Limites Et Continuité (1)

Universit Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne

Limites et continuitBernard Ycart

Vous avez dj une comprhension intuitive de ce quest la limite dune fonction. Cechapitre nen est pas moins le plus important de votre cours danalyse. Cest loccasionou jamais de comprendre les epsilons ! Votre travail devrait tre facilit si vous avezdj assimil le chapitre sur les suites, mais ce nest pas indispensable.

Table des matires1 Cours 1

1.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Oprations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Limites unilatrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Convergence des fonctions monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6 Comparaison de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.7 Limites connatre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.8 Continuit en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.9 Continuit sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Entranement 222.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4 Devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.5 Corrig du devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 Complments 423.1 Cauchy et les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2 Continuit uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.3 Arguments de continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.4 Discontinuits des fonctions monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.5 Pourquoi dfinir la continuit ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

8 novembre 2011

Maths en Ligne Limites et continuit UJF Grenoble

1 Cours1.1 Vocabulaire

Une fonction f de R dans R est dfinie par son graphe : cest un sous-ensemble de R R, tel que pour tout x R, au plus un rel y vrifie (x, y) . Sil existe,ce rel y est limage de x et est not f(x). Lensemble des x qui ont une image par fest le domaine de dfinition de f . Nous le noterons Df . La notation standard est lasuivante :

fDf Rx 7 f(x)

Si A est un sous-ensemble de Df , limage de A, note f(A), est lensemble des imagesdes lments de A.

f(A) = { f(x) , x A }Si B est un sous-ensemble de R, limage rciproque de B, note f1(B), est lensembledes antcdents des lments de B.

f1(B) = {x Df , f(x) B }

Attention la notation f1 : f1(B) est dfini mme si f nest pas bijective. Parexemple, si f est lapplication valeur absolue, x 7 |x|,

f(] 2, 1[) = [0, 2[ et f1([1, 2]) = [2,1] [1, 2]

Dfinition 1. Soit f une fonction, de domaine de dfinition Df , valeurs dans R.On dit que f est : constante si x, y Df , f(x) = f(y) croissante si x, y Df , (x 6 y) = (f(x) 6 f(y)) dcroissante si x, y Df , (x 6 y) = (f(x) > f(y)) strictement croissante si x, y Df , (x < y) = (f(x) < f(y)) strictement dcroissante si x, y Df , (x < y) = (f(x) > f(y)) monotone si elle est croissante ou dcroissante majore si f(Df ) est major minore si f(Df ) est minor borne si f(Df ) est bornLe plus souvent, ces dfinitions sappliqueront des restrictions de f un intervalle

I inclus dans Df .f|I

I Rx 7 f(x)

1


Dfinition 2. Soit f une fonction de R dans R et x Df . Soit P une des propritsde la dfinition 1. On dit que f possde la proprit P au voisinage de x sil existe un intervalle ouvert I contenant x, tel que la restric-tion de f I possde la proprit P . au voisinage de + sil existe un rel A tel que la restriction de f ]A,+[possde la proprit P . au voisinage de sil existe un rel A tel que la restriction de f ] , A[possde la proprit P .

Par exemple, la fonction valeur absolue x 7 |x|, est : dcroissante au voisinage de dcroissante au voisinage de 1 croissante au voisinage de 1 croissante au voisinage de + borne au voisinage de 0Les oprations sur les rels stendent aux fonctions de manire naturelle. addition :

f + gDf Dg R

x 7 (f + g)(x) = f(x) + g(x) multiplication :

fgDf Dg R

x 7 (fg)(x) = f(x)g(x) multiplication par un rel :

fDf Rx 7 (f)(x) = (f(x))

comparaison :f 6 g x Df Dg , f(x) 6 g(x)

Laddition a les mmes proprits que celle des rels : lensemble des fonctions de Rdans R muni de laddition est un groupe commutatif. Muni de laddition et de lamultiplication par un rel, cest un espace vectoriel. Cependant, le produit de deuxfonctions peut tre nul sans que les deux fonctions le soient.

1.2 ConvergenceNous commenons par la convergence en un point, vers une limite finie. Afin dviter

les cas pathologiques, nous supposerons toujours que les fonctions tudies sont dfiniesau voisinage du point considr (cf. dfinition 2).

2


Dfinition 3. Soit a un rel et f une fonction dfinie au voisinage de a, sauf peut-treen a, et valeurs dans R. Soit l un rel. On dit que f tend vers l quand x tend versa, ou que f a pour limite l en a si

> 0 , > 0 , (0 < |x a| 6 ) = (|f(x) l| 6 ) (1)On notera :

limxa f(x) = l ou bien f(x) xa l .

Tout intervalle centr en l contient toutes les valeurs f(x), pour x suffisammentproche de a. Observez que f peut trs bien ne pas tre dfinie en a, et admettre quandmme une limite en a. Voici un premier exemple (figure 1).

fR Rx 7 f(x) = x sin(1/x)

Pour tout x R, 1 6 sin(1/x) 6 1. Donc si |x| 6 et x 6= 0, alors |x sin(1/x)| 6 :

-0.30 -0.24 -0.18 -0.12 -0.06 0.00 0.06 0.12 0.18 0.24 0.30-0.30

-0.24

-0.18

-0.12

-0.06

0.00

0.06

0.12

0.18

0.24

0.30

.

f(x)

x

f(x)=x sin(1/x)

Figure 1 Graphe de la fonction x 7 x sin(1/x).

f(x) tend vers 0 quand x tend vers 0.La convergence peut se caractriser en termes de suites.

Thorme 1. Soit a un rel et f une fonction dfinie au voisinage de a, sauf peut-treen a, et valeurs dans R. Soit l un rel. La fonction f tend vers l quand x tend versa, si et seulement si, pour toute suite (xn), valeurs dans Df \{a} et convergeant versa, la suite (f(xn)) converge vers l.

Dmonstration : Montrons dabord la condition ncessaire : si f tend vers l au sensde la dfinition 3, alors pour toute suite (xn) convergeant vers a, la suite (f(xn)) tendvers l.

3


Soit > 0, et tel que si 0 < |x a| 6 , alors |f(x) l| < . Soit (xn) une suitede Df \ {a} convergeant vers a. Il existe n0 tel que pour tout n > n0, 0 < |xn a| 6 .Mais 0 < |xn a| 6 entrane |f(xn) l| 6 , par hypothse. Donc la suite (f(xn))converge vers l.

Voici maintenant la condition suffisante, dont nous allons dmontrer la contrapose :si f ne tend pas vers l, alors il existe une suite (xn) convergeant vers a telle que la suite(f(xn)) ne tend pas vers l. Ecrivons donc que f ne tend pas vers l.

> 0 , > 0 , x Df , (0 < |x a| 6 ) (|f(x) l| > )

Posons = 1/n :

x Df , (0 < |x a| 6 1/n) (|f(x) l| > )

Notons xn un des rels dont lexistence est affirme ci-dessus. La suite (xn) convergevers a car |xna| < 1/n, pourtant la suite (f(xn)) ne tend pas vers l, car |f(xn)l| > .

Voici deux consquences faciles de la dfinition.

Proposition 1. Soit f une fonction de R dans R et a un rel.1. Si f(x) converge quand x tend vers a, alors la limite est unique.2. Si a Df et si f(x) converge vers l R quand x tend vers a, alors f est borne

au voisinage de a.

Dmonstration :1. Supposons que f vrifie la dfinition 3 pour deux rels l et l distincts. Posons = |l l|/3. Alors les intervalles [l , l+ ] et [l , l+ ] sont disjoints. Pourx suffisamment proche de a, le rel f(x) devrait appartenir aux deux intervalles la fois : cest impossible.

2. Fixons > 0, et tel que f(x) reste dans lintervalle ]l , l + [ pour tout0 < |x a| 6 . Alors :

x [a , a+ ] Df , f(x) 6 l +

etx [a , a+ ] Df , f(x) > l

Donc f est majore et minore au voisinage de a.

4


1.3 Oprations sur les limitesLa notion de limite se combine avec les oprations sur les fonctions comme on

lattend. Nous noncerons les rsultats dans le thorme 2. Ils peuvent se dduire desrsultats analogues sur les suites numriques, via le thorme 1. Nous conseillons aulecteur de le vrifier, puis de comparer cette approche avec les dmonstrations directesqui suivent. Elles sont bases sur le lemme suivant.

Lemme 1. Soit a un rel. Soient f et g deux fonctions de R dans R, dfinies auvoisinage de a, sauf peut-tre en a.

1. Silimxa f(x) = limxa g(x) = 0

alorslimxa(f + g)(x) = 0

2. Si f est borne au voisinage de a et

limxa g(x) = 0 ,

alorslimxa(fg)(x) = 0

Dmonstration :1. Fixons > 0. Soit 1 tel que pour 0 < |xa| 6 1, |f(x)| 6 /2. De mme, soit 2

tel que pour 0 < |xa| 6 2, |g(x)| < /2. Alors, pour 0 < |xa| 6 min{1, 2},

|(f + g)(x)| = |f(x) + g(x)| 6 |f(x)|+ |g(x)| 6 2 +

2 = ,

do le rsultat.2. Soit 1 et M deux rels tels que

x [a 1, a+ 1] , |f(x)| 6M .Fixons > 0. Soit 2 tel que pour 0 < |x a| 6 2, |g(x)| 6 /M . Alors, pour0 < |x a| 6 min{1, 2},

|(fg)(x)| = |f(x)| |g(x)| 6M M

= ,

do le rsultat.

Thorme 2. Soit a un rel. Soient f et g deux fonctions de R dans R, dfinies surun intervalle ouvert autour de a.

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1. Silimxa f(x) = l et limxa g(x) = l

alorslimxa(f + g)(x) = l + l

2. Silimxa f(x) = l et limxa g(x) = l

alorslimxa(fg)(x) = ll

Dmonstration : Pour nous ramener au lemme 1, observons dabord que f(x) tendvers l quand x tend vers a, si et seulement si f(x) l tend vers 0.

1. Quand x tend vers a, f(x) tend vers l et g(x) tend vers l, donc f(x)l et g(x)ltendent vers 0. Donc

f(x) l + g(x) l = (f + g)(x) (l + l)

tend vers 0 daprs le point 1. du lemme 1. Do le rsultat.2. Nous voulons montrer que f(x)g(x) ll tend vers 0. Ecrivons :

f(x)g(x) ll = f(x)(g(x) l) + (f(x) l)l .

Il suffit de montrer sparment que les deux fonctions f(g l) et (f l)l tendentvers 0, daprs le premier point du lemme 1. Mais chacune de ces deux fonctionsest le produit dune fonction convergeant vers 0 par une fonction borne au voi-sinage de 0 (f est borne au voisinage de 0 car elle converge). Do le rsultat,par le point 2. du lemme 1.

Si une application est constante, sa limite en tout point est gale cette constante.

Comme cas particulier du thorme 2, si f(x) tend vers l quand x tend vers a, et estun rel quelconque, alors la limite en a de f(x) est l.Le rsultat attendu sur la composition des limites se vrifie, un dtail prs.

