03 Propagation Des Ondes Electromagnetiques

8/18/2019 03 Propagation Des Ondes Electromagnetiques

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1.6 Quelques types d’onde particuliers

– Onde homogène : SEA et SEP sont confondues– Onde inhomogène : Il existe une composante telle que SEA et SEP soient distinctes.– Onde plane : SEA et SEP sont des plans– Onde cylindrique : SEA et SEP sont des cylindres– Onde sphérique : SEA et SEP sont des sphères

1.7 Classification des modes de propagation

En général les ondes se propagent dans une direction privilégiée (on choisit ici Oz). Cette direction estappelée direction longitudinale.

On distingue alors les différents cas suivants :

E z = 0 et H z = 0, l’onde est alors Transverse Electromagnétique (TEM)E z = 0 et H z = 0, l’onde est alors Transverse Electrique (TE)

E z = 0 et H z = 0, l’onde est alors Transverse Magnétique (TM)

E z = 0 et H z = 0, l’onde est alors Hybride

2 Caractéristiques de la propagation

2.1 SEP - Vecteur d’onde

On considère l’onde A(x,y,z)cos(ωt + ψ(x,y,z). La phase de cette onde est Φ(x,y,z,t) = ωt + ψ(x,y,z) àt0 fixé on a la surface équiphase S 1 définie par S 1 : ωt0 + ψ1(x,y,z) = Φ1

On prend un point P 1 ∈ S 1 et on considère une autre surface équiphase S 2 au même t0. On prend alors

P 2 ∈ S 2 et on note Φ2 = Φ1 + dψ et −→dr =

−−−→P 1P 2.

dψ = ∂ψ

∂xdx +

∂ψ

∂y dy +

∂ ψ

∂z dz,

dψ =−−→grad ψ.

−→dr

Définition 1 : Vecteur d’onde

On définit alors le vecteur d’onde −→

k de la manière suivante :−→k = −

−−→grad ψ

Alors on a Φ2

−Φ1

= −

−→

k .

−→

dr. Comme

−−→

grad ψ ⊥ S 1

en chaque point on a

−→

k ⊥ S 1

, ainsi

−→

k .

−→

dr est maximumsi −→k //−→dr. Donc Φ2 − Φ1 est maximal si on se déplace de P 1 à P 2 sur la normale à S 1 passant pas P 1.Si P 2 ∈ S 1 alors Φ2 = Φ1

2.2 Propagation des SEP - Vitesse de phase

On considère deux SEP infiniment voisines. On prend P 1 appartenant à S 1 et P 2 appartenant à S 2. A

l’instant t0 on a Φ1 = ωt0 + ψ1 = cst et Φ2 = ωt0 + ψ2 = ωt0 + ψ1 −−→k−→dr = cst. A l’instant t0 + dt on a alors :

Φ1 = ω(t0 + dt) + ψ1 et Φ

2 = ω(t0 + dt) + ψ1 −−→k−→dr

Si la propagation de S 2 est identique à celle de S 1 alors Φ

2 = Φ1 donc ω(t0 + dt) + ψ1 −

−→k .−→dr = ωt0 + ψ1

et ω t =−→k .−→dr

Donc −→

k indique le sens de propagation et ωt = |−→k ||−→dr|. On a alors la vitesse de phase (ie la vitesse de

propagation des SEP) :

|−→dr|

dt =

ω

|−→k |

= vϕ

−→k dépend a priori de (x,y,z)

2.3 Constante de phase - Longueur d’onde

Dans le cas où −→

k est indépendant de (x,y,z), on note |−→k | = β la constante de phase. (en rad.m−1)

Définition 2 : Longueur d’onde

La longueur d’onde est la distance entre deux SEP dont les phases différent de 2π. On note λ la longueur d’onde(en m).

Ondes Électromagnétiques - Chap 3: Propagation des ondes électromagnétiques– TELECOM 1A (r0ro) Page /


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On a alors −→

k .−→dr = 2π, β λ = 2π donc

β = 2π

λ

2.4 Vecteur d’affaiblissement

On considère la composante d’une onde E i(x,y,z) = Ai(x,y,z) exp( jψi(x,y,z)) = exp(ai(x,y,z)) exp( jψi(x,y,z))Pour une surface équiamplitude (SEA) on a : Ai(x,y,z) = cst (ai(x,y,z) = cst).

Définition 3 : Vecteur d’affaiblissement

Le vecteur d’affaiblissement est donné par la relation :−→k = −

−−→grad(a(x,y,z))

−→k indique la direction d’affaiblissement de l’onde.

