réseau de Bravais (RB) réseau réciproque (RR) · Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012 1 2) Structure du cristal parfait 2.2 Réseau réel et réseau réciproque t

1 Cours de Physique de la Matière Condensée, 2012

2) Structure du cristal parfait

2.2 Réseau réel et réseau réciproque

pqrt pa qb rc hklg ha kb lc

. . . 2a a b b c c

. . . 0a b a c b c

2 ( )

.( )

b ca

a b c

2 ( )

.( )

c ab

b c a

2 ( )

.( )

a bc

c a b

réseau de Bravais (RB) réseau réciproque (RR)

.( )a b c

3(2 )

( , , )p q r 3( , , )h k l

2.2.1 Définition



2.2.2 A quoi ressemble le réseau réciproque?

1D

0 a

WS

0

PZB

2

a

a

a

2D

a

a

b

2

a

2

b

2

a

2

a

a

ab

*a

*b

a

b

*a

*b

carré

rectangle



2D

WS PZB

a

b

*b

*a

hexagonal

a

2

a


3D cubique cubique

CFC

WS

CC

PZB


hexagonal hexagonal

( )2

aa y z

( )2

ab x z

( )2

ac x y

cubique faces centrées cubique centré

2( )a x y z

a

2( )b x y z

a

2( )c x y z

a

3

4

a 3

3

32

a



2.2.3 Intérêt du réseau réciproque

• Produit scalaire dans une base non orthogonale

r xa yb zc

k x a y b z c . 2 ( )k r xx yy zz

g RR

t RB. 2 g t n n . 1i g te

Nouvelle définition du réseau réciproque


, ,h k lg ha kb lc

r xa yb zc , , ( , , )h k lg h k l. 2 ( )g r hx ky lz

• Interprétation géométrique

a

b

c

hx ky lz C

/C h

/C l

/C k

plan

, ,h k lg

0g ng

g

rd

0 2g d

0

2d

g

g est perpendiculaire au plan (h,k,l) La distance inter-plan est inversement

proportionnel à g0


2 2 2hkl

ad

h k l

Réseau cubique



Cas 1D

( ) ( )f x a f x

2

( )i nxa

n

n

f x c e

2

0

1( )

i nxa

a

nc e f x dxa

g na RR

( ) igx

g

g

f x c e

2a

a

/ 2. .

0 / 2

1 1( ) ( )

a aig x ig x

ga

c e f x dx e f x dxa a

a

( )f x

xDécomposition en série de Fourier

• Base naturelle pour manipuler les fonctions périodiques

On pose


Cas 3D ( ) ( )f r t f r

•Cas cubique 2 22

, ,

, ,

( , , )i my i pzi nx

a a a

n m p

n m p

f x y z c e e e

2

( , , )g n m pa

•Cas général? .( ) i g r

gg

f r c e

. .

1

( ) ( )i g r i g t

gg

f r t c e e f r

g RR

t RB

. 31( )i g r

gWS WS

c e f r d r




2

( ) i nxa

ne x e n

Décomposition de f(x) dans cette base

2

( )i nxa

n

n

f x c e

Convergence en norme (pas forcément en tout point)

•Espace de Hilbert L2(0,a) et base orthonormée

01

( , ) ( ) ( )a

f g f x g x dxa

Produit scalaire

Base orthonormée

2

0

1, ( )

i nxa

a

n nc e f e f x dxa

2 (0, )

lim ( ) ( ) 0N

n nN

n N L a

c e x f x


22 2

0

1( )

a

n g

n g RR

c c f x dxa

•Le retour du bra et du ket

1 igxx g ea

( )x f f x

g

g RR

f c g

0

1( )

aigx

g gc g f e f x dx aca

2 22g g

g g g

Id

f f f f g g f c a c

(Parseval)

0( ) ( )

a

f g f x g x dx


Produit scalaire

Base orthonormée



2.2.4 Notion de densité atomique (dans un cristal)

( ) ( ) ( )a

n

x x na x

a

x

(Peigne de Dirac)

« fonction »

périodique

( ) igx

g

g

x e .

0

1 1( )

aig x

gc e x dxa a

1( ) igx

g

x ea

•Série de Fourier

Cas 1D


•Transformée Fourier

( )1( ) ( )iqx iqna i q g x

n g RR

q e x dx e e dxa

2( ) ( )

g RR

q q ga


( ) 2 ( )i q g xe dx q g (au sens des distributions)

q

2

a

La TF d’un peigne de Dirac est un peigne de Dirac

2( ( )) ( )a

a

TF x q



•Comment retrouver ce résultat de manière « pédestre »

2 1sin

2

sin2

Niqna

n N

Nqa

eqa

sin( )

( )n

nqq

q

2( ) ( )

g RR

q q ga

Sommations finies



•densité atomique et fonctions périodiques?

