View
3
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
MT11 Travaux dirigés MT11
Travaux dirigés MT11
DEUXIÈME PARTIE : ANALYSETD 8 à 13
UTBM automne 2010 page 1
MT11 TD 8 : Réels
TD 8 : Réels
1 Exercices
Exercice 1. 1. Les ensembles suivants sont-ils des ouverts ou des fermés de R :
Z, { 1n| n ∈ N}, [0, 1]∪]2, 3[,
⋃n∈N
[0, 1− 1n
],⋂n∈N
[0, 1 +1n
].
2. Même question pour ces sous-ensembles de R2 :
{(x, y) | y > x2}, {(x, y) | y > x2}, {(x, y) | y = x2}, Q×Q, B(−1, 1) ∪B(1, 1).
3. Déterminer les adhérences de tous ces ensembles.
Exercice 2. Résoudre dans R, |2− x|+ |x+ 5| = 4 et |2x− 1| − 2|4x+ 2|+ |x+ 3| = 5.
Exercice 3. Véri�er que x = 3√
7 + 5√
2 + 3√
7− 5√
2 et y = 3
√13+5
√17
2 + 3
√13−5
√17
2sont rationnels.Indication : calculer x3, puis chercher un polynôme de degré 3 que l'on cherchera àfactoriser.
Exercice 4. Montrer que cos( π15) + cos(3π15 ) + cos(5π
15 ) + ...+ cos(13π15 ) ∈ Q.
Exercice 5. Soit E l'ensemble des réels de la forme n−1/nn+1/n avec n ∈ N∗. L'ensemble E
admet-il une borne inférieure, une borne supérieure, un plus grand élément, un plus petitélément ?
Exercice 6. Soit E = { 1n cosn | n ∈ N∗} ; calculer inf E et supE.
Exercice 7. 1. Calculer la limite de la suite (un) dé�nie par un = E(x)+E(2x)+···+E(nx)n2 .
2. En déduire que Q est dense dans R.
Exercice 8. Soient A ⊂ R et B ⊂ R deux parties non vides, on dé�nit
A+B = {x ∈ R/∃ a ∈ A,∃ b ∈ B, x = a+b} et AB = {x ∈ R/∃ a ∈ A,∃ b ∈ B, x = ab}.
1. À quoi sont égaux A+B et AB lorsque A = [1, 3] et B = [1, 4[ ? Et dans le cas oùA =]−∞, 0] et B = [1, 2] ?
2. Supposons que A et B soient majorées. Montrer que sup(A+B) = sup(A)+sup(B).
3. Supposons queA etB soient majorées etA ⊂ R+,B ⊂ R+. Montrer que sup(AB) =sup(A) sup(B).
UTBM automne 2010 page 2
MT11 TD 8 : Réels
2 Pour ré�échir
Problème 1. Le but de ce problème est de démontrer le théorème suivant :
Théorème 1. Soit G un sous-groupe de (R,+). Alors, soit il existe un réel θ tel que
G = θZ = {nθ | n ∈ Z}, soit G est dense dans R.
Considérons donc un sous-groupe G de (R,+) et supposons que G 6= {0}. Notons Al'ensemble G ∩ R∗+.Justi�er le fait que A possède une borne inférieure. On notera θ = inf A.
1. Supposons que θ > 0.
a. Montrer que G∩]θ, 2θ[= ∅.b. En déduire que θ ∈ G.c. Montrer que G = θZ.
2. Supposons maintenant que θ = 0.
a. Montrer que ∀ε > 0∃g ∈ G 0 < g < ε.
b. Soit b > a > 0. Montrer que G∩]a, b[6= ∅.c. En déduire que G est dense dans R.
3. Applications
a. Montrer que le groupe {a+ b√
2 | a, b ∈ Z} est dense dans Rb. Soit θ ∈ R \ Q. Montrer que l'ensemble {e2iπnθ | n ∈ Z} est dense dans le
cercle unité.
c. Montrer le corollaire suivant : soit G un sous-groupe de (R∗+,×). Alors soit ilexiste α tel que G = {αn | n ∈ Z}, soit G est dense dans R∗+.
d. En déduire que l'ensemble {2i3j | i, j ∈ Z} est dense dans R∗+.
UTBM automne 2010 page 3
MT11 TD 8 : Réels
3 Exercices corrigés
Exercice 9. Montrer que ln 3ln 2 est irrationnel.
indication : c'est le même type de démonstration que pour prouver que√
2 n'est pas
rationnel.
Exercice 10 (Pas de borne supérieure dans Q). Dans cet exercice, on admet que :∀ x ∈ Q, x2 6= 2. Soient A = { x ∈ Q+∗, x2 < 2} et B = { x ∈ Q+∗, x2 > 2}. Onveut démontrer que A n'admet pas de borne supérieure dans Q. Pour cela, on suppose
au contraire que α = sup(A) existe (α ∈ Q), et on pose β =2α.
1. Montrer que β = inf(B).
2. Montrer que : ∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B, on a a 6 b. Que pouvez-vous en déduire pour αet β ?
3. Obtenir une contradiction en considérant γ =α+ β
2.
