Chapitre 3 : Cinmatique du solide

Chapitre 3 : Cinmatique du solideI Introduction mathmatique

A) Application antisymtrique

1) Dfinition

Pour un espace vectoriel E de dimension 3, une application est antisymtrique lorsque

2) Consquences

A est linaire.

A linverse, si et , alors A est antisymtrique.En effet, on a alors

Donc soit donc A est antisymtrique.

3) Reprsentation matricielle

Dans une base

(matrice antisymtrique)

B) Produit vectoriel par .

Le produit vectoriel dfinit une application antisymtrique

Pour fix dans E, .

Alors A est antisymtrique, puisque

Toute application antisymtrique se met sous la forme dun produit vectoriel:

Ainsi,

C) Champ de vecteurs quiprojectif

1) Dfinition

Cest une application telle que, pour tous P et Q :

2) Application antisymtrique associe un champ quiprojectifPour O donn:

On dfinit

Alors:

- A est antisymtrique:

- A est indpendant de O:

Donc

-

Ainsi, si est quiprojectif, alors , o est indpendant de Q et P.

II Solide

A) Dfinition

1) Solide physique

Idal: la distance entre les points matriels est invariante au cours du temps.

Il nexiste pas de matriau rigoureusement indformable (par exemple, lagitation thermique)

Rel: la position moyenne des points matriels les uns par rapport aux autres peut tre considre comme invariante.

2) Solide cinmatique

Cest un ensemble (ventuellement infini) de points cinmatiques qui occupe tout lespace et dont les distances sont invariantes au cours du temps.

Ainsi, les vitesses relatives sont nulles les unes par rapport aux autres, et les vitesses absolues ne sont pas indpendantes.

Un point gomtrique appartient une infinit de solides cinmatiquesB) Paramtrage de la positionPour un point matriel, on a besoin de trois paramtres.

Ainsi, pour n points matriels indpendants, il faut paramtres.

Pour un solide, seuls 6 paramtres sont ncessaires:

On fixe la position de 3 points du solide:

On place M: trois paramtres.

On place ensuite N: plus que deux paramtres (sur une sphre de centre M).

Enfin pour P il ny a plus quun paramtre (sur un cercle daxe MN) On peut aussi choisir de fixer un point et trois angles (paramtrage par les angles dEuler)Remarque:

Si un solide a un point fixe, on na plus besoin que de 3 paramtres

Pour un axe fixe, il suffit dun paramtre.

III Champ des vitesses dun solide

Le fait que les distances soient invariantes impose que les vitesses des diffrents points soient lies.

A) Le champ des vitesses dun solide est quiprojectif

On a pour deux points P et Q du solide:

Donc , c'est--dire , c'est--dire .

B) Consquence: le vecteur instantan de rotation

Comme le champ des vitesses est quiprojectif, on peut introduire tel que:

(formule de Varignon)

: vecteur instantan de rotation, dpend du mouvement du solide, mais pas de P et Q.

dpend du temps.

dpend du rfrentiel

apparat ici comme un pseudovecteur.

C) Torseur des vitesses

Pour les moments, on avait: .

Ainsi, le torseur des vitesses est le torseur de rsultante et de moment en P .

Il faut donc 6 paramtres pour dterminer le champ des vitesses.

D) Drivation par rapport au temps dun vecteur li S.

.

Ainsi, , c'est--dire .

IV Mouvements dun solide

A) Mouvement de translation

Un solide est dit en translation si, tout instant, la position du solide se dduit de la position initiale par une translation:

Ainsi, .

Remarque:

Le terme de translation na de sens que pour un solide.

Proprits:

Tous les points du solide ont une trajectoire identique.

Le champ des vitesses est uniforme ( un instant t, tous les points ont la mme vitesse): , donc ou .

Rciproquement, si , alors , donc .

Ainsi, on a lquivalence: S est en translation

(Le torseur des vitesses est alors un couple)

B) Mouvement de rotation autour dun axe

1) DfinitionA tout instant, la position du solide se dduit de la position initiale par une rotation autour dun axe.

2) Proprits

Toutes les trajectoires sont circulaires.

Vecteur :

On oriente :

On note la vitesse angulaire de rotation (algbrique)

On suppose fixes, et lis S.

Comme est fixe, on a . De plus, est li S, donc on a dautre part . Ainsi, .

Comme est li S, on a .

Dautre part, . Donc .

Ainsi, .