( ) ( )f x a f x

a

0( )f x

x

0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n

f x f x na f x x na f x x

0 0

2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )iqx

g

f q e f x dx f q q f q q ga

Produit de convolution


3(2 )( ) ( )

g

q q g

, ,( ) ( ) ( )

a b ct

r r t r


3

, , , ,

2( ) ( )TF

a b c a b cr q

2 ( )b ca

2 ( )c ab

2 ( )a bc

.( )a b c

Généralisation en 3D de la densité atomique et du réseau réciproque

( , , )t pa qb rc p q r

* * * ( , , )g ha kb lc h k l

Réseau Réel Réseau Réciproque TF


Généralisation de la densité atomique au cas non périodique


( ) ( )n

n

r r r

. 3 .( ) ( ) ni q r i q r

n

q e r d r e

q

2

a

Faible désordre nnr na


2.3 Détermination expérimentale des structures cristallines


2.3.1 Les différents rayonnements (de longueur d’onde adéquat )

•Photons (RX)

hc

E 12,4

(Å)( )E keV

10 ÅE keV


•Neutrons (thermiques)


2

h h h

p mv mE

0,28(Å)

( )E eV

140

1,8ÅB ambE k T eV

•Electrons

2

22 ( )E

c

h

mE

Correction

relativiste

12(Å)

( )E eV

2 2 2 2 4

0E p c m c 2

0E K m c

100 0,037ÅE keV

rayonnement avantages inconvénients

RX précision Pas d’optique

neutrons faible interaction faible interaction

électrons optique Forte interaction



2.3.2 Loi de Bragg

sind sind

d

2

2 sind n

, ,h k ld d Distance entre plans atomiques (réticulaires)

2

2.3.3 Méthode de Laue

k

'k( )V r

k

'k 'q k k

. 3

diff ( ) ( )i q rA q e V r d r

( )V r Potentiel diffuseur



•Diffusion par un cristal (périodique)

( ) ( ) ( ) ( )at at

t t

V r v r t v r r t

3

. 3

diff

2( ) ( ) ( ) ( )i q r

at

gWS

A q e V r d r f q q g

Facteur de forme Facteur de structure

3

diff

2( ) ( ) ( )at

gWS

A q q g f g

. 3( ) ( )i q r

at atf q e v r d r Transformée de Fourier du potentiel de diffusion

3

.2

( )i q t

t gWS

e q g

Peigne de Dirac du réseau de Bravais


•Lien entre Laue et Bragg

k

'kq g

, ,h k lg ha kb lc , , ( , , )h k lg h k l. 2 ( )g r hx ky lz

0g ng

g

rd

0 2g d 0

2g

d


0

, ,2

22 sin

h k l

g n g k nd

, ,2 sinh k ld n



2.3.4 La sphère d’Ewald

k

'kg

2 facteurs importants

•rayon de la sphère 2

R

•Orientation du faisceau

/ orientation du cristal

0R g

0R g

électrons

RX, neutrons


2.3.5 Quelques clichés de diffraction

Maille tétragonale

90a b c

Pt fcc polycristallin



2.3.6 Le potentiel de diffusion


. 3( ) ( )i q r

at atf q e v r d r

( ) ( )el

at atv r n rRX Onde électromagnétique

. 3( ) ( )X iq r el

at atf q e n r d r 3(0) ( )X el

at atf n r d r Z

Zn Z

( ) ( )el el

at atn r n r ( ) ( )X X

at atf q f q

( )X

atf q


électrons


2

2 2

( )2( )

X

atel eat

Z f qm ef q

q

Décroissance en q plus rapide que pour les RX

neutrons

( ) ( )el

at atv r V r0

( )n ee n nV

( ) ( )at

n

nv r b r

( )n

at nf q b

Indépendant de q

62Ni



2.3.6 questions diverses

Peut-on faire diffracter d’autres particules?

OUI Par exemple les atomes d’Hélium

Mais uniquement sensible à la surface

Peut-on voir le magnétisme?

OUI Les RX, les neutrons et les électrons sont

sensibles au magnétisme

ET La maille magnétique n’est pas nécessairement

la même que la maille « atomique »

Cubique centré Cubique simple



Onde de spin dans le chrome: parfaitement visible dans le réseau réciproque par

rayonnement synchrotron

0

0

220

20L a q

a


Comment faire si il y’a plusieurs atomes par maille?


0 ,( ) ( )at i i

i

v r v r

1

2

3

4

t

. 3

0( ) ( )i q rf q e v r d r

.

,( ) ( )ii q

at i

i

f q e f q

.( ) ii q

at

i

f q e

Si un seul type d’atomes


Que se passe-t-il si je ne prends pas la maille élémentaire


g ha kb

a

b

( ) 2 ( ) si pair( ) ( )(1 )

0 si impair

ati h k

at

f q h kf q f q e

h k

12( )a b . ( )g h k

a

b Réseau Carré

RR

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