1 Pourcentages et taux...4x 6y +8z = 18 2x y +z = 1 8

Recueil d’exercices 1. Taux et pourcentages 2

1 Pourcentages et taux

a) Savoir-faire fondamentaux

Exercice 1Un homme politique déclare : "Cette taxe augmentera de 3% par an pendant les 5 ans de mon mandat,soit une augmentation de 15%" Qu’en pensez vous ?

Exercice 2 (Corrigé)La valeur d’un bien est multipliée le premier mois par 2.5, puis par 0.3 le second mois, puis diviséepar 2 le 3ieme mois. Déterminer son évolution globale en pourcentage, puis son évolution moyennemensuelle en pourcentage.

Correction :Notons V0 la valeur initiale, du bien, calculons sa valeur finale.D’après l’énoncé, sa valeur V1 à la findu premier mois est V1 = 2.5V0.Puis sa valeur V2 est V2 = 0.3V1 = 2.5× 0.3× V0

Enfin, on a V3 =V22 = 2.5×0.3×V0

2 . Donc V3 =2.5×0.3

2 × V0 = 0.375V0.Son évolution globale en pourcentage est donc V3−V0

V0= 0.375V0−V0

V0= 0.375−1 = −0.625, soit une baisse

de 62.5%.Son évolution moyenne mensuelle est un pourcentage p tel que :- p est constant- ayant subi 3 évolutions de p%, au bout des 3 mois on retrouve l’évolution globale précédente.

Le pourcentage p doit donc vérifier V3 = (1 + p100)

3V0 (3 évolutions de p%) et aussi V3 = 0.375V0.On en déduit par identification (1 + p

100)3 = 0.375 ⇔ p

100 = 0.3751/3 − 1 ⇔ p = 100(0.3751/3 − 1) =−27.89%.

Exercice 3Une valeur augmente de 7%, puis diminue de 10%, puis augmente de 3%. Déterminer son évolutionglobale en pourcentage, puis son évolution moyenne sur ces trois évolutions.

Exercice 4Compléter chaque ligne du tableau suivant par des taux équivalents à celui donné :

Taux annuel Taux semestriel Taux trimestriel Taux mensuel4%

−5%

Exercice 5Une valeur est égale à 500 unités après avoir augmenté de 3% puis diminué de 1%. Quelle était lavaleur initiale ?

Exercice 6Sur les 12 derniers mois, l’action TX a augmenté de 10.4%. Son évolution sur les 3 prochains mois estestimé à +7%. Comparer ces performances.

Recueil d’exercices 1. Taux et pourcentages 3

Exercice 7Compléter le tableau suivant, ligne par ligne.

Valeur initiale Augmentation absolue Variation relative Valeur finale300 kg 27 kg400¤ −6%

5% 600 kg500¤ 480¤

b) Pour aller plus loin

Exercice 8Une valeur est augmentée de 100 unités, puis diminuée de 20 unités, puis augmentée de 3 unités.Déterminer son évolution globale en unités, puis son évolution moyenne en unités. Ces calculs peuvent-ils se faire en pourcentage ? Sachant que la valeur était initialement égale à 350, déterminer l’évolutionglobale en pourcentage et l’évolution moyenne en pourcentage pour ces trois évolutions.

Exercice 9La consommation téléphonique d’un ménage a été multipliée par 5 d’une année sur l’autre, tandis quesur la même période le prix de l’unité téléphonique a baissé de 80%. Quelle a été l’évolution de ladépense téléphonique de ce ménage ?

Recueil d’exercices 2. Intérêts simples et composés 4

2 Intérêts simples et composés


Exercice 10 (Corrigé)Robert dispose de 10 000 ¤ d’économies et d’un livret d’épargne, rémunéré à intérêts composés, autaux de 4 % annuels.

1. S’il place la totalité de ses économies, de quelle somme disposera- t-il au bout de 5 ans sur sonlivret ?

2. Quelle somme doit-il placer aujourd’hui s’il veut avoir 12 000 ¤ dans 5 ans ?

Correction :

1. D’après la formule des intérêts composés, il aura 10000× 1.045 = 12166.53 ¤ .

2. Notons C la somme cherchée, celle ci doit vérifier C × 1.045 = 12000⇔ C = 120001.045

= 9863.12 ¤

Exercice 11Quel est la valeur acquise d’un capital de 20000¤ placé pendant 5 années de capitalisation (intérêtscomposés, puis intérêts simples) à 5% annuels ?

Exercice 12Quelle somme d’argent faut-il placer à 5% annuel pour obtenir 20000¤ au bout de 5 années decapitalisation (intérêts composés, puis intérêts simples)?

Exercice 13On place le capital C0 = 4000¤ au taux annuel de 4% à intérêts simples.

1. Calculer le taux mensuel équivalent.

2. Compléter le tableau suivant : (les dates sont en années)Date n 0 1 2 2.5 3 10Capital à la date n C0 =

4000

Intérêts perçus entre lesdates n et suivante

Exercice 14On place le capital C0 = 4000¤ au taux annuel de 4% à intérêts composés.

1. Calculer le taux mensuel équivalent.

Recueil d’exercices 2. Intérêts simples et composés 5

2. Compléter le tableau suivant :Date n 0 1 2 2.5 3 10Capital à la date n C0 =

4000

Intérêts perçus entre lesdates n et suivante

Exercice 15à quel taux annuel faut-il placer 20000¤ pour qu’en 7 années de capitalisation, la valeur acquise soitégale à 25000¤ (intérêts composés, puis simples) ?


Exercice 16En combien d’années un capital de C ¤ placé à 4% annuel, double-t-il (intérêts composés puis simples)?

Exercice 17Un capital est passé de 580 033 à 594 365 euros de l’année 2007 à l’année 2014. Déterminer ce capitalen 2012 dans les deux cas suivants :

a. L’accroissement annuel est constant (intérêts simples).

b. Le taux d’accroissement annuel est constant (intérêts composés)

Recueil d’exercices 3. Actualisation, rentabilité 6

3 Principe d’actualisation, rentabilité


Exercice 18Vous disposez d’un Livret A rémunéré à 3.5% annuel. Vous avez vendu à un voisin un objet pour500¤ . Il propose de vous payer dans cinq ans 600¤ . Acceptez-vous ?

Exercice 19 (Corrigé)Une entreprise réalise en janvier 2015 un investissement de 7 millions d’euros qui doit lui rapporter unbénéfice brut annuel constant de 1 million d’euro chaque fin d’année pendant 10 ans d’exploitation.Calculer le bénéfice actualisé de cet investissement sur les dix ans avec un taux d’actualisation de 7%,puis avec un taux d’actualisation de 10%.

Correction :On a le diagramme des flux suivant :

−7

111

. . .

1

Cela permet d’écrire que la valeur actualisée de l’investissement est (formule du cours) :

V A = −7 + 1

1 + i+

1

(1 + i)2+ ...+

1

(1 + i)10= −7 + 1− (1 + i)−10

i

Si i = 7% = 0.07, on trouve V A = 23581.5 ¤Si i = 10% = 0.1, on trouve V A = −855432.8 ¤

Exercice 20Nous sommes le 1er janvier. Robert doit payer ses impôts, qui s’élèvent cette année à 1800 ¤ . Il adonc mis de coté 1800 ¤ , qu’il a placé sur un compte rémunéré à 4 % annuel (intérêts composés). Lefisc lui propose deux modes de paiement :

• Soit payer les 1800 ¤ au début de l’année suivante.

• Soit payer 600 ¤ en avril, août et décembre de l’année en cours.

1. Quelle solution laisse à Robert le plus d’argent sur son compte après paiement des impôts ?

2. Quelle solution le fisc aimerait-il que Robert choisisse ?

Exercice 21Une entreprise envisage au 1er janvier 2009 un investissement constitué comme suit : une dépense de40000¤ fin 2009, puis 24000¤ par an de fin 2010 à fin 2012, et une recette espérée égale à 18500¤par an de fin 2009 à fin 2015.

1. L’investissement est-il rentable au taux d’actualisation de 10% annuel ?


2. Avec ce taux, l’entreprise pense pouvoir revendre l’investissement fin 2015. A partir de quel montantla revente rentabiliserait-elle l’investissement ?

Exercice 22Robert désire placer de l’argent aujourd’hui sur un compte rémunéré à 5.5% annuel, en retirant 1000¤par an à la fin de chaque année.

1. Quelle somme doit-il placer pour qu’au bout de 10 ans il récupère intégralement son placement ?

2. Quelle somme doit-il placer pour que le compte soit vide au bout de 10 ans ?

Exercice 23Une entreprise envisage un investissement de 50 000¤ censé lui rapporter 8000¤ chaque annéependant dix ans.

