations aux discontinuites
5 Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique desmi