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article sur les mathematiques du chaos
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LesmathmatiquesduchaosClaireChavaudret/Matredeconfrenceenmathmatiques,chercheuseauLaboratoireJ.A.Dieudonn,UniversitdeNice
SophiaAntipolis/September11th,2015sciencedevelopment
Dansdenombreuxdomaines,laprisededcisionestaffecteparladifficulttablirdesprvisionsfiables.Ainsilecomportementdesmarchsfinanciersetdesconsommateurs,lesphnomnesmtorologiques,l'volutiond'uncosystmeouencorelemouvementdecertainscorpsclestesfournissentdesexemplesdecesphnomnesimprvisiblesquiontunimpactsurl'activithumaine.Certainsdveloppementsdesmathmatiquespeuventaiderrduirecetteimprvisibilitou,dumoins,laprendreencompted'unpointdevuestratgique.Lathoriedesprobabilitsjouebiensrcerle,maisgalementlamcaniquedesfluidespourl'tudedelaturbulence,ouencorelessystmesdynamiquespourl'tudedesphnomnesditschaotiques,quiconstituentuneclasseparticuliredephnomnesimprvisibles.
Historiquement,lathoriedessystmesdynamiquesnapasimmdiatementfournidesoutilsdeprvision.Aucontraire,lestravauxdeHenriPoincar,lafinduXIXesicle,ontdabordpermisdeserendrecomptedelatropgrandecomplexitdecertainssystmesqueloncroyaitpourtantsimplesetquitaientdterministes(cestdirequelanotiondehasardnyintervenaitpas).
Cenestquedansundeuximetempsquecertainsoutilsontpermisdecontournercetteimprvisibilit.CestlecasdesmesuresdeSinaiRuelleBowen,unoutilmathmatiquelabordanslesannes1970.Cesmesurespermettentdefairelelienentrelessystmesdterministesetlathoriedesprobabilits,enquantifiantlaprobabilitquunsystmechaotiquefinisseparvisiteruntatdonn.Maislapportdesmathmatiquesduchaosneserduitpaslaprvision,quirestedailleursforcmentlimite.
Lasimulationmathmatiquedephnomnesrelspeutprsenterunintrtpratique:parexemple,lindustriecinmatographiquefaitusagedesfractalespourobtenirdesdcorsplusralistes.
Lasimulationpeutaussiaidermieuxapprhendercesphnomnes,enfaisantapparatredesressemblancesetendveloppantlintuitionetlacomprhension.Lestudessurlechaosprsententeneffetunecertainevaleurexplicative.Lundesdfisdelascienceestdecomprendrelmergencedelacomplexitpartirderglessimples.Lessystmesdynamiquesapportentleurcontributioncedfi.
Lesmathmatiquespeuventenfinfournirdesoutilsdertroactioncontrlesurlaralit.Unbelexempleenestfourniparlessatellites,quisontlaplupartdutempscontrlsde
manireclassiqueavecunequantitsuffisantedecarburant,maispourlesquelslaconnaissanceduchaospourraitpermettredesconomiessubstantielles:cestlobjetdelathorieducontrlechaotique.
Ltudedesphnomneschaotiquesprsentedoncunintrtpratique.Mais,aufait,questcequelechaos?
Lechaos,unenotionexprimentale
Lanotiondechaosestdabordexprimentale,utiliseavanttoutparlesphysiciensettenduedansdautressciencesexprimentalestellesquelcologie,lamtorologieoulamdecine.Parexprience,ilfautentendreaussibienlobservationdephnomnesrels,parfoisrecrsenlaboratoire,quelanalysedesimulationsnumriques,quiatrenduepossibleparledveloppementdelapuissancedecalculdesordinateursdepuislesannes1970.
CestainsiquelesastronomesontobservduchaosdanslorbitedunsatellitedeSaturne,Hyprion.Bienquvoluantglobalementsuruneorbitergulire,Hyprion,quinestpasdeformesphrique,prsentedesvariationssoudainesdesesaxesderotation,parlesimplejeudesinteractionsgravitationnellesaveclaplanteetlesautressatellites.
