02 Mathématiques financières des obligations Lectures Fabozzi, ch. 2-3 Exercices suggérés Fabozzi, ch. 2: 1-4, 7- 11, 13 Fabozzi, ch. 3: 1-3, 7, 9, 12-16

02 Mathématiques financières des obligations

Lectures Fabozzi, ch. 2-3

Exercices suggérésFabozzi, ch. 2: 1-4, 7-11, 13Fabozzi, ch. 3: 1-3, 7, 9, 12-16

GSF-3100 – Marché des capitaux


© Stéphane Chrétien

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Agenda de la section

• Définition et notation des taux d’intérêt• Capitalisation et actualisation• Prix d’une obligation• Intérêt couru et cote• Taux de rendement• Relations importantes• Rendement réalisé



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Taux d’intérêt effectif par période

• Notation: r

• Définition: Ratio du montant d’intérêt I gagné durant une période sur la somme (ou principal) investie P0 au début de cette période.

• Ainsi: I = P0·r

• r est le taux d’intérêt « effectivement » reçu sur un investissement.

• Le taux d’intérêt effectif est le taux qu’il faut toujours utiliser dans les calculs d’actualisation et de capitalisation.



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Taux d’intérêt nominal par période

• Notation: (i ; m)• m: Nombre de périodes de capitalisation (par période).

• Définition: Taux indiquant que le taux d’intérêt effectif est de r = i/m par période de capitalisation.

• Le taux d’intérêt nominal est souvent le taux affiché ou publicisé sur un investissement.

• Il ne doit pas être utilisé dans les calculs d’actualisation et de capitalisation.



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Équivalence de taux

• Les taux sont exprimés sur différentes bases: • Effectif ou nominal;• Bisannuel (sur deux ans), annuel, semestriel, trimestriel, mensuel, hebdomadaire, quotidien, etc.

• Quatre cas possibles d’équivalence:1- Un taux effectif en un taux effectif;2- Un taux nominal en un taux effectif;3- Un taux effectif en un taux nominal; 4- Un taux nominal en un taux nominal.



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Cas 1: Taux effectif en taux effectif

• Exemple: Trouver le taux effectif mensuel équivalent à un taux effectif annuel de 12 %.

1) Trouver le nombre de fois où la période du taux donné se produit dans la période du taux cherché:

• Réponse: 1/12

2) Déterminer le taux cherché en capitalisant le taux donné par le nombre de fois trouvé en 1):

• Réponse finale: (1+0,12)(1/12)-1 = 0,948 %



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Cas 2: Taux nominal en taux effectif

• Exemple: Trouver le taux effectif quotidien équivalent à un taux nominal semestriel de 3 % capitalisé mensuellement.

1) Trouver le taux effectif périodique correspondant au taux nominal donné:

• Réponse: 0,03/6 = 0,5 %

2) Déterminer le taux effectif cherché en suivant les étapes du Cas 1:

• Réponse finale: (1+0,005)(12/365)-1=0,0164 %



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Cas 3: Taux effectif en taux nominal

• Exemple: Trouver le taux nominal bisannuel capitalisé annuellement équivalent à un taux effectif trimestriel de 2 %.

1) Trouver le taux effectif correspondant à la période de capitalisation du taux nominal cherché en suivant les étapes du Cas 1:

• Réponse: (1+0,02)(4)-1 = 8,243 %2) Multiplier le taux trouvé en 1) par le nombre de fois où la période de capitalisation se produit dans la période du taux nominal cherché:

• Réponse finale: 8,243 %×2 = 16,486 %



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Cas 4: Taux nominal en taux nominal

• Exemple: Trouver le taux nominal annuel capitalisé semestriellement équivalent à un taux nominal mensuel de 1 % capitalisé trimestriellement.

1) Trouver le taux effectif périodique correspondant au taux nominal donné:

• Réponse: 0,01/(1/3) = 3 %

2) Déterminer le taux nominal cherché en suivant les étapes du Cas 3:

• Réponse finale: [(1+0,03)(2)-1]×2 = 12,18 %



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En général

• Trouver un taux effectif à partir d’un autre taux effectif: r1 = (1+r2)(u/v)-1

• Où r1 est le taux effectif par u périodes équivalent au taux r2 effectif par v périodes.

