03Extrait_Maitrise_Statistique_des_Procedes

8/7/2019 03Extrait_Maitrise_Statistique_des_Procedes

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MAITRISE STATISTIQUE

DES PROCEDES

GENERALITES

A. LAMURE


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MAITRISESTATISTIQUEDESPROCEDES

INTRODUCTION :DEFINITIONS

QUEST-CE-QUELAMSP ?MSP = ensemble actions pour valuer, rgler et maintenir processus de

production en tat de fabriquer produits conformes aux spcifications et aveccaractristiques stables dans le temps.

MSP = suite analyses qui comprennent : rflexion sur processus,

caractristiques significatives de ce processus, du produit, des tolrances

ncessaires ; validation outil de production et de son aptitude fournir ce que

lon attend de lui et enfin mise en place de cartes de contrle.MSP = mthode prventive qui vise amener processus au niveau de qualit

requis et ly maintenir grce systme de surveillance qui permet de ragir

rapidement et efficacement toute drive. Mthode bases + particulirementsur statistiques.

REMARQUE : "Statistical Processus Control (SPC)" Matrise Statistiquedes Procds ("Contrle Statistique du Procd")

DEMARCHEMSPREFERENCE : pendant une ou plusieurs priode stable, dtermination, pour

caractristique produit ou paramtre fonctionnement, rfrence statistique

(minimum 100 valeurs) caractristique du processus (moyenne et dispersion) :rfrence englobe variations "naturelles" processus fabrication + contrle.

ECHANTILLONNAGE : pilotage du processus avec chantillon constitu dequelques prlvements analyss : moyenne et dispersion rsultats obtenus =

moyenne et dispersion processus instant considr.

COMPARAISON DE LECHANTILLON AVEC LA REFERENCE :si chantillon ne

diffre pas statistiquement de rfrence pas daction sur processus, sinonrecentrage du processus.


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INTRODUCTION :PROCESSUS DE PRODUCTI ON

PROCESSUS = ensemble moyens et activits lies qui transforment lments

entrants en lments sortants" (norme ISO 8402).

PROCESSUS DE FABRICATION peut comporter plusieurs tapes depuis matires

premires j produit fini allant chez client externe : chaque tape = processusavec interfaces fournisseur-client.

PROCESSUS DE CONTROLE : produit doit tre conforme des spcifications,

exprimes par tolrances. Vrification du produit sinscrit dans processus de

contrle constitu de plusieurs processus individuels de mesure (pour chaquespcification et chaque tape de fabrication). Processus individuel de mesure

ne concerne pas uniquement appareil de mesure mais aussi prparation lmentde fabrication tester.

PROCESSUS DE PRODUCTION = ensemble processus de fabrication +processus de contrle.

Remarque : notion de processus de fabrication non limite transformation de

matires ou dobjets. Processus de formation = processus de fabrication

(acquisition des connaissances) + processus de contrle (valuations, tests).

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INTRODUCTION :CARTES DE CONTROLE

Pour reprsenter rsultat tests statistiques, SHEWHART a invent un

graphique dnomm "Control Chart" ("Carte de contrle" ou "Carte de

matrise"). Classement des cartes de contrle en 2 grands groupes :SCHEMA DUNE CARTE SHEWART : pour maintenir centre une caractristique

dun processus, graphique propos par SHEWHART comporte :

ligne centrale = cible (l o on aimerait que se trouve le processus)2 limites de contrleinfrieure et suprieureLci et Lcs (ou Lmi et Lmslimites de matrise infrieure et suprieure) dont position est fonction effectif n

des chantillons et des risques de dcision.

CARTE DE CONTROLE PAR MESURES : caractrisant processus mesurable parcentrage chantillon et sa dispersion. On trouve cartes xw (moyenne),

s (cart-type) et w ou R (tendue) groupes normalement par 2 : cartes (xw

, w)

ou cartes (xw

, s).

