0 Gestion de portefeuille 3-203-99 Albert Lee Chun Construction de portefeuilles: Markowitz et la frontière efficiente Séance 4 25 Sept 2008

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Gestion de portefeuilleGestion de portefeuille3-203-993-203-99

Albert Lee ChunAlbert Lee Chun

Construction de portefeuilles:

Markowitz et la frontière efficiente

Séance 4Séance 4

25 Sept 2008

Albert Lee Chun Portfolio Management 2

Plan de la séancePlan de la séance

Une petite révisionUne petite révision Portefeuille optimal des N titres risquésPortefeuille optimal des N titres risqués

- Le problème de Markowitz - Le problème de Markowitz

- La frontière efficiente- La frontière efficiente

- Le théorème des deux fonds- Le théorème des deux fonds Portefeuille optimal des N titres risqués et 1 titre sans risquePortefeuille optimal des N titres risqués et 1 titre sans risque

- Droite du marché des capitaux - Droite du marché des capitaux

- Portefeuille de marché- Portefeuille de marché

- Le théorème de séparation - Le théorème de séparation

- Différents taux d’emprunt et de placement- Différents taux d’emprunt et de placement


Une petite révisionUne petite révision


Nous avons commencé par un univers avec Nous avons commencé par un univers avec 1 titre sans risque et 1 titre risqué1 titre sans risque et 1 titre risqué


Décision de répartition du capital Décision de répartition du capital

p = 22%

Chaque investisseur se placera à un point différent sur la CAL. La proportion investie dans l’actif risqué va dépendre de l’aversion au

risque.

w*< 1 = Prêteur w*> 1 = Emprunteur.

L’allocation optimale est le point de tangence entre CAL et la fonction d’utilité de l’investisseur.

E(r)

Rf Prêteu

r

Emprunteur

EDroite de répartition du capital

(CAL)


Maximiser l’utilité de l’investisseurMaximiser l’utilité de l’investisseur

2E

fE*

A

r - )rE( = w

- )1()(

)(22

21

22

1

EfE

PP

AwrwrwE

ArEU

0)()( 2 EfE AwrrE

dw

wdU

w* est l’allocation optimale.

La solution est:


Après ça, nous avons vu un univers avec deux Après ça, nous avons vu un univers avec deux titres risquéstitres risqués


Corrélation et risqueCorrélation et risque

ρDE = +1.00

ρDE = -1.00

ρDE = + 0.50

f

gh

ij

kD

E

E(r)


Le portefeuille à variance minimale (PVM)Le portefeuille à variance minimale (PVM)

ED

E2

ED

DEE

ED2E

2D

ED2E

D +

= ) + (

) + ( =

2 + +

+ = wmin

+

0 - +

0 - = w 2

E2D

2E

2E

2D

2E

D

min

2 - +

- = w

DE2E

2D

DE2E

D

min1>1> > -1 > -1

= -1= -1

= 0= 0

= 1= 1S’il n’y pas de ventes à découvert, alors le PVM est égal à l’actif avec le minimum de

variance*. **Avec des ventes Avec des ventes à découvert,

c’est possible d’avoir 0 variance.c’est possible d’avoir 0 variance.


Le portefeuille optimal Le portefeuille optimal

P

E(r)

rf

CAL

Le proportion de capital à investir dans le

portefeuille D dépendra de l’aversion au risque

A.

DD

EE

) 2 - + ( A

) - A( + )rE( - )rE( = w

DE2E

2D

DE2EED*

D

P


Maximisez l’utilité de l’investisseurMaximisez l’utilité de l’investisseur

22

1)( PP ArEU

)()()( EEDDP rEwrEwrE

) 2 - + ( A

) - A( + )rE( - )rE( = w

DE2E

2D

DE2EED*

D

DEDD2E

2D

2D

2D

2p )w-(1w2 + )w-(1 + w =

La solution est:


Un univers avec Un univers avec 2 titres risqués et 1 titre sans risque2 titres risqués et 1 titre sans risque


Le portefeuille optimalLe portefeuille optimalest le portefeuille tangent.est le portefeuille tangent.

E(r)E(r)

CAL 1CAL 1

CAL 2CAL 2

CAL 3CAL 3

Ce portefeuille risqué est optimal pour tous les

investisseurs!

Ce portefeuille risqué est optimal pour tous les

investisseurs!

La solution optimale est le CAL qui

maximise la pente!

La solution optimale est le CAL qui

maximise la pente!

EE

DD


Les pondérations du portefeuille optimalLes pondérations du portefeuille optimal

p

fpp

r - )rE( = S

)()1()()( EDDDP rEwrEwrE

DEDD2E

2D

2D

2D

2p )w-(1w2 + )w-(1 + w =

*D

*E

DEfEfD2DfE

2EfD

DEfE2EfD

D

ww

rrEr rE rrE+ r rE

rrE-rrE = w

1

*

La solution est:

Trouvez le CAL qui maximise la pente.