• Trouver un taux effectif périodique correspondant à un taux nominal donné: r = i / m

• Trouver un taux nominal à partir d’un taux effectif correspondant à la période de capitalisation: i = r × m



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Exception: Capitalisation continue

• Exemple: Trouver le taux nominal annuel capitalisé continuellement équivalent à un taux effectif annuel de 12 %.

• Réponse: ln(1+0,12) = 11,333 %

• Exemple: Trouver le taux effectif annuel équivalent à un taux nominal annuel de 12 % capitalisé continuellement.

• Réponse: e(0,12)-1 = (2,71828)(0,12)-1 = 12,75 %



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Exercices

• 1- Trouver le taux effectif mensuel équivalent à un taux nominal annuel de 11 % capitalisé en continu.

• Réponse: 0,92088 %

• 2- Trouver le taux nominal bisannuel capitalisé semestriellement équivalent à un taux nominal semestriel de 5 % capitalisé trimestriellement.

• Réponse: 20,25 %

• Des exercices supplémentaires se trouvent dans le fichier « Exercices – Équivalence de taux.pdf » disponible sur le site web de la Section 2.



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Capitalisation et actualisation

• Valeur future VFn (ou Pn):

• La valeur accumulée d’une somme P0 investie aujourd’hui pour une durée de n périodes à un taux d’intérêt effectif r par période est égale à VFn = P0·(1+r)n.

• Valeur présente VP (ou PV):• La valeur que l’on devrait investir aujourd’hui à un taux d’intérêt effectif r par période afin d’obtenir une somme VFn dans n périodes est égale à VP = VFn·(1+r)-n.



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Annuité

• Annuité: Série de n paiements périodiques égaux A.

• Valeur future:

Valeur exactement à la date du dernier paiement.

• Valeur présente:

Valeur exactement une période avant la date du premier paiement.



1 - )+(1

=

r

rAVF

n

n

0

1 (1+ )=

nrVP A

r

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Annuité (suite)

• Valeur future entre deux paiements (à n+k, où k est la fraction de période écoulée depuis le dernier versement):

• Valeur présente entre deux paiements (à k):



kn

kn rr

- +rAVF )1(

1)1( =

kn

k rr

rAVP )1(

)+(11 =

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Exercices (suite)

• 3- Trouver la valeur future d’une annuité de 12 paiements mensuels de 1 $ si le taux nominal annuel capitalisé mensuellement est de 10 %.

• Réponse: 12,5656 $

• 4- Trouver la valeur présente d’une annuité de 10 paiements semestriels de 1 $ en supposant que le taux nominal annuel capitalisé trimestriellement est de 12 % et que le premier paiement aura lieu dans deux mois.

• Réponse: 7,623415 $



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Prix d’une obligation

• Le prix d’un actif financier est égal à la valeur présente de ses flux monétaires espérés:

→ Estimer les flux monétaires;→ Choisir le taux d’actualisation approprié (reflétant le risque).

• Pour une obligation, les flux monétaires sont connus:

• Coupons périodiques C;• Valeur nominale à l’échéance M (maturity value).



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Prix d’une obligation (suite)

• Prix d’une obligation (régulière):

• Prix d’une obligation à escompte pure (C=0):

• Prix d’une obligation perpétuelle (n→∞):



nn

rMr

rCP

)1(

)(11 =0

rCP / =0

nrMP )1(=0

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Taux de coupon et coupon

• Le taux de coupon TC est un taux nominal. Le taux effectif (périodique) est déterminé en divisant le taux de coupon par le nombre m de coupons par période de référence.

• Le coupon C (en $) est trouvé en multipliant le taux de coupon effectif par la valeur nominale.

• Exemple: Un taux de coupon de 6 % annuel payable deux fois par année correspond à un taux de coupon effectif de 3 %. Une obligation ayant une valeur nominale de 1000 $ verse donc un coupon de 30 $ à tous les six mois.



