UV Automatique - Bienvenue dans le département...

1Automatique

Liens entre fonction de transfert et représentations d'état d'un système (formes canoniques de la représentation d'état)

UV Automatique

Cours 10

2Automatique

Contenu

! Introduction

! Liens entre les différentes descriptions d'un système

! Passage modèle d'état " fonction de transfert# Cas d'un système monovariable

# Cas d'un système multivariable

! Passage fonction de transfert " modèle d'état#Forme canonique de commandabilité

#Forme canonique d'observabilité

#Forme modale

3Automatique

Introduction! Exemple : système mécanique (masse en translation)

! Equation différentielle ! FT

! Représentation d'état

Etats du système

Fr=f z .Entrée : u(t) = F

Sortie : y(t) = z(t)

mF =∑ zfzmF &&& +=)(

1)()()( fmsssF

sZsH +==

)()(1 tztx = )()(2 tztx &=

)1()()()( 21 txtztx == &&

zfzmF &&& += )()( 22 tfxtxmF += &

)2()()( 22 txmf

mFtx −=&

)(01)(

(Système d'ordre 2)

! Remarques

$ De l'équation différentielle, on passe aisément à la FT

$ De l'équation différentielle, on passe à la représentation d'état

Question : Peut-on passer de la FT à la représentation d'état et inversement ?

4Automatique

Liens entre les différentes descriptions d'un système

! Descriptions d'un système# Equation différentielle

# Réponse impulsionnelle

# Fonction (ou matrice) de transfert H(s)

# Représentations d'état (A, B, C, D)

! Liens entre les descriptions Fonction de transfert

Représentation d’état

(A, B, C, D)

Réponse impulsionnelle

Equation différentielle

ububyayay 0101 +=++ &&&&

5Automatique

Passage représentation d'état """" FT (MT)

! Forme générale

# TL de l'équation d'état

# TL de l'équation de sortie

Fonction de transfert ou matrice de transfert

)()()(

tDUtCXtY

tBUtAXX&

Conditions initiales supposées nulles : X(0)=0

( ))()()( tBUtAXtX +=&L )()()( sBUsAXssX +=

( ) )()( 1 sBUAsIsX n−−=

In : matrice identité d'ordre n

nnA ×∈ R

mnB ×∈ R

npC ×∈ R

mpD ×∈ R

ntX R∈)(mtU R∈)(ptY R∈)(

( ))()()( tDUtCXtY +=L )()()( sDUsCXsY +=

( )( ) )()( 1 sUDBAsICsY n +−= −

( ) DBAsICsH n +−= −1)(

6Automatique

! Remarques

# Calcul de l'inverse de (sIn−A)

# Nouvelle écriture de H(s)

( ) DBAsICsH n +−= −1)(

)det())(()( 1

AsIAsIcomAsI

n −−=− −

)( AsIcomM n −=

matrice des cofacteurs

][ , jimM = avec jiji

ji Mm ,, det)1( +−=Mi,j : matrice extraite de (sIn−A) en supprimant la ième ligne et la jème colonne

DAsIBAsIcomCsH

Tn +−

−= )det())(()( )det(

)det())(()( AsIDAsIBAsIcomCsH

−−+−=

Les pôles du système sont les racines de l'équation 0)det( =− AsIn

Les valeurs propres de A sont solutions de l'équation caractéristique 0)det( =− AInλLes pôles du système sont les valeurs propres de A. Toute l'information sur les modes du système est contenue dans la matrice A

7Automatique

! Exemple 1 : système mono-entrée, mono-sortie R

c Vc(t)

L Entrée : u(t)

Sortie : )()( tVty c=

−−=

Etats du système

)()(1 tVtx c= )()(2 titx =T

c titVtX ])()([)( =

Modèle d'état (voir cours 8)

Fonction de transfert

−−−

−=−

12 LcLRssAsI 1)()det( 2 ++=−

LcRcssLcAsI 1)det(

++=−

−+=−

LLRsAsIcom

−+=− LsL

cLRsBAsIcomC T/10

11]01[))(( 2

LcBAsIcomC T 1))(( 2 =−)det())(()(

AsIBAsIcomCsH

−−= 1

1)( 2 ++=

RcssLcsH

8Automatique

! Exemple 2 : système multi-entrée, multi-sortie

−−+

−−=

23& avec

−−−

012 sAsI

Calcul de la matrice de transfert

11)( 2

sAsIcom

54)det( 22 ++=− ssAsI

−−

−=− 1230

2101))(( 2 s

sBAsIcomC T

−−

+−−−+=− 12

30)4(21

21))(( 2 sssBAsIcomC T

+++=− )1(5)4(4

534))(( 2 sssBAsIcomC T

9Automatique

Passage représentation d'état """" FT (MT) : exemple 2

! Exemple 2 (suite)

)det())(()(

AsIBAsIcomCsH

−−=

54)1(5

54)4(4

Dans le cas de système multi-entrée, multi-sortie, on parle de matrice de transferts (MT) au lieu de fonction de transfert.

