Statistiques, cours, 2nde

F.Gaudon

http://mathsfg.net.free.fr

1er octobre 2014

1 Vocabulaire et notations

2 Fréquences, séries cumulées

3 Caractéristiques statistiquesMoyenneétendueMédianeQuartiles

Vocabulaire et notations

Définitions et notations :On considère une série statistique.• Si la série statistique comporte p valeurs distinctes

avec p ∈ N(c’est à dire p entier naturel) , les valeursdu caractère étudiées sont notées xi pour i entiernaturel allant de 1 à k . Le nombre d’individus pour lavaleur xi , c’est à dire l’effectif pour la valeur xi est noténi .• Si la série est regroupée en p classes [ai ; ai+1[ pour i

allant de 1 à p, où ai sont des réels tels que ai < ai+1,on prend pour valeurs les centres des classesci =

ai +ai+12 pour i allant de 1 à p.

• L’effectif total N est alors égal à N = n1 + n2 + ... + np

ce que l’on note aussi∑i=p

i=1 ni = N.

Exemple :On étudie la hauteur des plantes dans un champ de tulipes. La

population est l’ensemble des tulipes. Un individu est donc unetulipe. Le caractère étudié est la hauteur des tulipes. C’est uncaractère quantitatif. Les valeurs du caractères xi sont lesdifférentes hauteurs de tulipes relevées. Il peut y avoir pour unehauteur x1 = 30 cm un effectif de n1 = 3 tulipes qui ont cettehauteur. L’effectif total N est le nombre total de tulipes. On peutregrouper les valeurs en classes, par exemple la classe destulipes qui ont une hauteur dans l’intervalle [30; 35[. Le centrede l’intervalle est alors

c1 = 30+352 = 32,5.

Exemple :On étudie la hauteur des plantes dans un champ de tulipes. La

population est l’ensemble des tulipes. Un individu est donc unetulipe. Le caractère étudié est la hauteur des tulipes. C’est uncaractère quantitatif. Les valeurs du caractères xi sont lesdifférentes hauteurs de tulipes relevées. Il peut y avoir pour unehauteur x1 = 30 cm un effectif de n1 = 3 tulipes qui ont cettehauteur. L’effectif total N est le nombre total de tulipes. On peutregrouper les valeurs en classes, par exemple la classe destulipes qui ont une hauteur dans l’intervalle [30; 35[. Le centrede l’intervalle est alors c1 = 30+35

2 = 32,5.

Fréquences, séries cumulées

Définition :On appelle fréquence fi de la série pour la valeur xi lenombre réel défini par

qui s’exprime aussi en pourcentage en multipliant par 100.

Définition :On appelle fréquence fi de la série pour la valeur xi lenombre réel défini par

fi =ni

qui s’exprime aussi en pourcentage en multipliant par 100.

Exemple :Dans l’exemple des tulipes, s’il y a 3 tulipes de taille 30 cm

parmi un effectif total de 65 tulipes, la fréquence de la valeur 3est f =

365 ≈ 0,046 soit 4,6 % environ.

Exemple :Dans l’exemple des tulipes, s’il y a 3 tulipes de taille 30 cm

parmi un effectif total de 65 tulipes, la fréquence de la valeur 3est f = 3

65 ≈ 0,046 soit 4,6 % environ.

Définition :On appelle :• effectif cumulé croissant (ECC) pour la valeur xi , la

somme des effectifs des valeurs inférieures ou égalesà xi ;

• fréquence cumulée croissante (FCC) pour la valeur xi ,la somme des fréquences des valeurs inférieures ouégales à xi .

Définition :On appelle :• effectif cumulé croissant (ECC) pour la valeur xi , la

somme des effectifs des valeurs inférieures ou égalesà xi ;• fréquence cumulée croissante (FCC) pour la valeur xi ,

la somme des fréquences des valeurs inférieures ouégales à xi .