Thorme 3. Soient a et b deux rels. Soit f et g deux fonctions dfinies respective-ment au voisinage de a et au voisinage de b, g tant dfinie en b. On suppose :

limxa f(x) = b et limyb g(y) = g(b) .

Alorslimxa g f(x) = g(b) .

6


Dmonstration : Soit un rel strictement positif. Il existe 1 > 0 tel que

|y b| 6 1 = |g(y) g(b)| 6

Il existe 2 tel que0 < |x a| 6 2 = |f(x) b| 6 1

Donc :0 < |x a| 6 2 = |g(f(x)) g(b)| 6

1.4 Limites unilatralesUne fonction f peut converger vers une limite finie, comme nous lavons vu prc-

demment, ou bien + ou . De plus les valeurs de la variable, qui approchaient ades deux cts dans les dfinitions prcdentes, peuvent ne lapprocher que dun seulct : ce sont les notions de limite gauche, et de limite droite. On peut aussi cher-cher une limite quand x tend vers + et . Au total, ce ne sont pas moins de 15dfinitions diffrentes que nous devons donner. Vous reconnatrez dans ces dfinitionsun principe gnral : f(x) tend vers l (fini ou infini) quand x tend vers a (fini ou infini),si pour tout voisinage Vl de l, il existe un voisinage Va de a tel que f(Va \{a}) Vl. Ladfinition prcise de la notion de voisinage relve de la topologie, et dpasse le cadre dece cours. Un voisinage de + sera compris comme un intervalle de la forme [A,+[.De mme, un voisinage de sera un intervalle de la forme ], A]. Un voisinage gauche dun rel a sera un intervalle du type [a , a[, tandis quun voisinage droite sera de la forme ]a, a + ]. Nous donnons les diffrentes dfinitions sousforme de tableaux. Plutt que dapprendre les 5 tableaux par cur, il est conseill dencomprendre le principe pour tre capable de retrouver ces dfinitions en cas de besoin.

Limites bilatralesNotation Dfinition Exemple

limxa f(x) = l , 0 < |x a| 6 = |f(x) l| 6 limx0x = 0limxa f(x) = + A , 0 < |x a| 6 = f(x) > A limx0 1/|x| = +limxa f(x) = A , 0 < |x a| 6 = f(x) 6 A limx01/|x| =

Limites gaucheNotation Dfinition Exemple

limxa

f(x) = l , a 6 x < a = |f(x) l| 6 limx0

x/|x| = 1limxa

f(x) = + A , a 6 x < a = f(x) > A limx0

1/x = +limxa

f(x) = A , a 6 x < a = f(x) 6 A limx0

1/x =

7


Limites droiteNotation Dfinition Exemple

limxa+

f(x) = l , a < x 6 a+ = |f(x) l| 6 limx0+

x/|x| = +1limxa+

f(x) = + A , a < x 6 a+ = f(x) > A limx0+

1/x = +limxa+

f(x) = A , a < x 6 a+ = f(x) 6 A limx0+

1/x =

La limite bilatrale des sections prcdentes peut se caractriser en termes de limites gauche et droite.

Proposition 2. Soit f une fonction de R dans R et a un rel. La fonction f admet lpour limite en a, si et seulement si elle admet l pour limite gauche et droite en a.

Dmonstration : Nous le dmontrons pour une limite finie. Ce qui suit est facile adapter une limite infinie. La condition ncessaire est vidente au vu des dfinitions.Pour la condition suffisante, supposons

limxa

f(x) = limxa+

f(x) = l

Fixons > 0. Il existe 1 et 2 tels que

a 1 6 x < a = |f(x) l| 6 et a < x 6 a+ 2 = |f(x) l| 6 Prenons = min{1, 2}, alors

0 < |x a| 6 = |f(x) l| 6 .

Voici maintenant les dfinitions des limites en + et .Limites en

Notation Dfinition Exemplelim

x f(x) = l B , x 6 B = |f(x) l| 6 limx 1/x = 0lim

x f(x) = + A B , x 6 B = f(x) > A limxx = +lim

x f(x) = A B , x 6 B = f(x) 6 A limxx =

Limites en +Notation Dfinition Exemple

limx+ f(x) = l B , x > B = |f(x) l| 6 limx+ 1/x = 0lim

x+ f(x) = + A B , x > B = f(x) > A limx+x = +lim

x+ f(x) = A B , x > B = f(x) 6 A limx+x =

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Pour chacune de ces dfinitions, il existe une caractrisation en termes de suites, ana-logue au thorme 1. Par exemple, la limite gauche de f en a vaut si et seulementsi pour toute suite (xn) convergeant vers a et telle que pour tout n, xn < a, la suite(f(xn)) tend vers . Nous laissons au lecteur le soin de dmontrer, titre dexercice,chacune de ces caractrisations, sur le modle du thorme 1.En ce qui concerne les oprations, le thorme 2 stend aux limites gauche, droite,en et en +, sans aucune difficult. Les seuls problmes viennent des limites ven-tuellement infinies. Dans le cas o les limites de f et g peuvent tre infinies, diffrentessituations peuvent se produire pour la somme et le produit. Nous les rsumons dansles tableaux 1 et 2. Dans ces deux tableaux, lim dsigne indiffremment une limitebilatrale, gauche, droite, en ou en + (du mme type pour f et g). Lespoints dinterrogations sont des formes indtermines : tous les cas sont possibles. Parexemple : f(x) = 1/|x|, g(x) = 1/|x| : f + g tend vers 0 quand x tend vers 0. f(x) = 1/|x|, vn = 1/x2 : f + g tend vers quand x tend vers 0. f(x) = 1/|x|, g(x) = sin(1/x) 1/|x| : f + g na pas de limite en 0.

lim f(x) \ lim g(x) l + l l + l +

+ + + ? ?

Table 1 Limites possibles de f + g en fonction des limites de f et g.

lim f(x) \ lim g(x) l > 0 l < 0 l = 0 + l > 0 ll ll 0 + l < 0 ll ll 0 +l = 0 0 0 0 ? ?+ + ? + + ? +

Table 2 Limites possibles de fg en fonction des limites de f et g.

Mises part les formes indtermines, chacune des cases des tableaux 1 et 2 rsume 5thormes : un pour chacun des diffrents types de limites. Il est conseill au lecteurde les dmontrer, soit directement sur le modle du thorme 2, soit en utilisant lacaractrisation par les suites voque plus haut.

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1.5 Convergence des fonctions monotonesComme pour les suites, la monotonie entrane lexistence de limites .

Thorme 4. Soit ]a, b[ un intervalle ouvert, et f une fonction croissante sur ]a, b[.Les limites de f droite en a et gauche en b existent et :

limxa+

f(x) = inf(f(]a, b[)) ; limxb

f(x) = sup(f(]a, b[))

Dmonstration : Supposons dabord que f est minore : f(]a, b[) est une partie minorede R, elle admet donc une borne infrieure finie, notons-la l. Soit un rel positif fix.Par dfinition de la borne infrieure, il existe c ]a, b[ tel que l 6 f(c) 6 l + . Maisalors, puisque f est croissante,

a < x 6 c = l 6 f(x) 6 l + Donc f admet l pour limite droite en a. Si f nest pas minore, pour tout A, il existec ]a, b[, tel que f(c) 6 A. Puisque f est croissante :

a < x 6 c = f(x) 6 f(c) 6 ADonc la limite droite de f en a est .

Pour la limite gauche en b, on procde de manire analogue, en distinguant le caso f est majore, du cas o elle ne lest pas.

Lnonc du thorme 4, reste vrai si a = , ou b = +. Evidemment, le mmersultat vaut pour une fonction dcroissante, en inversant le rle de sup et inf. Onretiendra que

toute fonction monotone sur un intervalle admet une limite gaucheet une limite droite en tout point de cet intervalle.

La limite gauche peut trs bien ne pas tre gale la limite droite. Par exemple,la fonction partie entire est croissante sur R, et pour tout n Z,

limxn

bxc = n 1 et limxn+

bxc = n

1.6 Comparaison de fonctionsDans cette section, a est un rel quelconque, et nous considrons la limite (bilatrale)

dune fonction f en a, au sens de la dfinition 3. Toutes les fonctions sont supposestre dfinies au voisinage de a, sauf peut-tre en a.

Tous les rsultats de la section valent aussi pour des limites gauche, droite, en et en +. Ladaptation des dmonstrations aux autres types de limite est unexercice conseill.Le rsultat de base pour comparer deux limites est le suivant.

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1

3

0 2 3 4

1

2

Figure 2 Graphe de la fonction partie entire x 7 bxc.

Thorme 5. Soient a un rel, f et g deux fonctions dfinies sur un intervalle ouvertI contenant a. Si pour tout x I, f(x) g(x), alors

limxa f(x) 6 limxa g(x) .

Dmonstration : Supposons lim f(x) > lim g(x). Alors la limite en a de la fonction fgest strictement positive. Notons l cette limite. Il existe > 0 tel que 0 < |x a| 6 entrane f(x) g(x) [ l2 , 3l2 ], donc f(x) g(x) > 0, ce qui contredit lhypothse.

Le fait de supposer f(x) < g(x) ne renforce pas la conclusion : bien que |x| < 2|x|pour tout x R,

limx0 |x| = limx0 2|x| = 0 .

Le thorme 5 ne permet pas de dmontrer que lune des deux fonctions f ou gconverge en a. Pour cela, on utilise souvent le rsultat suivant.

Thorme 6. Soient f et g deux fonctions telles que g(x) tend vers 0 quand x tend versa. Sil existe un intervalle ouvert I contenant a tel que pour tout x I, |f(x)| 6 |g(x)|,alors f(x) tend vers 0 en a.

Dmonstration : Pour tout > 0, il existe tel que pour 0 < |x a| 6 :

|f(x)| 6 |g(x)| 6 ,

do le rsultat. On en dduit le corollaire suivant.

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Corollaire 1. Soient f , g et h trois fonctions telles que quand x tend vers a, f(x)et h(x) convergent vers la mme limite l. Supposons de plus quil existe un intervalleouvert I contenant a, tel que pour tout x I,

f(x) 6 g(x) 6 h(x) .

alors g(x) converge vers l.

Dmonstration : Il suffit dappliquer le thorme 6 aux deux fonctions h g et h f .

Soit par exempleg

R Rx 7 g(x) = x sin(1/x)

Posons f(x) = |x|, h(x) = |x|. Les deux fonctions f et h tendent vers 0 en 0, et pourtout x R,

f(x) 6 g(x) 6 h(x)Donc g(x) tend vers 0 quand x tend vers 0, comme f et h (cf. figure 1).La comparaison vaut aussi pour les limites infinies.

Thorme 7. Soient a un rel, f et g deux fonctions dfinies sur un intervalle ouvertI contenant a. Supposons que, pour tout x I, f(x) g(x).

1.Si lim

xa f(x) = + alors limxa g(x) = + .2.

Si limxa g(x) = alors limxa f(x) = .

Dmonstration : Pour tout A, il existe tel que pour 0 < |x a| < :

g(x) > f(x) > A ,

donc g tend vers + si f tend vers +. La dmonstration de lautre affirmation estanalogue.