CARTE DE CONTROLE PAR ATTRIBUTS : information porte sur carte fonction

du nombre individus de chantillon quipossdent un ou de plusieurs caractres

dont on ne peut que constater prsence ou absence. On distingue cartes p(pourcentage ou proportion de non-conformes), cartes np (nombre dunitsnon-conformes), cartes c (nombre de non-conformits), cartes u (nombre

moyen de non-conformits par unit),cartes D (dmrites = comptage pondrdu pourcentage de non-conformits).

Remarques : caractre mesurable peut tre soumis contrle par attributs en le

considrant comme conforme si sa valeur intervalle de tolrance et non-conforme dans le cas contraire.

4

Dans tous les types de cartes, dcision action ou pas prise au vu du dernierchantillon prlev. Analyse priodique (fonction volumes fabriqus et

matrise atteinte) des cartes remplies pendant priode considre.


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INTRODUCTION :NOTION DE RISQUE DECISIONNEL

PRISE DE RISQUE : estimation statistique quun vnement se produise ou non

ne peut svaluer que par rapport situation antrieure connue tablissement

rfrence correctement et rigoureusement tablie sur processus considr pour pronostiquer son comportement futur. Dans dcisions prises suite contrle

statistique ("agir" ou "ne pas agir") proposition choisie = la + favorable.

Comme obtention chantillon hors des limites de contrle peu probable (ex.

0,1%) quand processus centr action lorsque chantillon limites : on aura99,9% de chance davoir eu raison dagir.

CONTROLES : soit 100% de toutes units produites, soit sur quelques

prlvements dont moyenne constitue chantillon . estimation qualit delensemble des units produites. Cots de contrle nombre n de mesurestandis que sret de jugement n contrle 100% trs onreux et peupratiqu (ncessaire que pour raisons impratives scurit, renomme) car ne

met pas 100% labri de rclamations (vnement ponctuel peut fausser un

contrle). Contrle quelques units : nombre dunits contrles risque

RISQUES ET : : soit un oprateur qui vrifie diamtre axes d = 3 mm avecpied coulisse idalement rgl. Limites de tolrances fixes Ti = 2,9 mm et

Ts = 3,1 mm. Si une cendre de cigarette tombe malencontreusement entre morsdu pied coulisse sans quil sen aperoive, il se peut que :

axe pris ait un diamtre bon maisproche de Ts et que surpaisseur cendre

valeur lue > Ts pice plac dansrebuts.

5

pice ait un diamtre rel < Ti et quesurppaisseur de la cendre piceconsidre bonne expdie au client.

Risque (1re espce, risque fournisseur, fausse alarme) = risque de trouvermauvaise quelque chose qui est bonne ou dagir sur un processus alorsquil ne le faudraitpas.

Risque (2me espce, risque client) = risque de trouver bonne quelquechose qui est mauvaise ou de ne pas agir alors quil le faudrait.

Dans toute dcision que nous prenons, existence de ces 2 risques derreur. Pour

assurer tolrances aux clients, cartes de matrisecalcules de faon quellespermettent de dcider avec minimum de risques ( et ) si action correctivencessaire ou pas sur processus.


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INTRODUCTION :SECTEURS DAPPLICATIONS

MSP prconise mise en place, en cours de fabrication, de cartes de matrise qui

assureront en permanence tolrances et permettent de supprimer contrles a

posteriori. Deux cas peuvent se prsenter :si client dj form MSP : envoi de photocopies de la (les) carte(s) dematrise sur priode de fabrication correspondant au lot expdi ou lots livrs

sans chiffre mais contrles priodiques par client ("audit") du systme Qualit

de son fournisseur.

si client non form MSP : envoi de bulletins danalyse, moyenne desrsultats obtenus avec cartes de matrise sur priode de fabrication

correspondant commande.

