04 Structure des taux d’intérêt Lecture Fabozzi, ch. 5 Exercices suggérés Fabozzi, ch. 5: 1-2, 4, 6-14, 19-21, 23 GSF-3100 – Marché des capitaux 04 Structure

04 Structure des taux d’intérêt

Lecture Fabozzi, ch. 5

Exercices suggérésFabozzi, ch. 5: 1-2, 4, 6-14, 19-21, 23

GSF-3100 – Marché des capitaux


© Stéphane Chrétien

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Agenda de la section

• Introduction à la structure des taux d’intérêt• Deux composantes du taux de rendement• Facteurs affectant la prime de risque• Courbe des rendements à l’échéance• Taux de rendement au comptant• Structure à terme des taux d’intérêt• Courbe des rendements à l’échéance au pair• Taux de rendement à terme• Formes et théories de la structure à terme des taux• Structure à terme des taux au Canada• Mesures alternatives de durée



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Introduction

• Principe de base en finance: Plus un actif est (perçu comme étant) risqué, plus les investisseurs exigent un rendement élevé. • Le taux de rendement d’une obligation devrait donc refléter son risque.

• Les objectifs de ce chapitre sont de comprendre comment le risque d’une obligation est mesuré et d’étudier un facteur de risque important: L’échéance.• Si le risque d’un flux monétaire change en fonction

de son échéance, alors le taux d’actualisation devrait aussi changer selon l’échéance.



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Deux composantes du taux de rendement

• 1- Taux de rendement de référence (base interest rate): Taux que l’on pourrait obtenir sur un titre autrement identique mais sans risque. • Marché domestique: Titres du gouvernement du Canada;• Marchés internationaux: Bons du Trésor américain;• Peut aussi être choisi pour isoler un risque particulier.

• 2- Prime de risque (risk premium) ou écart de taux (yield spread): Prime de rendement qui reflète le risque de l’obligation.



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Mesures de la prime de risque

• Prime de risque: yobl – yréf

• Prime de risque relative: (yobl – yréf) / yréf

• Ratio de taux: yobl / yréf

• Exemples de primes de risque: • yBell – yCan • yCan – yUS • yBell,rachetable – yBell,non-rachetable



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Facteurs affectant la prime de risque

• Type d’émetteurs: Écart de secteur;• Habileté à payer ses obligations: Écart de crédit ou

de qualité;• Présence de clauses optionnelles: Écart de rachat,

écart de conversion, etc.• Taxation des intérêts;• Liquidité: Écart de liquidité;• Désirabilité financière (financeability) d’une

émission;• Échéance: Écart à terme.



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Structure des taux d’intérêt

• Il s’agit d’un examen de la prime de risque due à l’échéance.• Concepts étudiés: • Courbe des rendements à l’échéance;• Taux de rendement au comptant et structure à terme des taux d’intérêt;• Courbe des rendements à l’échéance au pair;• Taux de rendement à terme;• Théories sur la forme de la structure à terme des taux d’intérêt.



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Exercices

• À partir des informations suivantes sur des obligations gouvernementales:

• 1- Trouver la prime de risque (ou l’écart à terme), la prime de risque relative et le ratio de taux pour l’obligation d’échéance deux ans.



Période t Échéance (an) TC (%, m=2) y (%, m=2)

1 0,5 0 5,25

2 1 0 5,50

3 1,5 5,75 5,75

4 2 6,50 5,90

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Courbe des rendements à l’échéance

• Définition: Représentation graphique de la relation entre les taux de rendement d’obligations ayant un risque de crédit similaire et leur échéance. • En anglais: yield curve.

• En général, la courbe des rendements à l’échéance est croissante: Plus l’échéance est éloignée, plus l’obligation est volatile et donc plus taux de rendement exigé devrait être élevé.



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Exercices (suite)


• 2- Tracer la courbe des rendements à l’échéance.




1 0,5 0 5,25

2 1 0 5,50

3 1,5 5,75 5,75

4 2 6,50 5,90

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Courbe des rendements à l’échéance (suite)

• Historiquement, la courbe a été utilisée pour déterminer le taux de rendement permettant d’évaluer la valeur théorique d’une obligation non incluse dans la courbe. • Cette utilisation est problématique: Des obligations

ayant la même échéance peuvent avoir des taux de coupon différents. • En général, plus le taux de coupon est élevé, moins l’obligation est volatile, et donc moins le taux de rendement exigé devrait être élevé.

• Solution: Construire une courbe basée sur des obligations ayant le même taux de coupon.