2.5 Constante de perte

Définition 4 : Constante de perte

Si le vecteur d’affaiblissement est indépendant de (x,y,z) alors on note |−→k | = α la constante de perte (en

np.m−1) (np = neper, unité sans grandeur comme le radian)

2.6 Vecteur d’onde complexe

On considère deux points de l’espace P 1 et P 2, on a alors :

E i(P 1) = exp(ai(P 1)) exp( jψ1(P 1)) et E i(P 2) = exp(ai(P 1) −−→k .−−−→P 1P 2) exp( j(ψ1(P 1) −

−→k .−−−→P 1P 2))

Donc E i(P 2) = E i(P 1) exp(−−→k .−−−→P 1P 2 − j

−→k .−−−→P 1P 2).

On peut alors définir le vecteur d’onde complexe −→kc tel que :

j−→kc =

−→k + j

−→k

On a alors E i(P 2) = E i(P 1) exp(−→kc .−−−→P 1P 2).

3 Groupes d’onde

3.1 Distorsions introduites par la propagation

3.1.1 Vitesse de phase constante : milieu sans affaiblissement

Dans ce cas de figure le courant de transmission est idéal, il n’y a donc pas de déformation des signaux,quelque soit le signal considéré.

3.1.2 Vitesse de phase variable, milieu sans affaiblissement

Dans ce cas les signaux vont se propager à des vitesses différentes en fonction de leur fréquence, on va donc

avoir une distorsion de phase.

3.1.3 Vitesse de phase variable, affaiblissement variable

Dans ce cas le milieu est encore dispersif donc on aura encore une distorsion de phase mais en plus on auraune distorsion d’amplitude.

3.2 Battement de deux ondes de fréquences voisines

On considère ici deux ondes : ω1 et β 1 onde n˚1ω2 et β 2 onde n˚2

On introduit ω0 =

ω1 + ω22 , ∆ω = ω1 − ω2 ω0 alors ω1 = ω0 +

∆ω

2 et ω2 = ω0 −

∆ω

2

De même on a : β 1 = β 0 + ∆β

2 et β 2 = β 0 −

∆β

2On considère que ces ondes ont la même amplitude donc E 1 = E 0 cos(ω1t − β 1z) et E 1 = E 0 cos(ω2t − β 2z)



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D’après le théorème de superposition on aura l’onde totale E = E 1 + E 2, donc

E = E 0(cos((ω0 + ∆ω

2 )t − (β 0 +

∆β

2 )z) + cos((ω0 −

∆ω

2 )t − (β 0 −

∆β

2 )z))

E = 2E 0 cos(ω0t − β 0z) cos(∆ω

2 t −

∆β

2 z)

Comme ∆ω ω0 le terme 2E 0 cos(∆ω

2 t −

∆β

2 z) est lentement variable devant cos(ω0t − β 0z)

On a donc un phénomène de battements :

A l’instant t1 et en z1 on a cos(∆ω

2 t1 −

∆β

2 z1) et à l’instant t2 en z2 on a cos(

∆ω

2 t2 −

∆β

2 z2). Donc si le

déplacement se fait à la même vitesse que l’amplitude on a : ∆ω

2 t1 −

∆β

2 z1 =

∆ω

2 t2 −

∆β

2 z2, ∆ω(t2 − t1) =

∆β (z2 − z1), on définit alors la vitesse de groupe (en m.s−1) :

vg = z2 − z1t2 − t1

= ∆ω

∆β

Pour un paquet d’ondes on a

vg = dω

dβ

3.3 Diagramme de dispersion

Une relation de dispersion est un relation liant β à ω .Le diagramme de dispersion représente la variation de β en fonction de ω ou de ω en fonction de β

3.3.1 Milieu non dispersif

Pour un milieu non dispersif on a :

vϕ = ω

β = cst = a donc ω = aβ

vg = dω

dβ = a = vϕ

On a donc le diagramme de dispersion suivant :



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3.3.2 Milieu dispersif à dispersion normale

Pour un milieu dispersif on a vϕ = cstOn a alors le diagramme de dispersion suivant :

Dans le domaine 0 < ω < ωc il n’y a pas de propagation possible, avec ωc la pulsation de coupure.

3.3.3 Milieu dispersif à dispersion anormale

On a alors le diagramme de dispersion suivant :

Dans le domaine 0 < ω < ωc il n’y a pas de propagation possible. Dans le domaine ω

c < ω < ωc on a-Pour 0 < β < β c on a une dispersion anormale

-Pour β

c < β on a une dispersion normaleDans le domaine ωc < ω on a une dispersion normale


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