1. Justifier que le Taux de Rentabilité Interne (T.R.I.) de cet investissement est compris entre 9.605%et 9.606%.

2. L’investissement est-il rentable avec un taux d’actualisation de 10% ?

3. Au bout de quelle durée l’investissement est-il rentable avec un taux d’actualisation de 5% ?

Exercice 24Une entreprise envisage un investissement de 50 000¤ censé lui rapporter 7000¤ chaque annéependant dix ans. Déterminer une valeur approchée à deux décimales du T.R.I de cet investissement àl’aide de la calculatrice.


Exercice 25Une société projette un investissement coûtant 450000¤ à l’achat et rapportant 70000¤ par an.

1. Calculer la Valeur Actuelle Nette (VAN=bénéfice actualisé) de l’investissement si la durée de viede cet investissement est de 7 ans et le taux d’actualisation de 11%. Cet investissement est-il alorsrentable ?

2. A partir de quelle durée de vie cet investissement serait-il rentable pour un taux d’actualisation de11% ?

3. Le taux d’actualisation est sur-estimé (il s’avère être inférieur à 11%). L’investissement peut-il alorsdevenir rentable ? Justifiez.


Exercice 26On se demande aujourd’hui comment partager une somme S entre trois enfants d’une même familleactuellement âgés de 11, 15 et 17 ans. Pour cela on attribue aujourd’hui les sommes S1, S2, S3 à chacundes trois enfants et on les place sur un compte rémunéré en intérêts composés au taux annuel i. Onsouhaite que les enfants ait la même somme (en nominal) sur le compte au moment de leur majorité(18 ans).

1. Calculer S1, S2, S3 en fonction de S.

2. Calculer S1, S2 et S sachant que S3 = 1000 ¤ et i = 4%.

Exercice 27 1. Vous placez aujourd’hui 4000¤ sur un compte rémunéré à 4% annuel pendant 3ans. Vous effectuez un retrait de 1500¤ à la fin de chacune des deux premières années. Combienvous restera-t-il à la fin de la troisième année ?

2. Vous empruntez 4000¤ à l’aide d’un crédit à 4% annuel d’une durée de 3 ans. Vous remboursez1500¤ à la fin de la première année et 1500¤ à la fin de la deuxième année. Combien vousrestera-t-il à rembourser à la fin de la troisième année ?

3. Vous investissez pour un montant de 4000¤ dans une machine qui devrait vous rapporter 1500¤chaque fin d’année pour les deux prochaines années. Le taux d’actualisation étant de 4%, à partirde quel montant perçu à la fin de la troisième année l’investissement est-il rentable ?

Exercice 28On a placé 50 000 ¤ de la façon suivante, en intérêts composés :

• pendant n mois au taux mensuel de 0.51%

• pendant n+ 4 mois au taux mensuel de 0.45%

• pendant 7 mois au taux mensuel de 0.6%.

Sachant que ce placement a rapporté 7309.86 ¤ d’intérêts, trouvez n.

Recueil d’exercices 4. Emprunts et amortissements 9

4 Emprunts, Tableaux d’amortissement


Exercice 29Une banque propose un taux de 6% annuel pour un prêt immobilier s’élevant à 130000¤ .

1. En combien d’années le capital est-il remboursé avec des annuités constantes d’au plus 25000¤ ?

2. à combien s’élève l’annuité pour un remboursement en 10 ans ? Dans ce cas, au bout de 4 ans etaprès paiement de l’annuité, quel est le capital restant dû ?

Exercice 30Un ménage a contracté deux crédits à mensualités constantes :

• un crédit de 15 000¤ contracté il y a deux ans à 7% annuel pour une durée de 6 ans ;

• un crédit de 9000¤ contracté il y a 1 an à 8.5% annuel pour une durée de 2 ans.

1. Quel est le montant des annuités et des mensualités pour chacun des deux crédits ?

2. Quel est le capital restant dû aujourd’hui par le ménage pour chacun des crédits ?

3. La banque de ce ménage leur propose aujourd’hui le rachat de ces deux crédits à un taux annuelde 8%. Sur quelle durée minimum, en années, le ménage doit-il emprunter pour ne pas rembourserplus de 500¤ par mois ?

Exercice 31Dresser l’échéancier d’un emprunt de 30000¤ sur quatre ans au taux annuel de 5% à annuitésconstantes.

Exercice 32Dresser l’échéancier d’un emprunt de 30000¤ sur trois ans au taux annuel de 5% à semestrialitéconstantes.

Exercice 33 (Corrigé)On considère un emprunt à trimestrialité et taux constants. Compléter les données ci dessous etl’échéancier :

• Date d’effet de l’emprunt : 01/04/2014

• Montant de l’emprunt :

• Durée de remboursement :

• Taux d’intérêt annuel :

• Montant de la trimestrialité :


Echéance Intérêts Amortissement Capital restant dû01/04/2014 / / 5000001/07/2014 806.5201/10/201401/01/201501/04/2015

Correction :Les premiers intérêts valent 806.52. Or ces intérets valent Ci, où C est le capital initial de 50000 ¤ ,et i le taux trimestriel.Donc i = 806.52

50000 . Pour obtenir le taux annuel, on utilise la formule du cours ia = (1 + i)4 − 1 (il y a 4trimestres en 1 an).On en déduit le taux annuel de (1 + 806.52

50000 )4 − 1 = 6.6%

On en déduit la valeur de la trimestrialité : Ci1−(1+i)−4 = 50000i

1−(1+i)−4 = 13008.1 ¤ .Ensuite, on remplit le tableau d’après le cours : (Amortissements = Capital - Intérêts)

Echéance Intérêts Amortissement Capital restant dû01/04/2014 / / 5000001/07/2014 806.52 12202.6 37798.401/10/2014 609.7 12398.4 25400.601/01/2015 409.7 12598.4 12801.601/04/2015 206.5 12801.6 0

Et on en déduit les données :

• Date d’effet de l’emprunt : 01/04/2014

• Montant de l’emprunt : 50 000 ¤ .

• Durée de remboursement : 1 an.

• Taux d’intérêt annuel : 6.6 %

• Montant de la trimestrialité : 13008.1 ¤ .

Exercice 34Recopier et compléter la seconde et les deux dernières lignes du tableau d’amortissement d’un empruntde C = 50000¤ sur 15 ans, au taux i = 6% annuel à annuité constante.

Date Intérêts dûs Annuité Amortissement Capital restant dû0 500001... ... ... ... ...1415 0



Exercice 35Recopier et compléter les informations manquantes de l’échéancier suivant :

• Date de l’effet de l’emprunt : 1/1/15

• Montant de l’emprunt :

• Durée de remboursement (trimestres) :

• Taux d’intérêt annuel :

• Taux d’intérêt trimestriel :

• Montant de la trimestrialité :

Echéance Intérêts Amortissement Capital restant dû1/1/151/4/151/7/15 34930.711/10/15 8104.34

1341.32 8509.55

Exercice 36Une entreprise désire réaliser un investissement de 100 000 ¤ censé lui rapporter 15 000 ¤ par anpour les 10 prochaines années. On suppose pour tout l’exercice un taux d’actualisation de 10% annuel.

1. Déterminer la valeur actuelle de l’investissement.

2. L’entreprise décide, au moment de réaliser l’investissement, d’emprunter pour rentabiliser ce dernier.Une banque lui propose en effet le prêt d’un montant C compris entre 40 000 ¤ et 70 000 ¤ sur5 ans au taux annuel de 5%, remboursable par annuité constante. Exprimer en fonction de C lavaleur actuelle de l’investissement du point de vue de l’entreprise (compte tenu du prêt bancaire).

3. En déduire quel montant C choisir pour maximiser la rentabilité de l’investissement.

Exercice 37Robert, cédant aux publicités, contracte un prêt à la consommation. Il a d’autre part acheté unevoiture à crédit grâce à un prêt du concessionnaire automobile. Le 11 mai 2015, il constate que letotal de ses remboursements mensuels est beaucoup trop élevé par rapport à ses revenus. Les donnéescorrespondantes à ses différents crédits sont :

Mensualité(réglée le 10 dumois)

Capital restant dû(11 mai 2015) Taux mensuel

Prêt à la consommation 950 ¤ 18 000 ¤ 1 %Prêt auto 350 ¤ 4 000 ¤ 0,5%

1. Au bout de combien de mois aura-t-il fini de rembourser son prêt à la consommation ?


2. Son revenu mensuel disponible est de 2 400 ¤ , et la loi autorise un remboursement maximumdu tiers des revenus soit 800 ¤ mensuels.Un organisme financier lui propose d’étaler sa dette de 22 000¤ sur 48 mois au taux de 0.5% parmois.

