0 Gestion de Portefeuille 3-203-99 Albert Lee Chun Les modèles indiciels et multifactoriels Séance 7 6 nov 2008

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Gestion de PortefeuilleGestion de Portefeuille3-203-993-203-99

Albert Lee ChunAlbert Lee Chun

Les modèles indiciels et Les modèles indiciels et multifactoriels multifactoriels

Séance 7Séance 7

6 nov 2008

Albert Lee Chun Portfolio Management 2

Plan de la séancePlan de la séance

Modèle unifactorielModèle unifactoriel

Modèle multifactorielModèle multifactoriel

Modèle de Fama-French Modèle de Fama-French

Modèle APTModèle APT


AlphaAlpha


• Supposons qu’un actif a un Supposons qu’un actif a un et une espérance de et une espérance de rendement de 17%. Selon le MEDAF, nous avons une rendement de 17%. Selon le MEDAF, nous avons une espérance de rendement de 14,8%.espérance de rendement de 14,8%.

• Le rendement offert par rapport au risque est donc trop Le rendement offert par rapport au risque est donc trop élevé : 17% > 14,8%. L’actif est donc sous-évalué.élevé : 17% > 14,8%. L’actif est donc sous-évalué.

• AlphaAlpha est égale à 17% - 14,8% = 2,2% est égale à 17% - 14,8% = 2,2%• Mais, selon le MEDAF alpha devrait être de 0.Mais, selon le MEDAF alpha devrait être de 0.

AlphaAlpha

8-48-4


La fréquence de distribution des alphasLa fréquence de distribution des alphas

8-58-5


Le MEDAF et la réalitéLe MEDAF et la réalité

• Le MEDAF dit que alpha doit toujours être égal à zéro. Le MEDAF dit que alpha doit toujours être égal à zéro. Est-ce vrai?Est-ce vrai?• C’est n’est pas parfait mais c’est un des meilleurs

modèles disponibles. • Pouvons-nous évaluer le MEDAF?Pouvons-nous évaluer le MEDAF?

• On doit identifier des proxy du portefeuille de marché.• Le MEDAF est toujours considéré comme un bon modèle

d’évaluation des actifs et il est couramment utilisé.

8-68-6



• Le rendement des actifs provient de deux sources:Le rendement des actifs provient de deux sources:

1) Facteur macro-économique commun

- PIB (produit intérieur brut)

- Taux d’intérêt

- Etc.…

2) Facteur spécifique à une entreprise

9-79-7

iiii eFrEr )(


ßßii = sensibilité du rendement de l’actif i au facteur F = sensibilité du rendement de l’actif i au facteur F

F = le seul facteur F = le seul facteur communcommun; F est imprévisible et est ; F est imprévisible et est lié au rendement des actifslié au rendement des actifs


iiii eFrEr )(

Supposons: un indice de marché comme le S&P/TSX est le facteur commun F.

9-89-8


Équation de régression: Équation de régression: Modèle à indice Modèle à indice uniqueunique

ifMiifi e)rr()rr(

i = alpha

i(rM-ri) = la composante du rendement expliquée par la fluctuation des marchés (risque systématique)

ei = la composante du rendement liée aux événements spécifiques de la firme (risque non systématique)

9-99-9


Prime de risquePrime de risque

Avec: Ri = (ri - rf)

Rm = (rm - rf)

9-109-10

Ri = i + ßiRm + ei

En substituant les primes de risque :En substituant les primes de risque :

Modèle à indice unique = «single index model»


ii2 2 = variance totale= variance totale

ii22 mm

22 = variance systématique= variance systématique

22(e(eii)) = variance non-systématique= variance non-systématique

Mesure des composantes du risque :Mesure des composantes du risque :

)e( i22

M2i

2i

9-119-11


Les modèle indicielsLes modèle indiciels et la diversification : et la diversification :

)(

1

1

1

2222

1

1

1

PMP

N

iPP

N

iPP

N

iPP

PPPP

e

eNe

N

N

eR

p

9-129-12


La Variance d’un portefeuille :La Variance d’un portefeuille :

9-139-13


Security Characteristic LineSecurity Characteristic Line

Rendement Excédentaire (i)SCL

..

..