Le portefeuille optimalLe portefeuille optimal

P

E(r)

rf

CAL

2P

fP*

A

r - )E(r = w

Le proportion de capital à investir dans le

portefeuille risqué P dépendra de l’aversion

au risque A.

DD

EE

w*<1

w*

>1

Prêteur

Emprunteur


Maintenant, imaginez un univers avec une Maintenant, imaginez un univers avec une multitude de titres risquésmultitude de titres risqués


Harry MarkowitzHarry Markowitz

1990 : Prix Nobel d’économie

Pour avoir développé la théorie de la diversification efficiente des portefeuilles.

The multidimensional problem of investing under conditions of uncertainty in a large

number of assets, each with different characteristics, may be reduced to the issue of a trade-off between only two dimensions, namely

the expected return and the variance of the return of the portfolio.


Frontière efficiente de MarkowitzFrontière efficiente de Markowitz

port

)E(R port

D

E

Frontière efficiente

σ*

µ*


Le problème de Markowitz ILe problème de Markowitz I

ii

N

iwp rEwrEMax

i

1

N

i

N

jpijji ww

1 1

*2

N

iiw

1

1

Soumis à la contrainte

de:

Le maximum de rendement avec la contrainte de la variance du portefeuille égalera le niveau de risque cible.

La somme de la pondération égale

à 1


Le problème de Markowitz IILe problème de Markowitz II

N

i

N

jijjip

w

wwMini 1 1

2

N

ipii rErEw

1

*)()(

N

iiw

1

1

Soumis à la contrainte

de:

Le minimum de variance avec la contrainte du rendement du portefeuille égalera le niveau de rendement cible.

La somme de la pondération égale

à 1


Est-ce que le risque d’un seule titre est Est-ce que le risque d’un seule titre est important?important?

Est-ce qu’un titre qui a un grand risque demande une Est-ce qu’un titre qui a un grand risque demande une prime de risque élevéeprime de risque élevée??

Le modèle de Markowitz démontre qu’un risque Le modèle de Markowitz démontre qu’un risque idiosyncrasique n’est pas importantidiosyncrasique n’est pas important par rapport à la par rapport à la contribution de cet actif dans l’ensemble du contribution de cet actif dans l’ensemble du portefeuille. portefeuille.

Mais le modèle de Markowitz n’explique pas Mais le modèle de Markowitz n’explique pas comment les rendements sont déterminés.comment les rendements sont déterminés.


Citation de MarkowitzCitation de Markowitz

So about five minutes into my defense, Friedman says, well So about five minutes into my defense, Friedman says, well Harry I’ve read this. I don’t find any mistakes in the math, but Harry I’ve read this. I don’t find any mistakes in the math, but this is not a dissertation in economics, and we cannot give you this is not a dissertation in economics, and we cannot give you a PhD in economics for a dissertation that is not in economics. a PhD in economics for a dissertation that is not in economics. He kept repeating that for the next hour and a half. My palms He kept repeating that for the next hour and a half. My palms began to sweat. At one point he says, you have a problem. began to sweat. At one point he says, you have a problem. It’s not economics, it’s not mathematics, it’s not business It’s not economics, it’s not mathematics, it’s not business administration, and Professor Marschak said, “It’s not administration, and Professor Marschak said, “It’s not literature”. So after about an hour and a half of that, they send literature”. So after about an hour and a half of that, they send me out to the hall, and about five minutes later Marschak came me out to the hall, and about five minutes later Marschak came out and said congratulations Dr. Markowitz. out and said congratulations Dr. Markowitz.


Le théorème des deux fondsLe théorème des deux fonds

port

)E(rport

A

B

Fait intéressant: N`importe quelle combinaison de 2

portfeuilles efficients générera la courbe de frontière efficiente!

Chaque point de la frontière efficiente

est une combinaison de portfeuilles

efficients A et B, A et C, C et D, etc

C

D


Imaginez un univers avec une multitude de Imaginez un univers avec une multitude de titres risqués et 1 titre sans risquetitres risqués et 1 titre sans risque


Droite du marché des capitauxDroite du marché des capitaux

port

)E(rport

rfD

E

Droite du marché des

capitauxCML maximise

la

pente.

Portefeu

ille

tangen

t

M

*D

*E

DEfEfD2DfE

2EfD

DEfE2EfD

D

ww

rrEr rE rrE+ r rE

rrE-rrE = w

1

*


ThéorèmeThéorème de de séparationséparation de Tobin de Tobin

Dans un article de 1958, James Tobin a dit que si on a un Dans un article de 1958, James Tobin a dit que si on a un portefeuille risqué, et que si on peut emprunter et prêter au même portefeuille risqué, et que si on peut emprunter et prêter au même taux, la frontière efficiente est une combinaison de portefeuille de taux, la frontière efficiente est une combinaison de portefeuille de marché et d’un actif sans risque.marché et d’un actif sans risque.

