Cinématique Du Solide Indéformable

PCSI

IV MCANIQUE

CINMATIQUEDU SOLIDE

INDFORMABLE

1Cinmatique du solide indformable

Objet de la cinmatique

La cinmatique est la partie de la mcanique qui permet de dcrire les mouvements des solides indpen-damment des causes qui les provoquent.

1. DFINITION DUN SOLIDE INDFORMABLE

1.1. Rfrentiel : espace, temps Repre attach un rfrentiel

Rfrentiel

Le rfrentiel est un systme de reprage permettant de situer un v-nement dans lespace et dans le temps.

Le rfrentiel est constitu idalement dun repre despace et dunrepre de temps.

Repre despace

Les solides tudis voluent dans un espace physique qui peut tre

modlis par un espace affine caractris par un repre orthonorm

direct (fig. 1).

Repre de temps

Le temps peut tre considr comme un ensemble dinstants infini-ment rapprochs et lis par une relation dordre.

Il peut tre modlis par un espace affine une dimension.

Dans ce repre, on peut dfinir une origine O et des instants T de telle

sorte que o t reprsente la date de linstant T (fig. 2).

1.2. quivalence entre rfrentiel et solide indformable

Solide indformable

On appelle solide indformable S, tout ensemble de points matriels dont la distance est invariable dans letemps, ce qui se traduit par :

[1]

Dans la suite de ce cours, on acceptera le terme de solide pour solide indformable .

quivalence entre rfrentiel et solide indformable

Un repre despace tant dfini par une origine et trois vecteurs unitaires orthonorms, les extrmits deces vecteurs sont des distances fixes de lorigine tout en tant fixes entre eux. Ceci tant vrai chaque ins-tant, un rfrentiel est donc quivalent un solide.

tudier le mouvement dun solide par rapport un autre revient donc tudier le mouvement des represlis ces solides.

A et B S AB2 = constante

OT = t e

R O, x, y, z

1

z

y

x

RO

Fig 1 : Repre despace

e

O T

Origine de la chronologieInstant

Base de temps

Fig 2 : Repre de temps

2. MOUVEMENT RELATIF DE DEUX SOLIDES

2.1. ParamtragePour connatre la position dun solide dans lespace, il suffit deconnatre la position de trois de ses points, soit 9 paramtres.

Mais les trois points tant des distances invariables les uns par rap-port aux autres, il convient dajouter 3 quations de liaison des para-mtres.

En dfinitive, la position dun solide dans lespace dpend donc de 6paramtres indpendants qui caractrisent les 6 degrs de libertdu solide (3 translations + 3 rotations) par rapport un rfrentiel : X,Y, Z, x , y , z (fig. 3).

2.2. Position dun rfrentiel par rapport un autre Angles dEuler

Le positionnement dun solide S2 par rapport un solide S1 est dfini lorsque les 6 paramtres indpen-dants X, Y, Z, x , y , z appels paramtres de position sont dtermins.

De faon gnrale, soient deux rfrentiels et

, lun li au solide Si, lautre li au solide Sj. Soit un

point A li au solide Sj. Daprs lquivalence rfrentiel-solide, tudier

la position du solide Sj par rapport au rfrentiel Ri revient tudier

la position du rfrentiel Rj par rapport au rfrentiel Ri (fig. 4).

La position du point A, fixe dans le repre Rj , peut tre exprime :

soit par le vecteur dfini dans le repre Rj ;

soit par le vecteur dfini dans le repre Ri,.

Changement de rfrentiels, repres despace

En mcanique, il est frquent de changer de rfrentiel pour exprimer, sous une autre forme, la position, lavitesse ou lacclration dun point ou toute autre grandeur vectorielle. La mcanique newtonienne, basesur la relativit galilenne selon laquelle le temps ne dpend pas du rfrentiel, permet de considrer quunchangement de rfrentiel se limite un changement despace.

On se propose de dfinir les coordonnes du vecteur dans le repre Ri, cest--dire

de raliser un changement de repre de Rj vers Ri.

Un cas lmentaire frquemment rencontr correspond une simple rotation des deux repres autour dunaxe. Le cas plus complexe dune rotation autour dun point peut alors tre considr comme la successionde trois rotations autour daxes distincts. Ces deux cas sont tudis ci-aprs.