Exemple :On a relevé le prix de la baguette de pain dans différentes

boulangeries :

Prix en euros (xi ) 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87Nombre de boulangeries (ni ) 52 40 35 28 23 2

Fréquences (fi )

5280 ≈ 0, 289 0,222 0,194 0,155 0,128 0,011

Effectifs cumulés croissants 52 92 127 155 178 180

boulangeries :

Fréquences (fi )5280 ≈ 0, 289 0,222 0,194 0,155 0,128 0,011

Effectifs cumulés croissants

52 92 127 155 178 180

boulangeries :

Fréquences (fi )5280 ≈ 0, 289 0,222 0,194 0,155 0,128 0,011

Effectifs cumulés croissants 52 92 127 155 178 180

Caractéristiques statistiques

Moyenne

Définition :

• Soit xi les p valeurs distinctes d’une série statistique et niles effectifs pour chaque valeur. La moyenne noté x̄ estdonnée par :

x̄ =n1x1 + n2x2 + ... + npxp

n1 + n2 + ... + np

ce qui s’écrit aussi x̄ =Σi=p

i=1ni xi

Σi=pi=1ni

• Dans le cas d’une série où les effectifs des p valeurs xisont égaux à 1, la moyenne est donc :

x̄ =x1 + x2 + .... + xp

Moyenne

Définition :

x̄ =n1x1 + n2x2 + ... + npxp

n1 + n2 + ... + np

i=1ni xi

Σi=pi=1ni

x̄ =x1 + x2 + .... + xp

Moyenne

Définition :

x̄ =n1x1 + n2x2 + ... + npxp

n1 + n2 + ... + np

i=1ni xi

Σi=pi=1ni

x̄ =x1 + x2 + .... + xp

Moyenne

Définition :

x̄ =n1x1 + n2x2 + ... + npxp

n1 + n2 + ... + np

i=1ni xi

Σi=pi=1ni

x̄ =x1 + x2 + .... + xp

Moyenne

Exemple :

Dans l’exemple du prix du pain, la moyenne est donnée par :

x̄ = 52×0,82+40×0,83+35×0,84+28×0,85+23×0,86+2×0,8752+40+35+28+23+2 ≈ 0,84

Moyenne

Exemple :

Dans l’exemple du prix du pain, la moyenne est donnée par :x̄ = 52×0,82+40×0,83+35×0,84+28×0,85+23×0,86+2×0,87

52+40+35+28+23+2

≈ 0,84

Moyenne

Exemple :

Dans l’exemple du prix du pain, la moyenne est donnée par :x̄ = 52×0,82+40×0,83+35×0,84+28×0,85+23×0,86+2×0,87

52+40+35+28+23+2 ≈ 0,84

Moyenne

Propriété :On considère la distribution des fréquences d’une série sta-tistique c’est à dire l’ensemble des fréquences des valeursde la série :

x1 x2 . . . xpf1 f2 . . . fp

Alors, la moyenne de la série statistique est donnée par :

x̄ = f1x1 + f2x2 + ... + fpxp

Moyenne

Propriété :On considère la distribution des fréquences d’une série sta-tistique c’est à dire l’ensemble des fréquences des valeursde la série :

x1 x2 . . . xpf1 f2 . . . fp

Alors, la moyenne de la série statistique est donnée par :

x̄ = f1x1 + f2x2 + ... + fpxp

Moyenne

Preuve :

On a :

x̄ = n1x1N + n2x2

N + ... +npxp

N = n1N x1 + n2

N x2 + ... +npN xp

On obtient le résultat en remplaçant niN par fi pour tout i allant

de 1 à p.

Moyenne

Preuve :

On a :x̄ = n1x1

N + n2x2N + ... +

npxpN =

n1N x1 + n2

N x2 + ... +npN xp

de 1 à p.

Moyenne

Preuve :

On a :x̄ = n1x1

N + n2x2N + ... +

npxpN = n1

N x1 + n2N x2 + ... +

npN xp

de 1 à p.

Moyenne

Preuve :

On a :x̄ = n1x1

N + n2x2N + ... +

npxpN = n1

N x1 + n2N x2 + ... +

npN xp

de 1 à p.

Moyenne

Exemple :

On reprend l’exemple du prix du pain. On a :f1x1 + f2x2 + . . . + fpxp

≈ 0,84

Moyenne

Exemple :

On reprend l’exemple du prix du pain. On a :f1x1 + f2x2 + . . . + fpxp ≈ 0,84

étendue

Définition :L’étendue d’une série statistique est

la différence entre laplus grande valeur et la plus petite valeur de la série.

Exemple :Dans l’exemple du prix du pain, l’étendue est

0,87− 0,82 = 0,05 soit 5 centimes d’euros.

étendue

Définition :L’étendue d’une série statistique est la différence entre laplus grande valeur et la plus petite valeur de la série.

étendue

Définition :L’étendue d’une série statistique est la différence entre laplus grande valeur et la plus petite valeur de la série.

Médiane

Définition :La médiane est la valeur du caractère

qui sépare la sériestatistique ordonnée en deux sous séries de même effectif.