Dansuntoutautredomaine,encologie,onobservedesphnomneschaotiques:mmedansuncosystmedelaboratoirerduitsaplussimpleexpression,parexempledesmouchesdansunbocal,lesfluctuationsdeseffectifsdesespcesobservespeuventtrenonseulementvariables,maisaussiapriodiquescestplusforteraisonlecasdescosystmesrels.
Onvoitquelechaossexprimente,enpremierlieu,commeunerupturedanslapriodicitlolonsattendaitobserverdescycles.Celapeutaussiarriverdanslecorpshumain:ainsidestudessurlessignauxlectriquesdanslecerveauontrvllaprsencedechaos,cestdireduneapriodicitquinestpasdueaubruitextrieurniaudispositifexprimental.Onobservediffrentesformesdechaosselonltatducerveau(veille,sommeilouencorepilepsie),cequipourraitouvrirlavoiedenouveauxoutilsdediagnosticpourlesmaladiesdeParkinsonetdAlzheimer.
Uneautrecaractristiqueduchaos,peuttrelaplusconnue,estlasensibilitauxconditionsinitiales.Lemouvementestdautantplusimprvisiblequildpenddemanireinfinitsimaledesontatunmomentdonn:lamoindremodificationengendreraunmouvementtotalementdiffrent.Ainsi,onnepourrapasenfaireuneexpriencetotalementreproductibleenlaboratoire.Aumieux,onpourradgagerdesgrandstraitsquelonserasrderetrouverchaqueexprience.
Cesdeuxaspectssontprsentsdansdesmodlesmathmatiquescourammentutiliss,cequiaconduitlesmathmaticiensformulerleurdfinitionduchaos.
UnepremiredfinitionmathmatiqueduchaosMmesidiffrentsmathmaticienspeuventdfinirdiffremmentlechaos,ladfinitionsuivante,prciseetrestrictive,faitplusoumoinsconsensus.Sonprincipalavantageestdepermettredediredeschoses,cestdiredefairedessimulations,deprdire,decontrler.
Pourtreconsidrcommechaotique,unsystmedoit:
tresensibleauxconditionsinitiales,cestdirequedepetitescausespeuventavoirdegrandseffets.Lasensibilitauxconditionsinitialesestlautrenomdelinstabilit,unconceptexplorparlcolerussedeLyapunov.
contenirdelarcurrence,cestdirequunmouvementpartantdunpointrepasserauneinfinitdefoisaussiprsquelonveutdupointinitial.Enparticulier,ilpeutyavoirbeaucoupdemouvementspriodiques,quiauboutduncertaintempsreviennentexactementleurpointdedpart.
Lapremireconditionnesuffitpas,carlessystmesditshyperboliques,quinesontpaschaotiques,prsententeuxaussiunecertainesensibilitauxconditionsinitiales.Ilsuffitdeprendrelexempleduncolenmontagne:sionlcheunebilleenunpoint,elleseretrouveradansunevallesionlalchequelquesmtresplusloin,ellefiniradanslautrevalle.Celanapourtantriendechaotiqueetcestmmeparfaitementprvisible.
Ladeuximepropritnesuffitpasnonplusobtenirlimprvisibilitpuisquelleestvrifieparlessystmesdonttouteslesorbitessontpriodiques(commedessystmessolairesidaliss),quisontlarchtypedesmouvementsprvisibles.
Ilfautdoncaumoinscesdeuxaspectspourobtenirdelimprvisibilit.Mathmatiquement,celapeutseproduiredansdessystmestrssimples,deuxconditions.
Unepremireconditionestlaprsencedunerelationnonlinaire.Leffetneserapasproportionnellacausecommedansunmodlelinaire,ilsera,aucontraire,disproportionn.Mmelquationnonlinairelaplussimplequisoit,lquationdeRicatti,adessolutionsquiexplosententempsfini.Onnoteraquedanscecasprcis,ilnesagittoujourspasdechaospuisquelessolutionssontaismentcalculables.
Ladeuximeconditiontientaunombredevariablesquiinteragissent.