Le vocabulaire de la comparaison des fonctions est analogue celui des suites, avecla difficult supplmentaire quil faut toujours savoir de quelle limite il sagit (bilatrale, gauche, droite, en ou en +). Nous crivons la dfinition ci-dessous pour deslimites bilatrales en a, elle sadapte sans problme aux 4 autres types de limites.

Dfinition 4. Soient a un rel, f et g deux fonctions dfinies sur un intervalle ouvertI contenant a.

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1. On dit que la fonction f est domine par la fonction g au voisinage de a si :

M R , x I , |f(x)| M |g(x)| .On crit f(x) = O(g(x)), qui se lit f(x) est un grand O de g(x) (au voisinagede a).

2. On dit que la fonction f est ngligeable devant la fonction g si :

> 0 , , 0 < |x a| 6 = |f(x)| 6 |g(x)| .On crit f(x) = o(g(x)), qui se lit f(x) est un petit o de g(x) (au voisinagede a).

3. On dit que la fonction f est quivalente la fonction g si :

> 0 , , 0 < |x a| 6 = |f(x) g(x)| 6 |g(x)| .On crit f(x) g(x), qui se lit f(x) est quivalent g(x) (au voisinage dea).

Trs souvent, on appliquera ces dfinitions pour une fonction g non nulle au voi-sinage de a, sauf peut-tre en a ; dans ce cas, la comparaison se lit sur le rapportf(x)/g(x).

Proposition 3. Soient a un rel, f et g deux fonctions dfinies sur un intervalle ouvertI contenant a. On suppose que la fonction g ne sannule pas sur I \ {a}.

1. f est domine par g au voisinage de a si et seulement si le quotient f/g estborn :

M R , x I \ {a} ,f(x)g(x)

M .2. f est ngligeable devant g si et seulement si le quotient f/g tend vers 0 :

> 0 , , 0 < |x a| 6 =f(x)g(x)

6 .3. f est quivalente g si et seulement si le quotient f/g tend vers 1 :

> 0 , , 0 < |x a| 6 =f(x)g(x) 1

6 .Par exemple, au voisinage de 0 :

4x2 + 9x = O(

x) ,

4x2 + 9x = o(x1/4) ,

4x2 + 9x 3x .Au voisinage de + :

4x2 + 9x = O(x) ,

4x2 + 9x = o(x2) ,

4x2 + 9x 2x .

13


Insistons sur la ncessit de bien prciser le type de limite que lon considre. Le plussouvent, il sagira de limites en + ou de limites droite en 0. On passe des unesaux autres en remplaant la variable x par y = 1/x. Pour tudier une limite en a, onse ramne une limite en 0 en posant x a = y. Le changement de variable y = xpermet de passer des limites gauche aux limites droite, des limites en auxlimites en +.

Observons que f(x) = o(g(x)) entrane f(x) + g(x) g(x), ce qui est particuli-rement utile pour les polynmes. Les quivalents sont souvent utiliss pour le calculde limites de produits ou de quotients, car si f1(x) g1(x), et f2(x) g2(x) alorsf1(x)f2(x) g1(x)g2(x). Par contre il ne faut pas les utiliser pour des sommes. Parexemple, au voisinage de + :

f(x) = x+ sin(x) x et g(x) = x+ sin(x) x

Pourtant, f(x) + g(x) nest pas quivalent 0.Soit f la fonction dfinie sur ]0,+[ par :

f(x) =x2 + x+ 13

8x3 + x2.

Commenons par les limites droite en 0. Le numrateur tend vers 1 en 0. Pour lednominateur 8x3 = o(x2), donc f(x) x2/3 :

limx0+

f(x)x2/3

= 1

Considrons maintenant les limites en +. Puisque x+ 1 = o(x2), x2 + x+ 1 x2 etx2 + x+ 1 x. Pour le dnominateur, 38x3 + x2 2x, donc f(x) tend vers 1/2.

limx+ f(x) =

12

Nous admettrons pour linstant les quivalents suivants au voisinage de 0, qui serontjustifis plus loin. Vous devez les connatre par cur.

Thorme 8. Au voisinage de 0, sin(x), ex 1 et ln(1 + x) sont quivalents x.

limx0

sin(x)x

= limx0

ex 1x

= limx0

ln(1 + x)x

= 1

Nous rassemblons dans la section suivante dautres limites classiques concernantlexponentielle et le logarithme, quil est galement bon de connatre.

14


1.7 Limites connatreLes limites tudies dans cette section permettent de comparer exponentielles, lo-

garithmes et puissances de x. Vous connaissez certainement dj le comportement deces fonctions au voisinage de 0 et de +.

limx+ ln(x) = limx+x = limx+ e

x = +

Vous connaissez sans doute aussi le rsultat suivant.

Proposition 4. Soit b un rel strictement positif.

limx+ e

bx = 0 .

Dmonstration : Posons f(x) = ebx. La fonction f est dcroissante, donc elle admetune limite en +. Pour identifier cette limite, il suffit de trouver la limite de la suite(ebxn), o (xn) est une suite particulire tendant vers +. Pour tout n N, posonsxn = n ln(2)/b. Comme ln(2) ' 0.69 et b sont positifs, (xn) tend vers +. On aebxn = 2n, qui tend vers 0 quand n tend vers linfini.

Proposition 5. Soient a et b deux rels strictement positifs.

limx+x

aebx = 0 .

Dmonstration : Posons f(x) = xaebx. Ltude des variations de la fonction f surR+, montre quelle est croissante sur [0, a/b], dcroissante sur [a/b,+[. Comme elleest minore par 0, elle admet une limite en +. Comme f(x) > 0 sur ]0,+[, lalimite de f en + est positive ou nulle. Il nous reste montrer quelle est nulle. Pourcela observons que ce que nous avons dit de f reste vrai si on remplace b par b/2 : lafonction qui x associe xae(b/2)x admet un maximum en x = 2a/b. On a donc :

f(x) = xaebx = xae(b/2)xe(b/2)x 6 (2a/b)aeae(b/2)x

Or e(b/2)x tend vers 0 quand x tend vers + (proposition 4). Do le rsultat. Ce rsultat peut paratre paradoxal : si a = 100, x100 crot trs vite (2100 ' 1030),

et si b = 0.01, ebx dcrot lentement (e0.02 ' 0.98). Pourtant, cest lexponentielle quifinit par lemporter et la limite en + est nulle.

On retiendra que :

lexponentielle lemporte sur les puissances de x,les puissances de x lemportent sur le logarithme.

15


Cest un moyen mnmotechnique de lever des indterminations du type 0 dansles calculs de limite : si lun des facteurs lemporte sur lautre, cest lui qui dictela limite. Par exemple, dans la proposition 5, la limite de xaebx est la mme que cellede ebx, bien que xa tende vers +. Nous rassemblons dans la proposition ci-aprsquelques exemples de limites du mme type que celle de la proposition 5. Toutes sendduisent par des changements de variables : cest un exercice facile que nous vousconseillons.

Proposition 6. Soient a et b deux rels strictement positifs.

limx+x

aebx = 0 limx+x

aebx = +

limx |x|

aebx = 0 limx |x|

aebx = +

limx+(ln(x))

axb = 0 limx+(ln(x))

axb = +

limx0+

| ln(x)|axb = 0 limx0+

| ln(x)|axb = + .

1.8 Continuit en un pointUne fonction f est continue en a quand elle admet f(a) comme limite en a.

Dfinition 5. Soit a un rel et f une fonction dfinie au voisinage de a. On dit que fest :

1. continue en a silimxa f(x) = f(a)

soit : > 0 , > 0 , |x a| 6 = |f(x) f(a)| 6

2. continue gauche en a silimxa f(x) = f(a)

soit : > 0 , > 0 , 0 6 a x 6 = |f(x) f(a)| 6

3. continue droite en a silimxa+ f(x) = f(a)

soit : > 0 , > 0 , 0 6 x a 6 = |f(x) f(a)| 6

Par exemple la fonction partie entire x 7 bxc est continue en a si a nest pas unentier. Elle est continue droite (mais pas gauche) en a si a est entier : voir figure 2.On dduit du thorme 1 une caractrisation de la continuit en termes de suites.

16


Thorme 9. La fonction f est continue en a, si et seulement si pour toute suite derels (xn) telle que n , xn Df et convergeant vers a, la suite (f(xn)) converge versf(a).

Observons que si une fonction est continue en un point, elle est ncessairementdfinie en ce point. Nous avons vu quune fonction f pouvait admettre une limite ena, sans tre dfinie en a. Si cest le cas, on appelle prolongement par continuit de fen a, la fonction f , dfinie sur Df {a}, et telle que

x Df , f(x) = f(x) et f(a) = limxa f(x)

Par exemple,f

R Rx 7 f(x) = x sin(1/x)

Cette fonction peut tre prolonge par continuit en 0 :

fR Rx 7 f(x) = x sin(1/x) si x 6= 00 7 f(0) = 0

Des thormes 2 et 3, on dduit que la somme, le produit, la compose de deux fonctionscontinues sont continues.

Thorme 10. Soient f et g deux fonctions. Soit a un rel.1. Si f et g sont continues en a, alors f + g et fg sont continues en a.2. Si f est continue en a et g est continue en f(a), alors g f est continue en a.Ce thorme permet de dmontrer la continuit de toutes les fonctions que vous

aurez examiner, condition dadmettre la continuit des briques de base quesont les fonctions usuelles.

Toutes les fonctions usuelles sont continues en tout point o elles sont dfiniesCeci concerne les fonctions puissances, exponentielle, logarithme, sinus, cosinus, maisexclut bien sr la partie entire et la partie dcimale. titre dexemple, nous allons le dmontrer pour la fonction x 7 1/x.Proposition 7. La fonction f qui x associe 1/x est continue en tout point de R.

Dmonstration : Soit a un rel non nul. Soit > 0. Notons

= min{a2/2, |a|/2}

17


Si |x a| 6 , alors |x| > |a|/2. Donc :1x 1a = |x a||a| |x| 6 |x a|a2/2

Donc, |x a| 6 entrane |f(x) f(a)| 6 . Les fonctions constantes, ainsi que la fonction identit x 7 x sont videmment

continues en tout point de R. Du thorme 10, on dduit quil en est de mme pourles fonctions polynmes. En utilisant la proposition 7, on obtient que toute fractionrationnelle (quotient de deux fonctions polynmes) est continue en tout point o sondnominateur ne sannule pas.

1.9 Continuit sur un intervalleDfinition 6. Soit f une fonction dfinie sur un intervalle I ouvert non vide de R.On dit que f est continue sur I si f est continue en tout point de I.

Cette dfinition comporte une petite ambigut pour les intervalles qui ne sont pasouverts. Nous conviendrons quune fonction continue sur [a, b] est continue en toutpoint de ]a, b[ et que de plus, elle est continue droite en a et gauche en b.Le rsultat important de cette section est le thorme des valeurs intermdiaires.