Signification des éléments de la matrice de transferts de l'exemple

)()()(

sHsHsH

)()()(

11 sUsYsH = )(

)()(21

12 sUsYsH =

)()()(

21 sUsYsH = )(

)()(22

22 sUsYsH =

)()()()()( 2121111 sUsHsUsHsY +=

)()()()()( 2221212 sUsHsUsHsY +=

10Automatique

! Remarques# Une représentation d'état d'un système est caractérisée par le

quadruplet (A, B, C, D)

# Toute représentation d'état (A, B, C, D) d'un système qui vérifieest appelée une réalisation de H(s)

# Une réalisation (A, B, C, D) avec dim(A)=n est une réalisation minimale s'il n'existe pas d'autres réalisations de H(s) de dimension inférieure à n

# Dans le cas d'un système mono-entrée, mono-sortie, la réalisation minimale correspond à une fraction rationnelle irréductible (pas de simplification des pôles et zéros)

( ) DBAsICsH n +−= −1)(

11Automatique

Passage FT """" représentation d'état

! Position du problème

! Forme canonique de commandabilité# Cas simple : m=0 et b0=1

A partir d'une FT, est-il possible de déterminer une représentation d'état (une seule ou la plus simple possible)? Ce problème est dénommé problème de réalisation

nmasasas

bsbsbsbsUsYsH n

++++++++== −

−− ,)(

)()(01

L ?),,,( DCBA

On peut trouver autant de représentations d'état qu'on veut. Néanmoins il existent quelques formes remarquable exposées ci-après

1)()()(

asassUsYsH n +++

)()()()()( 011

1 sUsYassYasYsasYs nn

n =++++ −− L

)()()()()( 0)1(

1)( tutyatyatyaty n

nn =++++ −

− LEquation différentielle

)()()()()( 0)1(

1)( tutyatyatyaty n

nn +−−−−= −

12Automatique

! Forme canonique de commandabilité : cas simplePosons

)()()()(

tytxtytx

−−

)()()()(

tytxtytx

−−

Dérivation Equations d'état

)()()()()()()(

)()()()(

tutxatxatxatxtxtx

txtxtxtx

nn+−−−−=

Forme canonique de commandabilité

001000010

aaaaxx

−−−−

−−

OOMMOOM

0001)( ML

Remarques

$ Chaque variable d'état xi, i=2,…,n−1 est la dérivée de la variable précédente. On parle de variables de phase

$ A cause de cette dépendance, en faisant varier la commande u, tous les états sont modifiés : le système est commandable

13Automatique

Passage FT """" représentation d'état! Forme canonique de commandabilité

# cas simple : schéma de simulation

# Cas général : m<n et b0≠0

uxaxaxax nnn +−−−−= −12110 L&

nx& nx 1−nx

1−na

2−na

3−na

2−nx

∫ ∫ ∫ ∫

1,,2pour )()( 1 −== + nitxtx ii L& ∫ += )()( 1 txtx ii

1)()()(

asasasbsbsbsb

sUsYsH n

++++++++== −

−−

Soit v une variable intermédiaire telle que )(

)()()()( sU

sVsVsYsH =

asassUsV

n +++=

1)()( bsbsbsbsV

mm ++++= −

14Automatique

! Forme canonique de commandabilité : cas général$ Equation (I)

Elle correspond au cas précédent

−−

ni iin

∑ −= +

−10 1

$ Equation (II)

1)()( bsbsbsbsV

mm ++++= −

)()()( 01 sVbsbsbsY mm +++= L

)()()()( 0)1(

1)( tvbtvbtvbty m

m +++= L

)()()()( 10211 txbtxbtxbty mm +++= + L

Représentation d'état

001000010

aaaaxx

−−−−

−−

OOMMOOM

10 00)(

Cette forme est dite compagne (de la FT) commandable. Les coefficients de la FT sont éléments des matrices du modèle d'état

15Automatique

! Forme canonique de commandabilité : cas général

uxaxaxax nnn +−−−−= −12110 L&

1,,2pour 1 −== + nixx ii L& ∫ += 1ii xx

10211 xbxbxby mm +++= + L

nx& nx 1−nx

1−na

2−na

3−na

2−nx

x2∫ ∫ ∫ ∫ x1

Schéma de simulation

Notion de commandabilité : en agissant sur u, on fait évoluer xn, puis les autres états par effet cascade. Les états du système peuvent donc être commandés et modifiés

