Chapitre 3DAutomatique

Analyse fréquentielle Buts et définition Rappels mathématiques Diagramme de Bode Cas des systèmes du 1er ordre Cas des systèmes du 2nd ordre Autres outils (Black et Nyquist)

But de l’analyse fréquentielle en SIIPour les systèmes étudiés (essentiellement mécaniques),

l’analyse fréquentielle sera utilisée pour déterminer la stabilité d’un système.

DéfinitionL’étude fréquentielle est donc l’étude en régime permanent de la réponse d’un système à une entrée sinusoïdale dont on fait varier la fréquence. Elle nécessite l’utilisation de la fonction de transfert complexe (on remplace la variable p par j.).

jKjH

1)( H(j.) est appelée fonction de

transfert en fréquence

Réponse harmonique…

).sin(.)( 0 txtx

).sin(..)( 0 txKty

)(: spériodeT )(1

: HzT

fréquencef ).(..2: 1 sradfpulsation

(deg).360

T

t )(

.2rad

T

t

Rappels mathématiques

Nombre complexe : P=x+j.y

Module :

Argument :

Opérations :

R

I

p

x

y

'';''. pppp

'';

''

p

ppp

';11

pp

xypArg arctan)(

²² yxp

Le diagramme de BodeL’outil permettant de réaliser l’étude fréquentielle est le

diagramme de Bode. Il consiste en 2 tracés :

le diagramme en gain : il permet d’obtenir le rapport d’amplitude de la sortie sur l’entrée ; c’est le module exprimé en dB du nombre complexe H(j) en fonction de la pulsation tracée sur une échelle logarithmique.

le diagramme en phase : il permet de déterminer le déphasage entre la sortie et l’entrée ; c’est l’argument du nombre complexe H(j) exprimé en degrés, en fonction de la pulsation tracée sur une échelle logarithmique.

)(log20)( 10 jHdBG

))( H(jArg

Avantage du diagramme de BodeSi :

Alors :

Et :

Ainsi les modules en dB et les arguments en degrés s’ajoutent, lorsque les fonctions de transfert se multiplient.

)().()( jGjFjH

)(log20)(log20)(log20 jGjFjH

)()()( jGArgjFArgjHArg

Diagramme de Bode d’un gain pur

Diagramme de Bode d’un intégrateur

Mise en place des diagrammes de BODE pour du 1er et 2nd ordre

Les courbes définies par les diagrammes de Bode restent très proches de leurs asymptotes, sauf près du point d’intersection des asymptotes, on peut donc les tracer en deux temps:

1.Tracé du squelette (asymptote) : la recherche du point d’intersection des asymptotes (i) est indispensable.

2.Tracé de la courbe : obtenue par le calcul de quelques points particuliers.

Cas du système du 1er ordre : Diagramme de Bode en Gain :

Recherche des asymptotes :0 : G(dB) tend vers une constante G(dB) donc vers une

droite horizontale  : G(dB) tend vers ou encore

²²1log20log201log20log201

log20)( 1010101010 KjKjKdBG

Klog20

log20log20 K log20log20 K

Puisque l’axe des abscisses est de la forme x=log , l’asymptote est une droite de la forme y=a.x+b avec une pente a=-20 et b=20log(K/)=cste

Pour les valeurs fortes de , l’asymptote est oblique de pente -20dB/décade, c’est-à-dire que le gain diminue de 20dB quand augmente d’un facteur 10.

3dB

Asymptote de pente -20dB/décade

Echelle logarithmique

G en dB

Asymptote horizontale

1/

Intersection des asymptotes:20log K=20log K-20log -20log entraîne log (.)=0 soit .=1

Cas du système du 1er ordre : Diagramme de Bode en Phase :

Recherche des asymptotes :

Intersection des asymptotes:

)tan(0)1()()1(

H(j)( ArcjArgKArgjKArgArg

0 : () =-Arctan(0)=0°

 : () -Arctan()=-90°

=i :  ()=-Arctan(1)=-45°

-45°

-90°

0°

()

Echelle logarithmique

1/

Cas du système du 1er ordre :

Pour les systèmes du 2nd ordre, 2 cas se présentent.Cas de racines réelles au dénominateur (z>1) : on retrouve le produit de deux fonctions du premier ordre étudiées précédemmentintérêt des diagrammes de Bode.

Cas du système du 2nd ordre :

Cas de racines complexes au dénominateur (z<1)

:

Cas du système du 2nd ordre :

²²²4²)²²(log20²)log(20)log(20))(log(20)( 000 zKjHdBG

0 : G(dB) tend vers une constante G(dB) donc vers une droite horizontaleKlog20

 : G(dB) tend vers log40log40log20²log20²log20log20 00 KK

est proche de 0: 2 cas peuvent se produire :

Si z 0.7 le système est mal amorti et il y a un effet de résonance c’est à dire que le gain dans ces fréquences est supérieur au gain statique

Si z 0.7, il n’y a pas de résonance et il y a continuité de comportement

Influence du facteur d’amortissement z

Pente de -40dB/décade

0r

Echelle logarithmique

G en dBFacteur de résonance

Réponse fréquentielle d’un système du 2nd ordre sans résonance (z>0,707)

Réponse fréquentielle d’un système du 2nd ordre avec résonance (z<0,707)

²12log20 zz

z 2log20

Cas du système du 2nd ordre :

0

Echelle logarithmique

()

0°

-90°

-180°

²²

2tan²²

2tan0)(0

0

0

0

zaza

0 : () =-Arctan(0)= 0°

 :() -Arctan(0-)= -180°

=0 : ()=-Arctan()= -90°

Cas du système du 2nd ordre :

Détails….Si z>0,707 alors il n’y a pas de phénomène de résonance ;

la courbe de gain se situe en dessous des asymptotes (ici z=0.9)

Détails….Si 0.707>z>0,5 alors la courbe passe en dessous du point

de cassure.(ici z=0.55)

Détails….Si z=0,5 alors la courbe passe par le point de cassure des

asymptotes

Détails….Si z<0,5 alors la courbe passe au dessus du point de

cassure (résonance)

Autres outils…Diagramme de Black

Autres outils…Diagramme de Nyquist