Exercice 11. Soit f : [0, 1] −→ [0, 1] croissante. Montrer que f admet au moins un point�xe.
UTBM automne 2010 page 4
MT11 TD 9 : les suites
TD 9 : les suites
1 Exercices
Exercice 12. Calculer, lorsqu'elles convergent, les limites des suites dé�nies par :
un = n−√n2 − n un =
√n(n+ a)−n un =
n
2sin
nπ
2un =
sinn2 − cosn3
n.
Exercice 13. Soient (un) et (vn) deux suites réelles telles que• un 6 a,∀n ∈ N,• vn 6 b,∀n ∈ N• limn→+∞ un + vn → a+ b.Montrer que limn→+∞ un = a et limn→+∞ vn = b.
Exercice 14. Soit (un) la suite réelle dé�nie par récurrence en posant u0 = 1 et un+1 =√1 + un si n ∈ N∗.1. Montrer que (un) est croissante et majorée.
2. En déduire que (un) converge et calculer sa limite.
Exercice 15. On dé�nit par récurrence les suites (un)n∈N et (vn)n∈N par :
u0 = 1, v0 = 2, un+1 =(un)2
un + vn, vn+1 =
(vn)2
un + vn.
1. Montrer par récurrence que l'on a un > 0 et vn > 0.
2. Montrer que les suites (un)n∈N et (vn)n∈N décroissent. En déduire qu'elles conver-gent vers ` et `′ respectivement. Montrer que l'on a ``′ = 0.
3. Montrer que la suite (vn − un)n∈N est constante. En déduire ` et `′.
Exercice 16. Soit (un) une suite de réels strictement positifs. On suppose
n√un → `.
1. Montrer que si ` < 1 alors un → 0.
2. Montrer que si ` > 1 alors un → +∞.
3. Montrer que dans le cas ` = 1 on ne peut rien conclure.
UTBM automne 2010 page 5
MT11 TD 9 : les suites
2 Pour ré�échir
Problème 2. [Médian MT11 2006]Soit a > 0. On dé�nit la suite (un)n>0 par u0 un réel véri�ant u0 > 0 et par la relation
un+1 =12
(un +
a
un
).
On se propose de montrer que (un) tend vers√a.
1. Montrer que
un+12 − a =
(un2 − a)2
4un2.
2. Montrer que si n > 1 alors un >√a puis que la suite (un)n>1 est décroissante.
3. En déduire que la suite (un) converge vers√a.
4. En utilisant la relation un+12−a = (un+1−
√a)(un+1+
√a) donner une majoration
de un+1 −√a en fonction de un −
√a.
5. Si u1 −√a 6 k et pour n > 1 montrer que
un −√a 6 2
√a
(k
2√a
)2n−1
.
6. Application : Calculer√
10 avec une précision de 8 chi�res après la virgule, enprenant u0 = 3.
Problème 3. On veut déterminer les deux suites réelles u et v dé�nies par u0 = v0 = 1,et pour tout n ∈ N, {
un+1 = un − vnvn+1 = un + 3vn
On va pour cela envisager deux méthodes di�érentes.
1. Première méthodea. Montrer que la suite w = u+ v est une suite géométrique dont on précisera la
raison.
b. En déduire une relation de récurrence véri�ée par la suite u, puis détermineru et v.
2. Deuxième méthode
On va considérer les matrices A =(
1 −11 3
), et pour tout n ∈ N, Un =
(unvn
).
a. Trouver une valeur p telle que (A− 2I2)p = 02 (I2 et 02 désignent respective-ment la matrice identité et la matrice nulle).
b. En déduire pour tout n ∈ N, une expression de An en fonction de I2, A, et n.
c. Montrer que pour tout n ∈ N, Un = AnU0, puis exprimer Un en fonction deU0, U1, et n.
d. Déduire des questions précédentes, une expression de un et vn en fonction den.
UTBM automne 2010 page 6
MT11 TD 9 : les suites
3 Exercices corrigés
Exercice 17. Soit (un)n∈N une suite de R. Que pensez-vous des propositions suivantes :• Si (un)n converge vers un réel l alors (u2n)n et (u2n+1)n convergent vers l.• Si (u2n)n et (u2n+1)n sont convergentes, il en est de même de (un)n.• Si (u2n)n et (u2n+1)n sont convergentes, de même limite l, il en est de même de (un)n.
Exercice 18. [Médian MT11 2006]Soit a > 0. On dé�nit la suite (un)n>0 par u0 un réel véri�ant u0 > 0 et par la relation
un+1 =12
(un +
a
un
).
On se propose de montrer que (un) tend vers√a.
1. Montrer que
un+12 − a =
(un2 − a)2
4un2.
2. Montrer que si n > 1 alors un >√a puis que la suite (un)n>1 est décroissante.
3. En déduire que la suite (un) converge vers√a.
4. En utilisant la relation un+12−a = (un+1−
√a)(un+1+
√a) donner une majoration
de un+1 −√a en fonction de un −
√a.
5. Si u1 −√a 6 k et pour n > 1 montrer que
un −√a 6 2
√a
(k
2√a
)2n−1
.