16Automatique

! Forme canonique d'observabilité

nmasasas

bsbsbsUsYsH n

+++++++== −

−,)(

)()(01

)()()()()()()( 10011

1 sUsbssUbsUbsYassYasYsasYs mm

n +++=++++ −− LL

)()())()(())()(())()(()(

sYsasYsasYasUbssYasUbssYasUbsYs

−−

++ −−−

−++−+−=L

Divisons cette équation par sn

ssYasUb

ssYasUbsY n

nn)()()()()()()()()( 1

11100 −

−−+

−− −−−−++−+−= LL

Dessinons le schéma de simulation correspondant à cette équation

17Automatique

! Modèle d'état

−1x& 1x x2

xn−1.

xn−1 xnxn.xm+1

.xm+11

xyxaxx

xaxxubxaxx

ubxaxxubxax

−−

1000100

0010001000

−−

−−−

−−− M

MMOOMLLLLL

100)(Connaissant y=xn, on peut déduire les autres états par dérivation et différence : c'est l'observabilité.

18Automatique

! Remarques

! Dualité des formes canoniques de commandabilité et d'observabilité

$ La commandabilité est la possibilité de modifier les états en appliquant la commande appropriée. Cela est mise en évidence par la forme canonique de commandabilité

$ L'observabilité est la possibilité de reconstruire les états à partir de la sortie et de l'entrée. Ceci apparaît sur le schéma de la forme canonique d'observabilité. Connaissant y=xn, on déduit les autres états en parcourant le schéma à l'envers et à partir de l'entrée

$ Observabilité et commandabilité sont intrinsèques au système et ne dépendent pas de la réalisation

Soit ),,,( cccc DCBA : la réalisation canonique de commandabilité

Soit ),,,( oooo DCBA : la réalisation canonique d'observabilité

On constate que ),,,(),,,( oTo

Tocccc DBCADCBA =

19Automatique

! Forme modale# Cas 1 : le système admet n pôles distincts réels

% Décomposition en éléments simple

% Choix des états

01)(asasas

bsbsbsH nn

+++++++= −

))(())(()(121

01λλλλ −−−−

+++=− ssss

bsbsbsHnn

∑ = −== ni

ssUsYsH 1 )()()()( λ

µ ∑ = −= ni

sUsY 1 )()()( λµ

)()()(i

i ssUsX λ−= )()()( sUsXssX iii += λ

)()()( tutxtx iii += λ&

ni ,...,1=pour∑ == n

i ii txty 1 )()( µ

21)( µµµ

nii ,,1L=λ

20Automatique

! Forme modale# Remarques sur le cas 1

$ La représentation fait apparaître les pôles (ou modes) du système

$ La matrice A est diagonale " calcul simplifié de eAt

$ Soit (A, B, C, D) une réalisation. Si A admet n valeurs propres distinctes λi, A est diagonalisable et il existe une matrice de transformation T telle que

ATTAm1−= CTCm =

BTBm1−= DDm =

T : matrice des vecteurs propres de A

Chaque état xi est indépendant des autres

21Automatique

! Forme modale# Cas 2 : le système admet n pôles distincts réels et complexes

% Décomposition en éléments simples

% Choix des états

Soit et les pôles complexes conjugués du systèmeωσλ j+=1 ωσλ j−=2

)()()(1 ωσ js

sUsX +−= )()()()( 11 sUsXjssX ++= ωσ

)()()(2 ωσ js

sUsX −−= )()()()( 22 sUsXjssX +−= ωσ

∑ = −+−−−++−

+= ni i

jbasH 3 )()()()( λµ

ωσωσ

∑ = −+−−−++−+= ni i

jssUjbajs

sUjbasY 3 )()(

)()()()(

)()()( λµωσωσ

On obtient des états à coefficients complexes qui ne signifient rien physiquement !!

uxjx ++= 11 )( ωσ&

uxjx +−= 22 )( ωσ&

)()()( tutxtx iii += λ&

ni ,...,3=pourPas de problème pour les pôles réels

22Automatique

! Forme modale : cas des pôles complexes conjugués% Transformation linéaire sur les états complexes

