« Analyse vectorielle de la lumière et codage polarimétrique»master-ivi.univ-lille1.fr/fichiers/Cours/cours_lum_vect.pdf · (r,t)= E(r,t) i E(r,t) A(r,t) exp iu(t) (t) (r,t) E(r,t)

1

Cours Master IVI 07/01/2013

« Analyse vectorielle de la lumière et codage polarimétrique»

Vincent Devlaminck

2


z

x

y

λ

Composante Ex

Composante Ey

Décomposition du champ électrique d’une onde lumineuse sur une base orthogonale.

x x

y y

E (z, t) A cos( t kz) xE (z, t) A cos( t kz ) y

ωω ε

= − = − +

r rr r

Quelques définitions définitions

3


Ellipse de polarisation

Cas particuliers:

ε =0 ou ±π: l’ellipse devient une droite : polarisation linéaire. ε est égal à ±π/2 ; l'ellipse devient un cercle: polarisation circulaireTous les autres cas : polarisation elliptique

On parle d'états purs de polarisation

22y x y 2x

2 2x y x y

E 2E EE cos sinA A A A

ε ε+ − =

4


( )( )

x x x x x

y y y y y

x y

(r, t) = E (r, t) i E (r, t) A (r, t) exp i u(t) (t)(r, t) E (r, t) i E (r, t) A (r, t) exp i u(t) (t)

(t) (t) (t)

η βη β

β β ε

%%

+ = − = + = −

− =

Ecriture complexe:

( ) ( )xx

xy y x y

A (r, t)(r, t) = exp i u(t) (t)(r, t) A (r, t)exp i (t) (t)

η βη β β − ÷ ÷ −

Vecteur de Jones instantané

[ ]x 1

y 2

A (r, t) EE(t) = A (r, t)exp i (t) E

ε = ÷ ÷

5


Dans le cas où le champs électrique fluctue aléatoirement

E1 et E2 sont des variables aléatoires

Mesures par une caméra...

6


Matrice de cohérence

* *1 1 1 2

* *2 1 2 2

E E E E

E E E E

= ⊗ =

†Φ E E

La matrice de cohérence Φ est la matrice de covariance des composantes Ei du champs électrique complexe

Si stationnaire : ne dépend pas de l'origine des tempsSi ergodique : moyenne d'ensemble ≡ moyenne au cours du temps.

Φ est une matrice hermitienne semi définie positive : ses valeurs propres sont réelles et positives ou nulles.

Dans le cas où le champs électrique fluctue aléatoirement

E1 et E2 sont des variables aléatoires

7


Matrice de cohérence

1 0I. polarisation linéaire horizontale

0 0

0 0I . polarisation linéaire verticale

0 1

1 1I . polarisation linéaire à 45° 1 12

1 iI . poi 12

=

− =

Φ

Φlarisation circulaire droite

1 iI . polarisation circulaire gauche i 12

−

Exemple de matrices pour des états purs de polarisation:

8


Propriétés de la matrice de cohérence

Comme matrice de covariance: hermitienne semi définie positive

− λ1 et λ2 ses valeurs propres sont positives ou nulles.det(Φ) = λ1 . λ2 ≥ 0 et Tr(Φ ) = λ1 + λ2 = <E1

2> +<E22 > = I ≥ 0

- Il est possible de trouver une base ou la matrice est diagonale.

1 2 1 2

2 2

0 0 00 0 0 0

λ λ λ λλ λ

− = +

1 21 21 2

1 2 1 2

P=0 onde non polariséeP 0 ou 0 P=1 onde complétement polarisée

0 P 1 onde partiellement polarisée

λ λλ λ λ λλ λ λ λ

=− = = =+ ≠ < <

Degré de polarisation:

9


Invariants de la matrice de cohérence

1

2

0 1 0 1 0(1 P).I P.I0 0 1 0 0λ

λ = − +

1 22

1 2

1 2

det( )P = 1- 4Tr( )

I Tr( )

λ λλ λ

λ λ

− Φ=+ Φ

= + = Φ

Invariants :

Décomposition d'un état de polarisation (pas unique):

10


Vecteur de Stokes:

S0 intensité totaleS1 intensité polar. linéaire HS2 intensité polar. linéaire à 45°S3 intensité polar. circulaire

Condition physique:

Vecteur de Stokes

30 1 2 3

j jj 0 2 3 0 1

S S S iS1 1SS iS S S2 2=

+ − = = + −

∑Φ σ

2 21 20

2 21 1 2

21 2

31 2

E ESS E ES 2 E E cos(ε)S 2 E E sin(ε)

