Une observation par cellule facteurs fixes versus facteurs aléatoires

• une observation par cellule• facteurs fixes versus facteurs

aléatoires

A1 A2 moyenne

B1 2.0 6.0 4.0B2 8.0 8.0 8.0moyenne 5.0 7.0 6.0

SSA = 2(5-6)2 + 2(7-6)2 = 4.00 df: 1SSB = 2(4-6)2 + 2(8-6)2 = 16.00 df: 1

MSSwithin = ∑∑(xij - Xj.) 2 /N-k= ?

Output

nMSMSjMSjMS

MSMSInterclass

JxSjugeJxSsuj

JxSsuj

/)1(nCorrélatio

70.401.20

2.14

6134.02.14

2.14nCorrélatio

5/067.0067.103067.0)13(267.14

067.0267.14nCorrélatio

Interclass

Interclass

Modèle général linéaire: Facteurs aléatoiresxij = µ + i + i + i + eij

i = une valeur tirée d’une distribution normale avec une moyenne de 0 et une variance de 2

a, si l’hypothèse nulle est vraie=> 2

a= 0

i = une valeur tirée d’une distribution normale avec une moyenne de 0 et une variance de 2

b, si l’hypothèse nulle est vraie => 2

b= 0

i = une valeur tirée d’une distribution normale avec une moyenne de 0 et une variance de 2

ab, si l’hypothèse nulle est vraie => 2

ab= 0.

Deux facteurs aléatoires MSQlignes : 2

p + n2ab + nc2

a

MSQcolonnes : 2p + n2

ab + nr2b

MSQinteraction : 2p + n2

ab

MSQerreur : 2p

Modèle mixte Facteur aléatoire comme ci-haut Facteur fixe : MSQeffet est divisé par

MSQwithin - MSQaléatoire

Les dégâts

causés par des

insectes en

fonction du type

de blé et du

terrain

Exemple

Output

Random Factors

Output

TraitementsSujets 1 2 3 moyennes1 30 28 34 30.672 14 18 22 18.003 24 20 30 24.674 38 34 44 38.675 26 28 30 28.00moyennes 26.4 25.6 32.0 28.00

Sommes des carrés: SCbetween = 121.6 et SCwithin = 734.4 les SCerreur pour un modèle mixte se calculent:

SCwithin - SCfacteur aléatoire

SCsujets = k ∑∑(X.i - X..)2 = 3[(30.667-28) 2 + (18-28) 2 + ... + (28-28) 2] = 696.02

SCerreur = SCwithin - SCsujets = 38.38degrés de liberté il faut utiliser les degrés de liberté de l’erreur

dans le cas d’une analyse avec une observation par cellule: (n-1) (k-1)

1. les observations sont indépendantes2. il y a normalité multivariée3. il y a sphéricité

Uniformité: Tous les éléments de la matrice des variances et covariances sont égaux.

Sphéricité: Les variances des différences de toutes les paires de mesures répétées sont égales. Ceci est le cas quand toutes les variances ainsi que toutes les corrélations entre les variables sont égales.

Mauchly's Test of Sphericity b

Measure: MEASURE_1

.498 2.093 2 .351 .666 .872 .500Within Subjects EffectTREAT

Mauchly's WApprox.

Chi-Square df Sig.Greenho

use-Geisser Huynh-Feldt Lower-bound

Epsilona

Tests the null hypothesis that the error covariance matrix of the orthonormalized transformed dependent variables isproportional to an identity matrix.

May be used to adjust the degrees of freedom for the averaged tests of significance. Corrected tests aredisplayed in the Tests of Within-Subjects Effects table.

a.

Design: Intercept Within Subjects Design: TREAT

b.

