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UNIVERSITE KASDI MERBAH OUARGLA Faculté des Sciences Appliquées
Département de Génie Mécanique
MEMOIRE MASTER PROFESSIONNEL
Domaine : Sciences Appliquées
Filière : Génie mécanique
Spécialité : Maintenane Industrielle(MI)
Présenté par :
DAHNOUN Mourad
MAKHLOUF Yassine
Thème
Soutenu le :
01/06/2016
Devant le jury
Président HECINI Ael MAA UKM Ouargla
Examinateur AMEUR Toufik MAA UKM Ouargla
Rapporteur GUEBAILIA Moussa MCB UKM Ouargla
Année Universitaire 2015/2016
Etude des vibrations libres d'une poutre
à deux travées sur des appuis élastiques
Résumé :
Ce travail présente l’évaluation du comportement des structures en étudiant les vibrations
libres par la modélisation de la structure d’un modèle de poutre supportée par des appuis
élastiques ponctuels afin d’approcher au cas réel des structures. Une approche basée sur la
méthode de la superposition modale pour résoudre le problème en respectant toutes les
conditions aux limites et de continuité sur l’appui intermédiaire. Nous avons enfin confronté
les résultats que nous avons obtenus à ceux qui sont obtenus par le logiciel ANSYS afin de les
valider. La validation est réalisée sur les deux cas extrêmes : Si la raideur tend vers une valeur
qui approche à la valeur nulle la tendance de l’appui élastique est celle comme s’il n’y a pas
d’appui (poutre libre).
Si la raideur tend vers une certaine valeur ce qui rend la rigidité de l’appui très grande,
l’appui élastique se comporte comme un appui rigide.
Mots clés : Appui ; rigide, élastique ; vibration libre ; poutre
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Etude vibratoire d’une poutre supportée par des appuis élastiques
Résumé
Sommaire
Liste des tableaux
Introduction
Chapitre I :
Synthèse bibliographique
Chapitre II :
Modélisation de la poutre en appui élastique
Chapitre III :
Exemples de Validation
Cas K=0
Cas K>>
Discussion des résultats
Conclusion
Références bibliographiques
Annexes
Etude des vibrations libres d'une poutre à deux travées sur des appuis élastiques
La nomenclature :
L’insigne : Désignation
W : la flèche de déplacement vertical du feuillet moyen.
E : le module d’Young.
�: la masse volumique.
w : la fréquence fondamentale.
I : moment d’inertie
x , y,z : les coordonnées.
h : épaisseur
L : longueur de la poutre
k : nombre d’onde
K : le raideur
f : fréquence naturel
Etude des vibrations libres d'une poutre à deux travées sur des appuis élastiques
Liste des tableaux :
� Tableau1 : propriétés des matériaux
� Tableau 2:Valeurs de K,racines de l’équation aux fréquences
� Tableau3.comparaison des fréquences propres entre Ansys et la méthode
analytique :Lecas K=0 ;L�=L�=30m
� Tableau4.comparaison des fréquences propres entre Ansys et la méthode
analytique :Le cas L�=L�=30m :K=300 000000 ;R=10.9051
� Tableau 5:Valeurs de K,racines de l’équation aux fréquences
Etude des vibrations libres d'une poutre à deux travées sur des appuis élastiques
Page 2
Introduction
Afin de savoir la réponse dynamique des structure (déplacement, déformation, efforts,…)
et pour maintenir les structure on est obligé de passer par l’étude des vibrations libres des
structures. Le modèle le plus utilisé par les chercheurs est le modèle des poutres soit en appui
rigide ou encastré et libre,…. Ces modèles donnent des résultats qui ne reflètent pas de la
réalité c’est pourquoi nous essayons dans ce travail d’appliquer au lieu des appuis rigides des
appuis élastiques ponctuels pour rapprocher au mieux du comportement réel des structures.
Les recherches dans ce domaine sont très peu et de différentes méthodes de calculs. La
majorité des rechercheurs se basent sur structure type poutre avec des conditions aux limites
classiques (rigide). Nous avons eu de problème pour trouver des travaux afin de comparer les
résultats que nous avons aboutis. C’est pour cela nous avons fait recours au logiciel des
éléments finis ANSYS pour valider nos résultats.
Etude des vibrations libres d'une poutre à deux travées sur des appuis élastiques
Page 4
1. Introduction :
L’analyse des structures est l’étude et la détermination de leur réponse lorsqu’elles sont
soumises à un ensemble de sollicitations ou de charges externes. En général, la
réponse d’une structure est caractérisée par l’évaluation des actions internes et ou les
déformations en tout point de la structure. Pour arriver à ce but, il est nécessaire
d’utiliser une méthodemathématique, un essai expérimental ou un modèle analytique ou
numérique.
.Dans ce chapitre on va montrer la définition des poutres ,plaque et montere les
différentes types de poutres.
2. Dynamique des structures :
La dynamique des structures est un domaine de la mécanique des structures traitant de
problèmes très variés et faisant donc appel à des méthodes numériques différentes. Sans être
exhaustif, on peut citer :
- le comportement des structures soumises à des chocs (crash automobile, chute
d’emballage de transport, impact d’avion)
- le mouvement causé par un séisme ou une explosion
- les vibrations induites par un écoulement (pont soumis au vent, tuyaux d’un circuit
industriel sous écoulement interne…), une machine tournante (turbines, réacteurs…) ou
un contact (contact roue-chaussée, frottement des freins à disque…).[1]
La plaque est un milieu continu [2], structure tridimensionnelle solide limitée par
deux plans parallèles les faces de la plaque et par un bord cylindrique perpendiculaire
aux faces [3], c'est-à-dire le bord de la plaque. La surface moyenne située à mi-distance entre
la peau inférieure et la peau supérieure de la plaque est connue sous le nom de la
surfacemoyenne ou "feuillet moyen". La distance entre les faces est l'épaisseur de la plaque.
Etude des vibrations libres d'une poutre à deux travées sur des appuis élastiques
Page 5
Les plaques sont des éléments structuraux couramment utilisés dans différents types
de plaques sont disponibles suivant les besoins du site industriel d’où différentes hypothèses
sont nécessaires pour caractériser le modèle analytique d’analyse:
(a) les plaques minces avec de petites flèches (Kirchhoff) où l’énergie de contribution de
l’effet de cisaillement est négligée;
(b) les plaques minces avec de grandes flèches (Karman);
(c) plaques modérées ou épaisses (Mindlin-Reissner) où l’énergie de contribution de l’effet de
cisaillement est préservée. En général diverses forces de différentes natures (volumiques,
surfaciques, ponctuelles) peuvent se présenter comme source génératrice d’excitation.
Les réponses conséquentes peuvent être exprimées en terme de mouvement que l’on
peut décrire par des déplacements, des vitesses ou des accélérations.