Changement de repre dun vecteur dans le cas dune rotation autour dun axe

Considrons que le repre Rj a pivot dun angle autour de laxe par rapport au repre Ri (fig. 5). Dans ces conditions, les vecteurs uni-taires de Ri peuvent sexprimer dans le repre Rj de la faon suivante :

xi = xjyi = cos yj sin zjzi = sin yj + cos zj

xi

OiA = xA' xi + yA

' yi + zA' zi

OiA = xA' xi + yA

' yi + zA' zi

OjA = xA xj + yA yj + zA zj

R j Oj, xj, yj, zj

Ri Oi, xi, yi, zi

Cinmatique du solide indformable

2

zi

yi

xi

yj

zj

xj

Ri

Rj

Fig 5 : Rotation autour dun axe

zi

yi

xi

yj

zj

xj

Oj

A

Ri

Oi

Rj

zA

xA

yA

Fig 4 : Reprage dun point A

z

y

x

O

x

y

z

X

Y

Z S2

S1

Fig 3 : Degrs de libert

On peut ainsi crire la matrice de passage Pi, j du repre Rj au repre Ri pour la rotation dangle danslaquelle laxe reste confondu avec de la faon suivante :

[2]

Un vecteur sexprimera par [3]

soit pour le vecteur , dans le changement de repre de Rj vers Ri :

[4]

Inversement, si lon veut effectuer un changement de repre de Ri vers Rj pour le vecteur connu dans lerepre Ri, celui-ci sexprimera par : , avec (matrice inverse).

REMARQUE Ici, (matrice transpose).

Changement de base dun vecteur dans le cas dune rotation autour dun point - Angles dEuler

Si la rotation autour dun point de langle se fait par lintermdiaire de 3 rotations lmentaires prc-dentes dont les matrices de passage sont Pi, j, Pj, k et Pk, l, le passage du repre Rl vers le repre Ri sexprime-ra par :

[5]

Pour dfinir 3 rotations lmen-taires il est frquent dutiliser 3angles appels anglesdEuler . Ces angles sont cou-ramment utiliss en astronomiepour dfinir la position duneplante par rapport un rf-rentiel donn. Par convention,ces angles sont dfinis de lafaon suivante (fig. 6) :

(psi) : angle de prcesssion ;

(theta) : angle de nutation ;

(phi) : angle de rotationpropre.

Les changements de repres suc-cessifs sont rsums dans la figu-re 6.

UTILISATION voir TD

V Ri = Pi, l V Rl avec Pi, l = Pi, j Pj, k Pk l

Pi, j1 = tPi, j

Pj, i = Pi, j1 V Rj = Pj, i V Ri

V

xA'

yA'

zA'

=1 0 00 cos sin0 sin cos

xAyAzA

=xAyA cos zA sinyA sin + zA cos

V = OiA

V Ri = Pi, j V RjV

Pi, j =

1 0 00 cos sin0 sin cos

xixj

3


x0

y0

y1

v

y2

x2

z0 = w

u = x1

z1 = z2

O

R0 {x0, y0, z0}

R {u, v, w}

R1 {x1, y1, z1}

R {u, v, w}

R1 {x1, y1, z1}

R2 {x2, y2, z2}

Fig 6 : Angles dEuler

Changement de base dun vecteur dans le cas gnral

Dans le cas gnral de la figure 3 o lon passe du repre Rj au repre Ri par la combinaison dune transla-

tion et dune rotation, le vecteur a pour expression : .

La projection dans le repre Ri donne : .

Or le vecteur est connu par ses projections dans le repre Rj : .

Par contre le vecteur est connu par ses projections dans le repre Ri : .

Il vient donc , ou encore, en fonction des composantes :

[6]

2.3. Drive temporelle dun vecteur par rapport un rfrentielSoit le vecteur de module constant, mobile dans le repre R0 fixe.

* On peut montrer que , drive de par rapport au temps est un vecteur perpendiculaire . En

effet, si lon part de , on a :

* Supposons maintenant que est fixe et dfini dans le repre R, lui mme mobile dans

le repre R0 .