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Taux de rendement au comptant

• Notation: zt

• Définition: Taux de rendement théorique (effectif par période) d’une obligation à escompte pure d’échéance t périodes. • En anglais: Spot rate.

• Comme il n’existe pas d’obligations à escompte pure pour toutes les échéances, les zt sont construits à l’aide d’une théorie simplificatrice.



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Structure à terme des taux d’intérêt

• Définition: Ensemble des taux de rendement au comptant pour différentes échéances (les zt).

• En anglais: Term structure of interest rate.

• Courbe théorique des rendements au comptant à l’échéance: Courbe des rendements à l’échéance construite à partir de la structure à terme des taux (c’est-à-dire à partir des zt).

• En anglais: Theoretical spot rate curve.• La courbe est habituellement présentée en utilisant la version nominale annuelle des zt.



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Théorie derrière la construction des zt

• On peut décomposer une obligation à coupons en ses différents flux monétaires. De ce point de vue, une obligation à coupons devient équivalente à une somme d’obligations à escompte pure.

• Selon la théorie de l’absence d’arbitrage, la valeur de l’obligation à coupons devrait être égale à la somme de la valeur des obligations à escompte pure:



n

t

nn

tt zMzCP

1

)1()1(

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Construction des zt

• En supposant qu’il y a absence d’arbitrage, il est possible de résoudre l’équation précédente à l’aide: • Du prix, des coupons et de la valeur nominale d’une obligation de référence;• Des taux de rendement des obligations à escompte pure disponibles sur le marché.

• Pour trouver les taux au comptant pour toutes les échéances, il faut procéder à l’aide d’une méthode récursive (bootstrapping method). • S’il manque des échéances, il faut utiliser une

technique de lissage, telle que l’interpolation linéaire, pour déterminer les taux manquants.



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Exercices (suite)


• 3- Trouver la structure à terme des taux d’intérêt et tracer la courbe théorique des rendements au comptant à l’échéance.




1 0,5 0 5,25

2 1 0 5,50

3 1,5 5,75 5,75

4 2 6,50 5,90

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Exercices (suite)


• 4- Trouver le prix et le taux de rendement à l’échéance d’une obligation venant à échéance dans 2 ans et ayant un taux de coupon de 8 % payable deux fois par année.




1 0,5 0 5,25

2 1 0 5,50

3 1,5 5,75 5,75

4 2 6,50 5,90

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Courbe des rendements à l’échéance au pair

• Définition: Courbe des rendements à l’échéance utilisant des obligations de référence ayant été transformées pour être évaluées au pair. • En anglais: Par coupon curve.

• Cette courbe est utilisée en pratique à la place de la courbe des rendements à l’échéance pour réduire l’effet du taux de coupon. • Pour chaque échéance n, cette courbe utilise le

taux de coupon correspondant au coupon C déterminé à l’aide de l’équation suivante:



n

t

nn

tt zMzCM

1

)1()1(

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Exercices (suite)


• 5- Tracer la courbe des rendements à l’échéance au pair.




1 0,5 0 5,25

2 1 0 5,50

3 1,5 5,75 5,75

4 2 6,50 5,90

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Taux de rendement à terme

• Notation: tfn (Taux de rendement à terme pour une échéance de n périodes à compter de la période t);

• Définition: Taux de rendement (effectif par période) implicite entre les périodes t et t+n étant donné les taux de rendement au comptant pour les échéances t et t+n périodes. • En anglais: Forward rate.

• Les taux de rendement à terme représentent les taux de rendement au comptant futurs extraits des taux de rendement au comptant actuels.



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Taux de rendement à terme (suite)

• Comment trouver un taux de rendement à terme: Le taux de rendement à terme tfn est le taux qui rend un investisseur indifférent entre investir de 0 à t+n à zt+n et investir de 0 à t à zt et de t à t+n à tfn:

• (1+zt+n)t+n = (1+zt)t × (1+tfn)n

• Un investisseur se servira de ses anticipations concernant le taux au comptant futur zn au temps t par rapport au taux à terme tfn pour décider s’il doit investir jusqu’à t au taux zt ou jusqu’à t+n au taux zt+n. Il peut, entre autres, se garantir un taux tfn en empruntant à zt pour investir à zt+n.



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Exercices (suite)


• 6- Trouver les taux de rendement à terme 1f1, 1f2, 1f3,

2f1, 2f2, 3f1.




1 0,5 0 5,25

2 1 0 5,50

3 1,5 5,75 5,75

4 2 6,50 5,90

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Taux de rendement à terme (suite)

• À partir de la définition du taux de rendement à terme, il est possible de déduire plusieurs relations entre les taux de rendement au comptant et les taux de rendement à terme.