6. Application : Calculer√
10 avec une précision de 8 chi�res après la virgule, enprenant u0 = 3.
Exercice 19. [Démonstration du théorème des suites adjacentes] Soient (un) et(vn) deux suites adjacentes, c'est à dire deux suites telles que (un) est croissante, (vn)décroissante et limn→+∞ vn − un = 0. Le but de l'exercice est de montrer que ces deuxsuites convergent vers une même limite l.
1. Montrer que pour tout n ∈ N on a un 6 vn.
2. En déduire que (un) et (vn) convergent.
3. Conclure.
UTBM automne 2010 page 7
MT11 TD 10 : Limite et Continuité
TD 10 : Limite et Continuité
1 Exercices
Exercice 20. Soit f une fonction dé�nie sur un intervalle I contenant x0 dans sonintérieur. On suppose que limx→x0 f(x) = u > 0. Démontrer qu'il existe t > 0 tel que si0 < |x− x0| < t alors |f(x)| > u
2 .
Exercice 21. Déterminer les limites suivantes :
a) limx→+∞
√x2 + 1− x b) lim
x→1
1x− 1
− 2x2 − 1
c) limx→0+
√1 +
1x−√
1x
d) limx→4
√2x+ 1− 3√x− 2−
√2
Exercice 22. Montrer que si une fonction f dé�nie sur E ⊂ R est continue en x0 alorsla fonction |f | est, elle aussi, continue en x0. Montrer que la réciproque est fausse.
Exercice 23. Montrer que les fonctions suivantes dé�nies sur R∗ sont continues sur R∗et étudier si on peut les prolonger par continuité sur R.
1. f(x) = sin( 1x)
2. g(x) = (1+x)3−1x
3. h(x) = sin(x) sin( 1x)
4. l(x) = | sin(x)|x
5. m(x) =√
1+sinx−√
1−sinxx
Exercice 24. Soit (a, b) ∈ R2 et f la fonction dé�nie sur R par :
1. f(x) = x2 + b si x 6 0
2. f(x) = sin(ax)x si x > 0
Etudiez la continuité de f sur R en fonction des paramètres a et b.
Exercice 25. Montrer que chacune des équations suivantes admet au moins une solutiondans l'intervalle indiqué :
1. x5 − x4 + 1 = 0 sur I = [−1, 0]
2. sin(x) + 1 = x sur I =]π2 , π[
UTBM automne 2010 page 8
MT11 TD 10 : Limite et Continuité
2 Pour ré�échir
Problème 4. Dans ce problème on propose de revoir les résultats du cours sur les imagesd'intervalles par une application continue et ensuite de démontrer le théorème qui assurequ'une fonction f continue sur [a, b] atteint ses bornes.
1. Soit f : I → R une fonction continue (I intervalle). Que pensez-vous des a�rma-tions suivantes (on justi�era avec soin chaque réponse, soit en utilisant des résultatsdu cours soit en construisant des contre-exemples) :
a. l'image d'un intervalle est un intervalle ;
b. l'image d'un intervalle ouvert est un intervalle ouvert ;
c. l'image d'un intervalle fermé est un intervalle fermé ;
d. l'image d'un intervalle borné est un intervalle borné ;
e. l'image d'un intervalle fermé borné est un intervalle fermé borné.
2. On souhaite maintenant démontrer le résultat suivant vu en cours : soit f unefonction continue sur [a, b] alors f est bornée et atteint ses bornes (i.e. il existe cet d dans I tel que f(c) = minx∈[a,b]f(x) et f(d) = maxx∈[a,b]f(x)).
3. Un résultat préliminaire :
a. Soit (xn) une suite d'éléments de [a, b]. Montrer que si (xn) est convergentealors sa limite appartient à [a, b].
b. Montrer par un contre-exemple que ce résultat est faux si l'intervalle n'est pasfermé.
4. Première Etape : f bornée.
a. En raisonnant par l'absurde montrer qu'il existe une suite (xn) ⊂ [a, b] telleque f(xn) > n.
b. Montrer qu'il existe une sous-suite convergente.
c. Conclure.
5. La fonction atteint ses bornes.
a. SoientM etm la borne supérieure et la borne inférieure de f([a, b]). Expliquercomment peut-on construire une suite (cn) et une suite (dn) de [a, b] telles quelimn→+∞ f(cn) = M et limn→+∞ f(dn) = m.
b. Extraire de (cn) et (dn) des sous-suites convergentes.
c. Conclure.
Problème 5. Dans ce problème nous allons démontrer un théorème d'existence de point�xe pour un certain type de fonction. Cette approche sera à nouveau présentée au prob-lème 6 dans un cas concret.
1. Fonction k-Lipschitziennes :
Dé�nition 1. Soit f : I → R une fonction de la variable réelle. On dit que f estk-Lipschitzienne lorsque pour tout x, y ∈ I on a |f(x)− f(y)| 6 k|x− y|.
UTBM automne 2010 page 9
MT11 TD 10 : Limite et Continuité
a. Montrer qu'une fonction k-Lipschitzienne est continue.
b. Montrer que x 7→ x2 est 4-Lipschitzienne sur [1, 2] et que x 7→√x n'est pas
Lipschitzienne sur [0, 2].