Diff. 1-2 Diff. 1-3 Diff. 2-3

2 -4 -6

-4 -8 -4

4 -6 -10

4 -6 -10

-2 -4 -2

Moyenne 0.8 -5.6 -6.4

Variance 13.2 2.8 12.8

approche univariée traditionnelleF[; K-1, (N-1)(K-1)]

approche univariée corrigéeF[; (K-1) , (N-1)(K-1)] avec entre 1/(K-1) et 1.0; = 1 quand il y a

sphéricité (Greenhouse et Geisser, 1959)~Huynh et Feldt, 1976)

approche multivariée

n = 24; m1 = 49.17, m2 = 49.72, m3 = 50.28, m4 = 50.83

Exemple 1

univariée Greenhouse-Geisser: .49univariée Huynh-Feldt: .51multivariée: .40

Exemple 2

8 4 8 54 7 4 38 4 18 65 3 6 7

univariée Greenhouse-Geisser: .49univariée Huynh-Feldt: .51multivariée: .85

18 8 6 4 8 8 5 4 6 5 7 3 4 4 3 7

L’approche multivariée est préférable quand: K 4, N ≥ K + 15 et .90 ou 5 K 8, N ≥ K + 30 et .85 avec K - nombre des traitements N - nombre des sujets

~

Tests of Within-Subjects Effects

121.600 2 60.800 12.667 .003

121.600 1.331 91.341 12.667 .012121.600 1.745 69.693 12.667 .005121.600 1.000 121.600 12.667 .024

38.400 8 4.80038.400 5.325 7.21138.400 6.979 5.50238.400 4.000 9.600

Sphericity Assumed

Greenhouse-GeisserHuynh-FeldtLower-bound

Sphericity AssumedGreenhouse-GeisserHuynh-FeldtLower-bound

SourceTREAT

Error(TREAT)

MeasureMEASURE_1

Type III Sumof Squares df Mean Square F Sig.

Approche univariée

Approche multivariéeMultivariate Tests b

.940 23.442a 2.000 3.000 .015

.060 23.442a 2.000 3.000 .01515.628 23.442a 2.000 3.000 .015

15.628 23.442a 2.000 3.000 .015

Pillai's TraceWilks' LambdaHotelling's Trace

Roy's Largest Root

EffectTREAT

Value F Hypothesis df Error df Sig.

Exact statistica.

Design: Intercept Within Subjects Design: TREAT

b.

Analyze ->

general

linear model -

> repeated

measures

SPSS - repeated measures

Définir les facteurs

Post-hoc pour facteur non répété

Post-hoc pour facteur répété

Post-hoc

Tests of Within-Subjects Contrasts

Measure: MEASURE_1

1383.339 1 1383.339 6.218 .022464.006 1 464.006 18.613 .000

4226.772 19 222.462

473.661 19 24.9303520.089 1 3520.089 142.194 .0003690.139 1 3690.139 47.070 .000

470.356 19 24.756

1489.528 19 78.396320.000 1 320.000 1.576 .225720.000 1 720.000 6.752 .018

36.450 1 36.450 .235 .6332928.200 1 2928.200 26.906 .0003858.000 19 203.0532026.000 19 106.632

2946.550 19 155.0822067.800 19 108.832

IMAGE

Level 1 vs. Level 3Level 2 vs. Level 3Level 1 vs. Level 3

Level 2 vs. Level 3Level 1 vs. Level 3Level 2 vs. Level 3

Level 1 vs. Level 3Level 2 vs. Level 3Level 1 vs. Level 3Level 2 vs. Level 3

Level 1 vs. Level 3Level 2 vs. Level 3

BOISLevel 1 vs. Level 3Level 2 vs. Level 3Level 1 vs. Level 3

Level 2 vs. Level 3

Level 1 vs. Level 3

Level 2 vs. Level 3

Level 1 vs. Level 3

Level 2 vs. Level 3

SourceBOIS

Error(BOIS)

IMAGE

Error(IMAGE)

BOIS * IMAGE

Error(BOIS*IMAGE)

Type III Sumof Squares df Mean Square F Sig.

Tests of Within-Subjects Contrasts

Measure: MEASURE_1

12.343 1 12.343 200.222 .000.643 1 .643 19.675 .000

5.926E-02 1 5.926E-02 1.713 .204

8.371E-02 1 8.371E-02 1.710 .2041.195E-02 1 1.195E-02 .232 .635

1.418 23 6.165E-02.751 23 3.267E-02

.796 23 3.459E-021.126 23 4.896E-021.185 23 5.152E-02

INTENLinearQuadraticCubic

Order 4Order 5LinearQuadratic

CubicOrder 4Order 5

SourceINTEN

Error(INTEN)

Type III Sumof Squares df Mean Square F Sig.