+ − = =

S

( )2 2 2 20 1 2 3det(Φ) S S S S 0= − + + ≥

11


31 21 2 3

0 0 0

SS Ss , s , sS S S

= = =

Sphère de Poincaré

Etats purs (P=1) surface de la sphèreOnde non polarisée centre de la sphèreOnde partiellement polarisée: intérieur de la sphère

2 2 21 2 3

20

S S SP 0 P 1S

+ += ≤ ≤

11

12

21

22

Φ 1 0 0 1Φ 1 0 0 -1

Φ 0 1 1 0Φ 0 i -i 0

= =

S L L

12


Quelques exemples

Éclairage par lumière polarisée

13


Fig. 4.4a: Image radiométrique du circuit imprimé

Fig. 4.4b: Extraction des parties métalliques de l'image

Huile sur métalLaque sur métal

14

Cours Master IVI 07/01/2013Quelques exemples

Éclairage par lumière partiellement polarisée

Éclairage par lumière polarisée

15


Quelques exemples

Intensité (S0) Composante S1

16


2πφ ϕ= ±

2 2

2 2 2

2sin tan n sinDOP( )n 2sin tan

θ θ θθθ θ

−=− +

tan costan sin

1

pn q

θ φθ φ

= = =

r

17


Thèse O. Morel,

18

Exemple

Images obtenues pour 2 positions orthogonales du polariseur

19

Résultats

Solution RGB Solution Multi-FiltresAcquisitions

20


Interaction linéaire avec la matière

Considérons d'abord le cas déterministe:

in out1 1in out2 2

E E = J

E E

= =

in out out inE E E E

J : Matrice de Jones du milieu supposé linéaire et déterministe

Ein Eout

21


Matrices de Jones

Différence d'absorption suivant les axes: diatténuation JD(0,η)(matériaux dichroïques)

2 1η η η= −

Différence d'indice de réfraction suivant les axes : retardance JR(0,δ)(matériaux biréfringents)

2 1δ δ δ= −

Rotation des axesD DJ (θ,δ) R( θ)J (0,δ)R(θ)= −

22


Matrice de Mueller-Jones

Sous l'action d'une matrice de Jones déterministe, un état pur reste un état pur.

( ).= ⊗ = ⊗ = ⊗

=

†† † †out out out in in in in

†out in

Φ E E J.E J E J E E J

Φ JΦ J

11

12

21

22

ΦΦΦΦ

= = ⊗

*S L L E E ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )in

in

= ( )

=

= S

.S

= ⊗ ⊗

⊗ ⊗

⊗ ⊗ = ⊗

= ⊗

* *out out out in in

* *in in

* * * -1in in

* -1out

S L E E L JE JE

L J J E E

L J J E E L J J L

S L J J L

( )= ⊗ * -1JonesM L J J L

23


Eléments de base

Polariseur linéaire horizontal et vertical

pol pol

1 1 0 0 1 1 0 01 11 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 02 2

0 0 0 0 0 0 0 0

− − = =

H VM M

rot

1 0 0 00 cos2θ sin 2θ 0(θ) 0 sin 2θ cos2θ 00 0 0 1

= −

M

Rotateur d'angle θ

Polariseur linéaire axe orienté en θ

2

2pol

1 cos(2θ) sin(2θ) 01 cos(2θ) cos (2θ) cos(2θ)sin(2θ) 0(θ) sin(2θ) cos(2θ)sin(2θ) sin (2θ) 02

0 0 0 0

=

M

24


Eléments de base

dephas

1 0 0 00 1 0 0 0 0 cosφ sin φ0 0 sinφ cosφ

=

−

M

Déphaseur (lame de retard) de ϕ

Deux cas particuliers1 0 0 0 1 0 0 00 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 10 0 0 1 0 0 1 0

= =− − −

λ λ2 4

M M

pol

1 0 1 01 0 0 0 0(45) 1 0 1 02

0 0 0 0

=

M

25


Eléments de base

λ pol4

1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 01 10 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0(45) 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 02 2