Thorme 11. Soit I un intervalle de R et f une fonction continue sur I. Soit

m = inf{ f(x) , x I } et M = sup{ f(x) , x I }

Si m < M , alors, pour tout rel y tel que m < y < M , il existe c I tel que f(c) = y.La figure 3 illustre le thorme des valeurs intermdiaires. Le rsultat est tout

fait intuitif : si une fonction continue prend deux valeurs distinctes sur un intervalle,elle prend ncessairement toutes les valeurs entre ces deux-l : le graphe dune fonctioncontinue na pas de saut vertical.Dmonstration : Par dfinition de la borne infrieure, et de la borne suprieure, ilexiste x0, x1 I tels que

m 6 f(x0) < y < f(x1) 6M

Quitte remplacer f par f , nous pouvons supposer sans perte de gnralit quex0 < x1. Soit A lensemble des x [x0, x1] tels que f(x) 6 y. Lensemble A est nonvide (il contient x0), et major par x1. Donc il admet une borne suprieure finie. Soitc cette borne suprieure.

c = sup{x [x0, x1] , f(x) 6 y }

18


y

c

m

M

Figure 3 Thorme des valeurs intermdiaires.

Nous allons dmontrer que f(c) = y, en utilisant la continuit de f . Soit > 0. Puisquef est continue en c, il existe tel que |x c| 6 implique |f(x) f(c)| 6 . Or pardfinition de la borne suprieure, il existe x A tel que |x c| 6 . Fixons un tel x.Puisque |f(x) f(c)| 6 et f(x) 6 y, alors ncessairement f(c) 6 y + .

Par dfinition de la borne suprieure, c est le plus petit des majorants de A. Fixonsmaintenant x tel que c < x < c+ . Alors x / A, donc f(x) > y, et |f(x) f(c)| .On en dduit que f(c) > y .Nous avons donc dmontr que pour tout > 0,

y 6 f(c) 6 y + ,

ce qui entrane f(c) = y. Les deux rsultats suivants sont des formulations quivalentes du thorme des

valeurs intermdiaires.

Corollaire 2. Si une fonction continue sur un intervalle prend des valeurs positives et des va-leurs ngatives, alors elle sannule sur cet intervalle. Limage par une application continue dun intervalle est un intervalle.Il est naturel de se demander si limage par une application continue dun intervalle

est un intervalle du mme type (infini, ouvert. . . ). Le seul rsultat gnral concerne lesintervalles ferms borns.

Thorme 12. Soient a < b deux rels et f une fonction continue sur [a, b]. Soit

m = inf{ f(x) , x [a, b] } et M = sup{ f(x) , x [a, b] }

Alors m et M sont finies et il existe x1, x2 [a, b], tels que f(x1) = m et f(x2) = M :

f([a, b]) = [m,M ] .

19


Dmonstration : elle utilise le thorme de Bolzano-Weierstrass, qui affirme que detoute suite (xn), valeurs dans lintervalle [a, b], on peut extraire une sous-suite conver-gente. Nous traitons la borne suprieure M , la dmonstration est analogue pour m.Supposons M = +. Pour tout n, il existe xn [a, b] tel que f(xn) > n. Donc la suite(f(xn)) tend vers +. De la suite (xn), on peut extraire une sous-suite convergente.Soit c la limite de cette sous-suite. Par la continuit de f , les images des termes dela sous-suite convergent vers f(c), ce qui contredit le fait que (f(xn)) tend vers +.Donc M est finie.Puisque la borne suprieure est finie, pour tout n N, il existe xn [a, b] tel que

M 1n< f(xn) 6M

Donc la suite (f(xn)) converge vers M . De la suite (xn), on peut extraire une sous-suite, convergeant vers c [a, b]. En utilisant nouveau la continuit, on en dduit quef(c) = M .

En gnral les bornes m et M sont diffrentes des valeurs de f en a et b. Le cas desfonctions monotones est particulier. Vous avez sans doute dj rencontr le rsultat quisuit sous le nom de thorme de la bijection.

Thorme 13. Soit f une fonction continue, strictement monotone sur un intervalleI.

1. f(I) est un intervalle, dont les bornes sont les limites de f aux bornes de I2. f est une bijection de I vers f(I)3. la bijection rciproque f1 est continue sur f(I) et strictement monotone, de

mme sens que f .

Dmonstration : Quitte remplacer f par f , nous pouvons supposer sans perte degnralit que f est strictement croissante. Ceci entrane que f est injective. Supposonsque I soit lintervalle ouvert ]a, b[, a et b tant ventuellement infinis. La dmonstrationsadapte sans problme au cas o lintervalle est ferm dun ct ou des deux.

Observons que pour tout x0 ]a, b[limxa+ f(x) < f(x0) < limxb f(x)

Posonsc = lim

xa+ f(x) et d = limxb f(x)

Soit y ]c, d[. Daprs le thorme des valeurs intermdiaires, il existe x ]a, b[ tel quef(x) = y. Donc f(]a, b[) =]c, d[, et comme f est injective, cest une bijection de ]a, b[vers ]c, d[. Pour tout x1, x2 ]a, b[,

x1 < x2 f(x1) < f(x2)

20


Donc la bijection rciproque f1 est elle-aussi strictement croissante. Il reste dmon-trer quelle est continue. Soit y0 ]c, d[ et x0 = f1(y0). Soit > 0 tel que

a < x0 < x0 < x0 + < b

Posons y1 = f(x0) et y2 = f(x0+). Alors y1 < y0 < y2. Soit = min{yy1, y2y}.Pour tout y tel que |y y0| 6 , on a y1 6 y 6 y2, donc x0 6 f1(y) x0 + .Do le rsultat.

Si f est bijective, tout couple (x, f(x)) du graphe de f , correspond le couple(f(x), x) du graphe de f1 : les deux graphes se dduisent lun de lautre par la trans-formation (x, y) 7 (y, x), qui est la symtrie par rapport la premire bissectrice(figure 4).

y=f(x)

1

x=f (y)1a b

c

d f

f 1

Figure 4 Graphe dune bijection monotone et de sa rciproque.

21


2 Entranement2.1 Vrai ou fauxVrai-Faux 1. Soit a un rel et f une application dfinie sur un intervalle ouvert conte-nant a sauf peut-tre en a. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies,lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. Si f admet une limite finie en a alors f est borne au voisinage de a.2. Si f admet une limite finie en a alors f est monotone au voisinage de a.3. Si f admet une limite en a, alors f admet une limite droite en a.4. Si f admet une limite gauche et une limite droite en a alors f admet une

limite en a.5. f admet l pour limite gauche et pour limite droite en a si et seulement sif(x) tend vers l quand x tend vers a.

Vrai-Faux 2. Soit f une fonction dfinie sur ]0,+[, valeurs dans R. Parmi lesaffirmations suivantes lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses et pourquoi ?

1. Si f nest pas borne, alors f tend vers linfini quand x tend vers +.2. Si f(x) tend vers + quand x tend vers +, alors f est monotone au voisinage

de +.3. Si pour toute suite (xn) convergeant vers +, la suite (f(xn)) converge vers

1, alors f a pour limite 1 en +.4. Si la suite (f(n)) converge vers 0 et la suite (f(n + 1/2)) converge vers 1/2,

alors f(x) na pas de limite en +.5. Si f est strictement positive au voisinage de +, alors la limite de f en +,

si elle existe, est strictement positive.

Vrai-Faux 3. Soit a un rel et f une application dfinie sur un intervalle ouvert conte-nant 0. Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont quivalentes

limx0 f(x) = 0

lesquelles ne le sont pas et pourquoi ?1. > 0 , > 0 , x 6 , |f(x)| 6 2. ]0, 1[ , ]0, 1[ , 0 < |x| 6 = |f(x)| 6 3. > 0 , > 0 , x [, ] , |f(x)| 6 4. > 0 , > 0 , x [, 0[]0, ] , |f(x)| < 5. n N , > 0 , x [, 0[]0, ] , |f(x)| < (1/n)6. n N , m N , |x| 6 (1/m) = |f(x)| 6 (1/n)

22


7. n N , m N , 0 < |x| 6 (1/m) = |f(x)| 6 (1/n2)Vrai-Faux 4. Soit f une fonction dfinie sur R telle que

limx0 f(x) = f(1) = 1

Vous pouvez en dduire que (vrai ou faux et pourquoi ?)1. f est borne au voisinage de 0.2. f est monotone au voisinage de 0.3. f est minore par 1 au voisinage de 0.4. f est minore par 0 au voisinage de 0.5. f est majore par 2 au voisinage de 0.6. la fonction x 7 f(1/x) est borne au voisinage de 0.7. la fonction x 7 f(ln(x)) est borne au voisinage de 0.8. la fonction x 7 ln(f(x)) est dfinie sur un intervalle ouvert contenant 0.

Vrai-Faux 5. Soit f une fonction dfinie sur R telle que

limx0 f(x) = 1

Vous pouvez en dduire que (vrai ou faux et pourquoi ?)1. lim

x0 f(1 x) = 02. lim

x0 1/f(x) = 1

3. limx1 1 1/f(1 x) = 0

4. limx0

f(x) = 1

5. limx0 f(cos(x)) = 0

6. limx0 1/f(sin(x)) = 1

7. limx0 f(e

x) = 1

8. limx+ ln(f(e

x)) = 0

Vrai-Faux 6. Toutes les affirmations suivantes concernent des comparaisons de fonc-tions au voisinage de 0. Parmi elles, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, etpourquoi ?

1. 2x3 +x4 + x2 = O(x2)

2. 2x3 +x4 + x2 = O(x)

3. 2x3 +x4 + x2 = o(

|x|)

23


4. 12x3 +

x4 + x2

= o(1/|x|)

5. 12x3 +

x4 + x2

= O(1/|x|)6. ln(|x|) = o(1/|x|)

Vrai-Faux 7. Toutes les affirmations suivantes concernent des comparaisons de fonc-tions au voisinage de +. Parmi elles, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, etpourquoi ?

1. 2x3 +x4 + x2 = O(x2)

2. 2x3 +x4 + x2 = O(x3)

3. 2x3 +x4 + x2 = o(x2)

4. 12x3 +

x4 + x2

= o(1/x2)

5. 12x3 +

x4 + x2

= O(sin(1/x3))

6. ln(x) = o(x)7. e2x = O(ex)

Vrai-Faux 8. Soit f une application dfinie sur un intervalle ouvert contenant 0. Toutesles affirmations suivantes concernent les proprits de f au voisinage de 0. Parmi elles,lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. Si f(x) est quivalent x, alors f est croissante au voisinage de 0.2. Si f(x) est quivalent x, alors f 2(x) est quivalent x2.3. Si f(x) est un grand O de x, alors f 2(x) est un petit o de x.4. Si f(x) est domin par x, alors f(x) x est ngligeable devant x.5. Si f(x) est quivalent x, alors f(x) x est ngligeable devant x.

Vrai-Faux 9. Soit f une application continue sur [0, 1]. Parmi les affirmations suivantes,lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. f est borne sur [0, 1].2. f([0, 1]) est un intervalle ferm born.3. si le produit f(0)f(1) est strictement positif, alors f est de signe constant sur

[0, 1].4. si le produit f(0)f(1) est strictement ngatif, alors f sannule sur [0, 1].5. si le produit f(0)f(1)f(1/2) est strictement ngatif, alors f sannule en au

moins deux points distincts de [0, 1].6. les produits f(0)f(1/2) et f(1/2)f(1) sont strictement ngatifs, alors f sannule

en au moins deux points distincts de [0, 1].

