L’espace réciproque

• Espace des vecteurs d’onde• Espace de Fourier

• Inverse• Orthogonal

Réseau réciproqueDéfinition

géométrique• Introduit par Bravais

• Repris par Ewald (1917)• Définition des vecteurs de base

• avec v=(a,b,c) volume de la maille• Définition équivalente (2D, 3D...)

• a* est orthogonal à b et c mais pas en gal à a• v*=(a*,b*,c*)=(2 )p 3/v

vvv

bac

acb

cba

2*,2*,2*

2.*0.*0.*

0.*2.*0.*

0.*0.*2.*

cccbca

bcbbba

acabaa

• Espace réciproque : espace vectoriel base (a*,b*,c*)• Réseau réciproque : ensemble des points

*** cbaQ lkhhkl

RD

RR

ab

b* a*

h,k,l entiers

Définition par les ondes planes

• Q appartient au réseau réciproque ssi :

me uvwuvwi

uvwuvw 2.1. RQRR RQ

• Réseau réciproque

• Ensemble des vecteur q des ondes planes eiq.r ayant une périodicité du réseau direct

• Si mwlvkuhuvwhkl 2)(2.RQ

• Si on pose

entiers.

muvwuvw 2.RQR *** cbaQ zyxhkl

*** cbaQ lkhhkl

zy,x,zyx, hklhklhkl 2.,2.2. cQbQaQ

*** cbaQ lkhhkl

q q

Propriétés du RR

• Symétrie• Le réseau réciproque a

la même symétrie ponctuelle que le réseau direct

• Soit O une opération de symétrie du RR. On veut montrer

• Dualité• Le réseau réciproque du RR est le réseau direct :

• RR du RR formé des points R tel que

• Si R=Ruvw la relation est vérifiée• Réciproquement si R=xa+yb+zc vérifie xu+yv+zw=m, x, y et z sont entiers

b* a*RD RR

muvwhkluvw 2.)( RQOR

mw'v'u'hkluvwhkl

uvwhkluvwhkl

2.)(.

).)((.)(1

1

RQROQ

RQOORQO

ab

mhklhkl 2.RQQ

• Næuds d’un réseau regroupés en plans équidistants :

Les plans réticulaires• Famille de plans forme un feuilletage du

réseau

Plans réticulaires, rangées

[100]

[001]

[010]

<100>• Rangée : file infinie de noeuds dans la direction Ruvw

• Notation [uvw], u, v, w premiers entre eux • Les directions équivalentes par symétrie sont notées

<uvw>

Plans réticulaires

c

1/3

1/4 1/2b

a

lkh

cba,,

h, k, l indices de Miller• Famille de plans (h,k,l) • Familles de plans équivalents par symétrie {h,k,l}

dhkl

• Distance entre plan dhkl

• Si N(hkl) est la densité de næuds par plans, N(hkl)/dhkl est la densité volumique • Les plans les plus denses sont les plus distants• Les facettes des cristaux sont des plans réticulaires de faibles indices de Miller (surface)

Le plan réticulaire le plus proche de l’origine coupe les axes de la maille en :

(0,0,1) (3,2,4)

Relation des plans réticulaires avec le RR

Q010=d*

Q020

d010=2p/Q0102p/Q020

• Le plan réticulaire le plus proche de l’origine satisfait :

• Il coupe les axes en : h, k, l indices de Miller (premiers entre eux)

À chaque famille de plans réticulaires dcorrespond

Une rangée du réseau réciproque de pas 2p/d• Cette rangée est orthogonale à la famille de plan

• Le plus petit vecteur de cette rangée à pour module 2p/d

𝒉𝒖+𝒌𝒗+𝒍𝒘=𝟏𝒂h

,𝒃𝑘

,𝒄𝑙

𝒅=𝟐𝝅 /𝑸

𝑹𝑢𝑣𝑤

est un vecteur du RR

ne peut pas être plus petit, c’est le pas de la rangée

indices de Miller :

𝑑

?