Dans le cas de l’analyse libre, on s’intéresse aux paramètres dynamiques naturels, afin
de caractériser le comportement propre inhérent à la structure d’intérêt indépendamment
des sollicitations extérieures. [3]
D'un point de vue historique, Euler fut l'un des premiers, en 1766, à formuler le
premiermodèle mathématique du problème représentant le comportement d'une plaque
assimilée à une membrane en vibration libre.
Puis, le physicien allemand Chladni [4 (1787) découvrit les premiers modes propres de
vibrations d’une plaque carrée horizontale, C’est ensuiteLagrange qui développa en 1811 la
première équation différentielle correcte pour décrire les vibrations d'une plaque libre
d’épaisseur constante, à laquelle doit satisfaire la flexion w , mais sans démonstration
ni explication. Pour les mathématiciens, la détermination des fréquences naturelles fût
une grande priorité. Sophie Germain a été récompensé en 1816 pour sa contribution au
développement de l'équation de la plaque mince.
Etude des vibrations libres d'une poutre à deux travées sur des appuis élastiques
Page 6
Quelques temps après, Navier (1785-1836) introduit la méthode pour calculer les
modes et les fréquences propres d'une plaque pour certaines conditions aux frontières.
Ce dernier utilisa les fonctions trigonométriques découvertes par Fourier pour représenter la
déformation d'une plaque.
Ce n’est qu’en 1850 que Kirchhoff [4] (1824-1887) a établi de façon correcte
pour la première fois des conditions aux limites en partant du principe des déplacements
virtuels et de l’expression du travail des contraintes de la plaque.
3. Poutre :
Définition :
Une poutre est définie comme étant un élément structural rectiligne .En général, elle est
sollicitée par des charges appliquées qui sont rapportées au même plan géométrique. Dans le
cas des poutres, les charges appliquées engendrent une dominance de flexion et de
cisaillement. L’effort normal est en général négligé.
Figure1 :Structure de poutre continue
Dans la plupart des cas, les poutres sont destinées à reprendre les actions de type
flexion. D’une façon générale, toute section de la poutre est soumise à un moment de flexion
et un effort tangentiel .[3]
Etude des vibrations libres d'une poutre à deux travées sur des appuis élastiques
Page 7
Figure2 :Les structures-poutres
4. Quelques caractéristiques :
Figure3 : Schéma simplifié en 2 dimensions d'une poutre non-chargée (en haut) et d'une
poutre chargée uniformément (en bas)
� Le calcul des poutres suit les modèles de la théorie des poutres.
� La poutre a une section où la hauteur est plus grande que la largeur, selon son modèle
de calcul.
� La poutre continue est une poutre sur plusieurs appuis ; elle a une section plus faible
que les poutres sur deux appuis pour une même portée.
� La poutre est pleine (massive) ou composée (assemblage de membrures, assemblage à
jours).
Etude des vibrations libres d'une poutre à deux travées sur des appuis élastiques
Page 8
� La poutre peut être composée de plusieurs matériaux par exemple bois et métal, béton
et métal pour l'assemblage mais aussi pour les caractéristiques physiques.
� La poutre des constructions industrielles constituée de bielles et membrures
comprimées et tirants tendus formant des triangles est une poutre à treillis.
5. Types de poutres :
Les principaux types de poutres sont :
• les poutres triangulées aluminium ou acier
• les poutres carrées aluminium ou acier
Les poutres sont classées en fonction de la distance entre membrures (par exemple,
une poutre de “500” a une distance entre deux membrures de 50 cm
6. Les propriétés mécaniques et physiques des matériaux :
Chaque matériau a des propriétés mécaniques et physiques précises et dans notre cas on va
utiliser propriétés des aciers.
Type de
Matériau
Masse
volumique
ρ(Kg/m3)
Module de
YoungE���(kg/m2)
Coefficient de
Poisson ν
Acier 7800 21000 0.3
Cuivre 2930 1200 0.3
aliminium 2700 720 0.3
Tableau1 : propriétés des matériaux
Etude des vibrations libres d'une poutre à deux travées sur des appuis élastiques
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7. L’analyse vibratoire :
L’analyse vibratoire est une question d'actualité importante, tant d’un point de vue
académique qu’industrielle. Cette thématique touche aussi d'autres domaines, tels que
l’automobile, les ponts, les bâtiments, ou encore le génie nucléaire.
Durant ces décennies, le domaine des vibrations connaît un regain d’intérêt du fait du
besoin d’optimiser, d’alléger les structures couramment utilisées et soumises à de différents
niveaux d’excitations. D'une autre manière, la compréhension de l'identité vibratoire de
plaque devient donc d'une grande importance et aide les ingénieurs à concevoir de
meilleures structures. Au final, les problématiques rencontrées concernent essentiellement
des questions d'analyse des réponses dynamiques des plaques et leur dimensionnement.
L’étude et l’analyse des vibrations ont pris au cours des dernières années, un essor
considérable en raison du développement du comportement dynamique du matériau
isotrope, orthotrope ou composite. Le contrôle des vibrations dans ces structures plaques
est un problème épineux qui se pose fréquemment au chercheur qu’à l’ingénieur
mécanicien. Pour assurer ce contrôle, la détermination des caractéristiques dynamiques de
la structure est indispensable.
Etude des vibrations libres d'une poutre à deux travées sur des appuis élastiques
1. Introduction :
L’appui élastique également appelé appui à ressort est un cas particulier de l’appui à rotule
décrit ci-dessus.Il s’agit de rendre compte de la capacité d’un appui à se déplacer tout en
conservant une réaction. Le comportement est celui d’un ressort vertical ou horizontal qui
tolère un mouvement caractéristique d’une raideur que l’on exprime par un coefficient k. On
retrouve ce type d’appui pour rendre compte d’un sol ou simuler un élément de structure
pouvant se déformer et induire un déplacement de l’appui.
Dans ce chapitre on va réaliser la partie analytique afin de définir les fréquence propre et
les déformé avant de faire la simulation dans le logiciel et faire la comparaison.
2. Poutre en appuis élastique :
Cet appui également appelé appui à ressort est un cas particulier de l’appui à rotule décrit
ci-dessus.Il s’agit de rendre compte de la capacité d’un appui à se déplacer tout en conservant
une réaction. Le comportement est celui d’un ressort vertical ou horizontal qui tolère un
mouvement caractéristique d’une raideur que l’on exprime par un coefficient k. On retrouve
ce type d’appui pour rendre compte d’un sol ou simuler un élément de structure pouvant se
déformer et induire un déplacement de l’appui.