))()(()()()()(

1ssXssXjssX

ssXssXssX−=

+=)( 21

xxx−=

+=)()()(

)(2)()()('''

sXsXssX

sUsXsXssX

∑ =+−++= ni ii sXsXjbasXjbasY 321 )()()()()()( µ

uxxx 2'''1 21 ++= ωσ&

'''2 21 xxx σω +−=&

Sortie

∑ =++= ni ii sXsbXsaXsY 3

'' )()()()( 21 µ ∑ =++= ni ii xbxaxy 3

''21 µ

000000

λσωωσ

)( µµ

Couplage entre les états correspondants aux pôles complexes conjugués

23Automatique

! Forme modale : cas des pôles multiples

% Décomposition en éléments simples

% Choix des états

Soit λ1 un pôle réel d'ordre k et λk+1,…, λn des pôles réels simples

)()()()(

sssbsbsbsH

λλλ −−−+++=

L ∑ +=− −+−+−

= nki i

ikkk ssss

sH 1111

1)()()()(

)( λµ

∑ +=− −+−+−

= nki i

ikkk s

sUsY 1111

)()()( λ

nkissUsX

,,1,)()()(

)()()(

+=−=

nkissUsX

,,1,)()()(

)()()(

+=−=

nkiuxxuxx

xxxxxx

−−

∑ == ni ii txty 1 )()( µ

24Automatique

! Forme modale : cas des pôles multiples

nkiuxxuxx

xxxxxx

−−

∑ == ni ii txty 1 )()( µ

xty ML

11)( µµ

Bloc de Jordan

D'une façon générale, si le système admet r pôles d'ordre de multiplicité kr, tel que k1+…+ kr=n, la forme modale de la matrice d'état est

)(000)(

MO iii

kkikJ ×∈ R)(λ

Bloc de Jordan

25Automatique

Passage représentation d'état """" FT (MT) : exemple 1

−−−

−=−

LcLRssAsI 1)()det( 2 ++=− LcRcssLcAsI 1)det(

++=−

−+=−

LLRsAsIcom

cLRsBAsICcom T

1]01[)( 2 LcBAsICcom T 1)( 2 =−

)det()()(

AsIBAsICcomsH

−−= 1

1)( 2 ++=

RcssLcsH

26Automatique

∫= tc dictV 0 )(1)( ττ )(1)( tictVc =&

)()()()( tutVdttdiLtRi c =++ )(1)()(1)( tuLtiL

RtVLdttdi

c +−−=

Modélisation

UV Automatique - Bienvenue dans le département...

Documents

Automatique Automatique Automatique La famille Kelly - 1947 Grace, son père Kell et sa mère Lizanne

Avancement automatique

Marges de stabilité et performances des systèmes linéaires ...asi.insa-rouen.fr/enseignement/siteUV/auto/cours/cours5.pdf · Automatique 3 Robustesse de la stabilité (1)! Introduction

Correction des systèmes linéaires continus asservisasi.insa-rouen.fr/enseignement/siteUV/auto/cours/cours6.pdf · Automatique 2 Contenu! Introduction" Problématique de l'asservissement!

BTS FED - Genie mecanique,cours de construction,cours de ...jeanpaul.bousquet.free.fr/cours pdf/BTS_FED/Cours10-la manutention.pdf · maximale de levage de l’élingue et certaines

Automatique ou

UV Automatique - Département Architecture des …asi.insa-rouen.fr/enseignement/siteUV/auto/cours/cours11.pdf · ØCas des systèmes monovariables commandables ØCas des systèmes

UV Automatique - Bienvenue dans le département ASIasi.insa-rouen.fr/enseignement/siteUV/auto/cours/cours7_new.pdf · Méthode de Ziegler-Nichols qApproche 2 : système instable en

Série Blanc - Climatisation BS · - Disponible en climatiseur et thermopompe - Dégivrage automatique - Redémarrage automatique - Protection automatique ... Alimentation électrique

Le Ber Présente JE NE SUIS PAS LOIN… Automatique Automatique

TP Automatique

Gauss, LU, pour l’ingénieur Méthodes numériquesasi.insa-rouen.fr/enseignement/siteUV/ananum/04syslindirect.pdf · ASI 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur Résolution

PPS automatique

UV Automatique - Bienvenue dans le département ASIasi.insa-rouen.fr/enseignement/siteUV/auto/cours/cours8.pdf · Automatique 2 Contenu! Notion de variables d'état" Exemples " Définitions

Livret M1 Magistère de Génétique 2010-2011 Ibga.asso.free.fr/cours10-11/M1/livret_m1_1011.pdf · comprendre leurs mécanismes d’action et de régulation est donc fondamental

Automatique numerique

Diaporama automatique

2010 Archi IG3 Cours10-Mips

Cours10 - UMR Heudiasycvberge/lo12/iso_album/cours10.pdf · LO12 chap 10 2 Animation g - quelques techniques d'animation classiques g g adapté à l'animation d'acteurs humains (la

Département ASI - INSA Rouenasi.insa-rouen.fr/enseignants/enseignement/siteUV/auto/cours/cours4.pdfCreated Date: 3/14/2003 8:33:22 PM