Alors

Daprs les rsultats prcdents, si est perpendiculaire , supposons que [7]

De mme, si est perpendiculaire , supposons que [8]

et si est perpendiculaire , supposons que [9]

x y x . y = 0 dxdt

. y + x .dydt

= 0

or, d'aprs [7]et [8],dxdt

. y =1 et x .dydt

=4 4 = 1

x z x . z = 0 dxdt

. z + x .dzdt

= 0

or, d'aprs [7]et [9],dxdt

. z =2 et x .dzdt

=5 5 = 2

y z y . z = 0 dydt

. z + y .dzdt

= 0

or, d'aprs [8]et [9],dydt

. z =3 et y .dzdt

=6 6 = 3

dzdt

=5 x +6 yz dz

dt

dydt

=3 z +4 xy dy

dt

dxdt

=1 y +2 zx dx

dt

dUdt R0

= Uxdxdt

+ Uydydt

+ Uzdzdt

U = Ux x + Uy y + Uz z

ddt

U . U = 0 soitdUdt

. U + U .dUdt

= 0 et 2 U .dUdt

= 0.

Ainsi, U .dUdt

= 0 U et dUdt

sont perpendiculaires condition quedUdt

0

U . U = constante

UU dU

dt

U

xA'

yA'

zA'

=xyz

+ Pi, j

xAyAzA

OiA Ri= OiOj Ri

+ Pi, j OjA Rj

OiOj = x xi + y yi + z zi OiOj

OjA = xA xj + yA yj + zA zj OjA

OiA Ri= OiOj Ri

+ OjA Ri

OiA = OiOj + OjA V = OiA


4

[10]

Cette relation exprime la drive dun vecteur mobile par rapport un repre fixe.

2.4. Trajectoire, vitesse et acclration dun point par rapport un rfrentiel

Position

Lorsquun point matriel est mobile par rapport un repre R, on peut caractriser sa position par son vec-teur position not :

[11]

Les scalaires x, y et z sont les coordonnes du point M dans le repre R.

Trajectoire

On appelle trajectoire lensemble des positions successives occupes, au cours du temps, par le point mobileM dans le repre R.

Vitesse

La vitesse du point M par rapport au repre R est, par dfinition, la drive par rapport au temps du vec-teur position dfini dans le repre R :

[12]

Ou encore daprs lexpression [6] du vecteur position :

[13] VM/R =dxdt

x +dydt

y + dzdt

z = x x + y y + z z

VM/R =

dOMdt R

OM= x x + y y + z z

dUdt R0

= U

La drive du vecteur U par rapport au temps, dans le repre R0, devient :

dUdt R0

= Ux 1 y +2 z + Uy 1 x +3 z + Uz 2 x 3 y

= 1 Uy 2 Uz x + 1 Ux 3 Uz y + 2 Ux +3 Uy z

On constate quedUdt R0

est le dterminant de la matricex y z3 2 1Ux Uy Uz

.

Posons3 =x

2 =y1 =z

, alors la matrice devientx y zx y zUx Uy Uz

Si x, y et z sont les composantes d'un vecteur =x x +y y +z z, alors :

Onen dduitdonc que

dxdt

=1 y +2 z

dydt

= 1 x +3 z

dzdt

= 2 x 3 y

5


Acclration

Lacclration du point M par rapport au repre R est, par dfinition, la drive par rapport au temps duvecteur vitesse dfini dans le repre R :

[14]

Ou encore daprs lexpression [11] du vecteur position :

[15]

2.5. Relation entre les drives temporelles dun vecteur par rapport deuxrfrentiels distincts

Soit un repre R0 indpendant dun paramtre t et un vecteur en mouvement dans un repre R1.

Supposons que le vecteur est connu dans ce repre R1 lui-mme en mouvement

par rapport R0, donc dpendant de t.

Si lon cherche la drive de par rapport t dans le repre R0, on obtient :

La premire parenthse reprsente la drive par rapport au temps du vecteur dans le repre R1 que lon

va noter .

La seconde parenthse donne :

On obtient, en dfinitive, la formule gnrale de drivation compose dun vecteur en mouvement par rap-port deux repres :