24


7. pour tout y f([0, 1]), lquation f(x) = y a au plus une solution dans [0, 1].Vrai-Faux 10. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sontfausses, et pourquoi ?

1. Il existe une application continue et surjective de R vers R.2. Il existe une application continue et bijective de R vers ] 1, 1[.3. Pour tout > 0, il existe une application continue et bijective de R vers

] ,+[.4. Il existe une application continue et bijective de [1, 1] vers R.5. Il existe une application continue et bijective de ] 1, 1[ vers R.6. Il existe une application continue et strictement croissante de ] 1, 1[ vers

[1, 1].7. Il existe une application continue et strictement croissante de [1, 1[ vers

] 1, 1].8. Il existe une application continue et strictement dcroissante de [1, 1[ vers

] 1, 1].

2.2 ExercicesExercice 1. Soient f et g deux fonctions dfinies sur ]0, 1], valeurs dans R. Dmontrerles rsultats suivants.

1. La limite droite de f en 0 est + si et seulement sin N , m N , 0 < x (1/m) = f(x) > n

2. La limite droite de f en 0 est + si et seulement si, pour toute suite (xn) derels strictement positifs, convergeant vers 0, la suite (f(xn)) tend vers +.

3. La limite droite de f en 0 est + si et seulement si pour tout a R,limxa+

f(x a) = +

4. La limite droite de f en 0 est si et seulement si :lim

x+ 1/f(1/x) = 0

5. Si la limite droite de f et de g en 0 est +, alors il en est de mme pour f + get f g.

Exercice 2. Soit f une fonction dfinie sur R, valeurs dans R. Soient a et l deux rels.Pour chacune des proprits suivantes, que peut-on dire de f lorsquelle est vrifie ?

1. > 0 , |x a| 6 1 = |f(x) l| 6

25


2. > 0 , |x a| 6 = |f(x) l| 6 13. > 0 , > 0 , x a 6 = |f(x) l| 6 4. > 0 , > 0 , |x a| 6 = f(x) l 6 5. > 0 , > 0 , |x a| 6 = |f(x) l| 6

Exercice 3. Dmontrer que les applications suivantes nont pas de limite droite en 0(ni finie, ni infinie). On rappelle que si x est une rel, bxc dsigne sa partie entire etD(x) sa partie dcimale.

1. f : x 7 sin(1/x)2. f : x 7 D(1/x)3. f : x 7 tan(1/x)4. f : x 7 ln(x) cos(1/x)5. f : x 7 (1)b1/xc

6. f : x 7{

1 si x Q0 si x R \Q

7. f : x 7{

1/x si 1/x N0 sinon

Exercice 4. Dmontrer que les fonctions suivantes nont pas de limite en + (ni finie,ni infinie).

1. f : x 7 sin(x)2. f : x 7 tan(x)3. f : x 7 ln(x) cos(x)4. f : x 7 (1)bxc

5. f : x 7{

1 si x Q0 si x R \Q

6. f : x 7{

1 si x N0 sinon

Exercice 5. Dmontrer les rsultats suivants.

limx0

4x2 + 12x+ 3 =

13 ; limx0

4x2 + x3|2x+ x2| = 1

limx0

x+|x|

x|x|

= 1 ; limx0

3|x|+

|x|

3|x|

|x|

= 1

limx0

1 + x1 x

x= 1 ; lim

x+

3

1 + x 31 xx

= 23

26



limx+

4x2 + 12x 3 = 1 ; limx+

3x6 + 3x4 + 1

4x4 3 =12

limx+

x+x

xx = 1 ; limx+3x+x

3xx = 1

limx+

e2x + 1(ex + 1)(ex + 2) = 1 ; limx

e2x + 1(ex + 1)(ex + 2) =

12

limx+

x+ 1x 1 = 0 ; lim

x03

1 + x 3x 1 = 0


limx0

1 cos2(x)x2

= 1 ; limx0

1 cos(x)x2

= 12

limx0

tan(x)x

= 1 ; limx0

tan(x)(1 cos(x))sin3(x) =

12

limx0

ln(1 2x)sin(3x) =

23 ; limx0

ex2 1cos(x) 1 = 2

limx0(1 + x)

1/x = e ; limx0(1 x

2)1/x = 1

Exercice 8. Dterminer les limites suivantes.

limx+x

2ex ; lim

x+x4 ln2(x)e

x

limx+

x ln(x)x2 + 1 ; limx+

x2(ln(x) + cos(x))x2 + sin(x)

limx+

ex

x2; lim

x+e 3x

x3 ln3(x)

limx+

x

ln2(x); lim

x+ln2(x) ln(ln(x))

x

limx+

ln(x)ln(ln(x)) ; limx+

ln(ln(ln(x)))ln(ln(x))

limx0+x

x ; limx0+ | ln(x)|

x

27



limx1

1 x21 x = 0 ; limx1

1 x21x = 4

limx1

1 x2x2x 1 = 4 ; limx1

1 x2x+ 13x 1 = 2

2

limx1

ln(x)x 1 = 1 ; limx1(

x 1) ln(ln(x)) = 0

limxpi/2

cos(x)2x pi =

12 ; limxpi/2(1 sin(x)) tan(x) = 0

limxpi/4

sin(x) cos(x)1 tan(x) =

2 ; lim

xpi/4sin(x) cos(x)

x pi/4 =

2

Exercice 10. Soit f une fonction dfinie sur un intervalle contenant 0. Dmontrer lesrsultats suivants, qui concernent tous des comparaisons au voisinage de 0.

1. Si f(x) = O(x2) alors f = o(x).2. Si xf(x) = O(x2) alors f = O(x).3. Si f(x) = o(x) alors f(x) = o(

x).

4. Si f(x) x = o(x) alors f(x) x.5. Si f(x) x alors f(x) x = o(x).6. Si f(x) = O(x2) alors f(x) x x.

Exercice 11. Soit f une fonction dfinie sur un intervalle de la forme [A,+[. D-montrer les rsultats suivants, qui concernent tous des comparaisons au voisinage de+.

1. Si f(x) = O(x) alors f(x) = o(x2).2. Si xf(x) = O(x2) alors f = O(x).3. Si f(x) = o(

x) alors f(x) = o(x).

4. Si f(x) x = o(x) alors f(x) x.5. Si f(x) x alors f(x) x = o(x).6. Si f(x) = O(

x) alors f(x) x x.

Exercice 12. Justifier les quivalents suivants, au voisinage de 0x3 2x2x2 x 2x ;

x3 2x2 1x2 x

1x

x2 2x3 sin(1/x) x2 ; x+ x2 sin(1/x)

x2 x3 cos(1/x) 1x

e2x 1ex 1 2

x ; ln

2(1 + x)ln(1 x) x

28


Exercice 13. Justifier les quivalents suivants, au voisinage de +x3 2x2x2 x x ;

x3 2x2 1x2 x4

1x

bxc x ; x2 + cos(x)x+ sin(x) x

e2x 2ex 1 e

x ; e2x 2exex 1 2e

x

Exercice 14. Pour chacune des fonctions f suivantes, dmontrer directement quelleest continue en tout point de son domaine de dfinition, sans utiliser les thormes ducours.

1. f : x 7 x2

2. f : x 7 1x2

3. f : x 7 x4. f : x 7 1

x 1Exercice 15. Si x est un rel, on note bxc sa partie entire et D(x) = xbxc sa partiedcimale. Pour chacune des fonctions f suivantes : dire en quels points de R elle estcontinue, continue gauche ou continue droite, et le dmontrer.

1. f : x 7 D(x)2. f : x 7 D(1 x)3. f : x 7 D(1/x)4. f : x 7 xb1/xc5. f : x 7 bxc+ 2D(x)6. f : x 7 bxc+

D(x)

7. f : x 7 bxc+D(x)28. f : x 7

bxc+D(x)

9. f : x 7 (1)bxc(D(x) 1/2)10. f : x 7 bcos(1/x)c

11. f : x 7{

1 si x Q0 sinon

12. f : x 7{x si x Q0 sinon

29


Exercice 16. Pour chacune des fonctions f suivantes : dterminer son domaine dedfinition, reprsenter son graphe, et montrer quelle se prolonge par continuit en unefonction dfinie et continue sur R.

1. f : x 7 (x2 + x)/|x|

2. f : x 7 x cos(1/x)3. f : x 7 (1/x2)e1/x24. f : x 7 (1/(x2 1))e1/(x21)25. f : x 7 (x2 4) ln(|x2 4|)

Exercice 17.1. Soit f une fonction dfinie sur R, continue en 0, et telle que

x R , f(2x) = f(x)Dmontrer par rcurrence que

x R , n N , f(x) = f(2nx)En dduire que f est constante.

2. Soit f une fonction dfinie sur R+, continue en 1, et telle que

x R , f(x2) = f(x)Dmontrer par rcurrence que

x R , n N , f(x) = f(x1/2n)En dduire que f est constante.

Exercice 18.1. Soit f une fonction de R dans R, continue sur R. On dfinit g par

g(x) ={

0 si x 6 0f(x) f(x) si x > 0

Dmontrer que g est continue sur R.2. Soit f une fonction de R dans R, continue en 0. On suppose que :

x, y R , f(x+ y) = f(x) + f(y)Dmontrer que f est continue sur R.

3. Soit f une fonction de R dans R, continue en 0. On suppose que :

x, y R , f(x+ y) = f(x)f(y)Dmontrer que f est continue sur R.

30


4. Soit f une fonction de [0, 1] dans R, croissante. On suppose que :

y [f(0), f(1)] , x [0, 1] , f(x) = yDmontrer que f est continue sur [0, 1].

Exercice 19. Pour chacune des fonctions f suivantes, dfinie sur un intervalle I, et valeurs dans R : dterminer le sens de variation de f . Dterminer le nombre de solutionsde lquation f(x) = 0 dans I. Donner un intervalle dapproximation damplitude 102pour chaque solution.

1. I = R, f : x 7 x3 + 12. I = R, f : x 7 x5 + 13. I = R, f : x 7 x5 5x+ 14. I =] 2, 0[, f : x 7 2xx+ 2 + 15. I =] 1, 0[, f : x 7 x2 2 + 1/x+ 16. I =]0, 1[, f : x 7 x cos(x)7. I =]0, pi/2[, f : x 7 tan(x) x+ 28. I = [0,+[, f : x 7 2x ln(x) x+ 1

Exercice 20. Pour chacune des fonctions f suivantes, dfinie sur un intervalle I, et valeurs dans R : dterminer le sens de variation de f . Dterminer f(I). Dmontrer quef est une bijection de I vers f(I).