• Exemples: • (1+z4)4 = (1+z1) × (1+1f1) × (1+2f1) × (1+3f1)

• (1+z4)4 = (1+z1) × (1+1f2)2 × (1+3f1)

• (1+z4)4 = (1+z1) × (1+1f1) × (1+2f2)2

• (1+z4)4 = (1+z2)2 × (1+2f1) × (1+3f1)



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Formes de la structure à terme des taux

• Formes observées:

• Croissante ou normale;

• Décroissante ou inversée;

• Horizontale ou plate;

• Bossue.



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Théories expliquant la forme

1- Théorie des anticipations pures: Les taux de rendement à terme sont des estimateurs non biaisés des taux au comptant leur étant associés dans le futur. • Dans cette théorie, les agents sont neutres face au

risque et la structure à terme des taux d’intérêt reflète simplement les anticipations du marché quant aux taux au comptant à venir. • Forme croissante → hausse future de zt;

• Forme décroissante → baisse future de zt;

• Forme horizontale → stabilité future de zt.



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Théories expliquant la forme (suite)

2- Théorie de la prime de liquidité: Le taux de rendement à terme est égal au taux de rendement au comptant anticipé pour la période correspondante auquel on ajoute une prime de liquidité qui augmente avec l’échéance.• Dans cette théorie, les agents sont averses au

risque et préfèrent les placement à court terme (plus liquides et moins volatils) aux placements à long terme. La structure à terme des taux d’intérêt reflète les anticipations du marché quant aux taux au comptant à venir ainsi que la prime de liquidité.



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3- Théorie de la segmentation du marché: La forme de la courbe est déterminée par l’offre et la demande des titres financiers pour chaque échéance. • Dans cette théorie, les agents ont des horizons bien

définis et n’ont aucune préférence pour les taux d’échéances autres que leurs horizons. La détermination des taux à court terme est indépendante de celle des taux à long terme puisque le marché à court terme est segmenté du marché à long terme.



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4- Théorie des habitats préférés: Il s’agit d’un compromis entre la théorie 2 et la théorie 3. • Il existe des primes de liquidité. Toutefois, puisque

le marché est partiellement segmenté, celles-ci ne sont pas nécessairement une fonction croissante de l’échéance. • Les agents sont prêts à sortir de leur habitat préféré

si on leur offre une prime de liquidité suffisante.



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Structure à terme au Canada, janvier 1986-avril 2013

• Source des données: Banque du Canada

• Formes observées: • Croissante ou normale: Environ 64 % du temps• Décroissante ou inversée: Environ 11 % du temps• Horizontale ou plate, et bossue: Environ 25 % du temps• Avril 2013: Croissante



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Structure à terme au Canada, janvier 1986-avril 2013 (suite)

• Écart à moyen terme (z(5 ans) – z(3 mois)):

Moyenne: 0,9 % Écart-type: 1,2 %Minimum: -3,2 % Maximum: 3,3 %Avril 2013: 0,1 %

• Écart à long terme (z(25 ans) – z(3 mois)):

Moyenne: 1,5 % Écart-type: 1,9 %Minimum: -5,3 % Maximum: 4,9 %Avril 2013: 1,5 %



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Structure à terme récente au Canada



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Taux au comptant canadien



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Écart à terme canadien



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Mesures alternatives de durée

• On peut tenir compte de la structure à terme des taux d’intérêt pour trouver la durée:



n

t

ttt

t

tn

tt

t

ttt

tt

nn

n

tt

t

tP

zFM

z

zz

z

PPPdP

tP

zFM

zz

PP

z

M +

z

CP

11

1

)1(

1

//

)1(

1

1/

)1()1(

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Durée « taux clé » (key rate)

• Durée « taux clé »

• Il s’agit de la variation de prix en % pour une petite variation d’un seul taux de la structure à terme des taux d’intérêt.



tP

zFM

z

z

PP

ttt

t

t

)1(

1

1

/

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Durée de Fisher-Weil

• Hypothèse: La structure à terme des taux d’intérêt varie de façon telle que le changement de taux en proportion au niveau de taux est constant pour toutes les échéances:

• Durée de Fisher-Weil

• La durée de Fisher-Weil est similaire à la durée de Macaulay, sauf qu’elle utilise les taux au comptants zt.



n

t

ttt

t

t tP

zFM

z

zPdP

z

z

z

z

11

1

1

1 )1(

1/

11

n

t

ttt t

P

zFM

1

)1(

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