TD 3 : Cin´ematique du solide Grue portuaire · Universit´e Pierre et Marie Curie Ann´ee...

Universite Pierre et Marie Curie Annee universitaire 2006-2007

LA 201 - Mecanique des solides indeformables

TD 3 : Cinematique du solide

Grue portuaireLa plupart des grues portuaires poursuivent le meme but : limiter et eviter le levage des charges.L’objectif, une fois la charge sortie de la cale du navire, est de translater celle-ci, horizontale-ment, sans levage jusqu’aux quais, ce qui diminue les depenses energetiques.

L’etude porte sur le modele le plus repandu, les grues dites a flechette. La grue proposee(capacite 50kN) se compose d’une tourelle (0) pivotant sur le bati (7) mobile en translationsur des rails.

Fig. 1 – Photo de grues portuaires

Le mecanisme de la grue se compose d’une fleche (1) articulee en E sur la tourelle et en Bsur la flechette (2). La biellette (3) articulee en D et A sur (0) et (2) assure le maintien. Lamanœuvre de la fleche est assuree par un verin hydraulique (5 + 6).

Un contrepoids (10) assure l’equilibrage de l’ensemble en compensant le poids de la fleche.La charge (8) de centre de gravite G peut monter ou descendre grace au cable (4) manœuvreen F par un treuil situe dans la tourelle. Le cable coulisse librement grace aux poulies placeesen B et C.

Les liaisons en A, B, C, D, E et F sont des liaisons pivots de centre de meme nom.

Le mecanisme de la grue peut etre modelise par les trois solides : fleche (1), flechette (2) etbiellette (3). Ces solides sont contenus dans le plan (O,−→x 0,

−→y 0) d’un repere orthonorme directR0 (O,−→x 0,

−→y 0,−→z 0) lie a la tourelle (0) supposee immobile.

– La fleche (1) est articulee avec (0) par une liaison pivot d’axe (E,−→z 0). On definit le

repere R1 (E,−→x 1,−→y 1,

−→z 0) lie a (1), tel que−−→EB = a−→x 1 et (−→x 0,

−→x 1) = (−→y 0,−→y 1) = θ(t)

est l’angle mesure autour de −→z 0.– La flechette (2) est articulee avec (1) par une liaison pivot d’axe (B,−→z 0). On definit le

repere R2 (B,−→x 2,−→y 2,

−→z 0) lie a (2), tel que−−→BC = b−→x 2 et (−→x 0,

−→x 2) = (−→y 0,−→y 2) = φ(t)

est l’angle mesure autour de −→z 0. A est un point de (2) tel que AB = c et (−→AB,

−−→BC) = α0

est un angle fixe.– La biellette (3) est articulee avec (0) par une liaison pivot d’axe (D,−→z 0). On definit le

repere (A,−→x 3,−→y 3,

−→z 0) lie a (S3), tel que−−→DA = d−→x 3 et (−→x 0,

−→x 3) = (−→y 0,−→y 3) = ψ(t) est

l’angle mesure autour de −→z 0. On rappelle que (3) est egalement articule a (2) en A parune liaison pivot d’axe (A,−→z 0).

1. Cinematique analytique

1. Exprimer les vecteurs vitesses instantanees de rotation−−−−→Ω(i/0), pour i = 1, 2 et 3,

de chacun des solides (i) par rapport a R0.

2. Calculer les vecteurs vitesses−−−−−−−−−→V (B ∈ 1/R0),

−−−−−−−−−→V (A ∈ 3/R0) et

−−−−−−−−−→V (C ∈ 2/R0).

3. Exprimer le fait que A et B appartiennent au meme solide (2). Que peut-on endeduire ?

4. Calculer le vecteur vitesse−−−−−−−−−→V (C ∈ 1/R0). En deduire

−−−−−−−−→V (C ∈ 2/1).

2. Cinematique graphique

Pour les questions 2 a 5, on fera les constructions sur la figure donnee a la fin du document.

1. Representer une autre position du mecanisme .

2. Centre Instantane de Rotation (C.I.R.)– Donner la definition du centre instantane de rotation I(i/0) du mouvement de (i)

par rapport a (0) et rappeler la propriete geometrique fondamentale de I(i/0).– Determiner les C.I.R du mouvement de (i) par rapport a (0), pour i = 1, 2 et 3

et les representer sur la figure 4.

3. Etude du mouvement de la biellette (3) par rapport a la tourelle (0) :– Tracer la trajectoire du point A par rapport a la tourelle.

– Representer le support du vecteur vitesse−−−−−−−−→V (A ∈ 3/0).

4. Etude du mouvement de la fleche (1) par rapport a la tourelle (0) :

– Representer le support du vecteur vitesse−−−−−−−−→V (H ∈ 1/0). On prendra comme echelle

des vitesses une longueur de 3cm pour−−−−−−−−→V (H ∈ 1/0) en supposant que θ est negatif.

– Determiner graphiquement le vecteur−−−−−−−−→V (B ∈ 1/0).

5. Etude du mouvement de la flechette (2) :

– Par rapport a la tourelle (0) : quel est le support de−−−−−−−−→V (A ∈ 2/0) ? de

−−−−−−−−→V (C ∈ 2/0) ?

Construire les vecteurs−−−−−−−−→V (A ∈ 2/0) et

−−−−−−−−→V (C ∈ 2/0).

– Par rapport a la fleche (1) : construire le vecteur−−−−−−−−→V (C ∈ 2/1). Verifiez qu’il est

porte par −→y 2.

Fig. 2 – Schematisation de la grue

Fig. 3 – Grue etudiee

Fig. 4 – Figure pour la resolution graphique