1. I = [0,+[, f : x 7 x22. I = R, f : x 7 x33. I = R, f : x 7 x1 + |x|

4. I = [0, pi/2[, f : x 7x2 + 1

cos(x)5. I = [0, pi/2[, f : x 7 tan(x) x

2.3 QCMDonnez-vous une heure pour rpondre ce questionnaire. Les 10 questions sont

indpendantes. Pour chaque question 5 affirmations sont proposes, parmi lesquelles 2sont vraies et 3 sont fausses. Pour chaque question, cochez les 2 affirmations que vouspensez vraies. Chaque question pour laquelle les 2 affirmations vraies sont cochesrapporte 2 points.

Question 1. Soit f une fonction dfinie sur R, valeurs dans R. La proposition exprimele fait que la limite de f en 0 est 1.

A > 0 , > 0 , 0 < |x| < = |f(x) 1| 6 .

31


B Pour toute suite (un) convergeant vers 0, la suite (f(un)) converge vers 1.C > 0 , > 0 , 0 < |x 1| < = |f(x)| 6 .D Si la suite (f(un)) tend vers 0, alors la suite (un) tend vers 1.E > 0 , > 0 , 0 < |x| < = |f(x) 1| 6 2/4 .

Question 2. Soit f une fonction dfinie sur R, valeurs dans R, On considre unique-ment des limites quand x tend vers 0.

A Si la limite de f est 1 alors la limite de x 7 xf(x) est 1.B Si la limite de f est 1 alors la limite de x 7 f(x)/x2 est +.C Si la limite de f est + alors la limite de x 7 xf(x) est +.D Si la limite de f est 0 alors la limite de x 7 (1 x)f(x) est 0.E Si la limite de f est alors la limite de x 7 (1 x)f(x) est 1.

Question 3. Soit f une fonction dfinie sur R, valeurs dans R.A lim

x0+ f(x) = (A R , > 0 , (0 < x 6 ) = (f(x) > A)

).

B limx0 f(x) = +

(A R , > 0 , (0 < x 6 ) = (f(x) > A)

).

C limx+ f(x) = 0

( > 0 , A , (x > A) = |f(x)| 6

).

D limx f(x) = +

(A R , B R , (x 6 B) = f(x) > A

).

E limx0

f(x) = ( > 0 , A , ( 6 x < 0) = f(x) 6 A

).

Question 4. La proposition est vraie pour toute fonction f de R dans R, dfinie etcroissante sur R.

A La limite de f droite de f en 0 existe et est finie.B La limite de f en + est +.C La limite gauche de f en 0 est infrieure ou gale sa limite droite en 0.D La limite de f en + est positive ou nulle.E La limite droite de f en 0 est strictement infrieure la limite gauche de fen 1.

Question 5. Soit f une fonction de R dans R, dfinie et croissante sur R.A Si pour tout x rel f(x) < x, alors lim

x0+ f(x) < 0.

B Si pour tout x rel f(x) < x, alors limx f(x) = .

C Si pour tout x rel f(x) < 1, alors limx+ f(x) < 1.

D Si pour tout x rel f(x) < 0, alors pour tout rel a limxa+ f(x) < 0.

E Si pour tout x rel f(x) < 1, alors limx+ f(x) < 1.

Question 6. La relation de comparaison propose est vraie au voisinage de +.

32


A 2x2 +x3 ln(x) = O(x2).

B 2x2 +x3 ln(x) x2.

C 2x2

+ ln(x)x3

= O(x2).

D 2x2

+ ln(x)x3 ln(x)

x3.

E 2x2

+ ln(x)x3

= o(x3/2).

Question 7.A lim

x+x3e 3

x/3 = 0.

B limx0+x

3e 3x/3 = 0.

C limx0+

3x ln(x3) = .

D limx+x

1/3 ln3(x) = 0.E lim

x+ exp(x1/3) ln3(x) = 0.

Question 8. La proposition est vraie pour toute fonction f dfinie sur R valeurs dansR, continue en 0.

A Pour toute suite (un) de rels tendant vers 0, la suite (f(un)) tend vers f(0).B f est monotone au voisinage de 0.C La limite droite de f en 0 est nulle.D f est borne au voisinage de 0.E Il existe > 0 tel que f est continue en tout point de lintervalle [,+].

Question 9. La proposition est vraie pour toute fonction f dfinie sur R valeurs dansR, continue sur R.

A y R , c R , f(c) = y.B Si pour tout x dans ]0, 1[, f(x) < 0 alors f(1) < 0.C c R , f(c) = sup{f(x) , x [0, 1]}.D Il existe un unique rel c tel que f(c) = inf{f(x) , x [0, 1]}.E Si f(0) < f(1), alors y ]f(0), f(1)[ , c ]0, 1[ , f(c) = y.

Question 10. La proposition est vraie pour toute fonction f dfinie et continue sur R,strictement croissante sur [0, 1].

A La fonction rciproque f1 est une bijection de [0, 1] vers lui-mme.B La fonction rciproque f1 est strictement croissante.C Le graphe de f1 est le symtrique du graphe de f par rapport laxe des x.D Pour tout x [0, 1], si f(x) = y alors f(y) = x.E La fonction f est une bijection de [0, 1] vers [f(0), f(1)].

Rponses:1BD2BE3CD4AC5BD6AD7AD8AD9CE10BE

33


2.4 DevoirEssayez de bien rdiger vos rponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrig. Si

vous souhaitez vous valuer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos rponses avecle corrig et comptez un point pour chaque question laquelle vous aurez correctementrpondu.Questions de cours : Soit f une fonction dfinie sur R+, valeurs dans R.

1. Donner une dfinition pour :

limx0+

f(x) = + .

2. Dmontrer que :limx0+

1x

= + .

3. Quand dit-on que f(x) x au voisinage de 0+ ?4. Dmontrer que si f(x) x au voisinage de 0+, alors :

limx0+

f(x)x

= + .

5. Dmontrer que si f(0) = 0 et si f(x) = O(x) au voisinage de 0+, alors f est

continue droite en 0.Exercice 1 :

1. Soit a un rel strictement positif. Montrer que :

limx+ a

1/x = 1 .

2. Montrer que, au voisinage de +,

a1/x = 1 + ln(a)x

+ o(1/x) .

3. Soit a et b deux rels strictement positifs. Montrer que :

limx+

(a1/x + b1/x

2

)x=ab .

4. Dterminer :

limx0+

(a2x + b2x

2

)1/x.

Exercice 2 : Soit f la fonction de R dans R qui x associe :

f(x) = 12 lnx 1x+ 1

.34


1. Dterminer le domaine de dfinition de f , not Df Montrer que f est continuesur Df .

2. Vrifier que pour tout x Df , f(x) = f(x), et que pour tout x Df \ {0},f(1/x) = f(x).

3. Montrer que :lim

x+ f(x) = limx f(x) = 0 .

4. Montrer que :

limx0

f(x)x

= limx+xf(x) = limxxf(x) = 1 .

5. Montrer que :limx1 f(x) = + et limx1 f(x) = .

6. En admettant que la fonction t 7 ln(t) est strictement croissante, montrer que fest strictement dcroissante sur lintervalle ] 1, 1[, sans calculer sa drive. Endduire que f est strictement croissante sur ],1[ et sur ]1,+[.

7. Donner une reprsentation du graphe de f , utilisant tous les rsultats des ques-tions prcdentes.

8. On note la restriction de f lintervalle ]1, 1[. Montrer que est une bijectionde ] 1, 1[ dans R.

9. Dmontrer que pour tout a R, lquation f(x) = a a exactement deux solutionsdans R.

10. On considre lapplication 1 f , de Df dans ] 1, 1[. Donner les expressionsde 1 f(x) selon que x appartient ou non ] 1, 1[.

11. Montrer que 1 f est prolongeable par continuit en 1 et en 1.

2.5 Corrig du devoirQuestions de cours :

1. Par dfinition, on dit que limx0+

f(x) = + si :

A R , > 0 , ( 0 < x 6 ) = ( f(x) > A ) .

2. Soit A un rel non nul. Posons = 1A2

. Alors :

(0 < x 6 ) = 1x> 1

=A2 > A .

35


3. On dit que f(x) x au voisinage de 0+ si :

limx0+

f(x)x

= 1 .

4. Si f(x) x au voisinage de 0+, alors :

limx0+

f(x)x

= limx0+

f(x)x

1x

= + ,

Car lorsque x tend vers 0 par valeurs positives, f(x)/x tend vers 1 et 1/

x

tend vers +.5. On dit que f(x) = O(

x) au voisinage de 0+, si le rapport f(x)/

x est born

sur un certain intervalle ]0, 0]. Orx tend vers 0 quand x tend vers 0+. Donc

le produit dex par f(x)/

x qui est born, tend vers 0 :

limx0+

f(x) = 0 = f(0) ,

donc f est continue droite en 0.Exercice 1 :

1. Pour a > 0 :a1/x = exp

(1x

ln(a)).

Or quand x tend vers +, 1/x tend vers 0, donc ln(a)/x aussi, et exp(ln(a)/x)tend vers 1 car la fonction exponentielle est continue en 0.

2. Daprs le cours, nous savons que :

limy0

ey 1y

= 1 .

Par composition des limites, on en dduit :

limx+

eln(a)/x 1ln(a)/x = 1 .

Donc :lim

x+eln(a)/x 1 ln(a)/x

ln(a)/x = 0 ,

soit,eln(a)/x 1 ln(a)/x = o(1/x) ,

ou encore,a1/x = 1 + ln(a)

x+ o(1/x) .

36


3. Utilisons le rsultat de la question prcdente.

a1/x + b1/x2 = 1 +

ln(a) + ln(b)2x + o(1/x) = 1 +

ln(ab)

x+ o(1/x) .

Daprs le cours,limy0

ln(1 + y)y

= 1 .

On en dduit :lim

x+x ln(a1/x + b1/x

2

)= ln(

ab) .

Comme lexponentielle est une fonction continue,

limx+ exp

(x ln

(a1/x + b1/x

2

))= exp(ln(

ab)) ,

soit :lim

x+

(a1/x + b1/x

2

)x=ab .

4. Quand y tend vers +, x = 1/y tend vers 0+. Par composition des limites, ondduit de la question prcdente que :

limx0+

(ax + bx

2

)1/x=ab .

Il suffit dappliquer le rsultat en remplaant a par a2 et b par b2 pour trouver :

limx0+

(a2x + b2x

2

)1/x=a2b2 = ab .

Exercice 2 :1. La fonction x 7 |x 1|/|x + 1| est dfinie pour tout x 6= 1. Quand elle est

dfinie, elle prend des valeurs strictement positives, sauf en x = 1. Donc f(x) estdfini pour tout x / {1, 1}.

Df = R \ {1, 1} .

Les fonctions x 7 x 1 et x 7 x + 1 sont continues. La fonction y 7 1/y estcontinue en tout point de R. Le produit de deux fonctions continues est continue,donc x 7 (x 1)/(x + 1) est continue sur R \ {1}. La fonction y 7 |y| estcontinue sur R, donc x 7 |x 1|/|x+ 1| est continue sur R \ {1}. La fonctiony 7 ln(y) est continue sur R+, donc f est continue en tout point de Df .