Figure4 :Poutre en 3 appuis élastique
L
L1 L2
( )1
1 1
x
xϕ
→
( )2
2 2
x
xϕ
→
x
Etude des vibrations libres d'une poutre à deux travées sur des appuis élastiques
L'expression Le mode i pour la vibration transversale dans la travée r est donnée par:
( ) .sin( . ) .cos( . ) . ( . ) . ( . ), 1,2 i i i i i i i i i ix A k x B k x C sh k x D ch k x iϕ = + + + =
, , et i i i iA B C D sont les constantes d'intégrations, N est le nombre de travées, k est un
paramètre de fréquence
RéactionFK
w=−
Pour les conditions aux limites:
1
2 2
3
1 11 13
1 0
3
2 22 2 23
2
d ( ). . ( 0)
d
d ( ). . ( )
d
x
x L
xE I K x
x
xE I K x L
x
ϕϕ
ϕϕ
=
=
=− =
= =
Posant .
KR
E I= :
1
2 2
3
1 11 13
1 0
3
2 22 2 23
2
d ( ) . ( 0)
d
d ( ). ( )
d
x
x L
xR x
x
xR x L
x
ϕϕ
ϕϕ
=
=
= − =
= =
Le moment fléchissant est nul aux bords extérieurs de la poutre :
1
2 2
2
1 1
2
1 0
2
2 2
2
2
d ( ) 0
d
d ( )0
d
x
x L
x
x
x
x
ϕ
ϕ
=
=
=
=
La continuité de l’effort tranchant et le moment fléchissant est :
1 1
1 1
3 3
1 1 2 21 1 13 3
1 2
2 2
1 1 2 2
2 2
1 2
d ( ) d ( 0) . ( )
d d
d ( ) d ( 0) 0
d d
x L
x L
x xR x L
x x
x x
x x
ϕ ϕϕ
ϕ ϕ
=
=
== = +
== =
Etude des vibrations libres d'une poutre à deux travées sur des appuis élastiques
La continuité concernant la déflexion et la pente.
( ) ( )
( ) ( )
1 1 2
1 1 2
1 1 2 2 0
1 1 2 2
0
1 2
,
d d
d d
x L x
x L x
x x
x x
x x
ϕ ϕ
ϕ ϕ
= =
= =
=
=
3. Méthode de modélisation :
Figure5 :schéma de la méthode de l’éude
4. Modélisation analytique :
En appliquant les conditions sur les deux équations de déformées :
��= A1Sin [kx1] +B1Cos [kx1] +C1Sinh [kx1] +D1Cosh [kx1]
��=A2Sin [kx2] +B2Cos [kx2] +C2Sinh [kx2] +D2Cosh [kx2
La dérivé premiere des équations :
�′�=A1 k Cos [kx1] – B1 k Sin [kx1] + C1 k Cosh [kx1] + D1 k Sinh [kx1]
2.Determinant de
la matrice=0 (K nombre d'onde.
3.Détermination
des constantes par réolution du
sys.équations
4.Calculer ω, f:fréquences
propres, déformées
propres
5.Validation par
ANSYS
1.Appiliquer les
conditions (8 équations)
Etude des vibrations libres d'une poutre à deux travées sur des appuis élastiques
�′�=A2 k Cos [kx2] – B2 k Sin [kx2] + C2 k Cosh [kx2] + D2 k Sinh [kx2]
La seconde dérivée des équations :
�′′�= – A1��Sin [kx1] –B1��Cos [kx1] + C1��Sinh [kx1] + D1��Cosh [kx1]
�′′�= – A2��Sin [kx2] –B2��Cos [kx2]+ C2��Sinh [kx2] + D2��Cosh [kx2
La troisième dérivée des équations :
�′′′�= –A1 ��Cos [kx1] + C1��Cosh [kx1] + B1 ��Sin [kx1] + D1��Sinh [kx1]
�′′′�= –A2�� Cos [kx2] + C2��Cosh [kx2] + B2 �� Sin [kx2] + D2�� Sinh [kx2]
L’application sur les équations :
��(�)
��� =-R ��(��=0)
��=0
-A1 k3+ B1 R+C1 k
3+ D1 R=0
���(��)
���� = -R ��(��=0)
��=0
-A2( k3 Cos[k L2]+R Sin[k L2]) +B2( k
3 Sin[k L2]-R Sinh[k L2] Cos[k L2])+
C2( k3Cosh[k L2]-R)+ D2( k
3 Sinh[k L2] -R Cosh[k L2] )=0
Le moment fléchissant est nul aux bords extérieurs de la poutre :
��(�)
��� =0
��=0
Etude des vibrations libres d'une poutre à deux travées sur des appuis élastiques
-B1 k2+D1 k
2
���(��)
���� = 0
��= ��
-B2 k2Cos[k L2]+D2 k
2Cosh[k L2]-A2 k
2 Sin[k L2]+C2 k
2 Sinh[k L2]
La continuité de l’effort tranchant et le moment fléchissant est :
��(�)
��� = R ��(��=0)+
���(����)
����
��= ��
-A1 k3 Cos[k L1]+C1 k
3Cosh[k L1]+B1 k
3 Sin[k L1]+D1 k
3 Sinh[k L1]-
R (B1Cos[k L1]+D1 Cosh[k L1]+A1 Sin[k L1]+C1 Sinh[k L1])+A2 k3-C2 k
3
��(�)
��� =
���(����)
����
��= ��
-B1 k2Cos[k L1]+D1 k
2Cosh[k L1]-A1 k
2 Sin[k L1]+C1 k
2 Sinh[k L1]+B2 k
2-D2 k
2
La continuité concernant la déflexion et la pent :
��(��) = ��(��)
��= �� ��= 0
B1 Cos[k L1]+D1 Cosh[k L1]+A1 Sin[k L1]+C1 Sinh[k L1]-B2-D
Etude des vibrations libres d'une poutre à deux travées sur des appuis élastiques
� (�)
�� =
� �(��)
���
��= �� ��= 0
A1 k Cos[k L1]+C1 k Cosh[k L1]-B1 k Sin[k L1]+D1 k Sinh[k L1]-A2 k + c2 k
En utilisant le logiciel mathematica nous allon montrés quelques étapes suivies pour calculé
la matrice :
A1=.
A2=.
B1=.
B2=.
C1=.
C2=.
D1=.
D2=.
k=.
R=.
X1=.
X2=.
L1=.
