réseau de Bravais (RB) réseau réciproque (RR) · Cours de Physique de la Matière Condensée,...

1 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012

2) Structure du cristal parfait

2.2 Réseau réel et réseau réciproque

pqrt pa qb rc hklg ha kb lc

. . . 2a a b b c c

. . . 0a b a c b c

2 ( )

.( )

b ca

a b c

2 ( )

.( )

c ab

b c a

2 ( )

.( )

a bc

c a b

réseau de Bravais (RB) réseau réciproque (RR)

.( )a b c

3(2 )

( , , )p q r 3( , , )h k l

2.2.1 Définition

2 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012

2) Structure du cristal parfait

2.2.2 A quoi ressemble le réseau réciproque?

1D

0 a

WS

0

PZB

2

a

a

a

2D

a

a

b

2

a

2

b

2

a

2

a

a

ab

*a

*b

a

b

*a

*b

carré

rectangle

3 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012

2) Structure du cristal parfait

2D

WS PZB

a

b

*b

*a

hexagonal

a

2

a

4 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012

3D cubique cubique

CFC

WS

CC

PZB

2) Structure du cristal parfait

hexagonal hexagonal

( )2

aa y z

( )2

ab x z

( )2

ac x y

cubique faces centrées cubique centré

2( )a x y z

a

2( )b x y z

a

2( )c x y z

a

3

4

a 3

3

32

a

5 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012

2) Structure du cristal parfait

2.2.3 Intérêt du réseau réciproque

• Produit scalaire dans une base non orthogonale

r xa yb zc

k x a y b z c . 2 ( )k r xx yy zz

g RR

t RB. 2 g t n n . 1i g te

Nouvelle définition du réseau réciproque

6 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012

, ,h k lg ha kb lc

r xa yb zc , , ( , , )h k lg h k l. 2 ( )g r hx ky lz

• Interprétation géométrique

a

b

c

hx ky lz C

/C h

/C l

/C k

plan

, ,h k lg

0g ng

g

rd

0 2g d

0

2d

g

g est perpendiculaire au plan (h,k,l) La distance inter-plan est inversement

proportionnel à g0

2) Structure du cristal parfait

2 2 2hkl

ad

h k l

Réseau cubique

7 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012

2) Structure du cristal parfait

Cas 1D

( ) ( )f x a f x

2

( )i nxa

n

n

f x c e

2

0

1( )

i nxa

a

nc e f x dxa

g na RR

( ) igx

g

g

f x c e

2a

a

/ 2. .

0 / 2

1 1( ) ( )

a aig x ig x

ga

c e f x dx e f x dxa a

a

( )f x

xDécomposition en série de Fourier

• Base naturelle pour manipuler les fonctions périodiques

On pose

8 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012

Cas 3D ( ) ( )f r t f r

•Cas cubique 2 22

, ,

, ,

( , , )i my i pzi nx

a a a

n m p

n m p

f x y z c e e e

2

( , , )g n m pa

•Cas général? .( ) i g r

gg

f r c e

. .

1

( ) ( )i g r i g t

gg

f r t c e e f r

g RR

t RB

. 31( )i g r

gWS WS

c e f r d r

2) Structure du cristal parfait

9 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012

2) Structure du cristal parfait

2

( ) i nxa

ne x e n

Décomposition de f(x) dans cette base

2

( )i nxa

n

n

f x c e

Convergence en norme (pas forcément en tout point)

•Espace de Hilbert L2(0,a) et base orthonormée

01

( , ) ( ) ( )a

f g f x g x dxa

Produit scalaire

Base orthonormée

2

0

1, ( )

i nxa

a

n nc e f e f x dxa

2 (0, )

lim ( ) ( ) 0N

n nN

n N L a

c e x f x

10 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012

22 2

0

1( )

a

n g

n g RR

c c f x dxa

•Le retour du bra et du ket

1 igxx g ea

( )x f f x

g

g RR

f c g

0

1( )

aigx

g gc g f e f x dx aca

2 22g g

g g g

Id

f f f f g g f c a c

(Parseval)

0( ) ( )

a

f g f x g x dx

2) Structure du cristal parfait

Produit scalaire

Base orthonormée

11 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012

2) Structure du cristal parfait

2.2.4 Notion de densité atomique (dans un cristal)

( ) ( ) ( )a

n

x x na x

a

x

(Peigne de Dirac)

« fonction »

périodique

( ) igx

g

g

x e .

0

1 1( )

aig x

gc e x dxa a

1( ) igx

g

x ea

•Série de Fourier

Cas 1D

12 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012

•Transformée Fourier

( )1( ) ( )iqx iqna i q g x

n g RR

q e x dx e e dxa

2( ) ( )

g RR

q q ga

2) Structure du cristal parfait

( ) 2 ( )i q g xe dx q g (au sens des distributions)

q

2

a

La TF d’un peigne de Dirac est un peigne de Dirac

2( ( )) ( )a

a

TF x q

13 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012

2) Structure du cristal parfait

•Comment retrouver ce résultat de manière « pédestre »

2 1sin

2

sin2

Niqna

n N

Nqa

eqa

sin( )

( )n

nqq

q

2( ) ( )

g RR

q q ga

Sommations finies

14 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012

2) Structure du cristal parfait

•densité atomique et fonctions périodiques?