[16] dU

dt R0=

dUdt R1

+R1/R0 U

Ux1 R1/R0 x1 + Uy1 R1/R0 y1 + Uz1 R1/R0 z1 ,

ouencore: R1/R0 Ux1 x1 + R1/R0 Uy1 y1 + R1/R0 Uz1 z1 ,

ce quiconduit R1/R0 Ux1 x1 + Uy1 y1 + Uz1 z1 =R1/R0 U

dUdt R1

U

dUdt R0

=dUx1dt

x1 + Ux1dx1dt

+dUy1dt

y1 + Uy1dy1dt

+dUz1dt

z1 + Uz1dz1dt

=dUx1dt

x1 +dUy1dt

y1 +dUz1dt

z1 + Ux1dx1dt

+ Uy1dy1dt

+ Uz1dz1dt

U

U = Ux1 x1 + Uy1 y1 + Uz1 z1

U

M/R =d2x

dt2x +

d2ydt2

y +d2z

dt2z = x x + y y + z z

M/R =

dVM/Rdt R

=d2OM

dt2 R


6

2.6. Vecteur-vitesse de rotation de deux rfrentiels en mouvement lun parrapport lautre

Dans la relation [10] de la page 5, le vecteur reprsente le vecteur vitesse de rotation du vecteur parrapport au repre R0.

x, y et z, composantes du vecteur sur les axes , reprsentent les rotations successives du vec-

teur autour des axes respectivement.

En mcanique, les solides sont souvent assimils leur repre. Le vecteur rotation du repre R1 par rapport

au repre R0 sera donc crit de la faon suivante :

2.7. Composition des vecteurs vitesse de rotationSi on gnralise la relation [16] k repres successifs nots Rk, Rk-1,, R0, et en drivant le vecteur suc-

cessivement dans chaque repre, on obtient :

En additionnant membre membre, on obtient :

Lgalit [17]

montre alors la composition des vecteurs vitesse de rotation.

Application aux angles dEuler

Voir exercice de TD.

Rk /R0 =Rk /Rk1+Rk1/Rk2 + +R1/R0

dUdt R0

=dUdt Rk

+ Rk /Rk1 +Rk1/Rk2 + +R1/R0 U,

quipeutse mettre sous la formedUdt R0

=dUdt Rk

+Rk /R0 U.

dUdt Rk1

=dUdt Rk

+Rk /Rk1 U

dUdt Rk2

=dUdt Rk1

+Rk1/Rk2 U

...

dUdt R1

=dUdt R2

+R2/R1 U

dUdt R0

=dUdt R1

+R1/R0 U

U

R1/R0

x, y et zU

x, y et z

U

7


2.8. Composition des vecteurs-vitesseConsidrons un solide S en mouvement dans un repre

lui mme en mouvement par rapport un repre

fixe (fig. 7).

Exprimons le vecteur position du point M dans le repre R0 et drivonsle par rapport au temps. Cela donne :

Ce qui donne [17]

En posant , on remarque que : [18]

Le mouvement de S par rapport R0 est appel mouvement absolu .

Le mouvement de S par rapport R1 est appel mouvement relatif .

Le mouvement de R1 par rapport R0 est appel mouvement dentranement .

Il vient donc : [19]

Gnralisation

Soient n repres Ri dont on connat les mouvements relatifs par rapport aux repres Ri-1. Soit le solide S enmouvement connu par rapport au repre R0 et un point M de S.

Lapplication successive de la relation [18] entre S et Ri en faisant intervenir le repre intermdiaire Ri+1donne :

Soit, en effectuant la somme membre membre

Mais en appliquant directement [18] entre S, R0 et Rn, on obtient

Ce qui permet dcrire, en identifiant les termes : [20] VM,Rn/R0 = VM,Ri/Ri1i = 1n

VM,S/R0 = VM,S/Rn + VM,Rn/R0

VM,S/R0 = VM,S/Rn + VM,Ri/Ri1i = 1n

VM,S/Rn1 = VM,S/Rn + VM,Rn/Rn1VM,S/Rn2 = VM,S/Rn1 + VM,Rn1/Rn2

VM,S/R0 = VM,S/R1 + VM,R1/R0

VAbsolue= VRelative+ VEntranement

VM,S/R0 = VM,S/R1 + VM,R1/R0 VO1,R1/R0 +R1/R0 O1M = VM,R1/R0

VM,S/R0 = VM,S/R1 + VO1,R1/R0 +R1/R0 O1M

avec

dO0Mdt R0

= VM,S/R0

dO0O1dt R0

= VO1,R1/R0

dO1Mdt R0

=dO1M

dt R1+R1/R0 O1M

dO0Mdt R0

=dO0O1

dt R0+

dO1Mdt R0

O0M = O0O1 + O1M

R0 O0, x0, y0, z0

R1 O1, x1, y1, z1


8

z0

y0

x0

y1

z1

x1

O1

M

R0

O0

R1

S

Fig 7 : Repres en mouvements relatifs

2.9. Torseur distributeur des vitesses. quiprojectivit

Champ des vitesses dun solide

Le paramtre temps t tant fix, on appelle champ des vitesses dun solide S linstant t le champ qui,

tout point M du solide associe le vecteur vitesse .