L2=.
f1=A1 Sin[k x1]+B1 Cos[k x1]+C1 Sinh[k x1]+D1 Cosh[k x1]
f2=A2 Sin[k x2]+B2 Cos[k x2]+C2 Sinh[k x2]+D2 Cosh[k x2]
B1 Cos[k x1]+D1 Cosh[k x1]+A1 Sin[k x1]+C1 Sinh[k x1]
Etude des vibrations libres d'une poutre à deux travées sur des appuis élastiques
B2 Cos[k x2]+D2 Cosh[k x2]+a2 Sin[k x2]+C2 Sinh[k x2]
f1p=D[f1,x1]
f2p=D[f2,x2]
A1 k Cos[k x1]+C1 k Cosh[k x1]-B1 k Sin[k x1]+D1 k Sinh[k x1]
A2 k Cos[k x2]+C2 k Cosh[k x2]-B2 k Sin[k x2]+D2 k Sinh[k x2]
f1pp=D[f1p,x1]
f2pp=D[f2p,x2]
-B1 k2Cos[k x1]+D1 k
2Cosh[k x1]-A1 k
2 Sin[k x1]+C1 k
2 Sinh[k x1]
-B2 k2Cos[k x2]+D2 k
2Cosh[k x2]-A2 k
2 Sin[k x2]+C2 k
2 Sinh[k x2]
f1ppp=D[f1pp,x1]
f2ppp=D[f2pp,x2]
-A1 k3Cos[k x1]+C1 k
3Cosh[k x1]+B1 k
3 Sin[k x1]+D1 k
3 Sinh[k x1]
-A2 k3Cos[k x2]+C2 k
3Cosh[k x2]+B2 k
3 Sin[k x2]+D2 k
� La matrice :
A=MatrixForm[{ {-k3,R,k
3,R,0,0,0,0},
{0,0,0,0,-k3 Cos[k L2]-R Sin[k L2] ,k
3 Sin[k L2]-R Cos[k L2],k
3Cosh[k L2]-R Sinh[k
L2],k3 Sinh[k L2]-R Cosh[k L2]},
{0,-1,0,1,0,0,0,0} ,
{0,0,0,0,-Sin[k L2],-Cos[k L2],Sinh[k L2],Cosh[k L2]},
{-k3Cos[k L1]-R Sin[k L1] ,k
3 Sin[k L1]-R Cos[k L1],k
3Cosh[k L1]- R Sinh[k L1],k
3
Sinh[k L1]-R Cosh[k L1],k3,0,-k
3,0 },
{- Sin[k L1],- Cos[k L1],Sinh[k L1], Cosh[k L1],0,1,0,-1},
{Sin[k L1],Cos[k L1],Sinh[k L1],Cosh[k L1],0,-1,0,-1},
Etude des vibrations libres d'une poutre à deux travées sur des appuis élastiques
{Cos[k L1],-Sin[k L1],Cosh[k L1],Sinh[k L1],-1,0,1,0}}]
−�� � �� � 0 0 0 00 0 0 0 −��Cos[�L2] − �Sin[�L2] −�Cos[�L2] + ��Sin[�L2] ��Cosh[�L2] − �Sinh[�L2] −�Cosh[�L2] + ��Sinh[�L2]0 −1 0 1 0 0 0 00 0 0 0 −Sin[�L2] −Cos[�L2] Sinh[�L2] Cosh[�L2]
−��Cos[�L1] − �Sin[�L1] −�Cos[�L1] + ��Sin[�L1] ��Cosh[�L1]− �Sinh[�L1] −�Cosh[�L1]+ ��Sinh[�L1] �� 0 −�� 0
−Sin[�L1] −Cos[�L1] Sinh[�L1] Cosh[�L1] 0 1 0 −1
Sin[�L1] Cos[�L1] Sinh[�L1] Cosh[�L1] 0 −1 0 −1
Cos[�L1] −Sin[�L1] Cosh[�L1] Sinh[�L1] −1 0 1 0
� Le détermnant :
4 k^9 Cos[k L1] Cos[k L2]^2 Cosh[k L1] - 4 k^9 Cos[k L1] Cos[k L2] Cosh[k L1] Cosh[k
L2] -
4 k^9 Cos[k L2] Cosh[k L1]^2 Cosh[k L2] + 4 k^9 Cosh[k L1]^2 Cosh[k L2]^2 +
10 k^6 R Cos[k L2]^2 Cosh[k L1] Sin[k L1] - 8 k^6 R Cos[k L2] Cosh[k L1] Cosh[k L2]
Sin[k L1] -
2 k^6 R Cosh[k L1] Cosh[k L2]^2 Sin[k L1] - 2 k^6 R Cos[k L1]^2 Cosh[k L2] Sin[k L2] -
12 k^6 R Cos[k L1] Cosh[k L1] Cosh[k L2] Sin[k L2] - 10 k^6 R Cosh[k L1]^2 Cosh[k L2]
Sin[k L2] +
4 k^9 Cosh[k L1] Cosh[k L2] Sin[k L1] Sin[k L2] - 2 k^6 R Cosh[k L2] Sin[k L1]^2 Sin[k
L2] +
4 k^9 Cos[k L1] Cosh[k L1] Sin[k L2]^2 + 10 k^6 R Cosh[k L1] Sin[k L1] Sin[k L2]^2 -
2 k^6 R Cos[k L1] Cos[k L2]^2 Sinh[k L1] + 2 k^6 R Cos[k L1] Cosh[k L2]^2 Sinh[k L1] -
4 k^9 Cos[k L2]^2 Sin[k L1] Sinh[k L1] - 4 k^3 R^2 Cos[k L2]^2 Sin[k L1] Sinh[k L1] +
4 k^9 Cos[k L2] Cosh[k L2] Sin[k L1] Sinh[k L1] + 4 k^3 R^2 Cosh[k L2]^2 Sin[k L1]
Sinh[k L1] +
4 k^9 Cos[k L1] Cosh[k L2] Sin[k L2] Sinh[k L1] - 8 R^3 Cosh[k L2] Sin[k L1] Sin[k L2]
Sinh[k L1] -
2 k^6 R Cos[k L1] Sin[k L2]^2 Sinh[k L1] - 4 k^9 Sin[k L1] Sin[k L2]^2 Sinh[k L1] -
4 k^3 R^2 Sin[k L1] Sin[k L2]^2 Sinh[k L1] + 4 k^9 Cos[k L2] Cosh[k L2] Sinh[k L1]^2 -
4 k^9 Cosh[k L2]^2 Sinh[k L1]^2 + 10 k^6 R Cosh[k L2] Sin[k L2] Sinh[k L1]^2 +
Etude des vibrations libres d'une poutre à deux travées sur des appuis élastiques
2 k^6 R Cos[k L1]^2 Cos[k L2] Sinh[k L2] + 20 k^6 R Cos[k L1] Cos[k L2] Cosh[k L1]
Sinh[k L2] +
2 k^6 R Cos[k L2] Cosh[k L1]^2 Sinh[k L2] - 4 k^9 Cos[k L2] Cosh[k L1] Sin[k L1] Sinh[k
L2] +
24 k^3 R^2 Cos[k L2] Cosh[k L1] Sin[k L1] Sinh[k L2] + 2 k^6 R Cos[k L2] Sin[k L1]^2
Sinh[k L2] +
4 k^3 R^2 Cos[k L1]^2 Sin[k L2] Sinh[k L2] - 4 k^9 Cos[k L1] Cosh[k L1] Sin[k L2]
Sinh[k L2] +
24 k^3 R^2 Cos[k L1] Cosh[k L1] Sin[k L2] Sinh[k L2] +
4 k^9 Cosh[k L1]^2 Sin[k L2] Sinh[k L2] + 4 k^3 R^2 Cosh[k L1]^2 Sin[k L2] Sinh[k L2] -
20 k^6 R Cosh[k L1] Sin[k L1] Sin[k L2] Sinh[k L2] + 8 R^3 Cosh[k L1] Sin[k L1] Sin[k
L2] Sinh[k L2] +
4 k^3 R^2 Sin[k L1]^2 Sin[k L2] Sinh[k L2] - 4 k^9 Cos[k L1] Cos[k L2] Sinh[k L1] Sinh[k
L2] -
8 k^3 R^2 Cos[k L1] Cos[k L2] Sinh[k L1] Sinh[k L2] - 8 k^6 R Cos[k L2] Sin[k L1]
Sinh[k L1] Sinh[k L2] -
8 R^3 Cos[k L2] Sin[k L1] Sinh[k L1] Sinh[k L2] - 4 k^6 R Cos[k L1] Sin[k L2] Sinh[k L1]
Sinh[k L2] -
8 R^3 Cos[k L1] Sin[k L2] Sinh[k L1] Sinh[k L2] + 4 k^9 Sin[k L1] Sin[k L2] Sinh[k L1]
Sinh[k L2] +
8 k^3 R^2 Sin[k L1] Sin[k L2] Sinh[k L1] Sinh[k L2] - 2 k^6 R Cos[k L2] Sinh[k L1]^2
Sinh[k L2] -
4 k^9 Sin[k L2] Sinh[k L1]^2 Sinh[k L2] - 4 k^3 R^2 Sin[k L2] Sinh[k L1]^2 Sinh[k L2] -
2 k^6 R Cos[k L1] Sinh[k L1] Sinh[k L2]^2 - 4 k^3 R^2 Sin[k L1] Sinh[k L1] Sinh[k L2]^2
+ 4 k^9 Sinh[k L1]^2 Sinh[k L2]^2
Après la simplification des équations, on trouve les constantes.