Médiane

Définition :La médiane est la valeur du caractère qui sépare la sériestatistique ordonnée en deux sous séries de même effectif.

Médiane

Méthode de détermination :

• Dans le cas d’un caractère discret d’effectif total N impair,la médiane est la valeur de rang

N+12 ;

• dans le cas d’un caractère discret d’effectif total N pair, lamédiane est la demi-somme des valeurs de rang N

2 et dela suivante.

Médiane

• Dans le cas d’un caractère discret d’effectif total N impair,la médiane est la valeur de rang N+1

• dans le cas d’un caractère discret d’effectif total N pair, lamédiane est la demi-somme des valeurs de rang N

2 et dela suivante.

Médiane

2 ;• dans le cas d’un caractère discret d’effectif total N pair, la

médiane est la demi-somme des valeurs de rang

N2 et de

la suivante.

Médiane

2 ;• dans le cas d’un caractère discret d’effectif total N pair, la

médiane est la demi-somme des valeurs de rang N2 et de

la suivante.

Médiane

Exemples :Série avec effectifs égaux à 1 : Soit la série statistique dont les

valeurs sont 2 ; 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 7 ; 8 ; 9.L’effectif total est

N = 8. Il est pair donc la médiane est lademi-somme entre les valeurs de rang 4 et 5.La médiane est donc 5+7

2 = 6.

Médiane

valeurs sont 2 ; 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 7 ; 8 ; 9.L’effectif total est N = 8.

Il est pair donc la médiane est lademi-somme entre les valeurs de rang 4 et 5.La médiane est donc 5+7

2 = 6.

Médiane

valeurs sont 2 ; 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 7 ; 8 ; 9.L’effectif total est N = 8. Il est pair donc la médiane est lademi-somme entre les valeurs de rang

4 et 5.La médiane est donc 5+7

2 = 6.

Médiane

valeurs sont 2 ; 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 7 ; 8 ; 9.L’effectif total est N = 8. Il est pair donc la médiane est lademi-somme entre les valeurs de rang 4 et 5.

La médiane est donc 5+72 = 6.

Médiane

valeurs sont 2 ; 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 7 ; 8 ; 9.L’effectif total est N = 8. Il est pair donc la médiane est lademi-somme entre les valeurs de rang 4 et 5.La médiane est donc

5+72 = 6.

Médiane

valeurs sont 2 ; 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 7 ; 8 ; 9.L’effectif total est N = 8. Il est pair donc la médiane est lademi-somme entre les valeurs de rang 4 et 5.La médiane est donc 5+7

2 = 6.

Médiane

Exemples :

Série avec effectifs non tous égaux à 1 : on fait une étude sur leprix de la baguette de pain dans différentes boulangeries. Onobtient le tableau d’effectifs suivant :

Prix en euros (valeurs xi ) 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87Nombre de boulangeries (effectifs ni ) 52 40 35 28 23 2

Effectif cumulés croissants 52 92 127 155 178 180

Il y a 6 valeurs distinctes mais 180 valeurs au total. L’effectiftotal est N = 180, il est donc pair. La médiane est donc lademi-somme entre les valeurs de rang 90 et 91.D’après le tableau des effectifs cumulés, les valeurs de rang 90et 91 sont 0,83 et 0,83Donc la médiane est 0,83.

Médiane

Exemples :

Il y a 6 valeurs distinctes mais

180 valeurs au total. L’effectiftotal est N = 180, il est donc pair. La médiane est donc lademi-somme entre les valeurs de rang 90 et 91.D’après le tableau des effectifs cumulés, les valeurs de rang 90et 91 sont 0,83 et 0,83Donc la médiane est 0,83.

Médiane

Exemples :

Il y a 6 valeurs distinctes mais 180 valeurs au total. L’effectiftotal est

N = 180, il est donc pair. La médiane est donc lademi-somme entre les valeurs de rang 90 et 91.D’après le tableau des effectifs cumulés, les valeurs de rang 90et 91 sont 0,83 et 0,83Donc la médiane est 0,83.

Médiane

Exemples :

Il y a 6 valeurs distinctes mais 180 valeurs au total. L’effectiftotal est N = 180, il est donc pair.

La médiane est donc lademi-somme entre les valeurs de rang 90 et 91.D’après le tableau des effectifs cumulés, les valeurs de rang 90et 91 sont 0,83 et 0,83Donc la médiane est 0,83.

