Chapitre 2 : Limites et continuité

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I. Limite d'une fonction à l'infini 1. Limite finie à l’infini Définition On considère une fonction f et un réel l. On dit que f a pour limite l en lorsque tout intervalle contenant l contient toutes les valeurs de dès que x est suffisamment grand.

On écrit .

Remarque

• .

• On définit de manière analogue .

Exemples

•

si n est un entier strictement positif .

• .

Définition : Asymptote horizontale Lorsque (resp. ), on dit que la droite d'équation est asymptote

horizontale à en (resp. en ). 2. Limite infinie à l’infini Définition

+∞f x( )

limx→+∞

f x( ) = l

limx→+∞

f x( ) = l⇔ limx→+∞

f x( )− l = 0limx→−∞

f x( ) = l

limx→+∞

1x= 0 lim

x→+∞

1x2

= 0 limx→+∞

1x= 0

limx→+∞

1xn

= 0

limx→−∞

1x= 0 lim

x→−∞

1x2

= 0 limx→−∞

1xn

= 0

limx→+∞

f x( ) = l limx→−∞

f x( ) = l y = l

Cf +∞ −∞

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On dit que f a pou r limite en lorsque tout intervalle de la forme

contient toutes les valeurs de . . dès que x est suffisamment grand.

On écrit .

Remarque On définit de manière analogue . ., . .et . ..

Exemples

•

si n est un entier strictement positif .

• .

• si n est pair, si n est impair.

II. Limite infinie d'une fonction en un réel a 1. Limite infinie en un réel a Définition On considère une fonction f définie sur un ensemble ouvert dont le réel a est une borne. On dit que f a pour limite en a lorsque tout intervalle de la forme contient toutes

les valeurs de dès que x est assez proche de a.

On écrit .

limx→+∞

x = +∞ +∞ +∞ A;+∞⎤⎦ ⎡⎣f x( )

limx→+∞

f x( ) = +∞

limx→+∞

f x( ) = −∞ limx→−∞

f x( ) = +∞ limx→−∞

f x( ) = −∞

limx→+∞

x2 = +∞ limx→+∞

x3 = +∞

limx→+∞

xn = +∞ limx→+∞

x = +∞

limx→−∞

x = −∞ limx→−∞

x2 = +∞ limx→−∞

x3 = −∞

limx→−∞

xn = +∞ limx→−∞

xn = −∞

+∞ A;+∞⎤⎦ ⎡⎣f x( )

limx→af x( ) = +∞

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Remarque On définit de manière analogue .

2. Exemples

• .

• on dit que la limite de la fonction inverse en 0 à droite est .

• on dit que la limite de la fonction inverse en 0 à gauche est .

Définition : Asymptote verticale Lorsque (resp. ), on dit que la droite d'équation est

asymptote verticale à la courbe . III. Opération sur les limites 1. Limite d'une somme, d'un produit, d'un quotient Propriétés a désigné un réel, ou . l et désignent des réels.

limx→af x( ) = −∞

limx→0

1x2

= +∞ limx→0x>0

1x= +∞

limx→0x>0

1x= +∞ +∞

limx→0x<0

1x= −∞ −∞

limx→af x( ) = +∞ lim

x→af x( ) = −∞ x = a

Cf

+∞ −∞l '

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l

si si

si si

0 FI 0 FI

FI

l

0 0 FI

FI Exercice 1 1. Déterminer la limite des fonctions suivantes en :

.

2. Soit f fonction définie sur par .

a. Déterminer la limite de f en et en . Interpréter le résultat. b. Déterminer la limite de f en 5 à droite et à gauche. Interpréter le résultat. c. Dresser le tableau complet de variation de f.

limx→af x( ) lim

x→ag x( ) lim

x→af + g( ) x( ) lim

x→af × g( ) x( )

l ' l + l ' l × l '

l ≠ 0 +∞ +∞ +∞ l > 0−∞ l < 0

l ≠ 0 −∞ −∞−∞ l > 0+∞ l < 0

+∞ +∞−∞ −∞

+∞ +∞ +∞ +∞−∞ −∞ −∞ +∞+∞ −∞ −∞

limx→af x( ) lim

x→ag x( ) lim

x→a

fg

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟x( )

l ' ≠ 0 ll '

l > 0 0+ +∞0− −∞

l < 0 0+ −∞0− +∞

l ≥ 0+∞ 0+

−∞ 0−

l ≤ 0+∞ 0−

−∞ 0+∞ ∞

+∞

f x( ) = 5x3 − 3x2 + 2x +1 g x( ) = 2x2 − x +13x2 +5

! \ 5{ } f x( ) = x2

5− x+∞ −∞

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2. Limite d'une fonction composée Définition Soit deux fonctions f et g définies sur un ensemble I et J tels que l'image de I par f est contenue dans J : . la fonction obtenue en appliquant successivement f puis g, s'appelle la composée de f par g. Cette fonction est notée .