.... ..

..

.. ..

.. .. ..

.. ..

..

.. ..

......

..

..

..

....

......

....

..

....

....

..

.. ..

..

.. ..

..

.. ...... ..

.. .... ..Rendement excédentaireau marché

Ri = i + ßiRm + ei

9-149-14




Plus d’un facteur ?Plus d’un facteur ?

Le MEDAF est un modèle à facteur unique: le risque Le MEDAF est un modèle à facteur unique: le risque systématique du marché est le seul facteur qui affecte systématique du marché est le seul facteur qui affecte l’espérance de rendement. l’espérance de rendement.

Et s’il y avait plusieurs facteurs qui déterminaient le Et s’il y avait plusieurs facteurs qui déterminaient le rendement ?rendement ?

Les modèles multifactoriels permettent l’inclusion de Les modèles multifactoriels permettent l’inclusion de plusieurs sources de risque et donc plusieurs sources de risque et donc plusieurs facteurs plusieurs facteurs de risquede risque. .



• Utilisons d’autres facteurs en plus du rendement du Utilisons d’autres facteurs en plus du rendement du marché:marché:

– Exemples : production industrielle, indice à la consommation, inflation, etc.

– Nous devons estimer un Béta ou paramètre de sensibilité pour chaque facteur en utilisant des régressions linéaires

9-179-17


Exemple du modèle multifactorielExemple du modèle multifactoriel

RRi i = E(r= E(rii) + Béta) + BétaPIBPIB (PIB) + Béta (PIB) + BétaTITI (IR) + e (IR) + eii

RRi i = Rendement de l’actif i= Rendement de l’actif i

BétaBétaPIBPIB= Facteur de sensibilité au PIB = Facteur de sensibilité au PIB

BétaBétaTI TI = Facteur de sensibilité au Taux d’Intérêt = Facteur de sensibilité au Taux d’Intérêt

eei i = = événements spécifiques de la firme

9-189-18


Multifacteur Multifacteur SMLSML

E(r) = rf + PIBPRPIB + TIPRTI

PIB = Facteur de sensibilité au PIB Facteur de sensibilité au PIB

RPPIB = Prime de Risque liée au PIB

TI = Facteur de sensibilité au Taux d’Intérêt Facteur de sensibilité au Taux d’Intérêt

RPTI = Prime de Risque liée au TI

9-199-19



Le MEDAF dit qu’un unique facteur, et Bèta Le MEDAF dit qu’un unique facteur, et Bèta détermine le rendement excédentaire du portefeuille détermine le rendement excédentaire du portefeuille vis-à-vis du marché vis-à-vis du marché

Supposons toutefois qu’il y a d’autres facteurs qui Supposons toutefois qu’il y a d’autres facteurs qui sont tout aussi importants pour déterminer les sont tout aussi importants pour déterminer les rendements du portefeuille. rendements du portefeuille.

L’ajout de ces facteurs additionnels nous permettrait L’ajout de ces facteurs additionnels nous permettrait d’améliorer la précision de notre modèle d’améliorer la précision de notre modèle

La méthode la plus connue est celle de Gene Fama et La méthode la plus connue est celle de Gene Fama et de Ken French: le modèle a trois facteurs. de Ken French: le modèle a trois facteurs.


Fama French modèle à 3 facteursFama French modèle à 3 facteurs


Le Modèle de Fama et FrenchLe Modèle de Fama et French

Fama et French ont remarqué que deux types Fama et French ont remarqué que deux types d’actions avaient tendances à surperformer le d’actions avaient tendances à surperformer le marché:marché:

(i) petite capitalisation (i) petite capitalisation

(ii) (ii) high book-to-market ratiohigh book-to-market ratio



Action de petite capitalisation surperforme :Action de petite capitalisation surperforme :


Fama-French modèle à 3 facteursFama-French modèle à 3 facteurs

Ils ont rajouté ces deux facteurs au MEDAF traditionnel : Ils ont rajouté ces deux facteurs au MEDAF traditionnel :

SMB = “Petite (capitalisation) – Grosse (capitalisation) ” SMB = “Petite (capitalisation) – Grosse (capitalisation) ”

""TailleTaille" : On parle ici du rendement des petites capitalisations moins " : On parle ici du rendement des petites capitalisations moins celui des grosses capitalisations. Quand les petites capitalisations celui des grosses capitalisations. Quand les petites capitalisations performent bien relativement aux grosses, le facteur sera positif. performent bien relativement aux grosses, le facteur sera positif. L’inverse est aussi vrai. L’inverse est aussi vrai.