2. On dit qu'une fonction est contractante lorsqu'elle est k-Lipschitzienne avec k ∈]0; 1[. On veut démontrer le résultat suivant :
Théorème 2. Si f : R → R est contractante alors l'équation f(x)− x = 0 admet
une et une seule solution (autrement dit f possède un unique point �xe).
a. On considère la suite dé�nie par x0 = a ∈ R et xn+1 = f(xn). Montrer quecette suite est une suite de Cauchy.
b. En déduire que xn → c et que c est un point �xe de f .
c. Montrer que c est unique.
3. Exemples.
a. À l'aide d'une calculatrice calculer les premiers termes de la suite dé�nie par
récurrence par
{u0 ∈ [0, 1]un+1 = cos(un)
. Recommencer en prenant une autre
valeur de u0. On montrera dans les chapitres suivants que cos est contractantesur [0, 1].
b. Soit f :{
[1,+∞[ −→ [1,+∞[x 7−→ x+ 1
x
. Montrer que f est 1-lipshitzienne, mais
n'admet pas de point �xe.
UTBM automne 2010 page 10
MT11 TD 10 : Limite et Continuité
3 Exercices corrigés
Exercice 26. 1. Démontrer que limx→0
√1 + x−
√1− x
x= 1.
2. Soient m,n des entiers positifs. Étudier limx→0
√1 + xm −
√1− xm
xn.
3. Démontrer que limx→0
1x
(√
1 + x+ x2 − 1) =12.
Exercice 27. Soient f et g deux fonctions dé�nies sur R+ telles que :
(∀x ∈ R+, g(x) > 0) et ∃l ∈ R+∗/ limx→+∞
f(x)g(x)
= l).
1. Montrer que limx→+∞ f(x) = 0 si et seulement si limx→+∞ g(x) = 0.
2. Montrer que limx→+∞ f(x) = +∞ si et seulement si limx→+∞ g(x) = +∞.
Exercice 28. Soit f : [a, b] −→ R une fonction continue telle que f(a) = f(b). Montrerque la fonction g(t) = f(t+ b−a
2 )− f(t) s'annule en au moins un point de [a, a+b2 ].Application : une personne parcourt 4 km en 1 heure. Montrer qu'il existe un intervalle
de 30 mn pendant lequel elle parcourt exactement 2 km.
Exercice 29. Une fonction qui véri�e la propriété des valeurs intermédiaires est-ellenécessairement continue ? (vous montrerez que non en cherchant un contre-exemple...)
Exercice 30. Soit f : R+ → R continue admettant une limite �nie en +∞. Montrer quef est bornée. Atteint-elle ses bornes ?
Exercice 31. À l'aide du théorème du point �xe montrer que la suite numérique (un)dé�nie par u0 = 0 et un+1 = 4
3+unest convergente et déterminer sa limite.
UTBM automne 2010 page 11
MT11 TD 11 : Dérivation
TD 11 : Dérivation
1 Exercices
Exercice 32. Soit f : R→ R la fonction dé�nie par ;
f(x) =
x2 si x ∈ Q
0 si x /∈ Q
Montrer que f est dérivable en 0 mais est discontinue en tout autre point.
Exercice 33. Déterminer a, b ∈ R de manière à ce que la fonction f dé�nie sur R+ par :
f(x) =√x si 0 6 x 6 1 et f(x) = ax2 + bx+ 1 sinon
soit dérivable sur R∗+.
Exercice 34. Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes :
f1(x) = x2 cos1x
si x 6= 0 f1(0) = 0;
f2(x) = sinx sin1x
si x 6= 0 f2(0) = 0;
f3(x) =|x|√x2 − 2x+ 1x− 1
si x 6= 1 f3(1) = 1.
Exercice 35. Calculer les dérivées des fonctions :
1. x 7→√
1 + x2 sin2 x, x 7→ exp(1/x)+1exp(1/x)−1 .
2. x 7→ ln(1+sin(x)1−sin(x)), x 7→ (x(x− 2))1/3.
Exercice 36. Retrouver le théorème de dérivation d'une fonction réciproque. En déduirela dérivée des fonctions arccos, arctan.
Exercice 37. Par application du théorème des accroissements �nis à f(x) = lnx sur[n, n+ 1] montrer que
Sn =n∑k=1
1k
tend vers l'in�ni quand n tend vers l'in�ni.
UTBM automne 2010 page 12
MT11 TD 11 : Dérivation
2 Pour ré�échir
Problème 6. [Résolution numérique d'une équation d'après �nal 2008] Le butde l'exercice est de construire une suite pour calculer numériquement une valeur ap-prochée de la solution de l'équation x2 + x− 1 = 0 sur [0, 1]. On considère la fonction fdé�nie pour x > 0 par :
f(x) =1
x+ 1.
1. Montrer que l'équation x2 +x−1 = 0 a une seule racine réelle appartenant à ]0, 1[,et préciser la valeur de cette racine r.
