Sur Les Operateurs Lineaires Qui Transforment la Boule Unite D’Un Espace de Banach En Une Partie...

ISRAEL JOURNAL OF MATHEMATICS, Vol. 22, Nos. 3--4, 1975

SUR LES OPERATEURS LINEAIRES QUI TRANSFORMENT LA BOULE UNITE D'UN

ESPACE DE BANACH EN UNE PARTIE LATTICIELLEMENT BORNEE D'UN

ESPACE DE BANACH RETICULE

PAR

DIDIER R O B E R T

ABSTRACT

L'object de cette note est de r6pondre h u n probl~me pos6 par N. J. Nielsen, Dissertationes Math. 109 (1973). Cette rgponse est la suivante: X grant un espace de Banach r6ticul6 minimal, E un espace de Banach tel que I ' image de la boule unit6 par tout op6rateur lingaire continu de E dans X soit latticiellement bornge. Alors E est n6cessairement de dimension finie.

1. Notations et rappels

Tous les espaces vectoriels consid6r6s sont rgels. Soit (X, <= ) un espace

vectoriel r6ticul6. On pose x v y = Sup(x ,y) et x A y = In f (x ,y ) pour x et

y E X . O n n o t e : x + - - x v 0 ; x - = - ( x a 0 ) ; I x l = x + + x - - O n d i r a q u e d e u x

616ments x et y de X sont 6trangers si et seulement si on a Ix [ ̂ I Y I = 0.

S i x - < y on pose: [x,y]={z:x<-z<-y}.

1.1. DEFINITIONS.

a) Un espace de Banach r6ticul6 est un espace de Banach (X, II" IIx) off X est

un espace vectoriel r6ticul6 v6rifiant: Ix I -<- I Y I entraine: II x ttx -<-II r IIx. b) Un espace de Banach r6ticul6 X est dit minimal si pour toute famiUe

(xL~A d'616ments de X filtrante inf6rieurement et d6croissante on a: Inf,~A X -----

0 entraine que lim~A II x~ II -- 0. c) Un espace de Banach r6ticul6 X est dit it-minimal si l 'on a la propri6t6 b)

pour toute suite d'616ments de X.

Received June 11, 1975

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Vol. 22, 1975 OPERATEURS LINEAIRES 355

1.2. REMARQUES.

a) Minimal entra/ne complet (pour l'ordre).

b) Pour d'autres formulations 6quivalentes de la minimalit6 voir [3].

c) tr-minimal n'entra/ne pas cr-complet.

d) Tout espace de Banach r6ticul6 faiblement complet

s6quentiellement faiblement complet) est minimal (resp. tr-minimal).

(resp.

1.3. NOTATIONS. l" 6tant un ensemble, on d6signe par Co(F) l 'espace de

Banach des fonctions r6elles f sur F v6rifiant: pour tout e > 0 ,

{y E F: I [ (y) I > e } est fini. Co(F) est muni de la norme: II[ IIc~r~ = Supper If(Y)I.

On pose Co = Co(N*). Co(F) est un espace de Banach r6ticul6 minimal pour

l 'ordre naturel.

Dans toute la suite de cet article X d6signe un espace de Banach r6ticul6,

(r-complet et o--minimal, de dimension infinie.

Si {Xk}k~ est une suite de X on pose ¢,{xk}= llY.~-,x~ }Ix.

1.4. THEOREME ([7], prop. 7), I! existe un ensemble F tel que X soit

isomorphe (comme espace norm~ et comme treillis) ?l Co(F) si et seulement si

pour toute suite {xk }~ ~ d'dl~ments non nuls, deux d deux ~trangers, de X on a :

Sup rn < + oo. n~,-i

E et F 6tant deux espaces de Banach, on d6signe par BE la boule unit6 de E

et par B ( E , F ) l 'espace de Banach des applications lin6aires born6es de E

dans F.

Les notations qui suivent sont does h N. J. Nielsen [4]. Nous les rappelons

pour la commodit6 du lecteur.

1.5. DEFINITIONS.

a) On dit que T E B ( E , X ) est X-born6 s'il existe x ~ X , x>=O tel que

T(BE) C [ - x, x]. L'espace des op6rateurs X-born6s est not6 ~×(E, X) . C'est

un espace de Banach pour la norme: bx(T)=In f { l [x l [ ; x>=O, T ( B s ) C

[ - x , x ] } .

b) On dit que T E B(E , F) est X-normable si: S o T E ~x (E . X ) pour tout

S ~ B(F, X).

L'espace des op6rateurs X-normables de E dans F est not6 Sex(E, F). C'est

un espace de Banach pour la norme:

s~(T) -- S u p { b x ( S o T): S ~ n ( f , X ) , II s II ~ 1).

356 D. ROBERT IsraelJ. Math.,

~x est un id6al d 'op6rateurs, norm6 et complet au sens de Pietsch.

c) Soit {Xk}k~-, une suite basique inconditionnelle de X.

(c,) On dit que T E B(E , F) est {xk}-sommant s'il existe K > 0 telle que:

(1) k = l y E R E, k ~ l

pour toute suite {yk}~r de E v6rifiant:

y E B E ' k~ l X

L'espace not6 I I ~ ( E , F) des op6rateurs {xk}-sommants de E dans F est un

espace de Banach pour la norme:

]'-I (T) = Inf{K > 0, K v6rifie (1)}. {xk}

(c2) Soient E ' et F ' les duals topologiques de E et F. Un op6rateur

T E B ( F ' , E ' ) est dit W*-{xk}-sommant s'ii existe K > 0 telle que:

y ~ B F

pour route suite {Y~,}k>l de F ' v6rifiant:

• < y ,y~>xk x

k = l

<oo.

