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ENIM TC_RDM_1ère
ANNEE
TD 01 : TORSEUR DES FORCES DE COHESION
SOLUTION_EXERCICE_03_TORSEUR
Système isolé : Poutre + Chape s + Barres
Les coordonnées sont exprimées en m.
CALCUL DES REACTIONS AUX APPUIS A , B et E
0
A
A
XF
B
BY
F0
E
EY
F0
0
HFH
0
KFK
Equilibre du système isolé 0/
0
BzM
F
20
100
EB
A
YY
KHXF
30
0/ 00
KH
EBA
FBKFBH
FBEFBBFBA
BzM
0sin20050020003 zKIKHYE
0sin5.01.025.0
60
1000
3
KHY
mmIK
E
En définitif :
EB
E
A
YY
KHY
KHX
sin5.01.025.0
2
3
1
APPLICATION NUMERIQUE
0
500NXF
A
A ;NY
FE
E658
0 ;
NYF
B
B658
0
ENIM TC_RDM_1ère
ANNEE
TD 01 : TORSEUR DES FORCES DE COHESION
1) TORSEUR DES FORCES DE COHESION AU NIVEAU DE LA SECTION
DROITE REPEREE 1G mmAG 5001
On a :
11/
12/ GFGf ei
TT
0
658
500
12/
z
By
A
f
T
NYT
NXN
GSi
mNM
MM
zY
FBGFAG
GM
z
yx
B
BA
fi
2.263
0
4.0
1
0
1
12/
NATURE DES SOLLICITATIONS : TRACTION + FLEXION SIMPLE
2) TORSEUR DES FORCES DE COHESION AU NIVEAU DE LA SECTION
DROITE REPEREE 2G mmAG 11002
DETERMINATION DES EFFORTS DANS LES ABRRES IK ET JK
Pour cela étudions l’équilibre de l’articulation k
Au nœudk , on a :
NKF
NKF
FF
FFK
J
I
JI
IJ
1000
1000
0sinsin
0coscos
La barre IK est soumise à une traction. En revanche la barre JK est soumise à une
compression.
D’oùI
I
I
II
II
Y
XF
NFY
NFX
866sin
500cos
ENIM TC_RDM_1ère
ANNEE
TD 01 : TORSEUR DES FORCES DE COHESION
0
208
0
22/
z
IBy
IA
f
T
NYYT
XXN
GSi
mNM
MM
zXYY
FIGFBGFAG
GM
z
yx
IIB
BA
fi
125
0
2.05.0
22
0
2
22/
NATURE DES SOLLICITATIONS : FLEXION SIMPLE
3) TORSEUR DES FORCES DE COHESION AU NIVEAU DE LA SECTION
DROITE REPEREE 3G mmAG 18503
On a J
J
J
JJ
JJ
Y
XF
NFY
NFX
866sin
500cos
0
658
500
32/
z
JIBy
JIA
f
T
NYYYT
NXXXN
GSi
mNM
MM
zYXXYY
FJGFIGFBGFAG
GM
z
yx
JJIIB
JIBA
fi
50.85
0
25.02.02.025.175.1
333
0
3
32/
NATURE DES SOLLICITATIONS : COMPRESSION+ FLEXION SIMPLE
ENIM TC_RDM_1ère
ANNEE
TD 01 : TORSEUR DES FORCES DE COHESION
4) TORSEUR DES FORCES DE COHESION AU NIVEAU DE LA SECTION
DROITE REPEREE 4G mmAG 23504
On a :
42/
41/
42/ GFGFGf eei
TTT
0
5004
2/zy
f TT
NHHNGS
i
mNM
MM
zH
xHyx
FHG
GM
z
yx
H
fi
250
0
5.0
1000
500
1000
500
4
42/
NATURE DES SOLLICITATIONS : COMPRESSION+ FLEXION PURE
ENIM TC_RDM_1ère ANNEE
TD 02 : EFFORTS DE TRACTION / COMPRESSION
1
EXERCICE_02_SOLUTION
Données
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
==
==
⋅=
⋅=
−
mL
mkg
MPa
MPaE
NF
ad
10
7600
3.192
25.0
1021
102
0
3
4
5
ρ
σν
1) Calcul de D avec le poids propre non négligé
Compte tenu des résultats de l’exercice précédent nous avons :
0max LgS
Fxg
S
F ρσρσ +=⇒+=
La contrainte maxσ ne doit pas dépasser la contrainte
admissible adσ .
ad0admax LgS
Fσ≤ρ+⇒σ≤σ
( )0ad
2
Lg
F4D
4
DS
ρ−σπ≥⇒
π=
ENIM TC_RDM_1ère ANNEE
TD 02 : EFFORTS DE TRACTION / COMPRESSION
2
Application numérique
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
=≈××−×π
⋅×≥
mm46.36D
mm46.36m03646.01081.97600103.192
1024D
6
5
2) Calcul de D avec le poids propre négligé
Compte tenu des résultats de l’exercice précédent nous avons :
S
F=σ
La contrainte σ ne doit pas dépasser la contrainte
admissible adσ .
adadad
F4D
S
F
σπ≥⇒σ≤⇒σ≤σ
Application numérique
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
=≈××π
⋅×≥
mm39.36D
mm39.36m03639.0103.192
1024D
6
5
Nous prendrons pour les deux cas mmD 37= .
