Le tenseur des contraintes de Cauchy - mms2.ensmp.frmms2.ensmp.fr/mmc_paris/amphis/cauchy.pdf · Il existe un champ de tenseurs du second ordre ... Le tenseur des contraintes Le tenseur

Le tenseur des contraintes de Cauchy

Plan
1 Lois dEuler du mouvement
2 Representation des efforts interieursLe postulat de CauchyLe lemme dimpariteLe theoreme de Cauchy
3 Equations locales de la dynamiquePremiere loi de Cauchy du mouvementSeconde loi de Cauchy du mouvement
4 Equations aux discontinuites
5 Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique desmilieux continus
6 Etats de contraintes remarquables

Lois dEuler du mouvement
d
dt
t
v dv = R
d
dt
t
OP v dv = M 0
Lois dEuler du mouvement 3/60

Lois dEuler du mouvement
d
dt
t
v dv =
t
(x , t)f (x , t) dv +
t
t (x , t , t) ds
d
dt
t
OP v dv =
t
OP (x , t)f (x , t) dv
+
t
OP t (x , t , t) ds
Elles sappliquent a tout sousdomaine D t . On a besoin des deux equations! Referentiel non galileen : mettre les forces dinertie dans f
Lois dEuler du mouvement 4/60

Plan

La controverse des elasticiens du XIXeme siecle
Cote francais : Navier, Cauchy, SaintVenant lhypothese moleculaire
Cote anglais : Young, Green lapproche phenomenologique
Representation des efforts interieurs 6/60

Plan

Description des efforts interieurs
t
D
D
le vecteurcontrainte
R surf =
D
t (x , D, t) ds

tD
D
n
t
R surf =
D
t (x , D, t) ds
le postulat de Cauchy :
t (x , D, t) := t (x ,n , t)
normale sortante

D1
D1D2
D2n
t
R surf =
D
t (x , D, t) ds
le postulat de Cauchy :
t (x , D, t) = t (x ,n , t)
normale sortante
une consequence
t (x , D1, t) = t (x , D2, t)

D1
D1
D2
D2
n 1
n 2

Plan

Largument du cachet daspirine
t
S
D
n
n
x
D
D
S = S D
D = D+ D H
f , a bornees
t continu (pas deffortssurfaciques concentres)
premiere loi dEulerD
t (x ,n , t) ds =
D
(x , t)(a f ) dv

t
S
D
n
n
x
D
D
S = S D
D = D+ D H
f , a bornees
t (x ,n , t) ds =
D
(x , t)(a f ) dv

t
S
D
n
n
x
D
D
S = S D
D = D+ D H
f , a bornees
Lemme dimparitet (x ,n , t) = t (x ,n , t)
actio = reactio

t
S
D
n
n
x
D
D
S = S D
D = D+ D H
f , a bornees
Lemme dimparitet (x ,n , t) = t (x ,n , t)
actio = reactio
Exemple de representation de t (n ) remplissant cettecondition?

Insuffisance de la representation pressionrepresentation des efforts surfaciques par un champ de pression :
t = p n

Une remarque...
t (x ,n , t) ds =
D
(x , t)(a f ) dv
Quelles sont les conditions sur t pour quune integrale devolume se reduise a une integrale de surface?

Le theoreme de la divergence et autres formes
div v dv =
v .n ds

Le theoreme de la divergence et autres formes
div v dv =
v .n ds
plus generalement, ,i dV =
ni ds
f dv =
f n ds
div v dv =
v .n ds
div T dv =
T .n ds

Une remarque...
t (x ,n , t) ds =
D
(x , t)(a f ) dv
Quelles sont les conditions sur t pour que lon puisse passerainsi du volume a la surface?Si t est un flux t lineaire en n t = .n , alors lepassage surfacevolume est possible.
La reciproque constitue le theoreme de Cauchy.

