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Rep + Saint
Chamond
2016AUTOUR DE L’AIRE
28/04/2016 B Anselmo ESPE de Lyon
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0
International License.
Résoudre à votre niveau, individuellement ou par deux, les cinq activités suivantes :
Quel est le plus lourd ?
Forme
Modifier la figure
Le double
L’aire du triangle
28/04/2016 B Anselmo ESPE de Lyon
DES ACTIVITÉS
Ces formes sont celles de
gâteaux de même
épaisseur, faits dans la
même pâte.
Si on les pesait, lequel
serait le plus lourd ?
Lequel serait le moins
lourd ?
28/04/2016 B Anselmo ESPE de Lyon
QUEL EST LE PLUS LOURD ?
Range les formes A, B ,C ,D
de la plus petite à la plus
grande,
suivant leur aire…
puis suivant leur périmètre.
28/04/2016 B Anselmo ESPE de Lyon
FORMES
Modifier la figure A pour obtenir une figure ayant même
périmètre mais un carreau de plus
28/04/2016 B Anselmo ESPE de Lyon
MODIFIER LA FIGURE
Modifier la figure A pour obtenir une figure ayant même
périmètre mais un carreau de moins
28/04/2016 B Anselmo ESPE de Lyon
MODIFIER LA FIGURE
Modifier la figure A pour obtenir une figure ayant même aire
que A mais un périmètre plus grand
28/04/2016 B Anselmo ESPE de Lyon
MODIFIER LA FIGURE
Modifier la figure A pour obtenir une figure ayant même aire
que A mais un périmètre plus petit
28/04/2016 B Anselmo ESPE de Lyon
MODIFIER LA FIGURE
Dessine un
rectangle dont le
périmètre est le
double de celui de
ce rectangle
28/04/2016 B Anselmo ESPE de Lyon
LE DOUBLE
Dessine un carré dont l ’aire est le double de celle de ce carré
Quelle est l’aire de ce triangle ?
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L’AIRE DU TRIANGLE
28/04/2016 B Anselmo ESPE de Lyon
LES DIFFICULTÉS
28/04/2016 B Anselmo ESPE de Lyon
DIFFICULTÉS D’ ÉLÈVES DE PRIMAIRE
Évaluation entrée
en 6eme 2001
Réponse correcte
16%
Rectangle d’aire 12 carreaux
(confusion aire et périmètre)
35,7%
Autres réponses
44,6%
Absence de réponse
3,7%
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DIFFICULTÉS DE COLLÈGIENS
A B
C
D
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DIFFICULTÉS D’ÉTUDIANTS
28/04/2016 B Anselmo ESPE de Lyon
QUELLE PROGRESSSION
EN CYCLE 3 ?
Les notions de grandeur et de mesure de la grandeur se
construisent dialectiquement, en résolvant des problèmes
faisant appel à dif férents types de taches (comparer, estimer,
mesurer).
Aire
Comparer, classer et ranger des surfaces selon leurs aires sans avoir
recours à la mesure.
Différencier aire et périmètre d’une surface.
Déterminer la mesure de l’aire d’une surface à partir d’un pavage
simple ou en utilisant une formule (carré, rectangle, triangle, disque)
Estimer la mesure d’une aire par différentes procédures.
Unités usuelles d’aire : multiples et sous-multiples du m2 et leurs
relations, are et hectare
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LES PROGRAMMES 2016
Les aires : Tout au long du cycle, il convient de choisir la procédure adaptée pour comparer les aires de deux surfaces , pour déterminer la mesure d’une aire avec ou sans recours aux formules.
Dès le CM1, on compare et on classe des surfaces selon leur aire. La mesure ou l’estimation de l’aire d’une surface à l ’aide d’une surface de référence ou d’un réseau quadrillé est ensuite abordée.
Une fois ces notions stabilisées, on découvre et on utilise les unités d’aire usuelle et leurs relations.
On peut alors construire et utiliser les formules pour calculer l ’aire d’un carré, d’un rectangle, puis en 6ème, calculer l’aire d’un triangle rectangle, d’un triangle quelconque dont une hauteur est connue, d’un disque.