( ) ( )f x a f x

a

0( )f x

x

0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n

f x f x na f x x na f x x

0 0

2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )iqx

g

f q e f x dx f q q f q q ga

Produit de convolution

15 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012

3(2 )( ) ( )

g

q q g

, ,( ) ( ) ( )

a b ct

r r t r

2) Structure du cristal parfait

3

, , , ,

2( ) ( )TF

a b c a b cr q

2 ( )b ca

2 ( )c ab

2 ( )a bc

.( )a b c

Généralisation en 3D de la densité atomique et du réseau réciproque

( , , )t pa qb rc p q r

* * * ( , , )g ha kb lc h k l

Réseau Réel Réseau Réciproque TF

16 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012

Généralisation de la densité atomique au cas non périodique

2) Structure du cristal parfait

( ) ( )n

n

r r r

. 3 .( ) ( ) ni q r i q r

n

q e r d r e

q

2

a

Faible désordre nnr na

17 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012

2.3 Détermination expérimentale des structures cristallines

2) Structure du cristal parfait

2.3.1 Les différents rayonnements (de longueur d’onde adéquat )

•Photons (RX)

hc

E 12,4

(Å)( )E keV

10 ÅE keV

18 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012

•Neutrons (thermiques)

2) Structure du cristal parfait

2

h h h

p mv mE

0,28(Å)

( )E eV

140

1,8ÅB ambE k T eV

•Electrons

2

22 ( )E

c

h

mE

Correction

relativiste

12(Å)

( )E eV

2 2 2 2 4

0E p c m c 2

0E K m c

100 0,037ÅE keV

rayonnement avantages inconvénients

RX précision Pas d’optique

neutrons faible interaction faible interaction

électrons optique Forte interaction

19 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012

2) Structure du cristal parfait

2.3.2 Loi de Bragg

sind sind

d

2

2 sind n

, ,h k ld d Distance entre plans atomiques (réticulaires)

2

2.3.3 Méthode de Laue

k

'k( )V r

k

'k 'q k k

. 3

diff ( ) ( )i q rA q e V r d r

( )V r Potentiel diffuseur

20 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012

2) Structure du cristal parfait

•Diffusion par un cristal (périodique)

( ) ( ) ( ) ( )at at

t t

V r v r t v r r t

3

. 3

diff

2( ) ( ) ( ) ( )i q r

at

gWS

A q e V r d r f q q g

Facteur de forme Facteur de structure

3

diff

2( ) ( ) ( )at

gWS

A q q g f g

. 3( ) ( )i q r

at atf q e v r d r Transformée de Fourier du potentiel de diffusion

3

.2

( )i q t

t gWS

e q g

Peigne de Dirac du réseau de Bravais

21 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012

•Lien entre Laue et Bragg

k

'kq g

, ,h k lg ha kb lc , , ( , , )h k lg h k l. 2 ( )g r hx ky lz

0g ng

g

rd

0 2g d 0

2g

d

2) Structure du cristal parfait

0

, ,2

22 sin

h k l

g n g k nd

, ,2 sinh k ld n

22 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012

2) Structure du cristal parfait

2.3.4 La sphère d’Ewald

k

'kg

2 facteurs importants

•rayon de la sphère 2

R

•Orientation du faisceau

/ orientation du cristal

0R g

0R g

électrons

RX, neutrons

23 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012

2.3.5 Quelques clichés de diffraction

Maille tétragonale

90a b c

Pt fcc polycristallin

2) Structure du cristal parfait

24 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012

2.3.6 Le potentiel de diffusion

2) Structure du cristal parfait

. 3( ) ( )i q r

at atf q e v r d r

( ) ( )el

at atv r n rRX Onde électromagnétique

. 3( ) ( )X iq r el

at atf q e n r d r 3(0) ( )X el

at atf n r d r Z

Zn Z

( ) ( )el el

at atn r n r ( ) ( )X X

at atf q f q

( )X

atf q

25 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012

électrons

2) Structure du cristal parfait

2

2 2

( )2( )

X

atel eat

Z f qm ef q

q

Décroissance en q plus rapide que pour les RX

neutrons

( ) ( )el

at atv r V r0

( )n ee n nV

( ) ( )at

n

nv r b r

( )n

at nf q b

Indépendant de q

62Ni

26 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012

2) Structure du cristal parfait

2.3.6 questions diverses

Peut-on faire diffracter d’autres particules?

OUI Par exemple les atomes d’Hélium

Mais uniquement sensible à la surface

Peut-on voir le magnétisme?

OUI Les RX, les neutrons et les électrons sont

sensibles au magnétisme

ET La maille magnétique n’est pas nécessairement

la même que la maille « atomique »

Cubique centré Cubique simple

27 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012

2) Structure du cristal parfait

Onde de spin dans le chrome: parfaitement visible dans le réseau réciproque par

rayonnement synchrotron

0

0

220

20L a q

a

28 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012

Comment faire si il y’a plusieurs atomes par maille?

2) Structure du cristal parfait

0 ,( ) ( )at i i

i

v r v r

1

2

3

4

t

. 3

0( ) ( )i q rf q e v r d r

.

,( ) ( )ii q

at i

i

f q e f q

.( ) ii q

at

i

f q e

Si un seul type d’atomes

29 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012

Que se passe-t-il si je ne prends pas la maille élémentaire

2) Structure du cristal parfait

g ha kb

a

b

( ) 2 ( ) si pair( ) ( )(1 )

0 si impair

ati h k

at

f q h kf q f q e

h k

12( )a b . ( )g h k

a

b Réseau Carré

RR