(a) Quelle sera alors sa mensualité constante ?

(b) Construire le tableau d’amortissement de cet emprunt si les remboursements se font à an-nuités constantes et non à mensualités constantes. Il sera utile de déterminer le taux annueléquivalent.

3. Il accepte la proposition et décide enfin d’économiser. Il place chaque mois 250¤ sur un livretd’épargne au taux mensuel de 0.4%. De quelle somme disposera-t-il au bout des 48 mois deplacement ?

Recueil d’exercices 5. Equations linéaires 13

5 Systèmes d’équations linéaires


Résoudre par le pivot de Gauss les systèmes d’équations linéaires suivants :

Exercice 38 (Corrigé)x+ y + z = 6x+ 2y − z = 2−2x+ y − z = −3

34x−

13y = 10

56x−

12z = 20

−14 x− 1

3y +34z = 160

Correction :

1er système :

1 1 1 61 2 −1 2−2 1 −1 −3

⇔

1 1 1 60 1 −2 −40 3 1 9

← L2 − L1

← L3 + 2L1

⇔

1 1 1 60 1 −2 −40 0 7 21

← L3 − 3L2

La dernière ligne se réécrit en termes d’équations 7z = 21, on en déduit z = 3.Ensuite, on "remonte" le système : l’avant dernière ligne se réécrit y − 2z = −4, comme z = 3 on endéduit y = 2z − 4 = 2.Puis de la première ligne x+ y + z = 6, on déduit x = 1.

2ième système :Si l’on n’aime pas les fractions, il est parfois judicieux de multiplier une ou plusieurs lignes par uncoefficient de façon à "supprimer" les dénominateurs. On a ici :

34 −1

3 0 1056 0 −1

2 20−1

4 −13

34 160

⇔

9 −4 0 1205 0 −3 120−3 −4 9 1920

← 12L1

← 6L2

← 12L3

Ensuite, on peut commencer le pivot de Gauss proprement dit : 9 −4 0 1205 0 −3 120−3 −4 9 1920

⇔

9 −4 0 1200 20 −27 4800 −16 27 5880

← 9L2 − 5L1

← 3L3 + L1

⇔

9 −4 0 1200 20 −27 4800 0 108 125280

← 20L3 + 16L2

De même, en "remontant" le système, on en déduit z = 1160, y = 1590, x = 720.Remarque : On aurait pu faire un peu moins de calcul en permutant quelques lignes et colonnes...

Recueil d’exercices 5. Equations linéaires 14

Exercice 39 3x− 6y + 9z = 214x− 6y + 8z = 18−2x− y + z = 1

2x+ 2y + 4z = 14x− y + 2z = 4−x+ 5y − 2z = 5

Exercice 40 x+ y + z = 32x− 3y + 4z = 5−7x+ 18y − 17z = −16

7x+ 3y − 4z = 25x+ 9y + 8z = −6−x− 21y − 32z = 22

Exercice 41 x− y + z = 3−13 x+ 5

3y − z = 2−12 x+ y − z = 1

4

2x+ y − 2z = 103x+ 2y + 2z = 15x+ 4y + 3z = 4


Exercice 42 x+ 2y + 2z = 23x− 2y − z = 52x− 5y + 3z = −4x+ 4y + 6z = 0

x+ y + z − t = −1−x− y + z + 3t = 2−x+ y − z − t = 0x− y − z + t = 1

Exercice 43

x+ 3y + z = 13y + 5t = −1z + 2t = 5

x− y = 4x− y + z = 14x+ 5y + 2z = 2−y + z = 4

Exercice 44 x+ 2y − z + t = 12x− z − t = 0y − z + t = 23x+ 3y − 3z + t = 3

Recueil d’exercices 6. Equations linéaires à paramètres 15

6 Systèmes d’équations linéaires dépendant de paramètres


Les problèmes économiques comportent souvent des données inconnues, des paramètres, de la valeurdesquels dépend la solution, comme dans l’exercice corrigé ci dessous :

Exercice 45 (Corrigé)Un agriculteur plante du blé et du maïs. On note x =kg de maïs plantés, et y =kg de blé plantés.Un kilo de maïs planté nécessitera 6 tonnes d’eau, alors qu’un kilo de blé n’en nécessitera qu’une tonne.Le prix à l’achat d’un Kilo de maïs est de 6 ¤ , et le prix d’achat d’un kilo de blé est de a ¤ .

L’agriculteur dispose d’un budget de 52 ¤ et de 32 tonnes d’eau. Il souhaite consommer toute son eauet tout son budget et il se demande combien de kg de blé et de maïs il doit acheter.

1. Montrer que s’il consomme toute l’eau, on a la relation 6x+ y = 32.

2. En déduire que x et y vérifient le système

{6x+ y = 32

6x+ ay = 52

3. En déduire les valeurs de a pour lesquelles le système possède des solutions.

4. Si le prix du blé est de 3 ¤ le kg, combien de kilos de chaque céréale doit-il acheter ?

Correction :

1. Comme 1 kilo de maïs consomme 6 tonnes d’eau, x kg de maïs nécessiteront 6x tonnes d’eau.De même, comme 1 kg de blé consomme 1 tonne d’eau, y kg de blé nécessiteront y tonnes d’eau.La consommation totale d’eau est donc de 6x + y. Comme le stock disponible est de 32 tonnes,on a bien 6x+ y = 32.

2. De la même façon, les x kg de maïs coûteront 6x ¤ et les y kg de blé coûteront ay ¤ . Commel’agriculteur désire consommer tout son budget, on a donc la relation 6x + ay = 52. Ce qui estbien la deuxième équation du sytème demandé.

3. Résolvons le système par la méthode de Gauss :

{6x+ y = 32

6x+ ay = 52⇔

{6x+ y = 32

(a− 1)y = 20 L2 − L1

Si a = 1, la deuxième équation est alors 0 = 20, ce qui est évidemment faux : Le systèmen’a pas de solution.Par contre si a 6= 1, on a bien une solution, y = 20

a−1 et x = 16(32− y) = 1

6(32−20a−1).

Conclusion : Si a 6= 1, le système a une solution, sinon ce n’est pas le cas.

4. On a alors a = 3, on remplace dans les solutions trouvées précédemment, on obtient y = 10 kg etx = 22

6 ' 3.67 kg

Recueil d’exercices 6. Equations linéaires à paramètres 16

Résoudre par la méthode du pivot de Gauss les systèmes d’équations linéaires suivants, où a estun paramètre réel.

Exercice 46 x+ 2y + 3z = 32x− y + z = −4−x+ 3y + az = 5 + a

2x+ 3y − 2z = 03x+ ay − 4z = 0x+ y − 2z = 0

Exercice 47 −x+ y + 5z = 02x+ ay − 7z = −2a− 1x− 2y − 8z = −1

{ax+ y = 8x+ ay = 8

Exercice 48 3x+ y + 2z = 0ax+ 2y − z = a2x− y + 3z = −3

2x+ y + 3z = 0−x+ ay − 3z = 2a+ 13x− y + 2z = −5


Exercice 49 x+ y − z = 02x+ 3y + az = 1x+ ay + 3z = 3

x− 2y + az = ax− (a+ 1)y + z = 1x+ 2y − z = 1

Exercice 50

2x− 2y + 2z = 02x− 3y + 3z + 3t = 02x− 4y + 4z + 3t = 0az = 0

ay + t = 1x+ ay + t = 0x+ z − t = 0x− z − t = −4x+ y − z = −2

Exercice 51 ax+ y + z = 1x+ ay + z = 1x+ y + az = 1

x+ y − z = 12x+ 3y + az = 3x+ ay + 3z = 2

x+ y + z = 62x+ 6y + az = 12x+ 5y + z = 0

Recueil d’exercices 7. Applications de la méthode de Gauss 17

7 Formalisation et applications de la méthode de Gauss


Exercice 52 (Corrigé)Un jeune lycéen, pour se faire un peu d’argent de poche, s’occupe de la vidange de voitures et dechangements de carburateur de scooters. La vidange d’une voiture lui demande 1h30 de travail et luirapporte 125¤ ; le changement d’un carburateur de scooter lui demande 45 minutes de travail et luirapporte 75 ¤ . Calculer le nombre de vidanges de voitures et le nombre de carburateurs changés parce lycéen, sachant qu’il a travaillé 7h30 et qu’il a gagné 675¤ .

Correction :

Notons x =nb de vidanges et y = nb de carburateurs, on a

{90x+ 45y = 450

125x+ 75y = 675En une étape, on réalise le pivot de Gauss :{

90x+ 45y = 450

125x+ 75y = 675⇔{

90x + 45y = 4501125y = 4500 ← 90L2 − 125L1

D’où y = 4 et x = 3. (Remarque : on aurait pu simplifier le système avant de faire le pivot de Gauss...)