2. En déduire que r est l'unique solution de l'équation f(x) = x sur ]0, 1[.3. Soit x ∈
[12 , 1], montrer que f(x) ∈
[12 , 1].
4. Calculer la dérivée f ′ de f , et montrer que
∀x ∈[12, 1],∣∣f ′(x)∣∣ 6 4
9.
5. On considère la suite u dé�nie par
{u0 = 1un+1 = f(un)
.
a. Montrer que pour tout entier n ∈ N, un ∈ [12 , 1].b. Démontrer l'inégalité ∀n ∈ N,
∣∣un − r∣∣ 6(
49
)n, et en déduire la limite de la
suite (un).c. Déterminer n telle que un soit une approximation de r à 10−k près (on pro-
posera une valeur de n en fonction de k).
Problème 7. [Règle de l'Hospital] Énoncer le théorème de Rolle pour une fonctionh : [a, b] −→ R. Soient f, g : [a, b] −→ R deux fonctions continues sur [a, b] (a < b) etdérivables sur ]a, b[. On suppose que g′(x) 6= 0 pour tout x ∈]a, b[.
1. Montrer que g(x) 6= g(a) pour tout x ∈]a, b]. (Raisonner par l'absurde et appliquerle théorème de Rolle.)
2. Posons p = f(b)−f(a)g(b)−g(a) et considérons la fonction h(x) = f(x)− pg(x) pour x ∈ [a, b].
Montrer que h véri�e les hypothèses du théorème de Rolle et en déduire qu'il existeun nombre réel c ∈]a, b[ tel que
f(a)− f(b)g(a)− g(b)
=f ′(c)g′(c)
.
3. On suppose que limx→b−f ′(x)g′(x) = `, où ` est un nombre réel. Montrer que
limx→b−
f(x)− f(b)g(x)− g(b)
= `.
4. Application : Calculer la limite suivante :
limx→1−
arccosx√1− x2
.
UTBM automne 2010 page 13
MT11 TD 11 : Dérivation
3 Exercices corrigés
Exercice 38. Calculer la fonction dérivée d'ordre n des fonctions f, g, h dé�nies par :
f(x) = sinx ; g(x) = sin2 x ; h(x) = sin3 x+ cos3 x.
On pensera à linéariser les expressions trigonométriques.
Exercice 39. Soit f une fonction n fois dérivable sur ]a, b[ s'annulant en n+1 points de]a, b[. Montrer que si f (n) est continue,il existe un point x0 de ]a, b[ tel que f (n)(x0) = 0.
Exercice 40. Soit n > 2 un entier �xé et f : R+ = [0,+∞[−→ R la fonction dé�nie parla formule suivante :
f(x) =1 + xn
(1 + x)n, x > 0.
1. a. Montrer que f est dérivable sur R+ et calculer f ′(x) pour x > 0.
b. En étudiant le signe de f ′(x) sur R+, montrer que f atteint un minimum surR+ que l'on déterminera.
2. a. En déduire l'inégalité suivante :
(1 + x)n 6 2n−1(1 + xn), ∀x ∈ R+.
b. Montrer que si x ∈ R+ et y ∈ R+ alors on a
(x+ y)n 6 2n−1(xn + yn).
UTBM automne 2010 page 14
MT11 TD 12 : Développements limités
TD 12 : Développements limités
1 Exercices
Exercice 41. Donner les D.L. à l'ordre 4 en 0 de
1. 1cos(x) 2.
√1 + x 3. x
ex−1
Donner les D.L. à l'ordre 4 en 1 de
1. ln(x) 2.√
1 + x 3. ex
Exercice 42. Donner le développement limité en 0 des fonctions :
1. x 7→ ln(cos(x)) (à l'ordre 6).
2. x 7→ sin(tan(x)) (à l'ordre 7).
3. x 7→ (ln(1 + x))2 (à l'ordre 4).
4. x 7→ exp(sin(x)) (à l'ordre 3).
5. x 7→ sin6(x) (à l'ordre 9.)
Exercice 43. Calculer les limites suivantes
limx→0
ex2 − cosxx2
limx→0
ln(1 + x)− sinxx
limx→0
cosx−√
1− x2
x4
Exercice 44. Calculer les limites suivantes : limx→0
ex − (cos(x) + x)x2
, limx→0
x3 arctan(x)− x4
cos(x2)− 1.
Exercice 45. Soit g la fonction donnée par g(x) = ln(ln(x)).
1. Donner le domaine de dé�nition de g.
2. Montrer que g est concave sur son domaine de dé�nition.
3. En déduire l'inégalité, ∀a > b > 1, ln(a+b2 ) >√
ln(a) ln(b).
UTBM automne 2010 page 15
MT11 TD 12 : Développements limités
2 Pour ré�échir
Problème 8. Soit f : R→ R la fonction dé�nie par f(x) = (x2 + 1) arctan(x).