Lechaospeutmergerdansdessystmespetitedimension,maispasdansdessystmesuneoudeuxvariables.CestuneconsquenceduthormedePoincarBendixson,quiestfondsurlefaitquedansunplan,unecourbefermepossdeunintrieuretunextrieur.LethormedePoincarBendixsonmontrequendimensiondeux,cequelonpeutobserver,cesontsoitdestatsstationnaires,soitdesmouvementspriodiques.
Dsladimensiontrois,enrevanche,lechaospeutsemanifester.UnbonexempleestlesystmemtorologiquesimplifideLorenz.Onyvoitcommentunpetitnombredquations,contenanttrspeudevariables,suffisentgnrerdesmouvementsdifficilesprdire,surtoutsilonsintresselasuccessiondesdiffrentstatsetnonpasseulementltatdusystmelongterme.
ObserverdelordredanslechaosHeureusement,lesmathmatiquesnepermettentpasseulementdeconstaterlaprsencedunsignaloudunequantitquivoluentdemanirechaotiqueouimprvisible,maisaussidedpasserlanotiondechaos,unpeudsesprante,pouroffrirdenouveauxoutilsdedescription.
Onpourraainsidcrirecequisepasseenmoyenne,oupresquesrement(enadoptantunpointdevueprobabiliste),ouencoregnriquement(dunpointdevuetopologique).Carlechaos,pourunmathmaticien,nestpassynonymededsordreabsoluoudetotaleinstabilit.
Pourdistinguerdesformesdanslessystmeschaotiquesetformulermalgrtoutquelquesprdictionsoudescriptions,ondisposededeuxnotions:celledattracteur,quifaitappellatopologie,etcelledemesureinvariante,quifaitappellathoriedesprobabilits.
Unattracteurdlimiteunezonedanslaquelleilestcertainquelesystmevolueralongterme.Unsystmechaotiquesedistingueparlefaitquecettezoneauneformetrscomplexe,commedanslesystmemtorologiquedeLorenz(onparlealorsdattracteurtrange).
Unemesureinvariantedonneletempsmoyenquunetrajectoiredusystmepassera,probablement,dansunensembledtatsdonn.Notonsquici,lintroductiondelathoriedesprobabilitsnesefaitquedansundeuximetemps,lintrieurdusystmeetnonpaspourreprsenterunbruitextrieur.Celatraduitunevisionpragmatiquedesprobabilitsetdelalatoire:onintroduitlanotiondalatoireloilestpratiquementimpossibledeprdirecoupsr,sanspourautantsupposerquelalatoireestintrinsqueauxphnomnesquelonobserve.
Lesfrontiresduchaosclassique:lalatoireetlimprdictible
Danslesphnomneschaotiquesausensstrict,ledsordreestintrinsqueausystme.Celaexclutlessystmesalatoires,danslesquelsledsordrevientdelextrieur.Cettedistinctionestutilepourconsidrerlaquestiondesmarchsfinanciers,parexemple.Limprvisibilitestelleintrinsqueauxmarchs,ouvientelledetouslesalasquilesinfluencent?Cettequestionnestpastranche.
Lechaossedfinitentoutcascommeuncomportementapparemmentalatoire.Cestundsordre,maisquisinscritnanmoinslintrieurdunsystmedterministe.
Ceciappellequelquesprcisions.Laplace,danssonEssaiphilosophiquesurlesprobabilits,dfinitainsiledterminisme:cestlepostulatselonlequel,sinotreintelligencetaitinfinie,nouspourrionscalculeravecuneprcisioninfinieltatfuturdunsystme,unhorizondetempsarbitrairementgrand,laconditiondeconnatre,avecuneprcisioninfinie,ltatactueldusystmeetsonpass.Autrementdit,lestatspasss,prsentsetfutursdusystmesontentirementrelis.
Historiquement,cepostulatatinterprtcommelapossibilitdeformulerlesloisdelanaturepardesquationsdiffrentiellesordinaires,danslesquelleslaconnaissancedeltatdusystmeunmomentdonnsuffiteneffetcalculeraussibienlepassquelefutur.Lemploidemodlesdterministesdanslessciencesestuneapplicationdecepostulat.
Certainsphnomnesdterministessonttoutefoispratiquementimprvisibles,etcesticiquelonparledechaos.