0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0

= = − − −

M M

Composition de matrices

0 0 0 2

1 1λ pol

2 240 23 3

S S S S1 0 1 01 1S S0 0 0 0 0(45) S 0 0 0 0 S 02 2

1 0 1 0 (S S )S S

+ = = − − − +

M M

Circulaire droit

cir cir

1 0 0 1 1 0 0 11 10 0 0 0 0 0 0 0(G) (D)0 0 0 0 0 0 0 02 2

1 0 0 1 1 0 0 1

− = = −

M M

26


Etats orthogonaux

Génération ≠ Analyse

0 0

polλ4

0 0

0 0 0

polλ4

0 0 0

S S1 0 0 1 010 0 0 0 0 0 0(45) 0 1 0 0 1 0 02

S 0 0 0 0 S 0

S S S1 0 0 110 0 0 0 0 0 0(45) 0 1 0 0 1 0 02

S 0 0 0 0 S S

= = − − = =

M M

M M

Avatar....

cir cir

1 0 0 1 1 0 0 11 10 0 0 0 0 0 0 0(G) (D)0 0 0 0 0 0 0 02 2

1 0 0 1 1 0 0 1

− = = −

M M

Génération = Analyse

27


La surface d'interaction est constituée d'un ensemble d'éléments { Ji }

Cas général

i i

1= =∑ ∑i i iI p I p

( ) ( )( )i in

= ( )

=

p .S

= ⊗ ⊗

⊗ ⊗

= ⊗

i i i * i i i i *out out out in in

i i* *i in in

i i i* -1out

S L E E L J E J E

Lp J J E E

S L J J L

out i inp=ii E J E

Ein Eout

Ji

28


Une matrice 4x4 est elle une matrice de Mueller?

Matrice de Mueller

( )( )

ii i Jones in

i i

i iJones i Jones

i

ii Jones

i

p p .

= p .

= p .

= =

= ⊗

= ⊗ = ⊗

∑ ∑

∑

∑

iout out

i i* -1

i i* -1 * -1

S S M S

M L J J L M M

M M L J J L L J J L

†1 = 2

=-1 -1M LFL L L

29


Matrice de Mueller

( )

* *0 0 0 1e e

* *1 2 1 3e e 1

* *2 0 2 1e e

* *3 2 3 3e e

j j j j

j j j jPer Per(L L)

j j j j

j j j j

* *0 2 0 3e e

* *1 0 1 1e e

* *2 2 2 3e e

* *3 0 3 1e e

j j j j

j j j jH F M

j j j j

j j j j

−

= = =

* † † avec Per( ) = avec

1

1 2 2

3 4 3

4

jj j j

F = J J J = F j j jj jj j j

j

⊗ = ⊗ =

H est une matrice hermitienne défini positive (covariance) , donc 4 valeurs propres positives ou nulles:

4† †

i i i 1 2 3 4i 1

1 2 3 4

( ) H= S S=diag( , , , )

=

H u u

u u u u=

= λ λ λ λ λ

∑ U U

U

30


Matrice de Mueller pure ou non

Si 3 valeurs propres de H sont nulles :M = Mjones ou encore matrice de Mueller pure

Si deux valeurs propres de H au moins, sont non nulles M n'est pas une matrice de Mueller-Jones mais la somme de Mueller-Jones( jusqu'à 4 termes)

( ) ( )

41 † 1

i i ii 1

4 4† 1 † 1

i i i i i ii 1 i 1

Per( ) Per ( )

Per Per

M L H L L u u L

M L u u L L u u L

− −

=

− −

= =

= = λ ÷

= λ = λ

∑

∑ ∑

† † * u uPer( ) Per avec

u u1 2

3 4

uu u u U U U

= ⊗ = ⊗ =

4* 1

ii 1

M L U U L−

=

= λ ⊗ ∑

31


codage polarimétrique

Application à la visualisation 3D

32


Effets psychologiques

Vol. 50, No. 34 / APPLIED OPTICS

33


Effets physiologiquesPrincipe : disparité binoculaire


34


Existants

1) 3D TV with LC shutter glasses 240 Hz ultrahigh-definition(UHD, 3840 × 2160)

2) Utilisation de lunettes polarimétiques

Division temporelle (active retarder (AR) or shutter in

panel (SIP))

Division spatiale patterned retarder (PR) :

(Disparité binoculaire et convergence)

35

Cours Master IVI 07/01/2013 Autostéréoscopie

Compromis :

Résolution 3D/nombre de points de vue

- Disparité binoculaire- Convergence- Mouvement parallaxe

(La parallaxe est l’incidence du changement de position de l’observateur sur l’observation d’un objet)


