Analyse des circuits électriques -GPA220- Cours #11: Systèmes de deuxième ordre (2ième partie) Enseignant: Jean-Philippe Roberge Jean-Philippe Roberge

Analyse des circuits électriques

-GPA220-

Cours #11: Systèmes de deuxième ordre (2ième partie)Enseignant: Jean-Philippe Roberge

Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014

Cours #11

Retour sur le cours #10:

Système de deuxième ordre:

Circuit RLC en parallèle: réponse naturelle (cas 1)

Correction du quiz #3

Théorie du cours #11:

Système de deuxième ordre:

Circuit RLC en parallèle: réponse à l’échelon (cas 2)

Circuit RLC en série: réponse naturelle (cas 3)

Circuit RLC en série: réponse à l’échelon (cas 4)2 Jean-Philippe Roberge - Janvier 2014


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Retour sur le cours #10


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Retour sur le cours #10 (1)

Un système de deuxième ordre est un système dont la dynamique s’exprime à l’aide d’une équation où intervient la dérivée deuxième d’une variable. La forme générale:

d ax bx cx Les systèmes d’ordre 2 sont très répandus dans le domaine

du génie! Exemple:

Soit u le couple appliqué au bras afin de positionner la tête de lecture et y le déplacement angulaire qui en résulte:

u Iy by ky

Exemple et image tirés des notes de cours d’ELE3202 – École Polytechnique de Montréal



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La réponse d’un système d’ordre 2 peut prendre plusieurs formes, dépendament du taux d’amortissement:

Image tirée de:http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4f/Second_order_transfer_function.svg

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4f/Second_order_transfer_function.svg





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Solution générale d’une équation différentielle d’ordre 2, homogène, linéaire à coefficients constants:

1 21 2s t s tv t Ae A e

Pour les circuits RLC en parallèle:

2 21,2 0

0

0

(Racines)

1 (Coefficient d'amortissement)

21

(Fréquence naturelle)

= (Taux d'amortissement)

s

RC

LC



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Il existe trois types de réponses, dépendamment de la valeur du taux d’amortissement:


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Pour trouver la solution v(t) du système

de deuxième ordre, dépendament de ζ…


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1er cas: ζ>1 (réponse sur-amortie), alors les racines (s1 et s2) sont réelles et négatives. Pour trouver la valeur de A1 et de A2, il suffit alors d’utiliser les deux conditions initiales:

Or on sait que:


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2ième cas: ζ<1 (réponse sous-amortie), les racines s1 et s2 seront alors complexes:

Qui peut se ré-écrire sous la forme:

Où wd se nomme la fréquence naturelle amortie. À partir d’Euler, on obtient:

Pour trouver B1 et B2 on utilise aussi les conditions initiales:



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3ième cas: ζ=1, nous sommes dans une situation particulière qui se nomme amortissement critique. Dans cette situation unique, les racines s1 et s2 sont réelles et égales:

Pour trouver les valeurs de D1 et D2 on utilise aussi les conditions initiales:

Prenez garde à la forme!

Retour sur le cours #10 (8)Petit récapitulatif…


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Nous avons trouvé la tension entre les noeuds d’un RLC parallèle lorsque l’on déconnecte une source et que le circuit possède de l’énergie.

En connaissant v(t), on connait la dynamique du système, c’est-à-dire qu’il est alors possible de déterminer directement iL(t), iR(t) et iC(t) à partir des formules que nous avons vu précédemment (Inductance, loi d’Ohm et capacitance).

Retour sur le cours #10 (8)Petit récapitulatif…


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Sommaire de l’expression de v(t) dépendamment du taux d’amortissement ζ :

**Tiré du livre, page 299.


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Correction du quiz #3


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Cours #11

Réponse à l’échelon d’un circuit RLC parallèle (1)


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Nous avons trouvé la tension entre les noeuds d’un RLC parallèle lorsque l’on déconnecte une source et que le circuit possède de l’énergie. Étudions maintenant le cas où l’on connecte une source. Exprimez v(t) en fonction de C, R et L:

Réponse à l’échelon d’un circuit RLC parallèle (2)


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En résumé, la réponse à l’échelon n’est pas bien plus compliqué que la réponse naturelle. La réponse à l’échelon possède une forme très similaire:

Réponse naturelle d’un circuit RLC série (1)


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Exprimer v(t) en fonction des paramètres R, L et C du circuit ci-dessous:

Réponse naturelle d’un circuit RLC série (2)


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En résumé, la forme des équations est la même que dans le cas des circuits RLC parallèle:

1 21 2s t s tv t Ae A e

Excepté que pour les circuits RLC en série, α est différent:

2 21,2 0

0

0

(Racines)

(Coefficient d'amortissement) ***2

1 (Fréquence naturelle)

= (Taux d'amortissement)

s

R

L

LC

Réponse à l’échelon d’un circuit RLC série (1)


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Ce sont les mêmes équations que montrées précédement:

Références

[1] Présentations PowerPoint du cours GPA220, Vincent Duchaine, Hiver 2011

[2] NILSSON, J. W. et S.A. RIEDEL. Introductory Circuits for Electrical and Computer Engineering, Prentice Hall, 2002.

[3] Wildi, Théodore. Électrotechnique, Les presses de l’Université Laval, 3ième édition, 2001

[4] Floyd, Thomas L. Fondements d’électrotechnique, Les éditions Reynald Goulet inc., 4ième édition, 1999

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