HML = “HML = “high [book/market] minus low high [book/market] minus low ””

""ValeurValeur ” : C’est le rendement des actions de ‘’valeurs’’ moins le ” : C’est le rendement des actions de ‘’valeurs’’ moins le rendement des actions ‘’croissance.’ (positif ou négatif).rendement des actions ‘’croissance.’ (positif ou négatif).

titititftmiitf ti HMLbSMBbrRb = rR ,32,,1,, )(

Le modèle de Fama et French explique 90% des rendements des actions


Théorie des prix d’arbitrage (APT)Théorie des prix d’arbitrage (APT)Arbitrage PricingTheory Arbitrage PricingTheory


APTAPT

Ross (1976): modèle intuitif, peu Ross (1976): modèle intuitif, peu d’hypothèses et prend en compte d’hypothèses et prend en compte plusieurs sources de risque plusieurs sources de risque

Hypothèses :Hypothèses :

1.1. Il y a un nombre suffisant d’actifs pour éliminer toute Il y a un nombre suffisant d’actifs pour éliminer toute source de risque diversifiable.source de risque diversifiable.

2.2. Le rendement des actifs est fonction de K différent Le rendement des actifs est fonction de K différent facteur de risque facteur de risque

3.3. Il n’y a pas de possibilité d’arbitrageIl n’y a pas de possibilité d’arbitrage


APTAPT

APT n’a pas besoin des APT n’a pas besoin des hypothèseshypothèses suivantes du suivantes du MEDAF : MEDAF :

1.1. Les investisseurs cherchent à optimiser leur Les investisseurs cherchent à optimiser leur rendement pour tout niveau de risque (Markowitz)rendement pour tout niveau de risque (Markowitz)

2.2. Les rendements sont normalement distribuésLes rendements sont normalement distribués

3.3. Le portefeuille de marché contient tous les actifs Le portefeuille de marché contient tous les actifs risqués et il est efficient (risque-rendement optimal)risqués et il est efficient (risque-rendement optimal)


APT & les portefeuilles bien diversifiésAPT & les portefeuilles bien diversifiés

F est un facteur communF est un facteur commun Pour un portefeuille bien diversifié, le risque Pour un portefeuille bien diversifié, le risque

diversifiable est près de 0diversifiable est près de 0

PPPP eF)r(Er

9-299-29


Le Rendement comme une Fonction du Facteur SystématiqueLe Rendement comme une Fonction du Facteur Systématique

9-309-30

Portefeuille bien diversifié

Action individuelle


Le Rendement comme une Fonction du Le Rendement comme une Fonction du Facteur Systématique : une opportunité Facteur Systématique : une opportunité

d’arbitraged’arbitrage

9-319-31


E(r)%

Béta de F

10

76

RF = 4

AD

C

.5 1.0

Exemple : une opportunité d’arbitrageune opportunité d’arbitrage

9-329-32

Les primes de risque doivent être proportionnelles àà BétaBéta!


Exemple : un déséquilibreExemple : un déséquilibre

• Vendre à découvert le portefeuille Vendre à découvert le portefeuille CC, avec Béta = .5, avec Béta = .5• Utiliser les fonds pour construire un portefeuille Utiliser les fonds pour construire un portefeuille à

rendement plus élevé mais avec un risque rendement plus élevé mais avec un risque équivalent : Portefeuille équivalent : Portefeuille DD• D = .5x A + .5 x Actif Sans-Risque• D a un Béta Béta = .5

• Opportunité d’arbitrage: profit sans risque de 1%Opportunité d’arbitrage: profit sans risque de 1%

9-339-33

Les primes de risque doivent être proportionnelles àà BétaBéta !


APT APT Security Market LineSecurity Market Line

)()( rfRmrfrE PP

Les primes de risque doivent être proportionnelles àà BétaBéta !

Cèst MEDAF!