2.9.1. Torseur cinmatique ou torseur distributeur des vitesses

En appliquant la relation [10] au vecteur du solide S en mouvement par rapport au repre R0, le temps ttant le paramtre de drivation, on obtient :

ou encore [21]

Cest la relation de changement de point pour le transfert dun torseur dun point A un point B.

Or, est le champ des moments dun torseur, ce torseur a donc comme rsultante. On lappelle

torseur cinmatique et on le note, au point A :

[22]

REMARQUES

Le torseur cinmatique dfinit le mouvement du solide chaque instant.

Il nest pas ncessaire que le point A soit physiquement sur le solide S. Il suffit quil soit fixe dans toutrepre li S.

Toutes les oprations sur les torseurs sont applicables au torseur cinmatique.

2.9.2. quiprojectivit

Si lon repart de la relation fondamentale que lon crit sous la forme

, on obtient, en drivant par rapport au temps, dans le repre R0 :

Ou encore :

[23]

Le champ des vitesses dun solide indformable est quiprojectif. (Proprit du champ des moments duntorseur.)

VB,S/ R0 . AB= VA,S/ R0 . AB

ddt

OB OA2

= 0

VB,S/ R0 VA,S/ R0 . OB OA = 0

Soit VB,S/ R0 VA,S/ R0 . AB= 0

OB OA2= constante

AB2

= constante

VS/ R0 =

S/R0VA,S/ R0 A

S/R0 VB,S/ R0

VB,S/ R0 = VA,S/ R0 +S/R0 AB

dABdt R0

=S/R0 AB

Soit VB,S/ R0 VA,S/ R0 =S/R0 AB

AB

VM,S/ R0

9


2.10. Axe instantan de virationLensemble des points dun solide qui, un moment donn ont une vitesse nulle par rapport un autre soli-de, constitue laxe instantan de viration (ou de rotation).

2.11. Mouvements particuliers : translation et rotation

2.11.1. Mouvement de translation

Dfinition

Un solide S est anim dun mouvement de translation par rapport un repre fixe R0 si deux vecteurs et non colinaires appartenant S restent quipollents eux-mmes au cours du temps.

Caractristiques

Les trajectoires de tous les points du solide sont parallles.

Si la trajectoire est une droite, la translation est dite rectiligne.

Si la trajectoire est une courbe, la translation est dite curviligne. Si cette courbe est un cercle, la transla-tion est dite circulaire.

La liaison qui permet de raliser un tel mouvement entre deux solides est la liaison glissire (voir cha-pitre Modlisation cinmatique des liaisons ).

Torseur cinmatique

[24] Ce torseur est un torseur couple.

Le champ des vitesses est uniforme tout instant.

La connaissance dun seul vecteur vitesse un instant donn permet de caractriser les vecteurs vitesses detous les autres points du solide ce mme instant.

Champ des acclrations

Si on drive par rapport au temps la relation [21] pour deux points A et B appartenant au solide S, nouspouvons crire :

Condition ncessaire

Il faut que , on obtient alors : [25]

Condition suffisante

Il faut que : [26]

Pour le vrifier, calculons ddtS/R0 AB R0

ddtS/R0 R0

AB+S/R0 S/R0 AB = 0

B,S/ R0 = A,S/ R0 S/R0 = 0

ddt

VB,S/ R0 R0= d

dtVA,S/ R0 R0

+ ddtS/R0 R0

AB+S/R0 S/R0 AB

B,S/ R0 = A,S/ R0 +ddtS/R0 R0

AB+S/R0 S/R0 AB

VS/ R0 =

S/R0 = 0

VM,S/ R0 M

AC

AB


10

Si lon rapproche cette relation de la relation [26], on voit quil faut :

Cette relation ne peut tre vrifie pour tout couple de points A et B appartenant S que si .

CONCLUSION La condition ncessaire et suffisante pour quun solide soit anim dun mouvement de trans-lation est que le champ des acclrations soit uniforme.