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REPÈRES DE PROGRESSIVITÉ 2016
1) Avec surfaces dessinées sur papier blanc
que l’on peut découper.
28/04/2016 B Anselmo ESPE de Lyon
PROGRESSION POUR LES AIRES
• Comparaison
Il s’agit de comparer des
surfaces planes selon leur
« étendue » pour comprendre
la relation «avoir même
aire».
1) Avec surfaces dessinées sur papier blanc
que l’on peut découper.
28/04/2016 B Anselmo ESPE de Lyon
PROGRESSION POUR LES AIRES
• Construction de
surfaces de même
aire qu’une surface
de référence et de
formes différentes,
des surfaces d’aire
double ou triple.
2) Avec des surfaces
dessinées sur papier
quadrillé ou pointé .
Comparaison
On accède alors à
la mesure de l’aire,
par comptage
d’unités d’aire
Distinction aire /
périmètre
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PROGRESSION POUR LES AIRES
A
B
C
D
3 ) Des unités usuelles
Des « formes différentes » pour le centimètre
carré
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PROGRESSION POUR LES AIRES
4) Calcul d’aires
Il n’existe pas d’instrument usuel de mesure directe des aires. La mesure d’aires résulte très souvent d’un calcul, réalisé à partir d’une formule.
La connaissance de l’aire du rectangle est importante car elle permet d’en déduire l’aire de nombreuses autres surfaces : triangle rectangle, polygone
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PROGRESSION POUR LES AIRES
La partie hachurée est -elle la moitié du rectangle ?
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L’AIRE DU TRIANGLE
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L’AIRE DU DISQUE
R
π R
π R
R
Le tableau dit « de conversion des unités » ne
doit pas être proposé avant qu’un certain
nombre d’exercices de transformation de
mesures ait permis aux élèves de prendre
conscience des régularités, dues à la
compatibilité du système métrique avec
l’écriture décimale numérique.
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PROGRESSION POUR LES AIRES
En imaginant quelques activités phares, donnez les grandes
l ignes de ce que pourrait être une progression au cycle 3 :
Sur les périmètres
Sur les angles
Sur les volumes
Sur les masses
Sur les durées
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A VOUS
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A PROPOS DES
CONVERSIONS
Convertir
1.combien y a-t-il de mètres dans 27 km 3 hm ?
2.combien y a-t-il de g dans 0,5 hg ?
3.combien y a-t-il de cL dans 5/4 de L ?
4.combien y a-t-il de cm² dans 3 m² ?
5.combien y a-t-il de minutes dans 2,40 h ?
6.combien y a-t-il de mètres dans 27,3 km ?
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DES CONVERSIONS
UNE PROBLÈME DE 4ÈME
PROPORTIONNELLE
B Anselmo ESPE de Lyon
1 hg 100g
0,5 hg ?
1 L 100 CL
5
4L ?
1 h 60 min
2,4 h ?
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DES PROCÉDURES COMPLEXES
B Anselmo ESPE de Lyon
km hm dam m dm cm mm
2 7 3 0 0
27,3 km = 2 7km + 3 dixièmes de km =
27 km + 3 hm = 27 km 300 m
millier centaine dizaine unité dixième centième millième
28/04/2016
MÉTHODES DE CONVERSIONS
Les manuels de cycle 3 montrent plusieurs méthodes :
Groupement et échange (J’apprends les maths
CM1, capmaths)
Multiplication/division par 10, 100 ou 1000..
(J’apprends les maths CM2)
Tableau de conversion (presque tous les (autres)
manuels)
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GROUPEMENTS ET ÉCHANGE
Une unité est présentée comme un groupement d’unités plus petites (10, 100, 1 000)
L’observation des instruments gradués rend les équivalences visibles : il suffit de compter combien de mm dans 1 cm, de cm dans 1 m, de mm dans 1 m, de m dans 1 dam.
Les équivalences usuelles doivent être mémorisées.
La conversion est un échange.