Médiane

Exemples :

Il y a 6 valeurs distinctes mais 180 valeurs au total. L’effectiftotal est N = 180, il est donc pair. La médiane est donc lademi-somme entre les valeurs de rang

90 et 91.D’après le tableau des effectifs cumulés, les valeurs de rang 90et 91 sont 0,83 et 0,83Donc la médiane est 0,83.

Médiane

Exemples :

Il y a 6 valeurs distinctes mais 180 valeurs au total. L’effectiftotal est N = 180, il est donc pair. La médiane est donc lademi-somme entre les valeurs de rang 90 et 91.

D’après le tableau des effectifs cumulés, les valeurs de rang 90et 91 sont 0,83 et 0,83Donc la médiane est 0,83.

Médiane

Exemples :

Il y a 6 valeurs distinctes mais 180 valeurs au total. L’effectiftotal est N = 180, il est donc pair. La médiane est donc lademi-somme entre les valeurs de rang 90 et 91.D’après le tableau des effectifs cumulés, les valeurs de rang 90et 91 sont

0,83 et 0,83Donc la médiane est 0,83.

Médiane

Exemples :

Il y a 6 valeurs distinctes mais 180 valeurs au total. L’effectiftotal est N = 180, il est donc pair. La médiane est donc lademi-somme entre les valeurs de rang 90 et 91.D’après le tableau des effectifs cumulés, les valeurs de rang 90et 91 sont 0,83 et 0,83Donc la médiane est 0,83.

Quartiles

Définition :

• Le premier quartile noté Q1 de la série statistique est

la plus petite valeur telle qu’au moins 25 % desvaleurs de la série lui soient inférieures ou égales ;• le troisième quartile noté Q3 de la série statistique est

la plus petite valeur telle qu’au moins 75 % desvaleurs de la série lui soient inférieures ou égales.

Quartiles

Définition :

• Le premier quartile noté Q1 de la série statistique estla plus petite valeur telle qu’au moins 25 % desvaleurs de la série lui soient inférieures ou égales ;

• le troisième quartile noté Q3 de la série statistique estla plus petite valeur telle qu’au moins 75 % desvaleurs de la série lui soient inférieures ou égales.

Quartiles

Définition :

• Le premier quartile noté Q1 de la série statistique estla plus petite valeur telle qu’au moins 25 % desvaleurs de la série lui soient inférieures ou égales ;• le troisième quartile noté Q3 de la série statistique est

Quartiles

Définition :

Quartiles

Définition :

Quartiles

Détermination pratique :On suppose la série ordonnée dans l’ordre croissant des

valeurs du caractère. Soit N l’effectif total.• Si N

4 est un entier alors Q1 est la valeur de rang N4 et Q3

est la valeur de rang 3N4 ;

• si N4 n’est pas un entier, alors Q1 est la valeur dont le rang

suit le rang N4 et Q3 est la valeur dont le rang suit le rang

Quartiles

Détermination pratique :On suppose la série ordonnée dans l’ordre croissant des

valeurs du caractère. Soit N l’effectif total.• Si N

4 est un entier alors Q1 est la valeur de rang N4 et Q3

est la valeur de rang 3N4 ;

• si N4 n’est pas un entier, alors Q1 est la valeur dont le rang

suit le rang N4 et Q3 est la valeur dont le rang suit le rang

Quartiles

Exemple :

L’effectif total N est 180.

N4 = 45 donc le premier quartile est la valeur de rang 45 soitQ1 = 0,82.3N4 = 135 donc le troisième quartile est la valeur de rang 135

soit Q3 = 0,85.

Quartiles

Exemple :

L’effectif total N est 180.N4 = 45 donc le premier quartile est la valeur de rang 45 soit

Q1 = 0,82.3N4 = 135 donc le troisième quartile est la valeur de rang 135

soit Q3 = 0,85.

Quartiles

Exemple :

L’effectif total N est 180.N4 = 45 donc le premier quartile est la valeur de rang 45 soitQ1 = 0,82

.3N4 = 135 donc le troisième quartile est la valeur de rang 135

soit Q3 = 0,85.

Quartiles

Exemple :

L’effectif total N est 180.N4 = 45 donc le premier quartile est la valeur de rang 45 soitQ1 = 0,82.3N4 = 135 donc le troisième quartile est la valeur de rang 135

Q3 = 0,85.

Quartiles

Exemple :

L’effectif total N est 180.N4 = 45 donc le premier quartile est la valeur de rang 45 soitQ1 = 0,82.3N4 = 135 donc le troisième quartile est la valeur de rang 135

soit Q3 = 0,85.

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