Magnétostatique : bref historique

Magnétostatique : bref historique

Les  aimants  sont  connus  depuis  l’an1quité,  et  sont  u1lisés  il  y  a  plus  de  1000  ans  en  Chine  pour  réaliser  les  premières  boussoles.    1752  :  Franklin  découvre  la  nature  électrique  de  la  foudre,  et  on  remarque  que  la  foudre  perturbe  les  boussoles  =>  communauté  de  nature  entre  les  phénomènes  électriques  et  magné1ques    1820  :  Expérience  d’Oersted  :  un  fil  parcouru  par  un  courant  électrique  dévie  une  boussole  !                    1873  :  Maxwell  unifie  les  no1ons  de  champs  électrique  et  magné1que    

La force de Lorentz L’expression  de  la  force  de  Coulomb  pour  des  charges  immobiles  (sta1ques)  

doit  être  modifiée  si  les  charges  sont  en  mouvement  les  unes  par  rapport  aux  autres.  Il  faut  en  effet  tenir  compte  du  retard  que  met  le  champ  à  se  propager  de  q’  vers  q  lorsque  q’  se  déplace,  dans  le  cadre  de  la  rela1vité  restreinte.      

Le  premier  terme  est  le  champ  électrique  «  sta1que  »,  le  second  terme,  qu’on  peut  voir  comme  une  correc1on  rela1viste  à  la  force  de  Coulomb,  décrit  un  nouvel  effet.  On  écrit  la  force  de  Lorentz  agissant  sur  la  charge  q  :  

On  adme[ra  ici  que  ce[e  correc1on  (en  toute  rigueur  valable  uniquement  lorsque  les  charges  se  déplacent  lentement  par  rapport  à  c)  s’écrit  :        

Où  B  est  le  champ  magné1que  crée  par  q’  

Le champ magnétique L’expression  du  champ  magné1que  crée  par  la  charge  ponctuelle  q’  animée  d’une  vitesse  uniforme  v’  (pe1te  devant  celle  de  la  lumière  c)  est  donc  

Où  a  introduit  la  perméabilité  du  vide  μ0  telle  que  

μ0    est  choisie,  par  défini1on  de  l’Ampère,  égale  à  

L’unité  du  champ  magné5que  est  le  Tesla  (symbole  T)    

Ordres  de  grandeur  macroscopiques  :  Champ  terrestre  :  environ  4.10-­‐5  T  /  Aimant  :  1-­‐10  mT  Bobine  supraconductrice  :  environ  10  T  /  Etoile  à  neutron  :  108  T    

Au  niveau  microscopique  :  champ  crée  par  un  électron  tournant  autour  de  son  noyau  (v  ≈  2.106  m/s  et  r  ≈  5.10-­‐11m)  au  centre  de  l’orbite?  

⇒ B  =  12  T      =>  les  champ  microscopiques  ont  tendance  à  s’annuler  vectoriellement              

La formule de Biot et Savard (1820)

Si  on  considère  le  champ  magné1que  élémentaire  dB  crée  en  un  point  M  par  un  pe1t  élément  de  volume  dV  situé  au  point  P,  de  densité  de  charge  ρ  en  mouvement  avec  une  vitesse  v,  on  ob1ent  

Sous  forme  intégrale,  ce[e  expression  cons1tue  la  formule  de  Biot  et  Savard  :  

On  sera  très  souvent  amené  à  considérer  que  la  densité  volumique  de  courant  j  est  limitée  à  un  «  fil  ».  On  a  dans  ce  cas  

~jdV = (~j · ~dS)~d`

Et  donc    

Règles de symétrie du champ magnétique

B  est  un  champ  «  pseudo-­‐vectoriel  »,  on  parle  aussi  de  vecteur  axial.  C’est  à  dire  qu’il  est  défini  par  un  produit  vectoriel  des  termes  sources.    

Un  plan  de  symétrie  de  la  distribu5on  de  courant  j  est  donc  un  plan  d’an5symétrie  du  champ  B  

Règles de symétrie du champ magnétique

Exemples de lignes de champ magnétique

Fil  rec1ligne  

Spire  

(crédit  Hecht)  

Exemples de lignes de champ magnétique

Associa1ons  de  spires  (solénoide)  :  

Aimant  (dipôle  magné1que)  

Calcul de champ magnétique : centre d’une spire

On  cherche  le  champ  au  centre  de  la  spire  

Biot  et  Savard  :  

On  se  place  en  coordonées  polaires  (cylindriques  de  même  axe  que  celui  de  la  spire,  mais  ici  on  n’u1lisera  pas  z…)  

Et  donc  

Calcul de champ magnétique : axe d’une spire

On  se  place  en  coordonées  cylindriques  de  même  axe  que  celui  de  la  spire,  on  ob1ent    