Plan

Largument du tetraedre de Cauchy
n
1
2
3
P1
P3
P2M
n = [n1 n2 n3]T
tetraedre h = MP1P2P3passant par le pointP(hn1, hn2, hn3)hauteur h
surfaces S1,S2,S3,S
h
(x , t)(a f ) dv =
h
t (x ,n , t) ds

n
1
2
3
P1
P3
P2M
n = [n1 n2 n3]T
tetraedre h = MP1P2P3passant par le pointP(hn1, hn2, hn3)
surfaces S1,S2,S3,S
t1(M,n ) = t1(M,3
i=1
nie i ) =3
i=1
ni t1(M, e i )

n
1
2
3
P1
P3
P2M
n = [n1 n2 n3]T
surfaces S1,S2,S3,S
t1(M,n ) = t1(M,3
i=1
nie i ) =3
i=1
ni t1(M, e i )
t2(M,n ) = t2(M,3
i=1
nie i ) =3
i=1
ni t2(M, e i )
t3(M,n ) = t3(M,3
i=1
nie i ) =3
i=1
ni t3(M, e i )Representation des efforts interieurs 26/60

n
1
2
3
P1
P3
P2M
n = [n1 n2 n3]T
surfaces S1,S2,S3,S
ti (M,n ) =3
j=1
ti (M, e j)nj
ti = ijnj , ij(M) := ti (M, e j)

Le theoreme de Cauchy
Il existe un champ de tenseurs du second ordre (x , t) tel que, entout point regulier de t (t continu, f , a finis),
t = .n t1t2t3
= 11 12 1321 22 23
31 32 33
n1n2n3

Le tenseur des contraintes
Le tenseur des contraintes est la machine a produire les effortssexercant sur les elements de surface en M :
t ds = .n ds = .ds
n
t
n
x3
x1
x2
33
2313
32
22
12
31
1121

Plan

Premiere loi de Cauchy
Efforts surfaciquesD
t (x ,n , t) ds =
D
(x , t).n dsD
ti (x ,n , t) ds =
D
ij(x , t)nj ds
Equations locales de la dynamique 32/60

t (x ,n , t) ds =
D
(x , t).n dsD
ti (x ,n , t) ds =
D
ij(x , t)nj ds =
D
ijxj
dv
(theoreme de la divergence)

t (x ,n , t) ds =
D
(x , t).n dsD
ti (x ,n , t) ds =
D
ij(x , t)nj ds =
D
ijxj
dv
(theoreme de la divergence)
Application a la premiere loi dEulerD
((ai fi )
ijxj
)dv = 0
En tout point regulierijxj
+ (fi ai ) = 0
div + (f a ) = 0

Plan

Seconde loi de Cauchy
Seconde loi dEulerD
(x x 0) (a f ) dv =
D(x x 0) ( .n ) ds
Dans une base cartesienne orthonormee directe dorigine x 0,la premiere composante vautD
(x2(a3 f3) x3(a2 f2)) dv =
D(x23j x32j)nj ds

Seconde loi dEulerD
(x x 0) (a f ) dv =
D(x x 0) ( .n ) ds
(x2(a3 f3) x3(a2 f2)) dv =
D(x23j x32j)nj ds
=
D
(x23jxj
x32jxj
+ 2j3j 3j2j) dv

Seconde loi dEulerD
(x x 0) (a f ) dv =
D(x x 0) ( .n ) ds
(x2(a3 f3) x3(a2 f2)) dv =
D(x23j x32j)nj ds
=
D
(x23jxj
x32jxj
+ 2j3j 3j2j) dv
Seconde loi de Cauchy (milieux non polaires)D
(32 23) dv = 0
23 32 = 031 13 = 012 21 = 0

Seconde loi de CauchyLe tenseur des contraintes est un tenseur euclidien dordre 2symetrique : cest une forme bilineaire symetrique...
n 1. .n 2 = n 2. .n 1
... ou un endomorphisme autoadjoint
T = , ij = ji
n . = .n
Consequence?