REMARQUE IMPORTANTE Le fait que plusieurs points particuliers ont la mme acclration nimplique pasforcment que le solide auquel ils appartiennent soit anim dun mouvement de translation.

2.11.2. Mouvement de rotation

Dfinition

Un solide S est anim dun mouvement de rotation par rapport unrepre R0 si deux de ses points A et B restent fixes par rapport R0 aucours du mouvement.

La droite qui passe par les deux points est appele axe de rotation .On sarrange trs souvent pour choisir un rfrentiel dont lun desaxes est confondu avec cet axe de rotation (fig. 8).

Caractristiques

Les trajectoires de tous les points du solide sont des cercles contenusdans des plans perpendiculaires laxe de rotation et centrs surcelui-ci.

La liaison qui permet de raliser un tel mouvement entre deuxsolides est la liaison pivot (voir chapitre Modlisation cinma-tique et gomtrique des liaisons ).

Torseur cinmatique

[27]. On remarque que ce torseur est un glisseur.

En effet,

On note R le rayon du cercle trajectoire du point M tel que . O1M = R x1

S/R0 . VM,S/ R0 =S/R0 . S/R0 O0M = 0

VS/ R0 =

S/R0VM,S/ R0 =S/R0 O0M M

S/R0 = 0

ddtS/R0 AB R0

= 0 soit S/R0 AB= C avecC vecteurfixedansR0.

ddtS/R0 AB R0

= ddtS/R0 R0

AB+S/R0 ddt

ABR0

Mais ddt

ABR0

= ddt

OB OAR0

= VB,S/ R0 VA,S/ R0

= VA,S/ R0 +S/R0 AB VA,S/ R0

Donc ddtS/R0 AB R0

= ddtS/R0 R0

AB+S/R0 S/R0 AB

11


z0

y0

x0

y1

z1

x1

O1

M

R0

O0

R1S

y0

x0

B

A

Cercletrajectoiredu point M

Fig 8 : Solide en mouvement de rotation

Le module de la vitesse du point M appartenant au solide S par rapport au repre R0 a pour valeur :

[28]

Cette expression met en vidence la rpartition triangulaire des vecteurs vitesses (fig. 9).

En effet, le module de la vitesse est proportionnel la distance du point M laxe de rotation, et pour deuxpoints M1 et M2, on peut crire :

[29]

En particulier, pour tous les points situs sur laxe de rotation, R = 0 et ces points ont donc une vitesse nulle.

Champ des acclrations

Si lon drive la vitesse dun point M par rapport au temps, le repre R0 tant suppos fixe, on obtient :

Notons et

Cela donne, dans le repre R1 :

[30]

De la mme faon que pour les vitesses des deux points M1 et M2, on peut crire :

[31]

Ce qui montre que le vecteur acclration est proportionnel au rayon sur lequel se trouve le point (fig. 10).

M1,S/ R0M2,S/ R0

=R1

4 + 2

R2 4 + 2

=R1R2

M,S/ R0= R y1 R 2 x1 = n, M,S/ R0 + t, M,S/ R0

M,S/ R0 = z0 R x1 + z0 VM1,S/ R0M,S/ R0 = R y1 + z0 R y1

ddtS/R0 = z0 S/R0 = z0

M,S/ R0 =ddt

VM1,S/ R0 =ddtS/R0 O0M =

ddtS/R0 O0M +S/R0

ddt

O0M

VM1,S/ R0

VM2,S/ R0

=R1R2

VM,S/ R0 =S/ R0 R


12

x0

y1

x1

R0O0

R1

y0

M2

M1

z0 z1

VM2,S/R0

VM1,S/R0

Fig 9 : Rpartition des vitesses dans le mouvement de rotation

x0

y1

x1

R0O0

R1

y0

M2

M1

z0 z1

t,M1,S/R0

t,M2,S/R0

n,M1,S/R0

n,M2,S/R0

M2,S/R0

M1,S/R0

Fig 10 : Rpartition des acclrations dans le mouvement de rotation

3) APPLICATIONS AU MOUVEMENT PLAN SUR PLAN

3.1. Centre instantan de rotation, base, roulante

3.1.1. Dfinition

Lorsquau cours du mouvement dun solide S, par rapport un solide R0,, un plan 1 attach S, resteconstamment confondu avec un plan 0 attach R0,, on dit que les solides sont anims dun mouvementplan sur plan.