N w * [ F , t On obt ient ainsi un espace de Banach , , ~ , E ' ) muni de la norme naturel le

Soit {x~}k~, une suite basique inconditionnelle de X. On note par [xk] le

sous-espace de X engendr6 par {xk: k _-> 1}.

1.6. THEOREME ([4], th6or6mes (4.2) et (4.4)).

a) Si T E B (E, F) alors Tes t normable par [xk ] si et seulement si le transposd

T' de T e s t W*-{xk}-sommant.

On a de plus: W *

stud(T) = ]-I (T ' ) • {xk}

b) Si T E ~ x ( E , F ) et si {Xk}k~l est une suite de X d'~ldments deux ~ deux

dtrangers on a alors :

TE,5"~,,,a(E,F) et s t~(T)<=sx(T) .

Vol. 22, 1975 OPERATEURS LINEAIRES 357

2. R6sultat principal et cons6quence

2.1. THEOREME. Soi t {Xk}k~ une suite bas ique incondit ionnel le de X et soit

E un espace de B a n a c h de d imens ion infinie. Si l~ E lIt~,j(E, E ) alors

Sup ~', < + ~ .

Pour d~montrer ce th6or~me on utilise le r~sultat 61~mentaire:

2.2. LEMME. Soient {x,, . . ., x , } n-~l~ments de X l in$airement

ind~pendants , X , = [x~ ], X " le dual de Xn et {x * , . . . , x*} la base duale de X, . On

a alors: quel que soit ( y ~ , - . . , y ~ ) ~ E ~

DEMONSTRATION. Soit f E BE,, posons: z = 5 '~(yk, f)xk.

Ii existe u' E X ' , II u ' II,,~ = 1 e t Jl z IIx = <z, u'> d'o~,

k = l k ~ l E "

Or:

u ' = ~ (xk, u ' )x* d'o~ l'in6galit~: k = l

Sup (y~, f) xk _-< Sup a~yk : OtkX I <= 1 . I E la~, k ~ l it--! X,~

Inversement soit (a , , . •., a . ) E R" tel que II ~ - , a~x ~ I1~:--< 1,

Posons

On a:

k - I k ~ l

I~,_, o~ ~,~ ,> I ~ ,~u, o,>, o,, u,, ~ II k_,~ <,~,>x, lr ce qui d6montre le lemme.

358 D. ROBERT Israel J. Math.,

DEMONS~Aa'IOr~ DE 2.1. Par hypoth~se , il exis te K > 0 telle que:

pour tout (y , , . • . , y , ) E E " et pour tout n _-> 1.

p o s o n s zk = x~/llx~ II, On a:

k = l X f E B E, k ~ l X

(4)

d'ofl (5)

of 1

X ' = [zk: l - < k - < n ] .

D ' ap r6s le l e m m e de D v o r e t s k y - R o g e r s [1] il exis te une suite {Yk}k=-, de E

teile que II yk II-- 1 et

/3ky~ =< 2 kffil

pour tout (/3, - . ., /3.) E R" et pour tout n => 1. D'oO

(6) 1[~= Akzkl <=2K Sup{(~=,(Akotk)2) "2: l~. akz, l ~ l }.

L a suite {z~} 6tant born6e , il exis te une cons t an te C > 0 ind6pendan te de n

telle que:

su l l c} l ~ k ~ i h k ~ l '

d'ofi (6) en t ra ine :

(7)

Or on a:

(2, A,z~ <-2KC = A Q ' ~ 2 p o u r t o u t ( A , , . . . , A . ) ~ R ~.

Sup (~=1flkZk," ~t OtkZ~ ) k - - I

Vol. 22, 1975

ce qui entraine:

(8)

OPERATEURS LINEAIRES 359

Compte tenu de (8), l'in6galit6 (6) avec ;t~ = 1, k = 1 , . . . , n, donne:

~ zk < 4K2C k = l

Le th6or~me est ainsi d6montr6.

2.3. COROLLAtRE. ~x(E, X ) = B(E, X ) si et seulement si dim E < + oo.

DEMONSXRATmN. Soit E un espace de Banach de dimension infinie v6rifiant ~ x ( E , X ) = B ( E , X ) . On a alors: 6ex(E,E)= B(E ,E) . Soit {Xk}k~l une suite

d'616ments non nuls deux h deux 6trangers de X.

D'apr6s le th6or~me 1.6 il en r6sulte que l 'on a:

W*

1E E 5etx~(E,E) et 1~, ~ I - I ( E ' , E ' ) . ~xk )

D'apr6s 2.1 on a donc:

Par cons6quent d'apr~s 1.4, X est isomorphe g Co(F). Or il existe une suite

{q~j}j~, de formes lin6aires continues sur E v6rifiant: II II = 1 et lim~÷® ~oj(x) = 0 pour tout x ~ E [2]. I! r6sulte ais6ment de cette propri6t6 que l 'on a Nc~r~ (E, Co(F)) ¢ B(E, Co(F)). On obtient donc une contradiction.

2.4. REMAR0UE. Pour X = l p , l_<-p < + ~ le Th6or~me 2.1 redonne le th6or~me classique de Dvoretski-Rogers [1].

Pour {xk }k~-~ suite basique symm6trique le Th6or~me 2.1 a 6t~ obtenu dans [6] par une m6thode analogue.

Tout espace de Banach muni d 'une base inconditionnelle 6tant minimal, pour l 'ordre naturel, le r6sultat est donc 6tendu aux suites basiques

inconditionnelles.

BIBLIOGRAPHIE

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UNIVERSITE DE NANTES NANTES, FRANCE