Exercice 53Écrire les énoncés suivant sous forme d’équations linéaires à résoudre. Résoudre ensuite le système àl’aide du pivot de Gauss.

1. Les 2/3 d’un gâteau coûtent 15¤ . Combien coûte le gâteau ?

2. Au bar du coin, 2 cafés et 3 bières font 10.6¤ ; 3 cafés et 2 bières font 9.40¤ . Combien coûte lecafé ? Combien coûte la bière ?

3. Une bouteille et son bouchon pèsent 110 grammes. La bouteille pèse 100 grammes de plus que lebouchon. Quel est le poids du bouchon ?

4. Au début du spectacle, il y a deux fois plus de garçons que de filles. Six garçons quittent la scène etsix filles arrivent, il y a alors deux fois plus de filles que de garçons. Combien de garçons y avait-ilau début ?

Exercice 54Dans un groupe de canards et de lapins on compte 260 pattes et 80 têtes.

1. Combien y a-t-il de canards et de lapins ?

2. Que se passe t-il si on remplace les canards et les lapins par des poules et des oies ?

Exercice 55 (Corrigé)Une institutrice réalise des bijoux avec ses élèves. Elle fait des colliers, des bracelets et des bouclesd’oreilles. On note a un paramètre.

• Elle utilise 10 perles rouges, 5 perles bleues et 5 jaunes pour un collier.


• Elle utilise 3 perles rouges, 3 perles bleues et 3 jaunes pour un bracelet

• Elle utilise 1 perle rouge, 3 perles bleues et a jaunes pour une boucle d’oreille, où a est unparamètre réel que l’institutrice souhaite choisir.

On note R,B, J le nombre respectif de perles rouges, bleues, jaunes. On note x, y, z les nombresrespectifs de colliers, de bracelets et de boucles d’oreilles.

1. Dire, en justifiant sa réponse, des 2 systèmes S1 et S2 suivants, quel est le bon système reliantR,B, J et x, y, z.

S1 :

R = 10x+ 3y + z

B = 5x+ 3y + 3z

J = 5x+ 3y + az

et S2 :

x = 10R+ 5B + 5J

y = 3R+ 3B + 3J

z = R+ 3B + aJ

2. On suppose que l’institutrice dispose de 111 perles rouges, 78 bleues et 72 jaunes qu’elle doitentièrement utiliser.

(a) Transformer, par le pivot de Gauss, le système S1 en un système triangulaire.

(b) Est il possible de prendre 3 perles jaunes par boucle d’oreille ? (autrement dit d’avoir a = 3)

(c) L’institutrice décide de prendre 2 perles jaunes par boucle, donner le nombre de colliers, debracelets et de boucles d’oreilles qu’elle va pouvoir réaliser.

Correction :

1. Le bon système est S1 :

R = 10x+ 3y + z

B = 5x+ 3y + 2z

J = 5x+ 3y + azDans le cas où on doute, prendre un exemple. avec 1 collier, 1 bracelet, 1 boucle d’oreille, on voitque le système S2 n’est pas satisfait.

2. (a) On a donc le système d’équations 10 3 1 1115 3 3 785 3 a 72

⇔ 10 3 1 111

0 3 5 450 3 2a− 1 33

← 2L2 − L1

← 2L3 − L1

⇔

10 3 1 1110 3 5 450 0 2a− 6 −12

← L3 − L2

(b) La dernière équation s’écrit donc (2a− 6)z = −12. Si on prend a = 3, on aura 0 = −12, cequi est impossible. On ne peut donc pas prendre 3 perles jaunes par boucle d’oreille.

(c) On prend a = 2, on peut alors résoudre le système. On trouve z = 6, y = 5 et x = 9.


Exercice 56Une entreprise produit des modèles réduits de véhicules routiers : des automobiles, des camions et dessemi-remorques. Elle utilise pour cela des pièces détachées achetées à des sous traitants: des châssis,des cabines, des essieux et des roues.

• pour monter une automobile il faut un châssis, une cabine, deux essieux et cinq roues ;

• pour monter un camion il faut un châssis, une cabine, trois essieux et sept roues ;

• pour monter un semi-remorque il faut deux châssis, deux cabines, quatre essieux et dix roues.

1. Ecrire le système d’équations linéaires reliant les quantités de véhicules fabriquées notées respec-tivement x1, x2 et x3 et les quantités de châssis, de cabines, d’essieux et de roues en stock, notéesrespectivement y1, y2, y3 et y4.

2. Calculer le nombre de pièces dont il faut disposer pour pouvoir fabriquer dans une journée 2 000automobiles, 1 000 camions et 500 semi-remorques.

3. Le gestionnaire des stocks sait qu’il possède en réserve 29 500 châssis, 29 500 cabines, 59 000essieux mais il n’a pas compté le nombre de roues disponibles.Déterminer ce nombre de roues nécessaires pour que la production soit possible et préciser alorsquel(s) nombre(s) de véhicules de chaque sorte il est possible de produire.

Exercice 57On propose à une entreprise de transport de transférer des marchandises différentes M1 et M2, pourlesquelles on lui offre les frets unitaires suivants : 30¤ par tonne de M1 et 8¤ par mètre cube deM2.

Le transporteur accepte mais un seul de ses camions est disponible. Pour ce camion, la chargemaximale est 15 tonnes et la capacité maximale est 24 mètres cube.

Chaque tonne de M1 occupe 1 mètre cube tandis qu’il faut compter 4 mètres cubes de M2 pourune tonne de M2.

Soit x1 et x2 les quantités transportées de M1 et M2 exprimées en tonnes et mètres cube respec-tivement.

1. Le transporteur peut-il transporter 10 tonnes de M1 et 10 mètres cubes de M2 ?

2. a. Quelle est la quantité maximale de M1 que le transporteur peut acheminer ?

b. Quelle est alors la recette du transporteur ?

3. a. Quelle est la quantité maximale de M2 que le transporteur peut acheminer ?

b. Quelle est alors la recette du transporteur ?

4. a. Exprimer la phrase « la charge maximale est atteinte » à l’aide d’une relation entre x1 et x2.

b. Exprimer la phrase « le volume maximal est atteint » à l’aide d’une relation entre x1 et x2.

c. Le transporteur peut-il saturer ses contraintes (c.à-d. atteindre la charge maximale et le poidsmaximum en même temps) ? Quelle serait la recette dans ce cas ?

Exercice 58On veut constituer avec 47000¤ trois parts que l’on place respectivement à 3%, 4% et 5% de manièreque chacune produise au bout d’un an les mêmes intérêts. Calculer chaque part.



Exercice 59Un créateur produit trois modèles de t-shirt :

• le Fashion Victim, composé de 30% de coton, 60% de nylon et 10% de polyester.

• le Retro Style, composé de 20% de coton, 40% de nylon et 40% de polyester.

• le Pop Academy, composé de 10% de coton, 20% de nylon et 70% de polyester.

Le poids d’un Fashion Victim est de 120 g, celui d’un Retro Style est 160 g et celui d’un PopAcademy est 280 g.

1. Donner la matrice A des coefficients techniques décrivant les quantités en grammes de coton, nylonet polyester utilisées pour la production des trois t-shirts.

2. Le créateur a reçu une commande de 20 Fashion Victim, 10 Retro Style et 20 Pop Academy. Quellesquantités en grammes de coton, nylon et polyester doit-il utiliser ?

3. Le créateur a reçu une autre commande de 6 Fashion Victim, 31 Retro Style et 14 Pop Academy.Quelles quantités en grammes de coton, nylon et polyester doit-il utiliser ?

4. à la fin de la saison, le créateur a consommé 11,2 kg de coton, 22,4 kg de nylon et 31,36 kg depolyester.

a. Peut-on déterminer les quantités de t-shirt produits ?

b. Sachant qu’il a vendu 2 fois plus de Retro Style que de Fashion Victim, combien de t-shirts dechaque modèle a-t-il produit ?

Exercice 60Des aliments naturels A,B et C, contiennent respectivement pour 100 grammes les quantités (engrammes) suivantes de protides (P), glucides (G) et lipides (L) :

A (pour 100g) B (pour 100g) C (pour 100g)Protides P 25 50 37.5Glucides G 15 15 7.5Lipides L 10 35 30

On mélange des quantités des trois aliments A,B et C pour obtenir un gâteau de 450g contenant autotal : 225g de P, 90g de G et 135g de L.

1. Montrer qu’il existe une infinité de solutions pour faire le mélange. Exprimer alors les quantités deA et B en fonction de celle de C en précisant l’intervalle de définition de cette quantité.