Remarque: On retrouve le fait que est un pseudovecteur (dpend de lorientation choisie)

Champ des vitesses:

.

Remarque:

De mme que pour la translation, le mouvement de rotation na de sens que pour un solide.3) Mouvement de prcession

Dfinition:

Cest un mouvement pour lequel .

Ainsi, D va dcrire une portion de cne. Equation du mouvement de prcession:

, .

Pour un mouvement de prcession:

Comme est li D, on a

EMBED Equation.3 .

Inversement, si o est de direction fixe, on a:

- puisque alors , soit .- On note :

Ainsi, , donc , soit .

Ainsi, est en mouvement de prcession autour de .

Vocabulaire:

Prcession vient de prcder, qui signifie tomber en avant

On trouver parfois prcesser ou prcessionner pour un mouvement de prcession.

C) Mouvement hlicodal

1) Dfinition

Cest un mouvement compos dune rotation autour dun axe et dune translation parallle :

Le solide un instant t se dduit du solide initial par: Une rotation dangle autour de .

Une translation de vecteur (o est dirig par )

a sappelle le pas rduit de lhlice, laxe de rotation et de glissement:

2) Proprits

Trajectoire hlicodale:

Mme axe , mme pas.

(mme dmonstration que pour une rotation)

Vitesse dun point sur laxe:

, donc . Donc laxe est laxe central du torseur.a dpend de lorientation choisie:

Pour un pas de vis, on a (correspond au sens dans lequel on tourne pour visser en gnral)

D) Mouvement quelconque

1) Prliminaire mouvement dun point matriel

Mouvement rectiligne uniforme tangent: cest le mouvement qui a la mme vitesse et la mme position linstant mais dont lacclration est nulle.2) Mouvement dun solide

A , le champ des vitesses est caractris par:

laxe central du torseur, c'est--dire le lieu des points I tels que

pour un point I de laxe central.

Cest aussi le champ des vitesses dun certain mouvement hlicodal.

Ainsi, tout instant, le champ des vitesses du solide peut tre considr comme celui dun mouvement hlicodal (appel mouvement hlicodal tangent).

(Mais ce champ na pas le mme champ dacclration).

Ainsi, reprsente le vecteur instantan de rotation du mouvement hlicodal tangent.

V Mouvement de deux solides en contact

On considre ici des solides physiques idaux.

A) Contact ponctuel

Le point I peut tre considr en tant que point fixe de , mais aussi en tant que point li ou .

Si on considre que , on le note .

Si on considre que , on le note .Si on considre que , on le note I.

B) Caractrisation du mouvement de par rapport .

On prend R absolu, relatif. On doit donner , pour obtenir le mouvement (relatif) de .C) Glissement de .

1) Vitesse de glissement de .

Dfinition:

Proprits:

. En effet, supposons que . On a alors deux cas:

A linstant daprs:

Le solide nest plus en contact.

Le solide pntre dans lautre.

Dans les deux cas cest impossible puisque les solides sont en contact, et quils sont indformables.

Expression en fonction des vitesses absolues:

.

(on a en effet point concidant de )Donc .

2) Condition de non glissement

Il ny a pas glissement lorsque .

D) Roulement et pivotement

On a .

Ainsi, o et .

est la composante de pivotement, celle de roulement:

E) Applications1) Premire application

On suppose quil ny a pas de glissement.

Quelle relation y a-t-il entre et ?

On a ,Soit

Donc ,

do .En intgrant, on obtient , ce qui signifie que la longueur parcourue dans un intervalle de temps est gale pour les deux roues.

2) Deuxime application

On suppose que le fil est inextensible et quil ne glisse pas sur les roues: Comme il ny a pas de glissement, , .Comme le fil est inextensible (et , sont sur le mme segment), on a aussi .

Enfin, daprs la formule de Varignon,

Donc .Chapitre 3 : Cinmatique du solideMcanique

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O2

O1

A1

B1

A2

B2

R1

R2

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O1

O2

I1

I2

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S2

S1

S2

S1

roulement

pivotement

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Pas de glissement

Glissement

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)

(

1

I

v

r

r

)

(

1

I

v

r

r

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S2

S1

I

S2

S1

I

I1

I2

I1

I2

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S2

S1

I

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D

O

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D

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I

P

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P0

Q0

P

Q

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r

u

r

q

u

r

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Q

P

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P

Q

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M

N

P

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Q

P

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