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Exercices (suite)

• 5- Trouver le prix d’une obligation d’une valeur nominale de 100 $ venant à échéance dans 10 ans et ayant un taux de coupon de 5 % annuel payable deux fois par année en supposant un taux nominal annuel capitalisé mensuellement de 12 %.

• Réponse: 58,6238 $

• 6- Trouver le prix d’une obligation à escompte pure d’une valeur nominale de 100 $ venant à échéance dans 2 ans en supposant que le taux nominal annuel capitalisé continuellement est de 6 %.

• Réponse: 88,692$



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Prix entre deux dates de coupon

• Prix d’une obligation entre deux dates de coupon (à k, où k est la fraction de période écoulée depuis le versement du dernier coupon):

• Il s’agit de calculer le prix de l’obligation à la précédente date de coupon, puis de l’accumuler avec intérêt jusqu’à la date désirée.

• Ce prix est appelé « full price » ou « dirty price ».



kknn

k rPrrMr

rCP )1()1()1(

)(11 = 0

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Intérêt couru et cote

• Après le paiement d’un coupon, l’intérêt sur la valeur nominale recommence à s’accumuler jusqu’au moment où l’intérêt est payé, c’est-à-dire à la date du prochain coupon.

• Le prix Pk que devra payer un investisseur pour acquérir une obligation entre deux dates de coupon doit donc compenser le vendeur pour l’intérêt accumulé (ou couru) depuis le dernier coupon.

• Le reste sert à compenser le vendeur pour la valeur « intrinsèque » de son obligation. Cette valeur (ou cote) est appelée « clean price » et est utilisée par convention.



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Intérêt couru et cote (suite)

• Donc: Valeur = Prix – Intérêt couru cotek = Pk – ICk

• Par convention: ICk = k·C

• k est le « nombre de jours » depuis le dernier coupon divisé par le « nombre de jours » dans la période de coupon. Le « nombre de jours » est déterminé selon différentes méthodes:

• Exact / Exact → titres gouvernementaux• Exact / 365• Exact / 360 → marché monétaire américain• 30 / 360 → obligations corporatives



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• « Exact » utilise le vrai nombre de jours depuis le dernier coupon ou dans la période de coupon.

• « 360 » ou « 365 » utilisent le nombre de jours dans la période de coupon en considérant qu’une année a 360 ou 365 jours, peu importe le vrai nombre de jours dans l’année.

• Par exemple, si la période de coupon est semestrielle, alors le nombre de jours dans la période de coupon est de 180 jours (360/2) et de 182,5 jours (365/2) selon les conventions « 360 » et « 365 », respectivement.



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• « 30 » utilise le nombre de jours depuis le dernier coupon en considérant que chaque mois a 30 jours, peu importe le vrai nombre de jours dans les mois.

• Par exemple, si le dernier coupon a eu lieu un 30 juin il y a 51 jours, alors le nombre de jours depuis le dernier coupon est de 50 jours (soit 30 jours pour les vrais 31 jours de juillet + 20 jours pour août) pour la convention « 30 ».

• Des exercices supplémentaires se trouvent dans le fichier « Exercices – Fraction de période.pdf » disponible sur le site web de la Section 2.



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• Deux principaux avantages à la convention d’utiliser la cote des obligations plutôt que leur prix:

• Le gain en capital représente l’appréciation de la cote et non du prix. Sur le plan fiscal, la cote permet de différencier le gain en capital du revenu d’intérêt.

• La cote évolue de façon régulière dans le temps et permet de comparer des obligations ayant des dates de coupon différentes.

• La cote est toujours donnée en pourcentage de la valeur nominale. Par exemple, une cote de 100 signifie que le titre vaut sa valeur nominale.



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Exercices (suite)

• 7- Trouver le prix d’une obligation d’une valeur nominale de 100 $ venant à échéance dans 10 ans et ayant un taux de coupon de 5 % annuel payable deux fois par année en supposant que le taux nominal annuel capitalisé mensuellement est de 12 % et que le dernier coupon a été versé il y a 142 jours. (Utiliser la méthode exact/365.)