2. Les coûts unitaires, pour 100g, de A,B et C sont respectivement de 3 euros, 6 euros et 4, 60 euros.

(a) Ecrire le coût total du gâteau de 450g.

(b) Trouver les quantités de A,B et C qui donnent le gâteau le moins onéreux.

3. (a) Que deviennent les quantités de A,B et C qui donnent le gâteau le moins onéreux si le coûtde C est de 4.50 ¤ ?

(b) Que deviennent les quantités de A,B et C qui donnent le gâteau le moins onéreux si le coûtde C est de 4.4 ¤ ?

Recueil d’exercices 8. Calcul matriciel 21

8 Calcul matriciel


Exercice 61 (Corrigé)

On pose A =

(1 −12 1

), B =

1 23 10 −1

, C =(1 2 3

)1. Quels produits est-il possible de calculer ?

2. Donner la valeur de ces produits.

Correction :

1. On peut calculer BA, car B possède autant de colonnes que les lignes de A.De même, on peut calculer CB car C a 3 colonnes, ce qui est autant que le nombre de lignes deB.Les autres produits ne sont pas possibles.

2. On a BA =

5 15 −2−2 −1

et CB =(7 1

)

Exercice 62

On note A =

−1 2−2 41 −2

, B =

1 0 −23 −1 02 3 −20 0 0

, C =

1 −1 0−1 2 30 −3 4

, D =

0 −1 03 0 10 0 4

1. Calculer CD et DC.

2. Peut-on calculer le produit AB ? Peut-on calculer le produit BA ? Le(s) cas échéant(s), le(s)calculer.

3. Déterminer toutes les matrices carrées X telles que AX = 0.

Exercice 63

Écrire le système suivant sous la forme d’une équation matricielle :

3x− 6y + 9z = 24x− 6y + 8z = 5−2x− y + z = 3

Exercice 64Écrire les égalités suivantes sous forme de système d’équations linéaires.

a. x

213

+ 2y

10−2

+ z

−143

=

108−15


b.(x y z

).

1 2 −1−3 0 23 2 0

=(7 11 0

)

c.

1 2 −1−3 0 23 2 0

.

xyz

=

7110

Exercice 65

Soit A =

2 1 00 1 −2−1 0 1

et B =

−1 1 2−2 −2 −4−1 1 −2

.

1. Calculer le produit AB.

2. En déduire la matrice inverse de A.

3. En déduire les solutions du système suivant :

2x+ y = 10y − 2z = 20−x+ z = 30

.

Exercice 66

1. Résoudre les systèmes de l’exercice 41 en inversant les matrices correspondantes à la calculatrice.

2. Peut on utiliser cette méthode pour résoudre les systèmes de l’exercice 40 ?

Exercice 67 (Corrigé)Une entreprise produit du mortier, du ciment et du béton en utilisant du gravier, du sable et de lachaux.

• Pour produire 1 tonne de mortier, on utilise 2 tonnes de gravier, 2 tonnes de sable, 6 tonnes dechaux.

• Pour produire 1 tonne de ciment, on utilise 2 tonnes de sable, 4 tonne de chaux.

• Pour produire 1 tonne de béton, on utilise 2 tonnes de gravier, 1 tonne de sable et 5 tonnes dechaux.

On note x1, x2, x3 les productions respectives (en tonnes) de mortier, ciment et béton.

1. Exprimer la quantité (en tonnes) de gravier utilisée en fonction de x1, x2, x3.

2. On note par ailleurs y1, y2, y3 les quantités respectives (en tonnes) de gravier, sable et chaux.Déduire de la question précédentes les relations entre (x1, x2, x3) et (y1, y2, y3).

3. Mettre ces relations sous forme d’une relation matricielle, en notant X =

x1x2x3

et Y =

y1y2y3

.

4. On souhaite produire 3 tonnes de mortier, 6 tonnes de ciment et 7 tonnes de béton. Combien detonnes de gravier, sable et chaux faudra il utiliser ?


5. On dispose de 9 tonnes de gravier, 20 de sable et de 52 tonnes de chaux. Quelle production peuton réaliser avec ces quantités ?

Correction :

1. Si on produit 1 tonne de mortier, on utilise 2 tonnes de gravier. Donc si on produit x1 tonnesde mortier, on utilisera 2x1 tonnes de gravier.De même, la production de x2 t de ciment utilisera 0 t de gravier et celle de x3 t de béton utilisera2x3 t de gravier.

Donc au total, on utilisera 2x1 + 2x3 t de gravier.

2. La question précédente nous permet d’écrire y1 = 2x1 + 2x3. Par le même raisonnement, onobtient y2 = 2x1 + 2x2 + x3 et y3 = 6x1 + 4x2 + 5x3.

3. en notant X =

x1x2x3

et Y =

y1y2y3

, on a Y = AX, où A =

2 0 22 2 16 4 5

.

4. Dans cette question on a donc X =

367

, et on cherche Y . D’après la relation précédente,

Y = A.X =

202577

. ce qui signifie qu’il faut utiliser 20 tonnes de gravier, 25 t de sable et 77 t

de chaux.

5. Dans cette question on connait cette fois Y =

92052

, et on cherche X. D’après la relation

précédente, Y = A.X ⇔ A−1Y = X. Avec la calculatrice on trouve X =

1.573

, ce qui signifie

quon peut produire 1,5 t de mortier, 7 t de ciment et 3 t de béton.

Exercice 68Un promoteur de travaux publics doit construire x1 écoles maternelles, x2 gymnases et x3 villas. Pourélaborer son projet il dispose des renseignements suivants :

• pour construire une école maternelle, il faut 5 unités d’acier, 20 de ciment, 18 de bois, 15 detravail et 110 de terrain ;

• pour construire un gymnase, il faut 3 unités d’acier, 16 de ciment, 22 de pierre, 23 de travail et140 de terrain ;

• pour construire une villa, il faut 25 unités de ciment, 13 de pierre, 10 de bois, 18 de travail et 70de terrain.

1. Montrer que la quantité d’acier nécéssaire à la contruction de x1 écoles maternelles, x2 gymnaseset x3 villas s’écrit A = 5x1 + 3x2.


2. Donner de même la quantité de ciment, de bois, de travail et de terrain utilisés en fonction dex1, x2, x3.

3. Mettre ces relations sous forme matricielle.

4. Les prix unitaire des facteurs entrant de la production sont : Pacier = 50, Pciment = 2, Ppierre =1, Pbois = 10, Ptravail = 20 et Pterrain=10. Déterminer la matrice-ligne des coûts unitaires deconstruction des produits sortant à l’aide d’un produit matriciel.

5. Exprimer le coût de production total de la commande à l’aide d’un produit matriciel et le calculer.

Exercice 69

On considère la production de trois produits P1, P2 et P3, en quantités X =

x1x2x3

, toutes exprimées

en kg, à partir de trois matières premières M1, M2 et M3 utilisés en quantités Y =

y1y2y3

, avec y1

en mètres cubes, y2 en litres et y3 en mètres carrés.Les quantités de matière première utilisées par kg de produit sont données dans le tableau :

m3 de M1 ` de M2 m2 de M3

P1 10 5 5P2 8 3 2P3 7 3 2

1. Exprimer par un système d’équations linéaires, puis par une relation matricielle, les relations entreles quantités X produites et les quantités Y utilisées.

2. L’entreprise dispose d’un stock de y1 = 1240 m3 de M1 et y2 = 550 ` de M2 qu’elle désire totalementécouler.

(a) En considérant y3 comme un paramètre, exprimer x1, x2, x3 en fonction de y3.

(b) En déduire qu’on ne peut écouler les stocks que si y3 ∈ [410; 480].

3. Les matières premières M1, M2 et M3 ont un prix unitaire de Pu = (130, 40, 25). Déterminer lescoûts unitaires de fabrication des produits P1, P2 et P3 en présentant le calcul à l’aide d’un produitmatriciel.

4. Exprimer le coût total CT de la production de x1, x2 et x3 kg de produits P1, P2 et P3 par unproduit matriciel.


Exercice 70Une usine fabrique des plaques de différents aciers.

Pour faire une plaque d’un mètre carré de l’acier A1, il faut 5 kg de minerai de fer, 6 kg de charbonet 2 kg de fondant (substance facilitant la fusion).

Pour faire une plaque d’un mètre carré de l’acier A2, il faut 4 kg de minerai de fer, 8 kg de charbonet 1.5 kg de fondant.

Pour faire une plaque d’un mètre carré de l’acier A3, il faut 6 kg de minerai de fer, 5 kg de charbonet 2.5 kg de fondant.