• APT s’utilise dans le cas d’un portefeuille bien diversifié, pas APT s’utilise dans le cas d’un portefeuille bien diversifié, pas nécessairement pour des actions individuelles (MEDAF)nécessairement pour des actions individuelles (MEDAF)

• Avec le APT, il est possible que des actions prises Avec le APT, il est possible que des actions prises individuellement ne soit pas sur la individuellement ne soit pas sur la SMLSML

• APT est plus général, il nous permet de modeler une relation APT est plus général, il nous permet de modeler une relation entre l’espérance de rendement et le béta sans faire la entre l’espérance de rendement et le béta sans faire la supposition de l’existence d’un portefeuille de marchésupposition de l’existence d’un portefeuille de marché

• APT peut être élargi APT peut être élargi à des modèles multifactoriels des modèles multifactoriels

APT vs MEDAFAPT vs MEDAF

9-359-35


Un APT multifactorielleUn APT multifactorielle

• Un Un Portefeuille de facteur Portefeuille de facteur est un portefeuille est un portefeuille construit d’une façon qu’il aurait un béta = 1 sur construit d’une façon qu’il aurait un béta = 1 sur un facteur en particulier et des Bétas = 0 sur tout un facteur en particulier et des Bétas = 0 sur tout les autres facteursles autres facteurs

• Ces Ces Portefeuilles de Facteur Portefeuilles de Facteur sont les bases d’une sont les bases d’une ligne de marché d’actifs multifactoriels dans une ligne de marché d’actifs multifactoriels dans une économie avec plusieurs sources de risque.économie avec plusieurs sources de risque.

9-369-36


Où devrions-nous chercher les facteurs?Où devrions-nous chercher les facteurs?

• Le modèle APT nous donne aucune indication sur Le modèle APT nous donne aucune indication sur quel facteur utiliser ou ne pas utiliserquel facteur utiliser ou ne pas utiliser

• Chen, Roll et Ross :Chen, Roll et Ross :– Le rendement est fonction de plusieurs variables

macroéconomique et variables extraites du marché des obligations au lieu des rendements du marché

• Fama and FrenchFama and French• Le rendement est fonction de la taille et du book-

to-market value ainsi que les rendements du marché

9-379-37


En théorie, l’APT suppose un procédé stochastique qui génère des rendements et qui En théorie, l’APT suppose un procédé stochastique qui génère des rendements et qui peut être représenté par un modèle a K facteur : peut être représenté par un modèle a K facteur :

Où :Où : RRii = rendement d’une période sur l’actif = rendement d’une période sur l’actif ii, , ii= 1,2,3…,n= 1,2,3…,n E(Ri) E(Ri) = espérance de rendement de l’actif i = espérance de rendement de l’actif i

= sensibilité du rendement de la i eme action au j eme facteur de risque= sensibilité du rendement de la i eme action au j eme facteur de risque

= j eme facteur de risque= j eme facteur de risque

= comprend le risque unique spécifique a l’action i= comprend le risque unique spécifique a l’action i

Comme dans le MEDAF, l’APT assume que le risque diversifiable disparaît dans un Comme dans le MEDAF, l’APT assume que le risque diversifiable disparaît dans un portefeuille avec plusieurs actifs.portefeuille avec plusieurs actifs.

Modèle de FacteursModèle de Facteurs généralisé généralisé

niFBFBFB RiE = Ri ikikii ...1 ...)( 2211

ijB

jF

i


Un APT multifactorielUn APT multifactoriel

))((...).)2(())1(()( 21 rfRkE BrfREBrfREBRiE ikiirf

Modèle APT

L’espérance de rendement d’un actif dépend du produit des L’espérance de rendement d’un actif dépend du produit des primes de risque et des béta (ou Factor Loading)primes de risque et des béta (ou Factor Loading)

E(Ri) – rf est le prime de risque du i eme E(Ri) – rf est le prime de risque du i eme portefeuille de facteur ..