3) Calcul des allongements
− Poids propre non négligé
ENIM TC_RDM_1ère ANNEE
TD 02 : EFFORTS DE TRACTION / COMPRESSION
3
321321PàdûLFàdûL
E
Lg
ES
LFL
∆∆
+=∆2
200 ρ
Application numérique
( ) 44 344 21
4444 34444 21PàdûL
FàdûL
L
∆
∆
− ⋅×××
+
⋅×⋅
×⋅=∆
10
2
1023
5
10212
1081.97600
10214
1037
10102
π
mmmLPàdûLFàdûL
88.81088.810775.110858.8 353 =×≈×+×≈∆ −
∆
−
∆
−4342143421
− Poids propre négligé
321FàdûL
ES
LFL
∆
=∆ 0
Application numérique
( )4444 34444 21
FàdûL
L
∆
−⋅×
⋅
×⋅=∆
1023
5
10214
1037
10102
π
mmmLFàdûL
86.81086.810858.8 33 =×≈×≈∆ −
∆
−43421
Remarque : L’influence du poids propre est peu significative.
4) Calculer la variation de volume en négligeant l’attraction
terrestre
ENIM TC_RDM_1ère ANNEE
TD 02 : EFFORTS DE TRACTION / COMPRESSION
4
On a :
( )
( )νεε
νε
211086.81010
86.8
21
0
00
43
0
0
−=∆⇒
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
×=×
=∆
=
−=∆
− LSV
LSV
L
L
V
V
Application numérique
( ) ( )336
234
18.47631076318.4
25.021104
10371086.8
mmmV
V
=×≈∆
×−××⋅
××=∆
−
−− π
ENIM TC_RDM_1ère
ANNEE
TD 02 : EFFORTS DE TRACTION / COMPRESSION
SOLUTION_EXERCICE_05_TRACTION
Calcul de la réaction R
daNFFRFFR 000500 2121
Zone 1 : 50 x
On a :
GFGFGf eei
TTT2/1/2/
0111
01
11
1
1
1
1211
LLL
L
E
S
NFFN
Par ailleurs :
x x
dXdudXdudX
du
0 0
11111
1
xxuu
xuxu11
1
111
00
0
Application numérique
menxetmmenuxxu
mmmLLE
mmNS
NNN
1
1
1
4
0111
41
1
2
1
1
1
5
1
101368.1
5684.010684.5101368.1
91.15105
Zone 2 : 85 x
ENIM TC_RDM_1ère
ANNEE
TD 02 : EFFORTS DE TRACTION / COMPRESSION
On a :
GFGFGf eei
TTT2/1/2/
0222
02
22
2
2
2
212
LLL
L
E
S
NFN
Par ailleurs :
x x
dXdudXdudX
du
5 5
22222
2
122
112
2225
5684.055
55Lxxu
mmuLu
xuxu
Application numérique
menxetmmenuxxu
mmmLLE
mmNS
NNFN
2
1
2
4
0222
42
2
2
2
2
2
5
12
5684.05103920.1
4176.010176.4103920.1
49.19103
Diagramme de l’effort normal «N »
ENIM TC_RDM_1ère
ANNEE
TD 02 : EFFORTS DE TRACTION / COMPRESSION
Diagramme de la contrainte normale « »
Diagramme du déplacement suivant l’axe x
ENIM TC_RDM_1ère ANNEE
TD 02 : EFFORTS DE TRACTION / COMPRESSION
SOLUTION_EXERCICE_06
Calcul de la réaction DR
( ) NFFFRFFFR DD 0500 312321 =+−=⇒=+−+ 1) Contrainte moyenne
− Zone ( )6000 ≤≤ xDC
On a :
[ ] [ ] [ ]GFGFGf eei
TTT2/1/2/
rrrrrr
−==
( ) ( )⎪⎩
⎪⎨⎧
⎪⎭
⎪⎬⎫
==
==⇒ nCompressio
aa
Ntrouhors
NRN D
221
1
1
500_
500
σ
− Zone ( )800600 ≤≤ xCB
On a :
[ ] [ ] [ ]GFGFGf eei
TTT2/1/2/
rrrrrr
−==
( )
( ) ( )⎪⎩
⎪⎨⎧
⎪⎭
⎪⎬⎫
==
=−=−−=⇒ nCompressio
aa
Ntrouhors
FFFFN
222
2
12212
2000_
2000
σ
− Zone ( )1000800 ≤≤ xBA
On a :
[ ] [ ] [ ]GFGFGf eei
TTT2/1/2/
rrrrrr
−==
( )( )
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎪⎭
⎪⎬⎫
−==
−=−=⇒ Traction
aa
Ntrouhors
FN
223
3
13
4000_
4000
σ
ENIM TC_RDM_1ère ANNEE
TD 02 : EFFORTS DE TRACTION / COMPRESSION
Diagramme de l’effort normal N
2) Section dangereuse
La section droite la plus sollicitée se situe en ( )mmxàB 800= . Conditions de résistance :
( ) ( )
( ) ( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≤−
×
≤−
⇒⎪⎭
⎪⎬⎫
≤=
≤
24000
14000
maxett
adt
etBmoyt
adtBmoy
daak
daa
k σ
σ
σσσ
σσ
( )( )⎩⎨⎧
≈≥⇒≈≥⇒
⇒= −
mmmma
mmmmammdaNet 2.1317.132
2.1219.12124 2σ
⇒ choix mma 15=
3) Déplacement du point A
mmE
LLLu BACBDC
A3321 10116.2 −×−=
++=
σσσ
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