1. Montrer que f est bijective.
2. Donner le tableau de variation de f en précisant les limites en ±∞.
3. Calculer un D.L. de f en 0 à l'ordre 3. En déduire la nature du point 0.
4. Soit g = f−1
a. Que vaut g(0) ?
b. Pourquoi g est-elle dérivable ? Calculer g′(0). En déduire l'équation de la tan-gente en 0 à la courbe Cg représentative de g.
c. On admet que g′′ et g′′′ existent. Démontrer sans calculs que g′′(0) = 0 etg′′′(0) 6 0. [indication : on pourra esquisser les courbes représentatives Cf etCg au voisinage de 0].
5. On propose de déterminer par le calcul le D.L. de g = f−1 en 0 à l'ordre 3, on notece D.L. g(x) = a0 + a1x+ a2x
2 + a3x3 + x3ε(x).
a. Montrer que a0 = 0.
b. Calculer le D.L. en 0 à l'ordre 3 de f ◦ g en fonction des coe�cients a1, a2, a3.
c. Utiliser alors l'égalité f(g(x)) = x pour identi�er les coe�cients a1, a2 a3.
UTBM automne 2010 page 16
MT11 TD 12 : Développements limités
3 Exercices corrigés
Exercice 46. Faire un développement limité en a à l'ordre n de :
1. ln cosx n = 6 a = 0.
2.arctanx− x
sinx− xn = 2 a = 0.
3. ln tan(x2 + π4 ) n = 3 a = 0.
4. ln sinx n = 3 a = π4 .
5. (1 + x)1x n = 3 a = 0.
Exercice 47. Soit g la fonction x 7→ arctanx(sinx)3
− 1x2
.
1. Donner le domaine de dé�nition de g.
2. Montrer qu'elle se prolonge par continuité en 0 en une fonction dérivable.
3. Déterminer la tangente en 0 au graphe de cette fonction et la position de ce graphepar rapport à celle-ci.
UTBM automne 2010 page 17
MT11 TD 13 : fonctions usuelles
TD 13 : fonctions usuelles
1 Exercices
Exercice 48. Tracer les courbes représentatives des fonctions
x 7→ f(x) = sin(Arcsinx), x 7→ f(x) = Arcsin(sinx).
Exercice 49. Résoudre les équations suivantes :
Arcsinx = Arcsin25
+ Arcsin35, Arccosx = 2Arccos
34.
Exercice 50. Calculer :
limx→∞
ex(ch3 x− sh3 x) et limx→∞
(x− ln(chx)).
Exercice 51. Calculer les limites suivantes :
1. limx→0sin(x)− sinh(x)tan(x)− th(x) 2. limx→0
esin(x) − ex
esinh(x) − ex.
Exercice 52. Calculer des primitives de
1. f(x) =x+ 2
x2 + 2x+ 2 2. g(x) =2 + x+ 2x2 + 4x4
(1 + 4x2)(1 + x2).
Exercice 53. Résoudre l'équation xy = yx où x et y sont des entiers positifs non nuls.indication : Montrer que l'équation xy = yx est équivalente à lnx
x = ln yy , puis étudier
la fonction x 7→ lnxx .
Exercice 54. [�nal 2004] On se propose d'étudier la fonction :
f :D → Rx → arctan(2x−1
2x+1) + x+ 12
1. Donner le domaine de dé�nition D de f .
2. Donner le tableau de variation de f en donnant les limites aux points critiques.
3. Trouver les points susceptibles d'être points d'in�exion.
4. En utilisant la formule de Taylor-Young donner le D.L. de arctan(x) en −1 à l'ordre3.
5. Trouver le D.L. de 2x−12x+1 en 0 à l'ordre 3.
6. Que peut-on en déduire sur le(s) point(s) d'in�exion trouvé(s) à la question 3. ?
UTBM automne 2010 page 18
MT11 TD 13 : fonctions usuelles
2 Pour ré�échir
Problème 9. [Fonction de Gudermann]On considère la fonction g(x) = arctan(sinh(x))où arctan et sinh sont les fonctions arctangente et sinus hyperbolique.
1. Donner le domaine de dé�nition Dg de g.
2. Montrer que g′(x) =1
cosh(x).
3. Déterminer les variations et les limites aux bornes du domaine. Dresser le tableaude variation de g.
4. Écrire le développement limité de g en 0 à l'ordre 3. En déduire une tangente à Cgpour x = 0 et déterminer la nature du point d'abscisse x = 0.
5. Étudier la convexité de g sur D∗g .
6. Montrer qu'on peut dé�nir une application réciproque g−1.
7. Représenter l'allure des courbes Cg et Cg−1 sur un même graphique.
8. A propos de g−1 :
a. Montrer que sinh(g−1(x)) = tan(x) (on pourra remarquer que sinh(x) =tan(g(x))).
b. Montrer que la dérivée de g−1 est (g−1)′(x) = cosh(g−1(x)). Déduire de laquestion précédente que (g−1)′(x) =
√1 + tan2(x).
c. On rappelle que√
1 + tan2(x) =1
cos(x). Déterminer le développement limité
de (g−1)′ à l'ordre 3.
d. En déduire le développement limité de g−1 à l'ordre 4.