Où  on  a  u1lisé  le  fait  que    Z 2⇡

0~e⇢(�)d� = 0

Non-divergence de B (Maxwell-Thomson) Le  champ  magné1que  crée  en  un  point  M  quelconque  vaut    

Calculons  sa  divergence  :  

=  

Le  rota1onel  de  v  est  nul,  celui  de  er/r2  l’est  aussi      (expression  du  rota1onnel  en  sphérique  :    

On  en  déduit  ce  résultat  général  et  extrêmement  important  :    

ou  encore    Le  flux  de  B  à  travers  toute  surface  fermée  est  nul  

Potentiel vecteur

On  vient  de  voir  que  la  divergence  de  B  est  toujours  nulle.  On  peut  donc,  sans  perdre  en  généralité,  écrire  B  comme  le  rota1onnel  d’un  champ  de  vecteur  A  (puisque  la  divergence  d’un  rota1onnel  est  toujours  nulle)  

A  est  appelé  poten1el  vecteur  du  champ  magné1que.  Tout  comme  le  champ  E  dérivait  dans  le  cas  sta1que  d’un  poten1el  scalaire  V,  le  champ  magné1que  dérive  d’un  poten1el,  mais  qui  a  une  forme  vectorielle  et  non  scalaire.  

Le  rota1onnel  du  gradient  d’une  fonc1on  scalaire  quelconque  ψ  étant  nul,  A  est  en  fait  défini  au  gradient  d’une  fonc1on  quelconque  près  (c’est  à  dire  qu’ajouter  grad(ψ)  à  A  ne  changera  pas  B,  qui  est  l’observable  physique,  via  la  force  de  Lorentz).    Le  choix  de  la  fonc1on  ψ  cons1tue  le  choix  de  Jauge  du  champ.  On  peut  par  exemple  choisir  ψ  tel  que  div(A)  =  0  (c’est  la  jauge  dite  «  de  Coulomb  »).  Dans  ce  cas  on  peut  montrer  que  A  est  lié  simplement  aux  sources  

Théorème d’Ampère

La  circula1on  du  champ  magné1que  le  long  de  tout  contour  fermé  C  est  égale  au  produit  de  la  perméabilité  du  vide  par  le  courant  traversant  toute  surface  S  s’appuyant  sur  le  contour  fermé  C.  

Le  courant  est  compté  algébriquement  en  tenant  compte  de  la  règle  d’Ampère.    

On  peut  aussi  écrire  le  théorème    I

C~B · ~d` = µ0

ZZ

S~j · ~dS

L’orienta1on  de  la  surface  S  et  du  contour  C  doit  alors  être  faite  de  manière  cohérente  

Théorème d’Ampère (forme locale)

On  vient  de  voir  qu’on  pouvait  écrire  le  théorème  d’Ampère  sous  la  forme  I

C~B · ~d` = µ0

ZZ

S~j · ~dS

Il  s’agit  d’une  forme  par1elle  de  l’équa1on  de  Maxwell-­‐Ampère.  Elle  n’est  valable  que  dans  l’hypothèse  de  courant  constant  dans  le  temps  (ou  tout  du  moins  lentement  variables)    Nous  verrons  en  fin  de  semestre  que  ce[e  équa1on  doit  être  complétée  d’un  terme  dit  «  courant  de  déplacement  »  pour  des  varia1ons  plus  rapides.  

L’applica1on  du  théorème  de  Stokes  nous  permet  d’obtenir  une  forme  locale  

Champ produit par un fil infini

D’où  

A  l’extérieur  du  fil  :  

Et  donc  

Champ produit par un solénoïde infini

Théorème  d’Ampère  sur  le  contour  C2  :  

Symétries  et  invariances  :    

Théorème  d’Ampère  sur  le  contour  C1  :  

Vu  que  le  champ  doit  être  nul  à  l’infini,  on  en  déduit  que  le  champ  est  nul  à  l’extérieur  du  solénoïde  infini  

Où  n  est  la  densité  de  spire  (nombre  de  spire  par  unité  de  longueur).  

Or,     on  en  déduit  que  

Traversée d’une nappe de courant

Symétries  et  invariances  :    

Intégrale  du  champ  sur  le  contour  ABCD  :  

~B = B(z) ~ex

et   B(�z) = �B(z)

I~B · ~d` = 2B(z)`

Courant  enlacé  dans  le  contour  ABCD   I = js`

Le  plan  xOy  est  parcouru  par  une  nappe  de  courant  surfacique  js  

Donc     B(z) =µ0js2

On  a  donc  une  discon5nuité  de  la  composante  tangen5elle  du  champ  à  la  traversée  de  la  nappe    

Résultat  généralisable  à  toute  surface  :