Le théorème de séparation dit qu’on peut diviser le problème de Le théorème de séparation dit qu’on peut diviser le problème de choix du portefeuille optimal en 2 parties. choix du portefeuille optimal en 2 parties.

Premièrement, on peut déterminer le portefeuille risqué de Premièrement, on peut déterminer le portefeuille risqué de tangence. Ce portefeuille est optimal pour les investisseurs quelle tangence. Ce portefeuille est optimal pour les investisseurs quelle que soit leur aversion au risque. C’est la décision d’investissement.que soit leur aversion au risque. C’est la décision d’investissement.

Deuxièmement, la répartition du capital entre l’actif sans risque et Deuxièmement, la répartition du capital entre l’actif sans risque et le portefeuille de tangence est la décision de financement, laquelle le portefeuille de tangence est la décision de financement, laquelle dépend de l’attitude de l’investisseur par rapport au risque.dépend de l’attitude de l’investisseur par rapport au risque.


Portefeuille de marchéPortefeuille de marché

port

)E(rport

M

D

EM

Droite du marché

des capitaux

rf

Portefeu

ille

de marc

hé

Tobin a ensuite démontré que s’il y a un portefeuille tangent et un actif sans risque, qui permet d’emprunter et de prêter au même taux, le

portefeuille de tangence équivaut au portefeuille de marché.


ThéorèmeThéorème de de séparation de Tobinséparation de Tobin

port

)E(rport

M

Droite du marché

des capitaux

rf

Séparation de la décision

d’investissement de la décision de

financement.

Prêteur

Emprunteur


Qui détient le portefeuille de marché?Qui détient le portefeuille de marché?

port

)E(rport

M

Droite du marché

des capitaux

rf

2M

fMM

2M

fM*

r - )rE(A

A

r - )rE( = w

1Prêteur

A>AM

Emprunteur

A<AM

A=AM


Remarquez qu’on a réduit la complexité de Remarquez qu’on a réduit la complexité de cet univers à 2 pointscet univers à 2 points


Seulement un taux de placementSeulement un taux de placement

rL

Prêteur

ML

2M

LMM

L

LL r - )rE(

A

Le niveau d’aversion au risque minimum à partir

duquel on veut investir au taux sans risque.

port

)E(rport


Frontière efficienteFrontière efficiente

port

)E(rport

rL

Prêteur

Le portfeuille de

marché peut être

n’importe où ici


Différents taux d’emprunt et de placementDifférents taux d’emprunt et de placement

port

)E(rport

rL

rB Prêteur

Emprunteur

ML

MB

Albert Lee Chun Portfolio Management

MB

34

Qui sont les prêteur et les emprunteurs?Qui sont les prêteur et les emprunteurs?

rL

rB Prêteur

Emprunteur

2M

LMM

L

LL r - )rE(

A

2M

BMM

B

BB r - )rE(

A ML

A>AML

A<AMB

)E(rport

port


MB

35

Qui sont les prêteur et les emprunteurs?Qui sont les prêteur et les emprunteurs?

rL

rB Prêteur

Emprunteur

ML

A>AML

A<AMB

)E(rport

port1

2M

LML

*

L

L

A

r - )rE( w

1 2

M

BMB

*

B

B

A

r - )rE( w


MB

36

Qui détient seulement un portefeuille risquéQui détient seulement un portefeuille risqué??

rL

rB Prêteur

Emprunteur

ML

A>AML

A<AMB

)E(rport

port

AMB <A<AML

) 2 - + ( A

) - A( + )rE( - )rE( = w

LBLB

LBLLB

B

MM2M

2M

MM2MMM*

M


MD

37

Frontière efficienteFrontière efficiente

rL

rB Prêteur

Emprunteur

ML

A>AML

A<AMB

)E(rport

port

AMB <A<AML


Ou est le portfeuille de marché?Ou est le portfeuille de marché?

port

)E(rport

rf

Le portfeuille de

marché peut être

n’importe où ici

rB


Pour la semaine prochainePour la semaine prochaine

La semaine prochaine on vaLa semaine prochaine on va

- faire quelques exemples, à la fois numériques et dans - faire quelques exemples, à la fois numériques et dans Excel.Excel.

- discuter de l'appendice A sur la diversification.discuter de l'appendice A sur la diversification.- discuter de l’article dans recueil.discuter de l’article dans recueil.- finir de parler du chapitre 7 et commencer à parler du finir de parler du chapitre 7 et commencer à parler du

modèle d’évaluation des actifs financiers.modèle d’évaluation des actifs financiers.

39


Le pouvoir de diversifierLe pouvoir de diversifier

L’écart type de rendement

Nombre d’actions dans le portefeuille

L’`écart type de marché (risque systématique)

Risque systématique

Risque total

Risque non systématique (idiosyncratique, diversifié)

90% des bénéfices de la diversification des actions

obtenues après 12-18 actions.

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