Etude des vibrations libres d'une poutre à deux travées sur des appuis élastiques
≅ ∓∓≤≤≤
Tapezuneéquationici.
Etude des vibrations libres d'une poutre à deux travées sur des appuis élastiques
Page 23
1. Introduction :
Afin de valider nos résultats obtenus en appliquant l’approche analytique détaillée dans le
chapitre2,nous avons choisis le logiciel de simulation Ansys.
Ansys est le premier éditeur mondial dans le domaine du calcul par éléments finis. Les
outils proposés permettent de résoudre les problèmes de validation produits de manière
efficace. Ils permettent d’optimiser le processus de conception (gain de temps énorme) et
donc de proposer des produits plus innovants (intégration d’une pré-analyse dans le cycle de
conception), de qualité plus élevée tout en minimisant les coûts.
2. Simulation avec Ansys :
La programmation de la méthode sous ANSYS à permis une fréquence fondamentale plus
exacte et étudier le déplacement et la fréquence propre. Ainsi on résoudre l’équation du
mouvement libre pour déterminer les fréquences propres et pour éviter le phénomène de la
résonance. Ainsi L’analyse des plaques isotropes minces dépend de 03 paramètres :
1- Condition en limite
2- Matériau en lui même (caractéristique du matériaux s’il est isotrope ou orthotrope)
3- Géométrie de la structure (plaque avec leur dimension)
Avant tout ça ,on va présenter des exemples de validation.
3. Exemples de validation :
La poutre prise dans tous les exemples qui suivent a les propriétés suivantes :
Module de Young E=210 G Pa,
Largeur b= 0.2 m,
Etude des vibrations libres d'une poutre à deux travées sur des appuis élastiques
Page 24
Hauteur h=0.2 m,
Poutre symétrique L1 = L2 = 30 m,
Moment d’inertie I=1.34 10-4 m�
• 1er
cas
La raideur nulle :
K=0N/m
Figure6. Détermination des racines de l’équation aux fréquences
Sur la figure 6, les valeurs de nombre d’onde ki pour le cas symétrique.
Les valeursde ki sont groupées dans le tableau 2.
Tableau 2:Valeurs de ki,racines de l’équation aux fréquences
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
k 0.078834 0.130887 0.18326 0.2356 0.2879 0.34033 0.39231 0.41840 0.49662 0.52266
Sur le tableau 3, nous avons présenté une comparaison entre les fréquences propres
obtenues par la présente méthode à celles qui sont obtenues par le logiciel ANSYS.
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0.00001
5. 10 6
5. 10 6
0.00001
Amplitude
Ki
Etude des vibrations libres d'une poutre à deux travées sur des appuis élastiques
Page 25
Tableau3. Comparaison des fréquences propres entre Ansys et la présente méthode
(Cas Raideur nulle)
Mode Ansys Analytique Erreur en %
1 0.29630 0.2963 0
2 0.81675 0.8168 0.006
3 1.611 1.60 1.63
4 2.6466 2.64 0.24
5 3.9533 3.94 0.33
6 5.5213 5.5226 0.02
7 7.3504 7.3393 0.27
8 9.4404 8.3484 11.5
9 11.791 11.7623 0.24
10 14.403 13.0287 9.5
Sur la figure 7, nous présentons les premières déformées propres obtenues par la présente
modélisation.
Longueur de la poutre
Etude des vibrations libres d'une poutre à deux travées sur des appuis élastiques
Page 26
0 10 20 30 40 50 60-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2Mode (4), L1=L2=30, K=0
0 10 20 30 40 50 60-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Mode (5), L1=L2=30, K=0
Longueur de la poutre
Longueur de la poutre
Etude des vibrations libres d'une poutre à deux travées sur des appuis élastiques
Page 27
Figure7.Lespremières fréquences propres d’une poutre K=0
A partir du tableau 3, nous remarquons bien que les fréquences propres d’une poutre à
deux travées supportée par des appuis élastiques de raideur nulle sont plus proche aux
fréquences propres d’une poutre sans appui (Libre – Libre).
Ce qui signifie que le comportement des poutres en appuis élastiques avec une raideur
nulle converge vers le comportement d’une poutre libre-libre.
Pour cela, nous avons présenté sur la figure 8, les déformées propres d’une poutre
libre-libre sous ANSYS.
0 10 20 30 40 50 60-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2Mode (6), L1=L2=30, K=0
Etude des vibrations libres d'une poutre à deux travées sur des appuis élastiques
Page 28
Etude des vibrations libres d'une poutre à deux travées sur des appuis élastiques
Page 29
Figure8. Déformées propres de la poutre libre-libre
• 2ème
cas
Dans cet exemple, nous avons essayé par une valeur très grande de la raideur des appuis
élastique.
K=3 108N/m
Etude des vibrations libres d'une poutre à deux travées sur des appuis élastiques
Page 30
Le traçage de l’équation caractéristique est présenté sur la figure 9:
Figure9. Détermination des racines de l’équation aux fréquences (K>>)
Les valeurs qui annulent l’équation aux fréquences pour ce cas sont groupées sur le tableau 4.