Exemple d’un problème de APTExemple d’un problème de APT

Supposons que le marché des actions d’une grande Supposons que le marché des actions d’une grande économie est décrit par 3 sources de risque: A, B et Céconomie est décrit par 3 sources de risque: A, B et C

Facteur Facteur Prime de Risque Prime de Risque

AA .06.06

BB .04.04

CC .02.02



Supposons que le rendement de L’Usine de Supposons que le rendement de L’Usine de Champignon de Maggy est donné par l’équation Champignon de Maggy est donné par l’équation suivante et l’espérance de rendement suivante et l’espérance de rendement 17%.17%.

r(t) = r(t) = .17.17 + 1.0 x A + .75 x B + .05 x C + error(t) + 1.0 x A + .75 x B + .05 x C + error(t)



Le taux sans risque est de Le taux sans risque est de 6%6%

1.Trouver l’espérance de rendement de l’usine de 1.Trouver l’espérance de rendement de l’usine de champignon en utilisant l’APTchampignon en utilisant l’APT

2. L’action est-elle sous ou sur évaluée et pourquoi ?2. L’action est-elle sous ou sur évaluée et pourquoi ?



FacteurFacteur Prime de risquePrime de risque

AA .06.06

BB .04.04

CC .02.02

Taux sans risque = Taux sans risque = 6%6%

Rendement (t) = Rendement (t) = .17.17 + + 1.01.0*A + *A + 0.750.75*B + .*B + .0505*C + e(t)*C + e(t)

Les facteurs de sensibilités sont en Les facteurs de sensibilités sont en vertvert



FacteurFacteur Prime de Risque Prime de Risque

AA .06.06

BB .04.04

CC .02.02

Taux sans risque = Taux sans risque = 6%6%

Rendement = Rendement = .17.17 + + 1.01.0*A + *A + 0.750.75*B + .05*C + e*B + .05*C + e

Substitué la prime de risque dans la formule de APTSubstitué la prime de risque dans la formule de APT

E[Ri] = E[Ri] = .06.06 + + 1.01.0**0.060.06++0.750.75**0.040.04++0.050.05**0.020.02 = .151 = .151

15.1% < 15.1% < 17%17% => Sous-évalué! => Sous-évalué!

Albert Lee Chun Portfolio Management

Rappel rapide : Rappel rapide :

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Sous-évalué = Prix trop bas = Rendement trop hautSous-évalué = Prix trop bas = Rendement trop haut Surévalué = Prix trop haut = Rendement trop basSurévalué = Prix trop haut = Rendement trop bas

P(t) = P(t+1)/ 1+ rP(t) = P(t+1)/ 1+ r

r = P(t+1)/P(t) – 1 r = P(t+1)/P(t) – 1

où r est le rendement pour un profit risqué P(t+1).où r est le rendement pour un profit risqué P(t+1).

Ceci est facile à se rappeler si vous pensez à la relation inverse Ceci est facile à se rappeler si vous pensez à la relation inverse entre le prix (valeur) aujourd’hui et le rendement.entre le prix (valeur) aujourd’hui et le rendement.


Exemple 9.3 et 9.4Exemple 9.3 et 9.4

46

PPortefeuille de facteur 1: E(R1) = 10%PPortefeuille de facteur 2: E(R2) = 12%

Rf = 4%

Portefeuille A avec B1 = .5 et B2 = .75

Portefeuille QPonderation B1 = .5: facteur portefeuille 1

Ponderation B2 = .75 : facteur portefeuille 2Ponderation 1- B1 – B2 = -.25: rf

E(Rq) = B1E(R1) + B2 E(R2) + (1-B1-B2) Rf= rf + B1(E(R1) –rf )+ B2(E(R2) – rf) =13%


Exemple 9.4Exemple 9.4

47

Supposons que: E(RA) = 12% < 13%

Portefeuille QPonderation B1 = .5: facteur portefeuille 1Ponderation B2 = .75: facteur portefeuille 2

Ponderation 1- B1 – B2 = -.25 : rfE(Rq ) = 12%

$1 x E(Rq) - $1x E(RA)=1%

•Opportunité d’arbitrage: profit

sans risque de 1%!


Pour la semaine prochainePour la semaine prochaine

Nous allons continuer la lecture du chapitre 12Nous allons continuer la lecture du chapitre 12 Efficience des marchés (Chapitre 10; Section 11.1)Efficience des marchés (Chapitre 10; Section 11.1)

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