UTBM automne 2010 page 19
MT11 Corrections
Corrections
UTBM automne 2010 page 20
MT11 Solutions des exercices corrigés du TD 8
Solutions des exercices corrigés du TD 8
Correction 9 Par l'absurde supposons que ln 3ln 2 est un rationnel. Il s'écrit p
q avec p >0, q > 0 des entiers. On obtient q ln 3 = p ln 2. En prenant l'exponentielle : exp(q ln 3) =exp(p ln 2) soit 3q = 2p. Si p > 1 alors 2 divise 3q, ce qui est absurde. Donc p = 0 oup = 1. Donc 3q = 2 ou 3q = 1. La seule solution possible est p = 0, q = 0. Ce quicontredit q 6= 0. Donc ln 3
ln 2 est irrationnel.
Correction 10 1. Soit x ∈ B : x2 > 2 ⇒ 2x2
< 1 ⇒ 4x2
< 2 ⇒ 2x∈ A. Soit x ∈ B,
on sait que2x∈ A ⇒ 2
x6 α ⇒ x >
2α
= β, donc β est bien un minorant. Soit
ε > 0, et b = β + ε. Alors, b > β ⇒ 2b<
2β
= α. Comme α est la borne supérieure
de A, cela veut dire qu'il existe x ∈ A tel que2b< x < α, et donc b >
2x> β où
2x∈ B, donc β est bien la borne inférieure de B.
2. D'après la caractérisation de la borne supérieure, ∀ε > 0, ∃x ∈ A,α − ε < x 6 α.En prenant le carré de cette inéquation, on obtient que ∀ε > 0, (α−ε)2 < x2 < 2, etdonc en prenant la limite lorsque ε→ 0, on montre que α2 6 2. α2 = 2⇒ α =
√2,
ce qui contredit le fait que α ∈ Q et√
2 6∈ Q. On montre de même que β2 > 2, puisque β2 > 2 car
√2 6∈ Q.
3. Comme α, β ∈ Q, γ =α+ β
2∈ Q, et on ne peut donc pas avoir que γ2 = 2. Si
γ2 < 2, alors par dé�nition γ ∈ A et donc γ 6 α ⇒ α+ β
26 α ⇒ β 6 α, ce
qui contredit le fait que α < 2 et β > 2. On montre de même que γ2 6> 2, ce quifournit une contradiction (γ a une valeur, qui doit être ou égale à 2, ou inférieure,ou supérieure). Ainsi l'hypothèse faîte dans l'énoncé est fausse, et A ne possède pasde borne supérieure dans Q.
Correction 11 Soit A = {x ∈ [0, 1]/f(x) > x}. 0 ∈ A, donc A est une partie non videet majorée (par 1) : A possède une borne supérieure α. Montrons que f(α) = α.Supposons f(α) < α : posons alors ε = α − f(α) > 0. Comme f croissante sur I =]α − ε, α], on a ∀x ∈ I, f(x) 6 f(α) = α − ε < x. Cette relation montre que α − ε
2 estun majorant de A. Ce qui est absurde, donc f(α) > α. De méme, si on suppose quef(α) > α, en posant ε = f(α)− α, on montre que α+ ε
2 est encore dans A.
3
UTBM automne 2010 page 21
MT11 Solutions des exercices corrigés du TD 9
Solutions des exercices corrigés du TD 9
Correction 17 1. Vraie. Toute sous-suite d'une suite convergente est convergente etadmet la même limite.
2. Faux. Un contre-exemple est la suite (un)n dé�nie par un = (−1)n. Alors (u2n)nest la suite constante (donc convergente) de valeur 1, et (u2n+1)n est constante devaleur −1. Cependant la suite (un)n n'est pas convergente.
3. Vraie. La convergence de la suite (un)n vers `, que nous souhaitons démontrer,s'écrit :
∀ε > 0 ∃N ∈ N tel que (n > N ⇒ |un − `| < ε.
Fixons ε > 0. Comme, par hypothèse, la suite (u2p)p converge vers ` alors il existeN1 tel
2p > N1 ⇒ |u2p − `| < ε.
Et de même, pour la suite (u2p+1)p il existe N2 tel que
2p+ 1 > N1 ⇒ |u2p+1 − `| < ε.
Soit N = max(N1, N2), alors
n > N ⇒ |un − `| < ε.
Ce qui prouve la convergence de (un)n vers `.
3
UTBM automne 2010 page 22
MT11 Solutions des exercices corrigés du TD 11
Solutions des exercices corrigés du TD 11
Correction 29 Non, par exemple f : R −→ R. Avec f(x) = sin 1x pour x 6= 0 et
f(0) = 0. f n'est pas continue (en 0), mais pour tout a, b et pour tout y ∈ [f(a), f(b)] ilexiste x ∈ [a, b] tel que y = f(x).
Correction 30 Notons l la limite de f en +∞ :
∀ε > 0 ∃A ∈ R x > A⇒ l − ε 6 f(x) 6 l + ε.
Fixons ε = +1, nous obtenons un A correspondant tel que pour x > A, f(x) 6 l+1. Nousvenons de montrer que f est bornée �à l'in�ni�. La fonction f est continue sur l'intervallefermé borné [0, A], donc f est bornée sur cet intervalle : il existe M tel que pour toutx ∈ [0, A], f(x) 6 M . En prenant M ′ = max(M, l+ 1), nous avons que pour tout x ∈ R,f(x) 6 M ′. Donc f est bornée sur R.