Enpratique,pourtreslectionnsetregroupsparlacommunautscientifiquesousceterme,lesphnomnesdterministesimprvisiblesdoiventdriverderglessimples.Cestlecasparexempledesquationsdelamcaniqueclassique.Cestaussilecasdesrglesditrationdutypeprendreunnombre,passersoninverse,enleverlapartieentire(applicationdeGauss).
Pourtreditschaotiques,cesphnomnesdoiventgalementapparatredansdessystmespetitnombredevariables.Ainsi,lamcaniquedesfluides,quimodlisedessystmesrassemblantuntrsgrandnombredeparticules,nerelvepasdesmathmatiquesduchaos.
Lechaos,ausenscommunmentadmisparlesscientifiques,dsignedoncuneformededsordrequiestencorerelativementconfortablepournotreesprit.Ildrivedemodlesextrmementsimples,tandislaralitquinousentoure,pourtreparfaitementdcriteparlesmathmatiques,ncessiteraitsansdouteunnombreimmensedevariablesetdeparamtres.
Lacomplexitdelanaturenestpaspuiseparlesmathmatiquesduchaos,mmesicesdernirespermettentdelexpliquerenpartie.
Enparticulier,lesmathmatiquesduchaosneportentpassurlessystmesdedimensioninfinie.
Celaexclutdeuxgrandstypesdquations.Lespremiressontlesquationsdiffrentiellesretard,olvolutiondeltatprsentdpendexplicitementdeltatpass.Cesquationsontdepossiblesapplicationsenaronautique,encologieouenconomie.
Lessecondessontlesquationsauxdrivespartielles,quisontpourtantindispensablesenphysique:onlesutilisenotammentpourprdireetmesurerlaturbulencedansunfluide.Cetteturbulencenerelvepas,strictosensu,desmathmatiquesduchaos.Celavautdtrenot,carhistoriquementltudedelaturbulenceapermisdemettreenvidenceunphnomnechaotique,celuidescascadesdedoublementsdepriode(quisobserveparexempleendynamiquedespopulations).
Certainsmathmaticiens,dontYakovSinai(prixAbel2014),peroiventlaturbulencecommelexpressionphysiquedunesingularit,cestdireduneexplosiondessolutions,danslesquationsdeNavierStokes.Puisquecesquationsfontintervenirdesdrivespartielles,leproblmeestmathmatiquementdedimensioninfinieetnerelvedoncpasduchaos,mais,pourreprendreunedistinctiondelaphilosopheMarieFarge,delimprdictibilit.
Pourcesraisons,lesrisquesnaturels(tsunamis,ouragans,sismes)seretrouventpluttductdelimprdictibilitqueduchaos.Notonscependantquelescommunautsmathmatiquesquitudient,lunelechaos,lautrelessystmesendimensioninfinie,nesontplusaussisparesquellesneltaient:certainestechniquesleursontcommunes.
Cesfrontiresduchaosquesontlessystmesalatoiresetlessystmesendimensioninfiniesont,enellesmmes,desdomainesderechercheextrmementstimulantsetdifficiles,urgentsetenpleineexpansion.
*
Conjointementsonapparitiondansdenombreusessciencesexprimentales,lanotiondechaosapeupeutprciseenmathmatiquescommetantuncertaintypedecomportementapparemmentalatoiredessolutionsdunsystmedterministe.Pourlobserver,ilfautunsystmenonlinairededimensionaumoinsgale3.
Danslesfaits,lacommunautscientifiqueneparledechaosquesicettecomplexit,cetteapparencealatoire,sobservedansunsystmesimple,relativementpeudevariables,cequipermetdunifierleseffortsdecomprhensionetdedescriptionautourdunensembledetechniquescommunes,issuesengrandepartieaujourdhuidelathoriedessystmesdynamiques.
Cesensrestrictifexclutbeaucoupdesystmesaucomportementdsordonn,quinesontpasmoinsimportants.Maisencontrepartie,cetterestrictionpermetdlaborerdesoutilsdedescriptionetdeprvisiondontonesprequilsdeviendrontunjourexportablesdansdautresdomaines,etcedautantplusquelesfrontiresentrecommunautsscientifiquesvoluent.
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