37


2. Si x Df alors x Df et rciproquement.

f(x) = 12 lnx 1x+ 1

= 12 lnx+ 1x 1

= 12 lnx 1x+ 1

= f(x) .Si x Df \ {0}, alors 1/x est dfini et appartient Df .

f(1/x) = 12 ln1/x 11/x+ 1

= 12 ln1 x1 + x

= 12 lnx 1x+ 1

= f(x) .3. La fonction f est continue en 0 et f(0) = 0. Donc :

limx0 f(x) = limx0+ f(x) = 0 .

Lorsque x tend vers 0, 1/x tend vers , et lorsque x tend vers 0+, 1/x tendvers +. On en dduit :

limx+ f(1/x) = limx f(1/x) = 0 .

Daprs la question prcdente, f(1/x) = f(x). Donc :

limx+ f(x) = limx f(x) = 0 .

4. Montrons dabord que :limx0

f(x)x

= 1 .Pour x appartenant lintervalle ] 1, 1[ ,

f(x)x

= 12

(ln(1 x)

x ln(1 + x)

x

).

Or daprs le cours,

limx0

ln(1 + x)x

= 1 donc limx0

ln(1 x)x

= 1 .

Donc :limx0

f(x)x

= 12(1 1) = 1 .Pour les limites en + et , on procde comme la question prcdente.

limxxf(x) = limx0

f(1/x)x

= limx0

f(x)x

= 1 .

De mme :lim

x+xf(x) = limx0+f(1/x)x

= limx0+

f(x)x

= 1 .

38


5. Il suffit de montrer lune des deux limites, la seconde sen dduit en utilisant lefait que f(x) = f(x).La fonction x 7 |x 1|/|x+ 1| est continue en 1. Donc :

limx1

x 1x+ 1 = 0 .

Par composition des limites,

limx1

12 ln

x 1x+ 1 = limy0+ 12 ln(y) = .

6. Soient x et y deux rels tels que 1 < x < y < 1. Alors :1 x > 1 y > 01/(1 + x) > 1/(1 + y) > 0

}= 1 x1 + x >

1 y1 + y .

Comme la fonction t 7 ln(t) est strictement croissante,

f(x) = 12 ln(1 x

1 + x

)>

12 ln

(1 y1 + y

)= f(y) .

Supposons maintenant x < y < 1. Alors 1 < 1/y < 1/x < 0. Or f(1/x) =f(1/y). En appliquant ce qui prcde,

f(1/x) < f(1/y) = f(x) < f(y) .Supposons enfin 1 < x < y. Alors 0 < 1/y < 1/x < 1. De mme :

f(1/x) < f(1/y) = f(x) < f(y) .

7. Voir figure 5.8. La fonction est strictement dcroissante sur ] 1, 1[, et continue en tout point

de ] 1, 1[. De plus :lim

x1+(x) = + et lim

x1(x) = ,

donc (] 1, 1[) = R. Daprs le thorme de la bijection, est une bijection de] 1, 1[ dans R et sa rciproque 1 est une bijection strictement dcroissante etcontinue, de R dans ] 1, 1[.

9. Daprs le rsultat prcdent, lquation f(x) = a a une solution et une seuledans ] 1, 1[. Le changement de variable x 7 1/x montre que la restriction def ],1[ est une bijection strictement croissante de ], 0[ dans ]0,+[.De mme la restriction de f ]1,+[ est une bijection strictement croissante de]1,+[ dans ], 0[. Donc :

39


5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 55

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

.

f(x)

x

f(x)=(1/2)ln(|x1|/|x+1|)

Figure 5 Graphe de la fonction x 7 (1/2) ln(|x 1|/|x+ 1|).

si a < 0, lquation a une solution dans ]1,+[ et une dans ] 1, 1[ ,si a > 0, lquation a une solution dans ],1[ et une dans ] 1, 1[ .

10. Par dfinition de la rciproque, si x ] 1, 1[, 1 f(x) = 1((x)) = x.Si x ],1[]1,+[, alors :

1 f(x) = 1(f(1/x)) = 1x.

11. Daprs les expressions obtenues prcdemment :

limx1

1 f(x) = limx1

1x

= 1 et limx1+

1 f(x) = limx1+

x = 1 .

Les limites gauche et droite sont gales, donc on peut prolonger la fonctionpar continuit, en associant la valeur 1 labscisse 1.De mme :

limx1

1 f(x) = limx1

x = 1 et limx1+

1 f(x) = limx1+

1x

= 1 .

Les limites gauche et droite sont gales, donc on peut prolonger la fonctionpar continuit, en associant la valeur 1 labscisse 1.

40


3 Complments3.1 Cauchy et les limites

Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) est lun des plus grands mathmaticiens detous les temps, ne serait-ce que par sa production impressionnante : pas moins de 789articles, rpartis en 27 volumes dans ses uvres compltes. Par contre, il na pas laissun souvenir imprissable ses tudiants. Lun deux crit :

Ses cours taient trs confus, sautant brusquement dune ide une autre,dune formule la suivante, sans aucune tentative pour les connecter. Sesprsentations taient des nuages obscurs, illumins de temps autre pardes clairs de pur gnie.

Royaliste convaincu, catholique dvot et militant, ses fortes opinions et son caractredifficile lui attirrent de nombreuses inimitis. Il dut mme sexiler pour un temps Turin, puis Prague, o lex-roi Charles X lui confia lducation scientifique de sonpetit fils. Mais l encore, le prince montrant peu dintrt pour ses sujets. Cauchysnervait, et se mettrait crier et hurler .

Pourtant les cours polycopis de Cauchy pour les lves de lcole Polytechniqueont marqu leur temps. On y trouvait de nombreuses notions nouvelles sur lanalyserelle et complexe, et surtout une exigence de rigueur trs novatrice pour lpoque. Letexte suivant est extrait du cours dAnalyse algbrique, crit en 1821. Saurez-vous yreconnatre les notions de ce chapitre ?

On dit quune quantit variable devient infiniment petite, lorsque sa valeurnumrique dcrot indfiniment, de manire converger vers la limite zro.Il est bon de remarquer ce sujet quon ne doit pas confondre un dcrois-sement constant avec un dcroissement indfini. La surface dun polygonergulier circonscrit un cercle donn dcrot constamment mesure que lenombre des cts augmente, mais non pas indfiniment, puisquelle a pourlimite la surface du cercle. De mme encore, une variable qui nadmettraitpour valeurs successives que les diffrents termes de la suite

21 ,

32 ,

43 ,

54 ,

65 , . . . ,

prolonge linfini, dcrotrait constamment, mais non pas indfiniment,puisque ses valeurs successives convergeraient vers la limite 1. Au contraire,une variable qui naurait pour valeurs successives que les diffrents termesde la suite

14 ,

13 ,

16 ,

15 ,

18 ,

17 , . . . ,

prolonge linfini, ne dcrotrait pas constamment, puisque la diffrenceentre deux termes conscutifs de cette suite est alternativement positive

41


et ngative ; et, nanmoins, elle dcrotrait indfiniment, puisque sa valeurfinirait par sabaisser au-dessous de tout nombre donn.

[. . .]

Parmi les objets qui se rattachent la considration des infiniment petits,on doit placer les notions relatives la continuit ou la discontinuit desfonctions. Examinons dabord sous ce point de vue les fonctions dune seulevariable.Soit f(x) une fonction de la variable x, et supposons que, pour chaque va-leur de x intermdiaire entre deux limites donnes, cette fonction admetteconstamment une valeur unique et finie. Si, en partant dune valeur de xcomprise entre ces limites, on attribue la variable x un accroissementinfiniment petit , la fonction elle-mme recevra pour accroissement la dif-frence f(x+)f(x), qui dpendra en mme temps de la nouvelle variable et de la valeur de x. Cela pos, la fonction f(x) sera, entre les deux li-mites assignes la variable x, fonction continue de cette variable, si, pourchaque valeur de x intermdiaire entre ces limites, la valeur numrique dela diffrence f(x+ ) f(x) dcrot indfiniment avec celle de .En dautres termes, la fonction f(x) restera continue par rapport x entreles limites donnes, si, entre ces limites, un accroissement infiniment petit dela variable produit toujours un accroissement infiniment petit de la fonctionelle-mme.

On dit encore que la fonction f(x) est, dans le voisinage dune valeur parti-culire attribue la variable x, fonction continue de cette variable, toutesles fois quelle est continue entre deux limites de x, mme trs rapproches,qui renferment la valeur dont il sagit.Enfin, lorsquune fonction f(x) cesse dtre continue dans le voisinage dunevaleur particulire de la variable x, on dit quelle devient alors discontinueet quil y a pour cette valeur particulire une solution de continuit.

3.2 Continuit uniformeLe texte de Cauchy dfinit la continuit dune fonction sur un intervalle ( entre

deux limites ). Il confond en fait deux notions, qui ne seront distingues que beaucoupplus tard, en particulier par Eduard Heine (1821-1881) en 1872. Soit f une fonction,dfinie sur un intervalle I. Ecrivons dabord que f est continue sur I, au sens de ladfinition 6.

x I , > 0 , > 0 , y I , |y x| 6 = |f(y) f(x)| 6 (2)Dfinition 7. On dit que f est uniformment continue sur I si

> 0 , > 0 , x I , y I , |y x| 6 = |f(y) f(x)| 6 (3)

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Evidemment, (3) implique (2), mais la rciproque est fausse en gnral. La diffrenceentre (2) et (3) est subtile. Dans (2) la valeur de peut dpendre non seulement de mais aussi de x. Dans (3), elle ne peut dpendre que de : pour un donn, on peutchoisir le mme pour tous les points de lintervalle.Examinons la fonction inverse sur I =]0, 1] (cf. proposition 7).

f]0, 1] R

x 7 f(x) = 1/x

Soit x un point de ]0, 1] et un rel strictement compris entre 0 et 1. Limage rciproquepar f de lintervalle [f(x) , f(x) + ] est lintervalle :

f1([f(x) , f(x) + ]) =[

1f(x) + ,

1f(x)

]

Cet intervalle contient x, et

x 1f(x) + 0 fix, x tend vers 0 quand x tend vers 0.

Bien sr, pour nimporte quel < x, limplication

|y x| 6 = |f(y) f(x)| 6

reste vraie. Mais il nest pas possible de choisir un mme tel quelle reste vraie pourtous les x de ]0, 1] : la fonction f nest pas uniformment continue sur ]0, 1].Examinons maintenant la fonction racine carre sur le mme intervalle I =]0, 1].

f]0, 1] R

x 7 f(x) = x

Soit x un point de ]0, 1] et un rel strictement compris entre 0 et 1. Pour < f(x),limage rciproque par f de lintervalle [f(x) , f(x) + ] est lintervalle :

f1([f(x) , f(x) + ]) =[x (2x 2), x+ (2x+ 2)

]

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Pour > f(x), cest lintervalle[0, (x+ )2

]=[0, x+ (2

x+ 2)

]Lamplitude de ces intervalles dpend bien de x a priori. Posons = 2. Nous allonsdmontrer que pour tout x, y ]0, 1], si |y x| < , alors |f(y) f(x)| 6 , ce quientrane que f est uniformment continue sur I. Supposons dabord < f(x). Alors2x 2 > 2 = . Donc lintervalle f1([f(x) , f(x) + ]) contient lintervalle

[x , x + ] : si y vrifie |y x| < , alors |f(y) f(x)| 6 . Supposons maintenant > f(x). Si y x, alors |y x| 6 x 6 . Si x < y x + , alors 0 6 y 6x+ (2

x+ 2), donc |y x| 6 .