1. Ecrire la matrice des coefficients techniques de la production des plaques d’acier à partir du minerai,du charbon et du fondant.

2. Combien faut-il de minerai de fer, de charbon et de fondant pour réaliser 2m2 de A1, 3m2 de A2 et4m2 de A3 ? Exprimer la réponse sous forme d’un produit matriciel.

Dans la même usine, on fabrique deux types de matériau composite M1 et M2.

Pour fabriquer une unité du matériau composite M1, on utilise 2m2 de A1, 1m2 de A2 et 0.5m2 deA3. Pour fabriquer une unité du matériau composite M2, on utilise 1m2 de A1, 1.5m2 de A2 et 2m2

de A3.

3. Donner la matrice des coefficients techniques de la production des matériaux M1 et M2 à partir desdifférents aciers.

4. Donner la matrice des coefficients techniques de la production des matériaux M1 et M2 à partir duminerai, du charbon et du fondant. L’exprimer comme un produit matriciel.

5. Combien peut-on fabriquer d’unités de chacun des matériaux composites si on dispose de 800 kgde minerai de fer, 1010 kg de charbon et 320 kg de fondant ? Exprimer la réponse sous forme deproduit matriciel.

Exercice 71

Soit A =

7 12 −99 10 −918 24 −20

.

1. Calculer A2.

2. Montrer qu’il existe deux nombres a et b tels que A2 = aI + bA.

3. En déduire la matrice B telle que A.B = I. Que représente B ?

Exercice 72

On pose A =

2 −4 42 0 14 1 1

et B =

1 −8 4−2 14 −6−2 18 −8

.

1. Calculer M = AB

2. En déduire que A est inversible en donnant son inverse.

3. Résoudre par un calcul matriciel le système

2x − 4y + 4z = 102x + z = 54x + y + z = 20

.

Exercice 73

Soit A =

−3 2 −12 0 1−1 2 1

. Montrer que C est inversible et déterminer son inverse par la méthode du

pivot de Gauss.


Exercice 74

Soit m un paramètre réel et soit Am la matrice Am =

2 1 16 4 m4 m m

.

1. Vérifier que pour tout m 6= 2 et m 6= 4, Am est inversible et

A−1m =1

(m− 2)(m− 4)

m(m−4)2 0 −(m−4)

2m −(m− 2) m− 3

−(3m− 8) m− 2 −1

2. En déduire, selon les valeurs du paramètre m, les solutions du système

2x+ y + z = 16x+ 4y +mz = 04x+my +mz = 2

Exercice 75Une entreprise fabrique 3 types de tissus, à partir de coton, de tergal et de soie. On sait :

• la fabrication d’un mètre de tissus T1 nécessite 120g de coton, 75g de tergal et 15g de soie ;

• la fabrication d’un mètre de tissus T2 nécessite 80g de coton, 115g de tergal et 17g de soie ;

• la fabrication d’un mètre de tissus T3 nécessite 130g de coton et 45g de soie.

1. Donner la matrice A des coefficients techniques de la production de tissus à partir du coton, tergalet soie.

2. Quelles quantités de coton, de tergal et de soie sont nécessaires pour produire 10m de tissus T1,20m de tissus T2 et 10m de tissus T3 ?

3. à partir des trois tissus T1, T2 et T3, un deuxième procédé permet de produire deux types devêtements V1 et V2. On sait :

• la fabrication d’un vêtement V1 nécessite 0.5m de tissus T1, 0.2m de tissus T2 et 0.1m de tissusT3 ;

• la fabrication d’un vêtement V2 nécessite 0.4m de tissus T1, 0.3m de tissus T2 et 0.4m de tissusT3.

a. Donner la matrice A′ des coefficients techniques de la production des vêtements à partir destissus T1, T2 et T3.

b. Exprimer la matrice A′′ des coefficients techniques de la production des vêtements à partir ducoton, du tergal et de la soie en fonction de A et A′.

c. On désire écouler les stocks de tissus T1 et T2 qui s’élève à 98m et 56m respectivement. Quellequantité de vêtements V1 et V2 faut-il produire ? Quel stock de tissus T3 doit-être alors disponible?

Recueil d’exercices 9. Modèles linéaires de production 27

9 Modèles linéaires de production


Exercice 76 (Corrigé)Soit une économie en système fermé dont l’activité productive est divisée en 3 secteurs : Agriculture,Industrie, Services. Sur la période étudiée, la production brute est évaluée à 200 unités agricoles, 300unités industrielles, et 250 unités de service.

Les consommations de chacun des secteurs pour réaliser une unité de production sont :

• 0.3, 0.2 et 0.1 pour le secteur agricole ;

• 0.2, 0.1 et 0.3 pour le secteur industriel ;

• 0.2, 0.4 et 0.2 pour le secteur des services.

1. Déterminer la matrice A de Leontieff de cette économie.

2. Déterminer la matrice C et le vecteur B des consommations intermédiaires.

3. Déterminer le vecteur de demande finale D (appelé aussi vecteur production nette).

Correction :

1. On rappelle que le coefficient aij en position (i, j) dans la matrice de Leontieff A s’interprète de lafaçon suivante : (i =ligne, j =colonne) :La branche j a consommé, pour réaliser une unité, aij unités provenant de bien i.Ainsi, d’après l’énoncé, le secteur agricole a consommé, pour réaliser une unité agricole, 0.3 unitésagricoles : on place donc 0.3 en position (1, 1). De même, ce secteur a consommé, pour réaliserune unité agricole, 0.2 unités industrielles : donc on place 0.2 en position (2, 1). On en déduit lamatrice :

A =

0.3 0.2 0.20.2 0.1 0.40.1 0.3 0.2

2. La production brute est le vecteur X =

200300250

. D’après le cours, le vecteur des consommations

intermédiaires est donc A.X =

170170160

. La matrice C est, toujours d’après le cours, la matrice dont

les colonnes sont celles de A multipliées par la production brute de chaque secteur. Autrement dit,la première colonne de C est la colonne de A multipliée par la production brute agricole, la deuxièmecolonne de C est la deuxième colonne de A multipliée par la production brute industrielle, etc...On obtient donc

C =

60 60 5040 30 10020 90 50

On vérifie que la somme des coefs sur une même ligne de C correspond à la conso intermédiaire dusecteur correspondant.


3. D’après le cours D = X −AX =

3013090

Exercice 77Soit une économie en système fermé dont l’activité productive est divisée en 3 secteurs : Agriculture,Industrie, Services.

La matrice A de Leontieff de cette économie est donnée par : A =

0.25 0.3 0.10.4 0.12 0.30.8 0.9 0.2

1. Compléter les 3 phrases suivantes :

Pour produire 1 unité agricole, le secteur agricole consomme . . . unités du secteur secondaire.Pour produire 1 unité industrielle, le secteur industriel consomme . . . unités industrielles.Pour produire . . . unités du secteur tertiaire, ce secteur utilie 0.4 unités agricoles.

2. Donner le vecteur et la matrice des consommations intermédiaires si la production brute est

donnée par

1002004000

Exercice 78Une économie à trois branches fonctionne suivant le modèle de Leontieff. On donne :

• les autoconsommations de chaque branche, pour une unité produite, sont respectivement 120

tonnes, 120 kg, et 1

20m3 ;

• pour fabriquer 20 tonnes, la branche 1 consomme 20 kg de bien B2 et 1m3 de bien B3.

• B3 n’intervient pas dans la fabrication de B2 ;

• il faut 3 kg de B2 pour fabriquer 20m3 de B3

• 3 tonnes de B1 sont nécessaires pour fabriquer 20 kg de B2 ou 20 mètres cube de B3.

Déterminer la matrice A des coefficients techniques de cette économie.

Exercice 79Dans une économie à trois branches fonctionnant selon le modèle de Leontieff, on donne sur la

période étudiée la production brute X =

201010

et la matrice des consommations intermédiaires :

C =

4 3 43 2 52 2 1

1. Déterminer la matrice A de Leontieff de cette économie.

2. Déterminer le vecteur B des consommations intermédiaires.

3. Déterminer le vecteur de demande finale D.


Exercice 80

Soit une économie à deux secteurs de matrice de Leontieff A =

(0.5 0.40.3 0.56

). Sachant que la demande

finale du premier secteur est de 100 et que celle du second est de 150, déterminer la production bruteet les consommations intermédiaires.


Exercice 81Deux usines A et B qui fabriquent respectivement un produit P1 et P2, doivent fournir 300 unités deP1 et 200 unités de P2 pour satisfaire une demande finale. On sait que pour produire une unité deP1 (resp. P2), l’usine A (resp. B) a besoin de 0.25 (resp. 1

3) unités de son propre bien et de 0.25(resp. 0.5) unité du bien produit par l’autre usine. Quelles quantités doivent alors être produites parces usines pour satisfaire la demande finale ?