𝒏

Distance interréticulaire dhkl

hklhkl Q

d

2

• Cas général

*βcos*c*lha*cos*c*2klb*cos*b*hka*cl*bk*ahd

222222hkl22

2

2)()ca

lhkk(h34

ad

222hkl

222hkllkh

ad

• Système hexagonal :

60*,*,c

2πc

a3

4*b*a

• Système cubique :

90***,*a

2*b*a c

• dhkl distance entre plan (hkl)

Qhkl plus petit vecteur de la rangée

Cas des mailles multiples

• Exemple d’une maille centrée

• La condition implique

1) h, k ,l entiers (Réseau réciproque du réseau (a,b,c))2)

• Condition d’existence

cbaR

cbaR

0.5)w0.5)v0.5)u

wvu

uvw

uvw

(((

nuvwuvw 2.RQR

2nlkh

I

F

PIFA nlk

h, k ,l

nlkh

2

parité m̂

2

PFIA

Conditions

abA

B

b* a*

A*

B*

a

a*

• Réseau hexagonal• A = a-b; B=a+b; C=c

*)*(2

1

2

)(2

22*

*)*(2

1

2

)(2

22*

abbacAC

B

bacbaCB

A

vv

vv

2nkh

• Définition• Fonction ou distribution

• Le réseau direct est décrit par la distribution « densité de nœuds » :

La transformée de Fourier du RD

• La TF du réseau direct est le réseau réciproque

« densité de nœuds » du RR

• L’espace réciproque est la TF de l’espace direct

𝑆 (𝒓 )=∑𝑢𝑣𝑤

𝛿(𝒓−𝑹𝑢𝑣𝑤)

𝑇𝐹 (𝑆 (𝒓 ) )=𝐹 (𝒒 )=∫∑𝑢𝑣𝑤

𝛿(𝒓 −𝑹𝑢𝑣𝑤)𝑒−𝑖𝒒 ∙𝒓 𝑑3𝒓

𝐹 (𝒒 )=𝑣∗∑h𝑘𝑙

𝛿(𝒒−𝑸h𝑘𝑙)

¿ ∑𝑢𝑣𝑤

𝑒−𝑖𝒒 ∙𝑹𝑢𝑣𝑤=∑𝑢

𝑒− 2𝑖 𝜋 𝑞𝑥𝑢∑𝑣

𝑒−2 𝑖 𝜋 𝑞𝑦 𝑣∑𝑤

𝑒− 2𝑖 𝜋 𝑞𝑧𝑤

¿∑h

𝛿 (𝑞𝑥− h )∑ 𝛿 (𝑞𝑦 −𝑘 )∑𝑙

𝛿 (𝑞𝑧− 𝑙)

∑h

𝛿 (𝑞−h𝑇 )= 1𝑇 ∑

𝑛=− ∞

+∞

𝑒− 2𝑖 𝜋 𝑛 𝑞

𝑇

Série de Fourier duPeigne de Dirac

Propriétés de la TF

uvwuvw

hklhkl vTF )())((1 RrQq

• Dualité du RR et du RD

• Symétrie des espaces directs et réciproques• Si O est un opérateur de symétrie dans ED…

…O est un opérateur de symétrie dans l’ER

)(')'('))'((

)()())((

3'.3'.

3)(.3).( 1

qFrrrrO

rrrrq

rqrq

rOqrq

∫∫∫∫

deSdeS

deSdeSOF

ii

iiO

• Produits de convolution• Le produit de convolution de f et g est f * g

∫ udurur 3)()())(( gfgf

)()()2()(

)()()(3 gTFfTFπfgTF

gTFfTFgfTF

Application aux objets de basse dimension

2p/a

a

a

• 1D : chaîne )()u()(S

u// rarr

• 2D : plan )()()( // rbarr

uvw

vuS

hk

yx kqhqF )()()(q

h

x hqF )()(q

** baq yx qq

*aq xq

Ensemble de plans parallèles

Réseau de tiges

a*

b b*

a*

Lien avec la diffraction• Relation de Bragg• Diffraction sur des plans réticulaires d

md sin2

Vecteur de diffusion

id kkq

• q normal aux plans

md

2

sin4

sin2 kq

Diffraction

q appartient au RR(à la rangée plans)

ki kdqq

d

nqd

2 nq

d

22