Utilisation MSP sur tout processus utilisant ou fournissant produits au sens trs

large du terme (rsultats contrle analytique, de scurit ou denvironnement produits). Fabrication produits industriels passe par contrles :

qualit des matires premires (jugement qualitatif proportion units nonconformes dit aux attributs [norme AFNOR NF X06-022] ou de qualit partir

de mesures [norme AFNOR NF X06-023]). Contrle de rception matires

premires devrait disparatre (ISO 9000, contrles fournisseur et non client).

reproductibilit chanes de mesure puisque processus de production = processus de fabrication + mesure, variabilit du produit = variabilits

fabrication + mesure. Variance de fabrication inconnue (jugement au traversde mesures) mais variance chane de mesure mesurable (tude statistique de

reproductibilit sur un seul prlvement) connaissance du domaine(fabrication ou contrle) amliorer en priorit.

vrification dtalonnage appareils de mesure : qualit dun produit lieau couple (fabrication, contrle). Si caractristique X dun produit ou

paramtre Y de fonctionnement = majeurs/critiques talonnage processus demesures de X ou Y aussi majeurs/critiques ( ne jamais mettre en place cartesde contrle sur caractristiques de produits ou paramtres de fonctionnement

sans avoir pralablement tabli cartes de matrise sur vrification dtalonnage

chanes de mesure correspondantes).

matrise des caractristiques des produits et des paramtres defonctionnement : tablir dabord carte sur produit final dun processus dont

aptitude nest ni trop faible, ni excellente (ne pas commencer par essayer de

rsoudre problme jusque l insoluble ou cas dj trait avec satisfaction).


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INTRODUCTION :EXEMPLE DE MAU VAIS PILOTAGE

Suivi dans atelier de la quantit dacide rsiduaire dun mlange dans racteur.

Chaque analyse individuelle servait dcider si quantit dacide introduite

pour oprations suivantes devait tre modifie ou pas. Responsable ateliervoulant mettre en place carte de matrise sur cette quantit dacide, calcula

limites, en fonction risques de mauvaises dcisions et tolrances, avec effectif

dchantillon n = 3. Pour sassurer de la validit de la carte, rsultats

individuels ayant servi aux oprateurs pour piloter processus sur cette priode,

ont t groups sous forme dchantillons (moyennes de 3 mesures) et reports

sur carte calcule.

premire action effectue par oprateurs sur une valeur individuelle inutile,seconde action tout fait justifie.troisime action inutile. De + action entreprise dmesure poste suivant,correction dans autre sens encore disproportionne processus hors limite parvaleur infrieure.

comme procd joue au yo-yo, oprateur poste suivant ragit faiblement processus non recentr et 2 postes suivants oprateur oblig de redonner

nouveau coup de barre.

Pendant 2,5 jours, homme nagissant qu partir dinformations ponctuelles, a

fait drailler sa machine, ...en tant persuad de bien faire ! Seule dernireaction tait justifie. Exemple montre que, non seulement on agit souvent trop

prcipitamment, avec rsultats ponctuels, mais aussi souvent de faon

inconsidre ; seulescartes permettent dadapter intensit des corrections

apporter pour corriger drives juste ce quil faut.

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MAITRISESTATISTIQUEDES PROCEDES

PROCESSUS :DIAGRAMM E DE PARETO

MAITRISE PROCESSUS minimum de connaissances sur : paramtres majeurs qui conditionnent qualit du produit, scurit deshommes et du matriel,caractristiques majeures du produit,savoir sur quoi agir et de combien si paramtres ou caractristiques sortentlimites de tolrance.

Commencer par rpertorier tout ce qui est mesur, ce qui est surveill

qualitativement et oprer classement par ordre dimportance (critique > majeur

> moyen > mineur). Mettre en place en priorit cartes de matrise sur variables

les + critiques non matrises : les + onreuses ou les + dangereuses.

DIAGRAMME DE PARETO = formalisation du processus pour dfinir pointsles + prjudiciables qualit. Pour cela reprsenter et classer non conformits

sur un histogramme, en frquence ou en cots dcroissants.

EXEMPLE : fabrication de rsine polyester, recensement des non conformits

Classement et reprsentation des rsultats sur diagramme montre quil faut

porter ses efforts dabord sur E puis sur D, etc.