Le rsultat suivant, que lon appelle traditionnellement thorme de Heine, a semble-t-il t dmontr pour la premire fois par Dirichlet en 1862. Comme pour beaucoupde thormes importants, son histoire est complique, au point quil a t propos delappeler thorme de Dirichlet-Heine-Weierstrass-Borel-Schoenflies-Lebesgue , parordre dentre en scne des mathmaticiens qui lont raffin ou gnralis.

Thorme 14. Toute fonction continue sur un intervalle ferm born est uniform-ment continue.

Donc la fonction x 7 x est uniformment continue sur [0, 1], tout comme lafonction x 7 1/x sur lintervalle [103, 1].Dmonstration : Soit [a, b] un intervalle ferm born, et f une fonction continue sur[a, b]. Soit un rel strictement positif. Daprs (2), pour tout x [a, b], il existe unrel strictement positif, que nous noterons x, tel que pour tout y [a, b],

|y x| 6 x = |f(y) f(x)| 6 2Pour tout x, considrons lintervalle ouvert ]x x, x + x[, not Ix. Le point crucialde la dmonstration est quil est possible dextraire de cette famille dintervalles unefamille finie, qui recouvre lintervalle [a, b] :

m N , x1, . . . , xm [a, b] , [a, b] mi=1

Ixi (4)

Ceci est un cas particulier dun rsultat de topologie plus gnral, le lemme de Borel-Lebesgue. Pour le dmontrer, la premire tape consiste montrer que pour un certainentier n, tout intervalle de la forme ]y 1/n, y + 1/n[ est inclus dans lun des Ix aumoins.

n N , y [a, b] , x [a, b] , ]y 1/n, y + 1/n[ Ix (5)Ecrivons la ngation :

n N , y [a, b] , x [a, b] , ]y 1/n, y + 1/n[ 6 Ix

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Pour tout n, soit yn lun des y dont lexistence est affirme ci-dessus. Par le thormede Bolzano-Weierstrass, on peut extraire de la suite (yn) une sous-suite (y(k)), quiconverge vers c [a, b]. En particulier, aucun des intervalles ]y(k) 1/(k), y(k) +1/(k)[ nest inclus dans Ic, ce qui est impossible si c est la limite de (y(k)).En utilisant (5), nous allons dmontrer (4) par labsurde. Soit y1 un point de [a, b]. Ilexiste x1 tel que ]y1 1/n, y1 + 1/n[ Ix1 . Comme Ix1 ne recouvre pas [a, b], il existeun point y2 de [a, b] qui nappartient pas Ix1 . Ce point est distance au moins 1/nde y1. Il existe un point x2 tel que ]y2 1/n, y2 + 1/n[ Ix2 . La runion Ix1 Ix2 nerecouvre pas [a, b]. Donc il existe y3 en dehors de cette runion : y3 est distance aumoins 1/n de y1 et de y2. Par rcurrence, on construit ainsi une suite (yk) de pointsde [a, b] telle que deux quelconques de ses lments sont distance au moins 1/n. Enappliquant une fois de plus le thorme de Bolzano-Weierstrass, une sous-suite de (yk)devrait converger, do la contradiction.Puisque les intervalles ouverts Ix1 , . . . , Ixm recouvrent [a, b], il existe tel que si |xy| 6, alors x et y appartiennent un mme intervalle Ixi . Si cest le cas,

|f(x) f(y)| 6 |f(x) f(xi)|+ |f(xi) f(y)| 6 2 +

2 = ,

par dfinition de Ixi .

3.3 Arguments de continuitDfinition 8. Soit A une partie de R. On dit que A est dense dans R si tout rel estlimite dune suite dlments de A.

Une partie dense peut aussi tre vue comme un ensemble de rels tel que toutintervalle ouvert de R contient au moins un lment de cet ensemble.

Proposition 8. Une partie A est dense dans R si et seulement si, pour tous rels a, btels que a < b, A]a, b[ 6= .

La dmonstration est facile et laisse au lecteur.Le thorme suivant semble trop simple pour tre utile, et pourtant. . .

Thorme 15. Soit A une partie dense de R. Si deux fonctions continues sont galessur A alors elles sont gales partout.(

a A , f(a) = g(a))

=(x R , f(x) = g(x)

)

Dmonstration : Soit x un rel et (an) une suite dlments de A, convergeant vers x.Comme f et g sont continues, les suites (f(an)) et (g(an)) convergent respectivementvers f(x) et g(x). Mais comme les deux suites sont gales, leurs limites sont gales.

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Appliquer le thorme 15 se dit utiliser un argument de continuit . Le plussouvent, la partie dense est lensemble des rationnels Q. On peut aussi rencontrerlensemble des nombres dcimaux (multiples entiers dune puissance ngative de 10),et lensemble des nombres dyadiques (multiples entiers dune puissance ngative de 2).

Les quatre exemples de la proposition 9 proviennent du cours dAnalyse de Cauchy,chapitre V, paragraphe 1 : Recherche dune fonction continue forme de telle manireque deux semblables fonctions de quantits variables, tant ajoutes ou multipliesentre elles, donnent pour somme ou pour produit une fonction semblable de la sommeou du produit de ces variables (comment a pas trs clair ? Un peu de respect pourCauchy tout de mme !)

Proposition 9.1. Soit f une fonction continue sur R, telle que

x, y R , f(x+ y) = f(x) + f(y)

Alors, en notant a = f(1),

x R , f(x) = ax

2. Soit f une fonction continue sur R, telle que

x, y R , f(x+ y) = f(x)f(y)

Alors, en notant a = f(1), a > 0 et

x R , f(x) = ax

3. Soit f une fonction continue sur R+, telle que

x, y R , f(xy) = f(x) + f(y)

Il existe a R+ tel que f(a) = 1 et :

x R+ , f(x) = ln(x)/ ln(a)

4. Soit f une fonction continue sur R+, telle que

x, y R+ , f(xy) = f(x)f(y)

Alors, soit f est constamment nulle, soit f(1) > 0, et en notant a = ln(f(1)) :

x R+ , f(x) = xa

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Dmonstration : Nous dtaillons la dmonstration du premier point. Celle des autrespoints se fait sur le mme modle et sera laisse au lecteur.Supposons que f vrifie

x, y R , f(x+ y) = f(x) + f(y)Soit x un rel quelconque. Commenons par montrer, par rcurrence sur n, que pourtout n N,

f(nx) = nf(x)La proprit est vraie pour n = 1. Supposons quelle soit vraie pour n. Alors :

f((n+ 1)x) = f(nx+ x) = f(nx) + f(x) = nf(x) + f(x) = (n+ 1)f(x)

La proprit est vraie pour n+ 1. Elle est donc vraie pour tout n N.Soient p et q sont deux entiers. Applique x = 1/q, la proprit ci-dessus donne

f(p/q) = pf(1/q), et aussi f(1) = qf(1/q). Donc

f(p/q) = f(1)(p/q)

En posant a = f(1), la fonction f concide avec x 7 ax sur tous les rationnels positifs.La relation f(x + 0) = f(x) + f(0) montre que f(0) = 0. En crivant f(0) = f(x) +f(x), on obtient que f(x) = f(x). La fonction f concide donc avec x 7 ax surtous les rationnels, donc sur tous les rels, par un argument de continuit.

3.4 Discontinuits des fonctions monotonesLe thorme 4 montre que si une fonction est monotone (croissante ou dcroissante)

sur un intervalle, elle admet une limite gauche et une limite droite en tout point.Soit f une fonction croissante sur lintervalle I. Pour tout a I, on a :

limxa

f(x) 6 f(a) 6 limxa+

f(x)

La fonction f est continue en a si et seulement si les trois valeurs concident. Unefonction croissante peut trs bien ne pas tre continue partout. Par exemple, la fonctionpartie entire est croissante, et discontinue en tout point entier (figure 2). Cependant,lensemble des points de discontinuit est au plus dnombrable.

Thorme 16. Si une fonction est monotone sur un intervalle, lensemble des pointso elle nest pas continue est fini ou dnombrable.

Dmonstration : Quitte remplacer f par f , nous pouvons supposer que f estcroissante. Soient a et b deux rels tels que a < b. Supposons que f ne soit continue nien a, ni en b. Alors :

limxa

f(x) < limxa+

f(x) limxb

f(x) < limxb+

f(x)

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Les intervalles ouverts]limxa

f(x) , limxa+

f(x)[

et]

limxa

f(x) , limxa+

f(x)[

sont disjoints et non vides. Chacun deux contient au moins un rationnel. On peut doncconstruire une application injective, associant tout point de discontinuit de f , unrationnel. Comme lensemble des rationnels est dnombrable, le rsultat sensuit.

3.5 Pourquoi dfinir la continuit ?Les notions de limites, de continuit, de droite relle mme, nont eu de dfinition

rigoureuse que longtemps aprs avoir t introduites et appliques. Dans la deuximemoiti du xixe sicle, les mathmaticiens ont commenc refuser de se satisfaire dece qui, jusqualors, apparaissait comme des vidences de nature gomtrique. Voici cequen dit Julius Dedekind (1831-1877) dans la prface de son ouvrage Continuit etnombres rationnels en 1872.

Les considrations qui font lobjet de ce court essai datent de lautomne1858. Je me trouvai alors, en tant que professeur lEcole PolytechniqueFdrale de Zurich, oblig pour la premire fois dexposer les lments ducalcul diffrentiel et je ressentis cette occasion, plus vivement encorequauparavant, combien larithmtique manque dun fondement vritable-ment scientifique. propos du concept dune grandeur variable qui tendvers une limite fixe, et notamment pour prouver le thorme que toutegrandeur qui crot constamment, mais non au-del de toute limite, doitncessairement tendre vers une valeur limite, je cherchai refuge dans lesvidences gomtriques. Maintenant encore, admettre ainsi lintuition go-mtrique dans le premier enseignement du calcul diffrentiel me semble, dupoint de vue didactique, extraordinairement utile, indispensable mme, silon ne veut pas perdre trop de temps. Mais, personne ne le niera, cette fa-on dintroduire au calcul diffrentiel, ne peut aucunement prtendre avoirun caractre scientifique. Mon sentiment dinsatisfaction tait alors si puis-sant que je pris la ferme dcision de rflchir jusqu ce que jaie trouv unfondement purement arithmtique et parfaitement rigoureux des principesde lanalyse infinitsimale.

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CoursVocabulaireConvergenceOprations sur les limitesLimites unilatralesConvergence des fonctions monotonesComparaison de fonctionsLimites connatreContinuit en un pointContinuit sur un intervalle

EntranementVrai ou fauxExercicesQCMDevoirCorrig du devoir

ComplmentsCauchy et les limitesContinuit uniformeArguments de continuitDiscontinuits des fonctions monotonesPourquoi dfinir la continuit ?

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Limites Et Continuité (1)