• Réponse: 61,4113 $

• 8- Trouver l’intérêt couru et la cote de l’obligation précédente.

• Réponses: IC = 1,9452 $ et cote = 59,4661 $



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Taux de rendement promis (yield)

• Notation: y

• Définition: Taux d’actualisation rendant la valeur présente des flux monétaires égale au prix.

• Autre nom: Taux de rendement interne.

• Il faut normalement procéder par itération pour trouver y. Les calculatrices financières peuvent trouver y dans certaine situation.



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Taux de rendement à l’échéance

• Pour une obligation, il faut trouver y tel que

• y est un taux de rendement promis effectif par période de coupon ou le taux de rendement à l’échéance effectif (yield to maturity).

• (1+y)m-1 représente le taux de rendement effectif par période de référence (souvent un an).

• m·y représente le taux de rendement nominal équivalent par période de référence (souvent un an).



knn

k yyMy

yCP )1()1(

)(11 =

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Autres taux de rendement

• Taux de rendement courant (current yield): m·C/P

• Taux de rendement au rachat (yield to call): Taux de rendement promis à la date de rachat.

• Taux de rendement promis pour un portefeuille d’obligations: Taux d’actualisation rendant la valeur présente des flux monétaires du portefeuille égale à la valeur du portefeuille. Ceci n’est pas égal à la moyenne pondérée des taux de rendement promis des obligations.



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Exercices (suite)

• 9- Trouver le taux de rendement à l’échéance d’une obligation d’une valeur nominale de 100 $ venant à échéance dans 10 ans et ayant un taux de coupon de 5 % annuel payable deux fois par année et un prix de 85,79 $.

• Réponse: Taux nominal annuel = 7 %

• 10- Trouver le taux de rendement courant de l’obligation précédente.

• Réponse: 5,83 %



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Relations importantes

• Prix–Taux de rendement (voir Fabozzi, Exhibit 2-2): • Relation inverse.• Relation convexe: Une hausse de taux entraîne une baisse de prix plus faible que la hausse de prix qu’entraîne une baisse de taux équivalente.

• Taux de coupon–Taux de rendement, Prix–Valeur nominale:

• À escompte: TC < y ↔ P < M.• Au pair: TC = y ↔ P = M.• À prime: TC > y ↔ P > M.

• Prix–Temps: Lorsque le temps passe, P → M.



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Relation Prix-Taux de rendement (Fabozzi, Exhibit 2-2)



Pri

ce

Maximum Price

Yield

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Rendement réalisé (total return)

• Notation: R• Définition: Taux d’actualisation rendant égale la

valeur présente de la valeur finale d’un investissement à sa valeur initiale.

• Le rendement réalisé est égal au taux de rendement à l’échéance si:

• L’obligation est détenue jusqu’à l’échéance.• Les coupons sont réinvestis, en moyenne, au taux de rendement promis de l’obligation.

• Si l’une des deux conditions n’est pas respectée, le rendement réalisé est généralement différent du rendement promis.



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Calcul du rendement réalisé

• Calcul de la valeur finale de l’investissement:• Valeur accumulée, à la date de vente, des coupons au taux de réinvestissement.

• Prix de vente. • Valeur initiale de l’investissement = Prix d’achat.• Le rendement réalisé effectif sur la période

d’investissement est égal à:

• R = Valeur finale de l’investissement – 1 Valeur initiale de l’investissement



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Exercices (suite)

• 11- Un investisseur possède une obligation payant, en deux versements, un coupon annuel de 8 %. L’obligation vient à échéance dans 20 ans et promet un taux de rendement annuel nominal de 10 % (tous les taux nominaux sont capitalisés semestriellement). L’investisseur a un horizon de 3 ans et prévoit réinvestir ses coupons à un taux annuel nominal de 6 % pendant cette période. Quel rendement effectif annuel l’investisseur prévoit-il réaliser s’il croit être en mesure de vendre son obligation à la fin de son horizon à un taux de rendement annuel nominal de 7 %?

• Réponse: 17,89 %



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