Tableau 4:Valeurs de ki,racines de l’équation aux fréquences
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ki 0.1047 0.157 0.209 0.261772 0.314112 0.366444 0.418879 0.445059 0.523611 0.549854
Sur le tableau 5, une comparaison entre les fréquences propres d’une poutre sur appui
élastique par la présente méthode à celles d’une poutre en appui rigide sous ANSYS, les deux
poutres sont symétrique et à deux travées.
Tableau5. Comparaison des fréquences propres entre Ansys et la présente méthode :
Cas � ≫
Mode Ansys Analytique Erreur en %
1 0.52284 0.5228 0.00002
2 0.81678 1.1774 44.1514
3 2.0913 2.0911 0.0009
4 2.6467 3.2671 23.44
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0.00001
5. 10 6
5. 10 6
0.00001
Amplitude
Ki
Etude des vibrations libres d'une poutre à deux travées sur des appuis élastiques
Page 31
5 4.7049 4.7042 0.1487
6 5.5217 6.4022 15.9461
7 8.3634 8.3653 0.022
8 9.4414 9.4408 0.006
9 13.066 13.07 0.03
10 14.405 14.4251 0.13
Sur la figure 10, nous avons présenté les déformées propres de la présente modélisation
y
0 10 20 30 40 50 60-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Mode (1), L1=L2=30, K=300000000
0 10 20 30 40 50 60-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3Mode (2), L1=L2=30, K=300000000
Etude des vibrations libres d'une poutre à deux travées sur des appuis élastiques
Page 32
0 10 20 30 40 50 60-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Mode (3), L1=L2=30, K=300000000
0 10 20 30 40 50 60-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3Mode (4), L1=L2=30, K=300000000
0 10 20 30 40 50 60-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Mode (5), L1=L2=30, K=300000000
Etude des vibrations libres d'une poutre à deux travées sur des appuis élastiques
Page 33
Figure10.Les premières fréquences propres cas K>>
Sur la figure 11, nous présentons les déformées propres obtenues par ANSYS pour le cas
d’une poutre continue à deux travées simplement appuyée.
0 10 20 30 40 50 60-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3Mode (6), L1=L2=30, K=300000000
Etude des vibrations libres d'une poutre à deux travées sur des appuis élastiques
Page 34
Etude des vibrations libres d'une poutre à deux travées sur des appuis élastiques
Page 35
Figure11. Déformées propres d’une poutre continue à deux travées simplement appuyée
4. Discussion des résultats :
En comparant les résultats des tableaux précédents,on observe que les résultats sont très
proches entre la présente méthode et la méthode des éléments finis (Ansys).
Le taux de pourcentage général et environ 6% se qui valide la présente méthode.
5. Conclusion :
A partir des résultats obtenus qui sont présentés dans ce chapitre. Nous pouvons constater
bien que l’appui élastique à un comportement suivant la valeur de son raideur.
Valeur de raideur nulle � comportement négligé (pas d’appui ce qui semble au
comportement d’une poutre libre-libre.
Valeur de raideur supérieur� comportement qui semble au comportement d’une poutre sur
appui rigide.
Etude des vibrations libres d'une poutre à deux travées sur des appuis élastiques
Page 37
Conclusion générale
Nous pouvons conclure que l’étude des vibrations libres est très importante pour mieux
connaitre le comportement des structure. Nous avons eu aussi maitrisé le logiciel ANSYS
pour analyser les structures sans aucun effet de destruction. Cette méthode d’analyse est une
méthode de maintenance préventive non destructive. La présente méthode facile à injecter
dans un logiciel, nous permet aussi d’avoir un aperçu rapide sur les propriétés et
comportement d’une structure
Nous avons étudier les vibrations d’une poutre supportée par des appuis élastiques ,et nous
avons comparés nos résultats à ceux obtenus par la méthode du ligiciel des éléments
finis(Ansys).
Nous remarquons qu’il y’a une bonne concordance entre les résultats avec une petite
déviation de l’erreur ce qui valide l’approche utilisée.
En Plus,nous avons remarqués que les déformés propres de la poutre respectent la position
de l’appui intermédiaire avec les mèmes valeurs de L.
Etude des vibrations libres d'une poutre à deux travées sur des appuis élastiques
Page 39
Références bibliographique :
[1] Eléments de dynamique des structures Illustrations à l’aide de CAST3M-D. Combescure-
Septembre 2006
[2] : Méthodes d’analyse des structures hyperstatiques-Salah khelfallah
[3] : R.D. Mindlin. "Influence of Rotary Inertia and Shear on Flexural Motions of Isotropic
Elastic Plates", Journal of applied mechanics, 18 31-38 (1951)
[3] : Thèse T. Zarza étude paramétrique fréquentielle pour l’analyse libre d’une
plaque rectangulaire mince isotrope avec différentes combinaisons d’appuis en utilisant la
méthode de Ritz. 2007 Université Mentouri Constantine - Algérie
[4] : E.F.F.Chladni, "Entdeckung Uber die Théorie des Klanges", Leipzig, (1787).
[6] : Kirchhoff. G. "Vorlesungen uber Mathematics he Physik",Vol.1 B.G. Teubner Leipzig,
Germany (1876).
[7] : Lord Rayleigh, "The theory of sound", The Macmillan Company (1877).