Exercice 82Le multiplicateur de production est le reflet de l’effet cumulé d’une modification de la demande finaleadressée à la production d’un bien ou d’un service sur la production totale de l’économie. Pour chaquebien, il est égal à l’augmentation de la valeur de la production de tous les biens pour une augmentationd’une unité de la demande finale de ce bien.

Soit une économie en trois branches de matrice de Leontieff valorisée (c.à-d. que les consommations

sont mesurées dans une même unité monétaire, par exemple l’euro) A =

0.1 0.1 0.40.3 0.2 0.10.1 0.15 0.2

.

Déterminer le multiplicateur de production de chacune des branches.Indications. On exprimera le vecteur demande finale D en fonction de la production X, puis on

calculera l’augmentation de la totalité de la production pour une augmentation d’une unité de l’unequelconque des branches.

Recueil d’exercices 10. Productivité, rentabilité 30

10 Productivité, rentabilité


Exercice 83 (Corrigé)On considère une economie fonctionnant sous le modèle de Leontieff. Sur un an, on a constaté les faitssuivants :

• les productions brutes des branches ont été respectivement de 40, 16, 20 unités.

• les branches 1, 2, 3 ont eu respectivement pour autoconsommation 10, 0 et 5 unités.

• la branche 2 a consommé 10 unités fournies par la branche 1, ainsi que 5 unités fournies par labranche 3.

• les branches 1 et 3 n’ont pas besoin l’une de l’autre.

• la branche 2 a fourni 4 unités à la branche 1 et autant à la branche 3.

1. Donner la matrice des consommations intermédiaires C.

2. En déduire le vecteur de production nette Y .

3. Donner la matrice de Leontieff A.

4. Peut-on dire que l’économie est productive ?

5. Combien faudra t-il produire de biens de chaque type pour répondre à une demande de 40 unitésde bien 1, 30 unités de bien 2, 5 unités de bien 3 ?

Correction :

1. On rappelle que le coefficient cij en position (i, j) s’interprète de la façon suivante : (i =ligne,j =colonne) :La branche j a consommé, pour réaliser la production, cij unités provenant de bien i. Parexemple, la phrase "la branche 2 a consommé 10 unités fournies par la branche 1" signifie qu’ily a un 10 en position (1, 2).De la même façon, les autoconsommations sont les coefficients présents sur la diagonale de C.On en déduit la matrice C :

C =

10 10 04 0 40 5 5

2. Examinons la consommation de bien 1 : d’après C, la branche 1 en a consommé 10 unités, la

branche 2 également, et la branche 3 aucune.La consommation totale de bien 1 est donc de 10+10=20. C’est la somme des coefs de la ligne1.De même, la consommation de bien 2 est donc de 8 (somme des coefs de la ligne 2) .La consommation de bien 3 est donc de 10 (somme des coefs de la ligne 3).

Donc le vecteur des consommations intermédiaires est

20810

.

La production nette est la différence entre la production brute et les consommations intermédiaires

de chaque bien, d’où Y =

40− 2016− 820− 10

=

20810

.


3. La matrice de Leontieff donne le nombre d’unités consommées pour produire une unité de chaquetype. Par exemple, le coefficient en position (1, 1) represente le nombre de biens 1 consomméepar la branche 1 pour produire un bien de type 1.Or on a vu que pour produire 40 unités de bien 1, la branche 1 a consommé 10 unités de bien 1.Donc pour produire une seule unité de bien 1, il faudra 10

40 unités de bien 1.En raisonnant de même pour les autres coefs, on comprend que pour obtenir A, il suffit de diviserchaque colonne j de C par la production brute de bien j.On obtient

A =

14

58 0

110 0 1

50 5

1614

4. On vient donc de trouver une production brute telle qu’il existe une production nette strictement

positive. D’après le cours, on peut conclure que l’économie est productive.

5. On cherche X tel que Y =

40305

. Or (I−A)−1×Y = X, donc X =

904425

(avec la calculatrice).

Exercice 84On considère un modèle de Leontieff décrivant la production de deux biens B1 et B2 de matrice de

coefficients techniques A =

(0.03 0.880.87 0.02

). L’unité choisie pour mesurer les quantités des biens est

la tonne pour chacun des biens.

1. a. Déterminer la production nette Y1 pour une production brute X1 de 600 tonnes de B1 et 600tonnes de B2.

b. Déterminer la production brute X2 permettant de satisfaire une demande finale Y2 de 45 tonnesde B1 et 55 tonnes de B2.

2. a. Les prix unitaires des biens B1 et B2 sont de P1 = (120, 130). Déterminer le vecteur V1 desvaleurs ajoutées unitaires.

b. Déterminer le système de prix P2 permettant d’obtenir les valeurs ajoutées unitaires V2 = (20, 20).

3. a. Déterminer la valeur ajoutée totale pour la production brute X1 et le sytème de prix P1.

b. Déterminer la valeur ajoutée totale pour la production nette Y2 et le sytème de valeur ajoutéeV2.

Exercice 85Une économie à trois branches fonctionne suivant le modèle de Leontieff. Les quantités des 3 bienssont exprimées en kg. Pendant une période de référence, on a observé :

• la production brute en kg de biens 1 a été de 204 ;

• la production nette en kg de biens 2 a été de 11.

• des consommations intermédiaires représentées par la matrice C =

51 61 70102 0 700 61 35

.


1. Déterminer la production nette en kg de bien 1 et la production brute en kg de bien 2.

2. A partir de quelle production brute en kg de biens 3 peut-on conclure que cette économie estproductive ?

3. Sachant que le rapport (production brute)/(production nette) de la branche n◦3 est égal à 4, déter-miner les productions brute et nette de cette branche.

4. Déterminer la matrice des coefficients techniques.

Exercice 86Dans une économie à trois branches fonctionnant suivant le modèle de Leontieff, on donne la matrice

des coefficients techniques A =

1/4 1/8 01/2 0 1/20 1/8 1/4

.

1. On considère le système de prix suivant P = (6, 3, 5), l’unité monétaire étant le million d’euros.

a. Déterminer le vecteur des coûts unitaires de production.

b. Déterminer le vecteur des valeurs ajoutées unitaires. Peut-on dire que l’économie est rentable?

c. Pour une production brute X =

130200100

, quel est le coût de production et la valeur ajoutée de

chacune des branches ?

d. Quel est le coût total et la valeur ajoutée totale ?

2. On considère à présent le sytème de prix P = (2.4, 1.6, 2.4).

a. Déterminer le vecteur des coûts unitaires de production.

b. Déterminer le vecteur des valeurs ajoutées unitaires.

3. Pour quel système de prix obtient-on des valeurs ajoutées unitaires egales à (3, 6, 6) ?

Exercice 87Dans une économie à trois branches fonctionnant suivant le modèle de Leontieff, on a observé durant une

période la production brute X =

102030

, et les consommations intermédiaires C =

4 3 33 0 34 10 3

.

1. Donner la matrice des coefficients techniques.

a. Peut-on dire que l’économie est productive ?

b. Existe-t-il une production brute permettant de satisfaire une demande finale D =

7.5114

? Si

oui, laquelle ?

2. a. Peut-on dire que l’économie est rentable?

b. Existe-t-il un système de prix permettant de réaliser les valeurs ajoutées (10, 4, 12) ? Si oui,lequel ?



Exercice 88On considère des économies à trois branches fonctionnant selon le modèle de Leontieff.

1. la production brute est X =

402030

, le vecteur valeur ajoutée unitaire est V = (2, 1, 3). Combien

rapporte la production dans chacune des branches ? Quelle est la valeur ajoutée totale ?

2. Le système de prix est P = (4, 5, 3), la production nette est Y =

51015

. Quelle est la valeur

ajoutée totale de l’économie ? Peut-on déterminer les valeurs ajoutées par branche ?

Exercice 89Un sytème économique fonctionne suivant le modèle de Leontieff. Les coefficients techniques du système

sont donnés par la matrice A =

0.5 c 00 0.2 0.1c 0.4 0.2

où c est un paramètre réel positif.

1. Pour quelle valeur(s) de c a-t-on interdépendance des branches ?

2. Vérifier que pour c 6=√3, (I −A)−1 = −1

c2−3

6 8c cc 4 0.58c 10c2 + 2 4

.

3. Quelle(s) production(s) brute(s) dégage(nt) une production nette de Y = (50, 70, 40) ? Vous ex-primerez X en fonction de c.