La fonction n'atteint pas nécessairement ses bornes : regardez f(x) = 11+x .
3
UTBM automne 2010 page 23
MT11 Solutions des exercices corrigés du TD 11
Solutions des exercices corrigés du TD 11
Correction 34 1. La fonction f1 est dérivable en dehors de x = 0. Pour savoir si f1
est dérivable en 0 regardons le taux d'accroissement :
f1(x)− f1(0)x− 0
= x cos1x.
Mais x cos(1/x) tend vers 0 (si x→ 0) car | cos 1/x| 6 1. Donc le taux d'accroisse-ment tend vers 0. Donc f1 est dérivable en 0 et f ′1(0) = 0.
2. Encore une fois f2 est dérivable en dehors de 0. Le taux d'accroissement en x = 0est :
f2(x)− f2(0)x− 0
=sinxx
sin1x
Nous savons que sinxx → 1 et que sin 1/x n'a pas de limite quand x → 0. Donc le
taux d'accroissement n'a pas de limite, donc f2 n'est pas dérivable en 0.
3. La fonction f3 s'écrit :
f3(x) =|x||x− 1|x− 1
.
� Donc pour x 6 1 on a f3(x) = x, pour 0 6 x < 1 on f3(x) = −x. Pour x < 0 ona f3(x) = x.
� La fonction f3 est dé�nie, continue et dérivable sur R \ {0, 1}.� La fonction f3 n'est pas continue en 1, en e�et limx→1+ f3(x) = +1 et limx→1− f3(x) =−1. Donc la fonction n'est pas dérivable en 1.
� La fonction f3 est continue en 0. Le taux d'accroissement pour x > 0 est
f3(x)− f3(0)x− 0
=−xx
= −1
et pour x < 0,f3(x)− f3(0)
x− 0=x
x= +1.
Donc le taux d'accroissement n'a pas de limite en 0 et donc f3 n'est pas dérivableen 0.
Correction 37 Le théorème des accroissement �nis donne : ln(n+ 1)− ln(n) = 1cn
(n+1− n) = 1
cn, avec cn ∈ [n, n+ 1]. Or cn > n donc 1
n > 1cn. Donc :
Sn =n∑k=1
1k
>n∑k=1
1ck
=n∑k=1
ln(k + 1)− ln(k) = ln(n+ 1).
La dernière égalité s'obtient car la somme est téléscopique. Donc Sn > ln(n + 1), doncSn → +∞.
UTBM automne 2010 page 24
MT11 Solutions des exercices corrigés du TD 11
Correction 38 1. Selon que n ≡ 0[4], 1[4], 2[4], 3[4] alors f (n)(x) vaut respectivementsinx, cosx, − sinx, − cosx.
2. La dérivée de sin2 x est 2 sinx cosx = sin 2x. Et donc les dérivées suivantes seront :2 cos 2x,−4 cos 2x, 8 sin 2x, 16 cos 2x,... Et selon que n ≡ 1[4], 2[4], 3[4], 0[4], alorsg(n)(x) vaut respectivement 2n−1 sin 2x, 2n−1 cos 2x, −2n−1 sin 2x, −2n−1 cos 2x.
3. sin(x)3 + cos(x)3 = −14 sin(3x) + 3
4 sin(x) + 14 cos(3x) + 3
4 cos(x) et on dérive...
3
UTBM automne 2010 page 25
MT11 Solutions des exercices corrigés du TD 12
Solutions des exercices corrigés du TD 12
Correction 46 1. ln cosx = −12x2 − 1
12x4 − 1
45x6 + o
(x7).
2.arctan(x)− x
sin(x)− x= 2− 11
10x2 + o
(x3).
3. ln(tan(1/2x+ 1/4π)) = x+16x3 + o
(x4).
4. ln sinx = ln(1/2√
2) + x− π
4−(x− π
4
)2+
23
(x− π
4
)3+ o
((x− π
4
)3).
5. (1 + x)1x = e
ln(1+x)x = e− 1/2 ex+
1124ex2 − 7
16ex3 + o
(x3).
3
UTBM automne 2010 page 26
MT11 Solutions des exercices corrigés du TD 13
Solutions des exercices corrigés du TD 13
Correction 49 1. En prenant le sinus de l'équation Arcsinx = Arcsin 25 + Arcsin 3
5on obtient x = sin(Arcsin 2
5 + Arcsin 35), donc x = 2
5 cos Arcsin 35 + 3
5 cos Arcsin 25 .
En utilisant la formule cos Arcsinx = +√
1− x2. On obtient x = 25
45 + 3
5
√2125 =
825 + 3
√21
25 .
2. En prenant le cosinus de l'équation Arccosx = 2Arccos 34 on obtient x = cos(2Arccos 3
4)on utilise la formule cos 2u = 2 cos2 u− 1 et on arrive à : x = 2(3
4)2 − 1 = 18 .
UTBM automne 2010 page 27
Recommended