Etude des vibrations libres d'une poutre à deux travées sur des appuis élastiques
Page 41
ANNEXE A : Séquence de la session de Ansys (1er cas) :
/NOPR ! Suppress printing of UNDO process
/PMACRO ! Echo followingcommands to log
FINISH !Make sure we are at BEGIN level
/CLEAR,NOSTART ! Clear model since no SAVE found
! WE SUGGEST YOU REMOVE THIS LINE AND THE FOLLOWING STARTUP LINES
! WE SUGGEST YOU REMOVE THIS LINE AND THE FOLLOWING STARTUP LINES
/input,menust,tmp,'',,,,,,,,,,,,,,,,1
/GRA,POWER
/GST,ON
/PLO,INFO,3
/GRO,CURL,ON
/CPLANE,1
/REPLOT,RESIZE
WPSTYLE,,,,,,,,0
!*
/NOPR
/PMETH,OFF,0
KEYW,PR_SET,1
KEYW,PR_STRUC,1
KEYW,PR_THERM,0
KEYW,PR_FLUID,0
KEYW,PR_ELMAG,0
KEYW,MAGNOD,0
KEYW,MAGEDG,0
KEYW,MAGHFE,0
KEYW,MAGELC,0
KEYW,PR_MULTI,0
KEYW,PR_CFD,0
/GO
!*
!*
/PREP7
!*
ET,1,BEAM3
!*
R,1,0.04,0.0001333333,0.2, , , ,
!*
!*
MPTEMP,,,,,,,,
MPTEMP,1,0
Etude des vibrations libres d'une poutre à deux travées sur des appuis élastiques
Page 42
MPDATA,EX,1,,210e9
MPDATA,PRXY,1,,0.3
MPTEMP,,,,,,,,
MPTEMP,1,0
MPDATA,DENS,1,,7800
SECTYPE, 1, BEAM, RECT, , 0
SECOFFSET, CENT
SECDATA,0.2,0.2,0,0,0,0,0,0,0,0
K, ,0,0,0,
K, ,60,0,0,
LSTR, 1, 2
FLST,5,1,4,ORDE,1
FITEM,5,1
CM,_Y,LINE
LSEL, , , ,P51X
CM,_Y1,LINE
CMSEL,,_Y
!*
LESIZE,_Y1, , ,60, , , , ,1
!*
LMESH, 1
FINISH
/SOL
!*
ANTYPE,2
!*
MSAVE,0
!*
MODOPT,LANB,10
EQSLV,SPAR
MXPAND,10, , ,1
LUMPM,0
PSTRES,0
!*
MODOPT,LANB,10,0.00000001,15, ,OFF
/STATUS,SOLU
SOLVE
FINISH
/POST1
SET,LIST
)/GOP ! Resume printing after UNDO process
)! Wesuggest a saveatthis point
Etude des vibrations libres d'une poutre à deux travées sur des appuis élastiques
Page 43
Annexe B :Séquence de mathématica (2eme cas)
L1=30
L2=30
EE=210000000000
II=0.2*0.2^3/12
K=0.02
R=K / (EE*II)
30
30
210000000000
0.000133333
0.02
7.14286*10-10
A=MatrixForm[{ {-k3,R,k3,R,0,0,0,0},
{0,0,0,0,-k3 Cos[k L2]-R Sin[k L2] ,k3 Sin[k L2]-R Cos[k L2],k3 Cosh[k L2]-R Sinh[k L2],k3
Sinh[k L2]-R Cosh[k L2]},
{0,-1,0,1,0,0,0,0} ,
{0,0,0,0,-Sin[k L2],-Cos[k L2],Sinh[k L2],Cosh[k L2]},
{-k3Cos[k L1]-R Sin[k L1] ,k
3 Sin[k L1]-R Cos[k L1],k
3 Cosh[k L1]- R Sinh[k L1],k
3 Sinh[k
L1]-R Cosh[k L1],k3,0,-k
3,0 },
{- Sin[k L1],- Cos[k L1],Sinh[k L1], Cosh[k L1],0,1,0,-1},
{Sin[k L1],Cos[k L1],Sinh[k L1],Cosh[k L1],0,-1,0,-1},
{Cos[k L1],-Sin[k L1],Cosh[k L1],Sinh[k L1],-1,0,1,0}}]
({
{-k3, 7.14286*10
-10, k
3, 7.14286*10
-10, 0, 0, 0, 0},
{0, 0, 0, 0, -k3 Cos[30 k]-7.14286*10
-10 Sin[30 k], -7.14286*10
-10 Cos[30 k]+k
3 Sin[30 k], k
3
Cosh[30 k]-7.14286*10-10
Sinh[30 k], -7.14286*10-10
Cosh[30 k]+k3 Sinh[30 k]},
{0, -1, 0, 1, 0, 0, 0, 0},
{0, 0, 0, 0, -Sin[30 k], -Cos[30 k], Sinh[30 k], Cosh[30 k]},
{-k3 Cos[30 k]-7.14286*10-10 Sin[30 k], -7.14286*10-10 Cos[30 k]+k3 Sin[30 k], k3 Cosh[30 k]-
7.14286*10-10 Sinh[30 k], -7.14286*10-10 Cosh[30 k]+k3 Sinh[30 k], k3, 0, -k3, 0},
{-Sin[30 k], -Cos[30 k], Sinh[30 k], Cosh[30 k], 0, 1, 0, -1},
{Sin[30 k], Cos[30 k], Sinh[30 k], Cosh[30 k], 0, -1, 0, -1},
{Cos[30 k], -Sin[30 k], Cosh[30 k], Sinh[30 k], -1, 0, 1, 0}
})
({
{-k3, R, k
3, R, 0, 0, 0, 0},
{0, 0, 0, 0, -k3 Cos[k L2]-R Sin[k L2], -R Cos[k L2]+k
3 Sin[k L2], k
3 Cosh[k L2]-R Sinh[k L2],
-R Cosh[k L2]+k3 Sinh[k L2]},
{0, -1, 0, 1, 0, 0, 0, 0},
{0, 0, 0, 0, -Sin[k L2], -Cos[k L2], Sinh[k L2], Cosh[k L2]},
{-k3 Cos[k L1]-R Sin[k L1], -R Cos[k L1]+k
3 Sin[k L1], k
3 Cosh[k L1]-R Sinh[k L1], -R
Cosh[k L1]+k3 Sinh[k L1], k
3, 0, -k
3, 0},
{-Sin[k L1], -Cos[k L1], Sinh[k L1], Cosh[k L1], 0, 0, 0, 0},
{Sin[k L1], Cos[k L1], Sinh[k L1], Cosh[k L1], 0, -1, 0, -1},
Etude des vibrations libres d'une poutre à deux travées sur des appuis élastiques
Page 44
{Cos[k L1], -Sin[k L1], Cosh[k L1], Sinh[k L1], -1, 0, 1, 0}
})
{{-k3,7.14286*10
-10,k
3,7.14286*10
-10,0,0,0,0},{0,0,0,0,-k
3 Cos[30 k]-7.14286*10
-10 Sin[30 k],-
7.14286*10-10
Cos[30 k]+k3 Sin[30 k],k
3 Cosh[30 k]-7.14286*10
-10 Sinh[30 k],-7.14286*10
-10