Pour tout réel x de I, on a : .

Exemple Soit f et g deux fonctions définies sur par : et .

Alors, pour tout réel x, . Théorème Soit a, b et c trois réels, ou . Soit f et g deux fonctions. Si et si , alors .

Exemple

On cherche à déterminer .

donc .

Exercice 2

1. Déterminer : .

2. Déterminer : .

De même (à faire à la maison).

f I( )⊂ J

g ! fg ! f x( ) = g f x( )( )

! f x( ) = 3x4 +5x −1 g x( ) = x2g ! f x( ) = g 3x4 +5x −1( ) = 3x4 +5x −1( )2

+∞ −∞limx→af x( ) = b lim

x→bg x( ) = c lim

x→ag ! f x( ) = c

limx→+∞

3+ 1x2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

limx→+∞

3+ 1x2

= 3

limX→3X 2 = 9

⎧

⎨⎪

⎩⎪

limx→+∞

3+ 1x2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= 9

limx→+∞

4+ 1x2 +1

limx→+∞

x2 + 2x + 3 − x

limx→−∞

4x2 − x + 3 + 2x

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3. Limites et comparaisons Propriétés Soit a et l deux réels, ou . Soit f , g et h trois fonctions. Si pour tout réel x voisin de a :

• et si , alors .

• et si , alors .

• et si , alors .

Exercice 3

Déterminer : .

De même (à faire à la maison).

IV. Continuité 1. Définition et propriétés Définition Soit a un réel et f une fonction définie sur un intervalle I contenant a. La fonction f est continue en a si .

La fonction f est continue sur l'intervalle I si f est continue en tout réel x de I. Graphiquement : la courbe représentative d'une fonction f continue sur un intervalle I, peut être tracée sur cet intervalle sans lever le crayon. Exemples

• La fonction inverse est continue sur et sur , mais n'est pas

continue en 0.

• La fonction partie entière n'est pas continue sur , mais elle est continue sur tout intervalle de la forme

, où n est un nombre entier.

+∞ −∞

g x( ) ≤ f x( ) ≤ h x( ) limx→ag x( ) = lim

x→ah x( ) = l lim

x→af x( ) = l

g x( ) ≤ f x( ) limx→ag x( ) = +∞ lim

x→af x( ) = +∞

f x( ) ≤ h x( ) limx→ah x( ) = −∞ lim

x→af x( ) = −∞

limx→+∞

10− x5− cos x

limx→−∞

3− xsin x + 2

limx→af x( ) = f a( )

−∞;0⎤⎦ ⎡⎣ 0;+∞⎤⎦ ⎡⎣ !

n;n+1⎤⎦ ⎡⎣

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Propriété Une fonction dérivable en un réel a est continue en a. Une fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle. Exemples

Les fonctions usuelles ( ), les fonctions polynômes et

les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle de leur ensemble de définition. Remarque Une fonction continue en un réel a n'est pas nécessairement dérivable en a. Par exemple fonction est continue en 0, mais n'est pas dérivable en 0. Exercice 4

On considère la fonction f définie sur par .

Pour quelle valeur de k la fonction f est-elle continue sur ? 2. Théorème des valeurs intermédiaires Soit une fonction f continue sur un intervalle . Alors f atteint son minimum m et son

maximum M, et pour tout réel k compris entre m et M, il existe au moins un réel c dans

tel que .

x! x,x! x2 ,x! x ,x! x ,x! 1x

x! x

! f x( ) = x2 − 3x +5 si x < 0k si x ≥ 0

⎧⎨⎩⎪

!

a;b⎡⎣ ⎤⎦a;b⎡⎣ ⎤⎦

f c( ) = k

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Théorème Si la fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle , alors pour tout

réel k compris entre et , il existe un unique réel c dans tel que . Convention Les flèches du tableau de variation indiquent la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l'intervalle considéré. Exercice 5 Soit f la fonction définie sur par : . 1. Déterminer les limites de f en et en . 2. Dresser le tableau de variation complet de la fonction f sur . 3. a. Montrer que l'équation admet une unique solution sur .

b. Déterminer une valeur approchée de à près. 4. En déduire le signe de sur . Exercice 100 – 105 – 106 – 107 p 79 – 82 Déclic

a;b⎡⎣ ⎤⎦f a( ) f b( ) a;b⎡⎣ ⎤⎦ f c( ) = k

! f x( ) = 2x3 + 3x2 − 2x +8+∞ −∞

!f x( ) = 0 α !

α 10−2

f x( ) !