Seconde loi de CauchyLe tenseur des contraintes est un tenseur euclidien dordre 2symetrique : cest une forme bilineaire symetrique...
n 1. .n 2 = n 2. .n 1
... ou un endomorphisme autoadjoint
T = , ij = ji
n . = .n
Consequence : le tenseur des contraintes est diagonalisable dansune base orthonormee et ses valeurs propres sont reelles
=3
i=1
i n i n i , avec .n i = i n i (no sum)
i : contraintes principalesn i : directions principales des contraintes

Plan

Surface de discontinuite mobile
cas de champs continus par morceaux
S
D
D
D
D
D
wnn
vitesse de propagation
w = limt0
MtMt+t
t= wn n
vitesse relative de lamatiere / S
U = v .n wn
saut de f a travers S
[[f ]] := f + f
conservation de la masse
[[U]] = 0
cas S materielleEquations aux discontinuites 42/60

Premiere loi dEuler avec discontinuites
S
D
D
D
D
D
wnn
d
dt
D
v dv =
D
(x , t)f (x , t) dv +
D
t (x ,n , t) ds
Equations aux discontinuites 43/60

Premiere loi dEuler avec discontinuites
S
D
D
D
D
D
wnn
un theoreme de transport
d
dt
D
v dv =
D
a dv +
S[[v ]]U ds

Equations aux discontinuitesn
x
S
D
D
s
domaine S D,S SD
a dv +
S[[v ]]U ds =
D
(x , t)f (x , t) dv +
D
t (x ,n , t) ds

Equations aux discontinuitesn
x
S
D
D
s
domaine S D,S SD
a dv +
S[[v ]]U ds =
D
(x , t)f (x , t) dv +
D
t (x ,n , t) ds
a la limite D S , S[[v ]]U ds =
S[[ ]].n ds

Equations aux discontinuites
cas general[[ ]].n U[[v ]] = 0
ondes de choc
cas dune surface de discontinuite S materielle (ou casstatique)
[[ ]].n = 0
le vecteurcontrainte est continu au travers de toute surfacematerielle
le tenseur des contraintes nest pas necessairement continu!

Plan

Bilan : cas general
t = .n vecteurcontrainte
Equations de champ :
div + f = a quantite de mouvement (Cauchy 1)
T = moment cinetique (Cauchy 2)
Equations aux discontinuites :
[[U]] = 0
[[ ]].n U[[v ]] = 0
Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique des milieux continus49/60

Bilan : cas statique
t = .n vecteurcontrainte
div + f = 0 quantite de mouvement
T = moment cinetique
[[ ]].n = 0 continuite du vecteurcontrainte
Bilan : equations locales de la dynamique et de la statique des milieux continus50/60

Plan

Traction simple
= d d
[ ] =
0 00 0 00 0 0
(e 1=d ,e 2,e 3)
2
1
machine de traction hydraulique(capacite 10t)
Etats de contraintes remarquables 52/60

Etat de contraintes biaxial = 1 d 1 d 1 + 2 d 2 d 2
avec d 1.d 2 = 0
[ ] =
1 0 00 2 00 0 0
(e 1=d 1,e 2=d 2,e 3)
contraintes planes
2
1
11
2
2
machine de traction biaxialepour eprouvettes cruciformes(laboratoire 3S-INPG)

Etat de contraintes triaxial
une compression de Cesar

[ ] =
1 0 00 2 00 0 3
mecanique des roches et des
sols
machine de compression plane souspression de confinement (baindhuile, 2MPa, laboratoire 3S-INPG)

[ ] =
1 0 00 2 00 0 3
mecanique des roches et des sols
machine triaxiale, echantillon
cubique (150x150x150mm3)
(bain dhuile, 2-60MPa, verins
10t, laboratoire 3S-INPG)

[ ] =
1 0 00 2 00 0 3
machine triaxiale, LMT-Cachan

Essai de cisaillement

Etat de cisaillement simple
= (d 1 d 2 + d 2 d 1)
[ ] =
0 0 0 00 0 0
(e 1=d 1,e 2=d 2,e 3)
2
1
avec d 1.d 2 = 0

Champ de contraintes non homogene
Essais sur structures : flexion 4 et 3 points
PlanLois d'Euler du mouvementReprsentation des efforts intrieurshypothesislemmetheocauchy
Equations locales de la dynamiquePremire loi de Cauchy du mouvementSeconde loi de Cauchy du mouvement
Equations aux discontinuitsBilan : quations locales de la dynamique et de la statique des milieux continusEtats de contraintes remarquables

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