Cosh[30 k]+k3 Sinh[30 k]},{0,-1,0,1,0,0,0,0},{0,0,0,0,-Sin[30 k],-Cos[30 k],Sinh[30 k],Cosh[30
k]},{-k3 Cos[30 k]-7.14286*10
-10 Sin[30 k],-7.14286*10
-10 Cos[30 k]+k
3 Sin[30 k],k
3 Cosh[30
k]-7.14286*10-10 Sinh[30 k],-7.14286*10-10 Cosh[30 k]+k3 Sinh[30 k],k3,0,-k3,0},{-Sin[30 k],-
Cos[30 k],Sinh[30 k],Cosh[30 k],0,0,0,0},{Sin[30 k],Cos[30 k],Sinh[30 k],Cosh[30 k],0,-1,0,-
1},{Cos[30 k],-Sin[30 k],Cosh[30 k],Sinh[30 k],-1,0,1,0}}
{{-k3,R,k3,R,0,0,0,0},{0,0,0,0,-k3 Cos[k L2]-R Sin[k L2],-R Cos[k L2]+k3 Sin[k L2],k3 Cosh[k
L2]-R Sinh[k L2],-R Cosh[k L2]+k3 Sinh[k L2]},{0,-1,0,1,0,0,0,0},{0,0,0,0,-Sin[k L2],-Cos[k
L2],Sinh[k L2],Cosh[k L2]},{-k3 Cos[k L1]-R Sin[k L1],-R Cos[k L1]+k
3 Sin[k L1],k
3 Cosh[k
L1]-R Sinh[k L1],-R Cosh[k L1]+k3 Sinh[k L1],k
3,0,-k
3,0},{-Sin[k L1],-Cos[k L1],Sinh[k
L1],Cosh[k L1],0,0,0,0},{Sin[k L1],Cos[k L1],Sinh[k L1],Cosh[k L1],0,-1,0,-1},{Cos[k L1],-
Sin[k L1],Cosh[k L1],Sinh[k L1],-1,0,1,0}}
{{-k3,7.14286*10
-10,k
3,7.14286*10
-10,0,0,0,0},{0,0,0,0,-k
3 Cos[30 k]-7.14286*10
-10 Sin[30 k],-
7.14286*10-10
Cos[30 k]+k3 Sin[30 k],k
3 Cosh[30 k]-7.14286*10
-10 Sinh[30 k],-7.14286*10
-10
Cosh[30 k]+k3 Sinh[30 k]},{0,-1,0,1,0,0,0,0},{0,0,0,0,-Sin[30 k],-Cos[30 k],Sinh[30 k],Cosh[30
k]},{-k3 Cos[30 k]-7.14286*10
-10 Sin[30 k],-7.14286*10
-10 Cos[30 k]+k
3 Sin[30 k],k
3 Cosh[30
k]-7.14286*10-10
Sinh[30 k],-7.14286*10-10
Cosh[30 k]+k3 Sinh[30 k],k
3,0,-k
3,0},{-Sin[30 k],-
Cos[30 k],Sinh[30 k],Cosh[30 k],0,0,0,0},{Sin[30 k],Cos[30 k],Sinh[30 k],Cosh[30 k],0,-1,0,-
1},{Cos[30 k],-Sin[30 k],Cosh[30 k],Sinh[30 k],-1,0,1,0}}
DetA=Det[({
{-k3, R, k3, R, 0, 0, 0, 0},
{0, 0, 0, 0, -k3 Cos[k L2]-R Sin[k L2], -R Cos[k L2]+k
3 Sin[k L2], k
3 Cosh[k L2]-R Sinh[k
L2], -R Cosh[k L2]+k3 Sinh[k L2]},
{0, -1, 0, 1, 0, 0, 0, 0},
{0, 0, 0, 0, -Sin[k L2], -Cos[k L2], Sinh[k L2], Cosh[k L2]},
{-k3 Cos[k L1]-R Sin[k L1], -R Cos[k L1]+k
3 Sin[k L1], k
3 Cosh[k L1]-R Sinh[k L1], -R
Cosh[k L1]+k3 Sinh[k L1], k
3, 0, -k
3, 0},
{-Sin[k L1], -Cos[k L1], Sinh[k L1], Cosh[k L1], 0, 0, 0, 0},
{Sin[k L1], Cos[k L1], Sinh[k L1], Cosh[k L1], 0, -1, 0, -1},
{Cos[k L1], -Sin[k L1], Cosh[k L1], Sinh[k L1], -1, 0, 1, 0}
})]
1. (0. +2. k9 Cos[30 k]
3 Cosh[30 k]-2. k
9 Cos[30 k]
2 Cosh[30 k]
2-2. k
9 Cos[30 k] Cosh[30 k]
3+2.
k9 Cosh[30 k]4+4.28571*10-9 k6 Cos[30 k]2 Cosh[30 k] Sin[30 k]+2.85714*10-9 k6 Cos[30 k]
Cosh[30 k]2 Sin[30 k]-7.14286*10-9 k6 Cosh[30 k]3 Sin[30 k]+2. k9 Cos[30 k] Cosh[30 k] Sin[30
k]2+6.12245*10-18 k3 Cosh[30 k]2 Sin[30 k]2-2. k9 Cosh[30 k]2 Sin[30 k]2+4.28571*10-9 k6
Cosh[30 k] Sin[30 k]3-1.42857*10-9 k6 Cos[30 k]3 Sinh[30 k]+2.85714*10-9 k6 Cos[30 k]2
Cosh[30 k] Sinh[30 k]-1.42857*10-9
k6 Cos[30 k] Cosh[30 k]
2 Sinh[30 k]-2.04082*10
-18 k
3
Cos[30 k]2 Sin[30 k] Sinh[30 k]-2. k
9 Cos[30 k]
2 Sin[30 k] Sinh[30 k]+4.08163*10
-18 k
3 Cos[30
k] Cosh[30 k] Sin[30 k] Sinh[30 k]-4. k9 Cos[30 k] Cosh[30 k] Sin[30 k] Sinh[30
k]+2.04082*10-18
k3 Cosh[30 k]
2 Sin[30 k] Sinh[30 k]+6. k
9 Cosh[30 k]
2 Sin[30 k] Sinh[30 k]-
1.42857*10-9
k6 Cos[30 k] Sin[30 k]
2 Sinh[30 k]-2.91545*10
-27 Cosh[30 k] Sin[30 k]
2 Sinh[30
k]-1.14286*10-8
k6 Cosh[30 k] Sin[30 k]
2 Sinh[30 k]-2.04082*10
-18 k
3 Sin[30 k]
3 Sinh[30 k]-2. k
9
Sin[30 k]3 Sinh[30 k]-2.04082*10
-18 k
3 Cos[30 k]
2 Sinh[30 k]
2+2. k
9 Cos[30 k]
2 Sinh[30 k]
2+2.
Etude des vibrations libres d'une poutre à deux travées sur des appuis élastiques
Page 45
k9 Cos[30 k] Cosh[30 k] Sinh[30 k]
2-4. k
9 Cosh[30 k]
2 Sinh[30 k]
2-2.91545*10
-27 Cos[30 k]
Sin[30 k] Sinh[30 k]2-4.1359*10
-25 k
6 Cos[30 k] Sin[30 k] Sinh[30 k]
2+7.14286*10
-9 k
6 Cosh[30
k] Sin[30 k] Sinh[30 k]2+4.08163*10
-18 k
3 Sin[30 k]
2 Sinh[30 k]
2+6. k
9 Sin[30 k]
2 Sinh[30
k]2+1.42857*10
-9 k
6 Cos[30 k] Sinh[30 k]
3-2.04082*10
-18 k
3 Sin[30 k] Sinh[30 k]
3-6. k
9 Sin[30
k] Sinh[30 k]3+2. k
9 Sinh[30 k]
4)
Plot[DetA,{k,0,0.2},PlotRange->{-0.000001,0.000001}]
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