36


Position du problème

IG

ID

Mélange

Codage

αIG

αID

Décodages D & G

37


dephas

1 0 0 00 1 0 0 0 0 cosφ sin φ0 0 sinφ cosφ

=

−

M

Déphaseur (lame de retard) de ϕ Rotateur d'angle θ

rot

1 0 0 00 cos2θ sin 2θ 0(θ) 0 sin 2θ cos2θ 00 0 0 1

= −

M

[ ][ ]

2 2

2 2

1 0 0 00 cos (2θ) sin (2θ)cosφ cos(2θ)sin(2θ) cos(φ) 1 sin(2θ)sin(φ)0 cos(2θ)sin(2θ) cos(φ) 1 sin (2θ) cos (2θ)cos(φ) cos(2θ)sin(φ)0 sin(2θ)sin(φ) cos(2θ)sin(φ) cos(φ)

+ − − + − −

codeurM =

Codeur rot Dephas rotM (θ,φ) M ( θ)M (0,φ)M (θ)= −

38


Polariseurs linéaires à +/- 45°

DDecod Decod

1 0 1 0 1 0 1 01 10 0 0 0 0 0 0 0 = 1 0 1 0 1 0 1 02 2

0 0 0 0 0 0 0 0

− = −

GM M

[ ] 2 2

GDecod codeur

1 cos(2θ)sin(2θ) cos(φ) 1 sin (2θ) cos (2θ)cos(φ) cos(2θ)sin(φ)0 * * *0 * * *0 * * *

− +

1M M =2

[ ] 2 2

DDecod codeur

1 cos(2θ)sin(2θ) cos(φ) 1 sin (2θ) cos (2θ)cos(φ) cos(2θ)sin(φ)0 * * *0 * * *0 * * *

− − − − −

1M M =2

39


Lumière circulaire en entrée

[ ]D0 0

DDecod codeur

0

S 1 cos(2θ)sin(φ)S10 *

0 * 2S *

− =

0S*M M = **

Mélangeur élémentaire : S0 = ID+IG

[ ]G0 00

GDecod codeur

0

S S 1 cos(2θ)sin(φ)S10 * *

0 * *2S * *

+ =

M M =

G0 GD0 D

S I1 cos(2θ)sin(φ)S 1 cos(2θ)sin(φ) I

+ =−

=

40


θ = 0 retard seul

Intensités de sortie (Mélangeur élémentaire : S0 = ID+IG )

G0 G G DD0 D D G

S I I I1 sin(φ) φ Arcsin S 1 sin(φ) I I I

−+ = ⇒ = ÷− + =

G G D0 D G G

D G

D G D0 D G D

D G

I I1S (I I )(1 ) I2 I I

I I1S (I I )(1 ) I2 I I

−= + + =+

−= + − =+

G D

D G

I I -1 1 I I

−≤ ≤ ⇒+

π πφ2 2

− ≤ ≤

41


ϕinit = -π/2

G G D

D D G

π1 sin(φ )I I I1 cos(φ)2 φ Arccos πI 1 cos(φ) I I1 sin(φ )2

+ − −−= ⇒ = − ÷+ + − −=

G D

G D

I I1 1 I I

−− ≤ ≤ ⇒+

-π ≤ ϕ ≤ 0

Autre solution : variation de θ

42


G D

G D

I IvI I

−=+

G Du I I= +

I(u) φ(v)ID

IG

Entrées

Modèle avec lunettes

43


Modèle sans lunette (autostéréoscopie)

G D

G D

I IvI I

−=+

G Du I I= +

I(u) φ(v)ID

IG

Entrées

Décodeur D

Décodeur G

44


27 August 2012 / Vol. 20, No. 18 / OPTICS EXPRESS

45


46


Chemin parcouru par la lumière


47


s T1

2

E 0E = E =

E 0

Quelque soit l'état de polarisation de la lumière d'entrée, elle ne repasse pas la barrière vers l'observateur.

48



49


Imagerie intégrale

50


Bibliographie

Livres

1) - Christian Brosseau, Fondamentals of polarized light: a statistical optics approach, (John Wiley, New York, 1998)

2) - E. Collet, "Polarized light: fundamentals and applications," Marcel Dekker, Inc.,1993.

3) - S. Huard, "Polarisation de la lumière," Masson, 1994

4) - Born, Max, and Wolf, Emil, Principles of Optics: Electromagnetic Theory of Propagation, Interference and Diffraction of Light (7th ed.), Cambridge University Press (1999) ISBN 0-521-64222-1

5) - Felix R. Gantmacher, The Theory of Matrices, (Chelsea Publishing Company, Chelsea, 1984)

Documents

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