Comme 1 cm = 10 mm ;
25 cm = 25 paquets de 10 mm = 250mm
4 cm 5 mm = 4 paquets de 10 mm et 5 mm = 45 mm ;
30 mm = 3 paquets de 10 mm = 3 fois 1 cm = 3 cm.
1 mm apparaît comme 1 cm partagé en dix parties égales, donc 1 mm = 1/10 cm (un dixième de cm)
35 mm = 3 fois 1cm + 5 dixièmes de cm = 3,5 cm
28/04/2016 B Anselmo ESPE de Lyon
MULTIPLICATION/DIVISION PAR 10, 100 OU
1000…
Il faut avoir intégrer la valeur d’une unité en fonction d’une autre : 1 mm est 10 fois plus petit qu’un 1 cm ; 1 cm est 10 fois plus grand qu’1 mm.
Si une longueur est donnée en cm et que je veux l ’exprimer en mm, j ’en aurai plus, et même 10 fois plus, je multiplie par 10.
Donc 25 cm = 250 mm.
Si une longueur est donnée en mm et que je veux l ’exprimer en cm, j ’en aurai moins et même 10 fois moins, je divise par 10.
Si une longueur est donnée en m et que je veux l ’exprimer en km, j ’en aurai moins et même 1000 fois moins, je divise par 1000.
28/04/2016 B Anselmo ESPE de Lyon
TABLEAU DE CONVERSION
Le tableau sert souvent à présenter les unités. Ensuite son usage est dicté comme un moyen technique possible ou obligatoire, souvent sans plus de sens.
A portée de maths.
Remarque : une utilisation exclusive de cette méthode est aberrante : la conversion 4 km = ….m demandée à l ’évaluation CM2 doit être faite sans tableau de conversion !!!
28/04/2016 B Anselmo ESPE de Lyon
TABLEAU DE CONVERSION
28/04/2016 B Anselmo ESPE de Lyon
Consigne
Construire une situation-problème dans le domaine que vous
expérimenterez en classe ou en activité interclasse et qui
s'appuie ou non sur une partie de ce matériel .
Préciser : le problème posé, les variables, les procédures
possibles,
le niveau de classe
les compétences travaillées ( voir programme de maths)
la situation : les consignes, la présentation du problème,
l'évolution de la situation, les variantes suivant le moment du cycle.
Recherche par groupe multiniveau, sur ordi . 1h
28/04/2016 B Anselmo ESPE de Lyon
DES ACTIVITÉS AUTOUR D’UN MATÉRIEL
D’après Problème ouvert et Situation -Problème IREM de
Lyon, Gilbert Arsac, Gilles Germain, Michel Mante
SITUATION-PROBLÈME
L’élève doit pouvoir s’engager dans la résolution du problème ;
l’élève peut faire des essais, des erreurs qui sont considérées comme des étapes de l’apprentissage,
les échanges entre élèves sont favorisés .
Les connaissances de l’élève sont
insuffisantes pour qu ’il résolve
immédiatement le problème ;
La connaissance que l’on désire
voir acquérir par l’élève doit être
l’outil le plus adapté pour la
résolution du problème au niveau
de l’élève ;
La situation doit permettre à l’élève
de décider si une solution trouvée
est convenable ou pas ;
La comparaison entre sa production
et le but à atteindre est un moment
essentiel
A propos de la manipulation…
(extrait programme 2002)
Il faut se convaincre que ce n’est pas la
manipulation d’un matériel qui constitue
l’activité mathématique….
…mais les questions qu’elle suggère.
Il convient de distinguer les tâches de
constat ou d’observation qui invitent l’élève
à lire une réponse sur le matériel…
…des tâches d’anticipation qui lui
demandent d’élaborer, de construire par
lui-même une réponse dont il pourra
vérifier la validité.
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ANTICIPER / VALIDER : un aspect essentiel de ce type de situation
Matériel
Favorise
l’appropriation de
la situation et du
problème
Anticipation
Incite à l'expérience
mentale
Permet la validation
de la réponse ou d'une
procédure
Oblige à élaborer des
procédures
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