TD2_bis

Probabilits & Statistiques Semestre 1 Bachelor 2 2010 - 2011

Fiche de TD N2 Bis

Lois de probabilits usuelles

Exercice 1 ( BTS Biochimiste, session 1996) Une entreprise produit en trs grande quantit des ampoules d'une solution injectable. La probabilit qu'une ampoule, prise au hasard dans la production de l'usine, ne suive pas le cahier des charges et soit donc considre comme dfectueuse est 0;001. 1. On prlve au hasard 100 ampoules dans la production d'une journe. Le prlvement s'effectue avec remise. On appelle X la variable alatoire prenant pour valeur le nombre d'ampoules dfectueuses de ce prlvement. Quelle est la loi de probabilit de la variable alatoire X? Prciser ses paramtres, son esprance mathmatiques, sa variance et son cart-type. 2. Montrer que l'on peut approcher la loi de probabilit de X par une loi de Poisson. (a) Quel est le paramtre de cette loi de Poisson? (b) Calculer les probabilits des vnements suivants :

A: il n'y a aucune ampoule dfectueuse dans le prlvement B : il y a au plus deux ampoules dfectueuses dans le prlvement

Exercice 2 Une entreprise de matriel pour lindustrie produit des modules constitus de deux types de pices : P1 et P2.

1. Une pice P1 est considre comme bonne si sa longueur, en centimtres, est comprise entre 293,5 et 306,5. On note L la variable alatoire qui, chaque pice P1 choisie au hasard dans la production dune journe, associe sa longueur. On suppose que L suit une loi normale de moyenne 300 et dcart type 3. Dterminer, 10-2 prs, la probabilit quune pice P1 soit bonne.

2. Dans un important stock de ces modules, on prlve au hasard 10 modules pour vrification. Le stock est assez important pour quon puisse assimiler ce prlvement un tirage avec remise de 10 modules. On considre la variable alatoire X qui, tout prlvement de 10 modules associe le nombre de modules dfectueux. On suppose que la probabilit quun module soit dfectueux est 0,1. a. Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale, dterminer les paramtres de cette loi. b. Calculer, 10-3 prs, la probabilit que, dans un tel prlvement, au plus 1 module soit dfectueux.

Exercice 3 Loi hypergomtrique Dans une classe de 50 tudiants on compte 20 non-rsidents. Dterminer la probabilit que dans un groupe de 15 tudiants, 5 soient non- rsidents.

Exercice 4 Loi de Poisson (cf exercice 10 TD2) A - Le nombre moyen de communication tlphoniques reues par un standard entre 8h15 et 8h16 est de 1,8.

1. Quelle est la probabilit quentre 10h25 et 10h26, on reoive exactement 1 appel ? 2 appels ? 2. Que devient ces probabilits si lintervalle de temps considr se situe entre 10h25 et 10h30.

B- Un rservoir deau de 2000 litres contient en moyenne 2 bactries par litre. On admet quil est dangereux davaler 8 ou plus de ces bactries. Un passant assoiff boit un litre deau du rservoir. Quelle est la probabilit que son geste le mette en danger ?

Exercice 5 Loi binomiale ngative 1. La loi binomiale ngative est la loi de la variable X qui compte le nombre k dexpriences

(schma de Bernouilli de paramtre p) indpendantes ncessaires pour lobtention de r succs. Elle est note BN(r, p). Aussi lvnement (X=k) peut se dcomposer comme lintersection de 2 vnements indpendants : (Avoir (r-1) succs en (k-1) expriences) et (Avoir le rime succs la k ime exprience). Donner P(X=k) Dans le cas r=1, la loi binomiale ngative BN(r, p) est appele loi gomtrique G(p).

2. On suppose que 20% des tudiants de Bachelor 2 prparent leurs TD de probabilit. Quelle est la probabilit quil soit ncessaire de choisir au hasard et de faon indpendante 10 tudiants afin davoir 2 qui prparent leurs TD.

Exercice 6 On considre un quipement industriel compos de machines dont la dure de vie suit une mme loi exponentielle de dure de vie moyenne est gale 20 000 heures. Quelle est la probabilit quune machines tombe en panne aprs expiration d'une garantie de 5 000 heures?

Exercice 7 Droite de Henry- Test de normalit Une exploitation minire utilise plusieurs machines soumises des conditions de travail difficiles. La dure de vie dun moteur rsulte donc de facteurs multiples ( type de moteur, mode dutilisation, type de sols, ) et est considre comme une variable alatoire X. On dispose dun chantillon de 50 dures de vie de moteur (en semestres)

Dure de vie (semestres) Effectifs 0-8 0 8-9 2 9-10 5 10-10.5 7 10.5-11 11 11 11.5 11 11.5 - 12 6 12-13 7 13-14 1 50

1. Construire lhistogramme de la srie. 2. Calculer le mode Mo, la mdiane Me et la moyenne m de lchantillon. quelle remarque

faites- vous ? 3. Calculer lcart-type s de la srie et valuer P(m -s X m+ s ), P(m -2s X m+ 2s ) 4. Lhistogramme reprsentant la srie suggre une distribution normale. Calculer partir de la

distribution normale N( m, s), les effectifs thoriques correspondants la srie. 5. Tracer la droite de Henry (abscisses : borne sup. des classes, ordonnes : frquences cumules

croissantes). Conclure