4. Déterminer toutes les productions brutes qui correspondent à une production nette Y = (0, 0, 0).

5. Le système de prix en euro est P = (30, 10, 20). Quelle est la valeur ajoutée d’une unité de bien 3 ?

6. Quel système de prix permet une valeur ajoutée V = (50, 50, 50) ?

Exercice 90Dans une économie à trois branches fonctionnant selon le modèle de Leontieff, on donne pour la

période étudiée la production brute : X =

201010

et le vecteur des consommations intermédiaires

B =

11105

.

1. Déterminer la demande finale D.

2. Peut-on dire que l’économie est productive ?

3. a. Quelle production brute permet de doubler cette demande finale ? Justifier.b. Les consommations intermédiaires sont-elles alors doublées ?c. Les coefficients techniques sont-ils doublés ?

Recueil d’exercices 11. Annales 34

11 Annales

Examen 2012-2013

Exercice 1 (environ 7 points)

1. Le 11 mars 1993, Mme Machin emprunte 152 000 euros sur 20 ans au taux d’intérêt annuel de10,5 %.Le remboursement s’effectue par mensualités constantes au taux mensuel fixe pour toute la duréede l’emprunt, le premier versement ayant lieu le 11 avril 1993.

(a) Montrer que le taux mensuel équivalent au taux annuel de 10,5 % est 0,8355 %.

(b) Calculer le montant d’une mensualité.

(c) Construire les trois premières lignes de l’échéancier de cet emprunt.

N.B. On rappelle que la valeur actuelle d’une suite de n annuités constantes égales à A au tauxt est:

A×(1− (1 + t)−n

t

)2. Le 11 mars 2003, après avoir versé sa mensualité, Mme Machin a la possibilité de renégocier son

prêt pour une durée de 10 ans au taux annuel de 6,8 %, soit à un taux mensuel équivalent de0,5497%, aux conditions de remboursement identiques et après paiement de pénalités de 3% surle capital restant dû.

(a) Montrer que l’état de la dette de Mme Machin au 11 mars 2003, après avoir versé sa 120ième mensualité, s’élève arrondi à l’euro près, à 111 074 euros.

(b) En déduire quel serait l’état de sa dette à cette date-là si elle décidait de renégocier son prêt.

Mme Machin décide de renégocier son prêt.

(c) Calculer le montant d’une nouvelle mensualité.

(d) Conseillez-vous à cette personne de renégocier son prêt? (on calculera l’économie éventuelle-ment réalisée)

Exercice n◦2 (environ 6 points)

Une entreprise produit trois types d’appareils A1, A2, A3. Pour la fabrication on a besoin deplaques de circuits intégrés, de transistors, de condensateurs et de résistances.Les quantités nécessaires pour la fabrication des appareils sont données dans le tableau suivant:

composant � appareil plaque transistor condensateur résistanceA1 1 4 3 6A2 1 1 2 3A3 1 3 5 8

1. Le stock est de 100 plaques, 238 transistors et 302 condensateurs. Déterminer le nombred’appareils de chaque sorte produits utilisant tout le stock.

2. Si l’entreprise dispose de 501 résistances en stock, peut-elle lancer lancer la production en utilisantle stock complet?


3. Déterminer la fabrication utilisant les 100 plaques, les 238 transistors et les 501 résistances. Lestock de 302 condensateurs est-il alors suffisant?


Une économie à trois branches fonctionne selon le modèle de Leontieff. Les quantités des trois biensproduits B1, B2 et B3 sont exprimées respectivement en tonnes (t) , kilogrammes (kg) et mètres-cubes(m3).Pendant une période de référence on a observé une production brute X =

(400; 800; 400

).

Les consommations intermédiaires sont données par la matrice :

C =

200 100 0150 100 25050 200 50

.

1. Déterminer la matrice A des coefficients techniques.

2. Déterminer la demande finale Y qui peut être satisfaite.

3. Peut-on satisfaire une demande finale de 220t de B1, 600kg de B2 et 200m3 de B3? Si oui pourquelle production brute?

4. Les prix unitaires des trois biens sont respectivement : p1 = 20 euros, p2 = 50 euros et p3 = 80euros.

(a) Combien coûte la quantité de bien B2 nécessaire pour produire l’équivalent d’un euro de B3

?

(b) Quelles sont les valeurs ajoutées unitaires réalisées dans chaque branche ?

(c) Comment faut-il modifier le prix du bien B1 pour que la valeur ajoutée unitaire de la pre-mière branche devienne positive ?


Examen 2013-2014


Monsieur Durand, cédant aux publicités, contracte un prêt à la consommation. Il a d’autre partacheté une voiture à crédit grâce à un prêt du concessionnaire automobile.Le 05 mai 2014, il constate que le total de ses remboursements mensuels est beaucoup trop élevé parrapport à ses revenus. Les données correspondantes à ses différents crédits sont :

Mensualité(réglée chaque 04 du mois)

Capital restant dû(05 mai 2014) Taux mensuel

Prêt à la consommation 475 euros 9 000 euros 1%

Crédit Voiture 175 euros 2 000 euros 0, 5%

1. Au bout de combien de mois aura-t-il fini de rembourser son prêt à la consommation ?

2. Un organisme financier lui propose d’étaler sa dette de 11 000 euros (total de ses deux prêts) sur48 mois au taux de 0, 5% par mois.

(a) Quelle sera alors sa mensualité constante ?

(b) Déterminer le taux annuel équivalent au taux de 0, 5% par mois.

(c) Construire le tableau d’amortissement de cet emprunt si les remboursements se fontà annuités constantes, soit 4 annuités.

(d) Il accepte la proposition et décide enfin d’économiser. Il place chaque mois 125 euros surun livret d’épargne au taux mensuel de 0, 4%. De quelle somme disposera t-il au bout des48 mois de placement ?

NB: On rappelle que la valeur actuelle d’une suite de n annuités constantes égales à R au taux iest:

R× (1− (1 + i)−n)

i


Une usine fabrique chaque jour trois produits A, B et C à partir de pièces de modèles m1, m2, m3

et m4. Le nombre de pièces de modèles m1, m2, m3 et m4 nécessaires à la production est donné parle tableau suivant où a est un paramètre réel:

A B C

m1 2 3 4m2 1 1 2m3 a 2 1m4 0 1 1

1. Ecrire le système d’équations linéaires reliant les quantités de produits A, B et C fabriquéesnotées respectivement x1, x2, et x3 et les quantités de pièces de modèles m1, m2, m3 et m4 enstock, notées respectivement y1, y2, y3 et y4.

2. Dans cette question on suppose que a = 3.Calculer le nombre de pièces de modèles m1, m2, m3 et m4 dont il faut disposer pour pouvoirfabriquer dans une journée 30 produits A, 10 produits B et 20 produits C.


3. a est maintenant supposé entier quelconque.

On dispose un certain jour d’un stock de 2 000 pièces de modèle m1, de 900 pièces de modèlem2, de 1 200 pièces de modèle m3 et de 500 pièces de modèle m4.

Calculer la quantité a de pièces de modèle m3 entrant dans la fabrication du produit A et lenombre de produits A, B et C que l’usine a ainsi pu fabriquer.


On considère une économie à trois branches (notées I, II et III) fonctionnant selon le modèle deLeontieff. Les quantités des trois biens produits (notés B1, B2 et B3) sont exprimées respectivementen mètres-cubes (m3), tonnes (t) et hectolitres (hl).On donne les renseignements suivants relatifs à une période de référence:Pour une production brute de 100m3 de B1, 80 tonnes de B2 et 50 hl de B3,

• la branche I ne consomme pas directement de B1, mais consomme 20 t de B2 et 10 hl de B3;

• la branche II ne consomme pas directement de B2, mais consomme 12m3 de B1 et 16 hl de B3;

• la branche III ne consomme pas directement de B3, mais autant de B1 que de B2;

• la consommation intermédiaire totale en B1 est égale à 17m3.

1. Donner la matrice des consommations intermédiaires notée C.

2. Déterminer la production nette correspondante.

3. Ecrire la matrice des coefficients techniques notée A.

4. Que devient la production nette si la production brute devient: 110m3 de B1, 92 tonnes de B2

et 60 hl de B3?

5. Quelle production brute permet de satisfaire une demande finale de 80m3 de B1, 75 tonnes deB2 et 20 hl de B3 ?

6. Les prix unitaires des trois biens sont respectivement: p1 euros, p2 = 140 euros et p3 = 60 euros.La valeur ajoutée unitaire réalisé dans la branche II est de 119 euros.Déterminer le prix unitaire p1 du bien B1 ainsi que les valeurs ajoutées unitaires réalisées dansles branches I et III.

Documents

1 Pourcentages et taux...4x 6y +8z = 18 2x y +z = 1 8