EXEMPLES Fer repasser sur une table, bielle de moteur explosion par rapport au carter, tranard duntour par rapport au banc, etc.

3.1.2. Paramtrage de la position de S par rapport R0

Soient les repres et li S (fig. 11)

tels que les plans et soient confondus. La position

de R1 par rapport R0 peut tre dfinie de la faon suivante :

Les paramtres a, b et dfinissent les trois degrs de libert de S parrapport R0 (deux translations et une rotation).

3.1.3. Torseur cinmatique

Il peut scrire, en O1 :

[32]

Si la rsultante nest pas nulle, ce torseur est un glisseur car son invariant scalaire (ou automoment) est nul.

Laxe central de ce glisseur a pour direction .

3.1.4. Centre instantan de rotation (CIR)

On appelle centre instantan de rotation (not CIR), le point I intersection entre laxe central du torseur

et les plans 1 et 0. Comme pour tout point de laxe central, on a donc : [33]

Le mouvement de S par rapport R se ramne donc chaque instant, une rotation de centre I (fig. 12).

On en dduit que, pour un point M de S :

, soit [34]

3.1.5. Base et roulante

Soit un point M de S dont la position est dfinie par (fig. 12) :

dans R1,

dans R0.

On a donc : x0 = a + x1 cos y1 sin et y0 = b + x1 sin + y1 cos [35]

OM= x0 x0 + y0 y0

O1M = x1 x1 + y1 y1

VM,S/ R0 =S/R0 IM VM,S/ R0 = VI,S/ R0 +S/R0 IM

VI,S/ R0 = 0

z0

VS/ R0 =

S/R0 = z0VO1,S/ R0 = a x0 + b y0

O1

O0O1 = a x0 + b y0 x0, x1 =

O1, x1, y1 O0, x0, y0

R1 O1, x1, y1, z1 R0 O0, x0, y0, z0

13


x0

y1

x1

R0O0

R1y0

z0

z1

a

bO1

Fig 11 : Paramtragedans le mouvement plan sur plan

x0

y1

x1

R0O0

R1y0

z0

z1

a

bO1

VM,S/R0

MI

Fig 12 : Mise en vidence du CIR

En drivant par rapport au temps, on obtient :

et [36]

En drivant par rapport les expressions [35] ou en divisant par les expressions [36], on obtient :

et

ce qui donne, en I o la vitesse est nulle :

et [37]

En substituant dans les relations [40], cela donne :

et [38]

Ces expressions donnent les coordonnes de I dans le repre R0. Elles prcisent le lieu de I dans R0, dans lemouvement de S par rapport R0. La courbe correspondante est appele la base .

On obtient x1 et y1 partir des relations [42] :

et [39]

Ces expressions donnent les coordonnes de I dans le repre R1. Elles prcisent le lieu de I dans R1, dans lemouvement de S par rapport R0. La courbe correspondante est appele la roulante .

chaque instant, puisque le point I a une vitesse nulle, la base et la roulante roulent sans glisser lune surlautre.

3.2. Thorme des trois plans glissantsSoient les solides S1, S2 et S3 en mouvement plan sur plan les uns par rapport aux autres. chaque instant,on peut dterminer les CIR des solides pris deux deux soit I12, I23 et I31. La relation de composition desmouvements permet dcrire, pour un point M :

ou encore :

mais , (composition des rotations)

do

Cette relation montre que le point I31 est le barycentre des points I21 et I32 affects respectivement des coef-ficients et et que les 3 CIR I31, I21 et I32 sont aligns. 32 21

32 z0 I32I31 +21 z0 I21I31 = 0 ou 32 I32I31 +21 I21I31 = 0

3/1 =3/2 +2/1 3/1 3/2 2/1 I31M =3/2 I32I31 +2/1 I21I31

3/1 I31M =3/2 I32M +2/1 I21M

3/1 I31M =3/2 I32I31 + I31M +2/1 I21I31 + I31M

VM,3/1 = VM,3/2 + VM,2/1

y1 =dad cos +

dbd sin

x1 =dad sin

dbd cos

y0 = b +dad

x0 = a dbd

dbd = x1 cos + y1 sin

dad = x1 sin + y1 cos

dyd =

dbd + x1 cos y1 sin

dxd =

dad x1 sin y1 cos

y0 = b + x1 cos y1 sin x0 = a x1 sin y1 cos


14

Documents

Cinématique Du Solide Indéformable