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Nombre des non

conformitsFamilles

Nombre dobservation Pourcentages

Contamination (inclusions)Taux dhumidit

Taux de manganse

Coloration

Viscosit

Taux de cendre

AB

C

D

E

F

102

3

39

73

18

6,91,4

2,1

26,9

50,3

12,4


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PROCESSUS :DIAGRAMME D ISHIKAWA

CAUSES DES NON CONFORMITES : diagramme dISHIKAWA (ou en "artes

de poisson") = reprsentation des causes directes et indirectes possibles dune

non conformit. Pour tablir diagramme efficace, travail de groupe avec personnes comptentes, concernes (fabricants, contrleurs, technico-

commerciaux, responsables du transport, ...). Groupe de travail doit non

seulement dfinir mais aussi classer principales causes potentielles de non

conformits.

Distinction parfois entre causes "alatoires" (nombreuses et faibles effets sur

processus) et causes "assignables" (moins nombreuses mais effets importants).

Classement prfrable en causes "connues et matrisables" (= facteurs

principaux PEX) et "inconnues ou non matrisables" ( = facteurs bruit).Lorsque causes non matrisables font driver processus agir sur un facteur

connu pour le redresser.

EXEMPLE : voiture roulant une piste, parfaitement rectiligne mais prsentant

des dvers statistiquement rpartis gauche et droite (= causes alatoires non

matrisables). Sur ensemble de la piste autant de dvers des 2 cts, mais sries

de plusieurs dvers successifs droite et gauche. Avec une voiture parcourant

cette piste, on ne devrait jamais rgler le volant puisque piste rectiligne.

Pourtant dans zones o existe davantage de dvers gauche vhicule va tre

entran gauche et volant devra tre tir droite : direction du vhicule =paramtre de fonctionnement qui corrige drives dues aux causes alatoires.

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PROCESSUS :CORRELATIONS

OBJECTIF ETUDE = dterminer si 2 variables X et Y lies, c.a.d. si en

modifiant variable X ("cause suppose") "effet" sur Y. Cas uniquement

corrlations linaires 2 variables. Pour corrlations non linaires, il fauttrouver transformes qui ramnent des corrlations linaires (log(x), x

n, ...).

Pour construire diagramme de corrlation, disposerau moins de 20 couples de

valeurs (X, Y). Tracer 2 axes et graduer axes de telle sorte que segmentreprsentant tendue valeurs de X longueur reprsentant tenduevaleurs de Y.

INTERPRETATION VISUELLE DU DIAGRAMME : lorsque nuage de points forme

bande assez troite et que valeurs de Y

(

) globalement quand celles de X : corrlation positive (ngative) ; lorsque nuage de points ne forme pas unebande trs troite, possibilit davoir corrlation mais analyse + approfondie

ncessaire. Il ny a probablement pas corrlation sauf si donnes collectescouvrent domaine de variation insuffisant ou rassemblent rsultats obtenus

dans conditions et mlanges sans discernement (ex. matires premires ,modification consignes de fonctionnement durant priode considre, ...).

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PROCESSUS :TEST DE CORRELAT IONS

Tracer sur diagramme de corrlation 2 axes passant par x et y (moyennevaleurs X et Y) 4 quadrants numrots I, II, III et IV. Compter n i = nombre points dans chacun des quadrants, sans prendre en compte points qui setrouvent sur axes x et y . Effectuer somme n = nombre points dans les 2

quadrants opposs les - peupls (n = n1 + n3 = 4) et N = nombre total points

dans 4 quadrants (N = 28). Regarder dans table de corrlation probabilit de

trouver seulement n points sur N dans ces quadrants (ex. table avec risque de se

tromper = 5% : n0 = 8) : n0 = limite pour dire avec risque = 5% de setromper quil y a une corrlation

REMARQUE : test de corrlation appel "test des signes" car regroupementpoints de quadrants opposs pour lesquels i = [(xi - x )][(yi - y ] > 0 ou < 0.

N n0 N n0 N n0 N n0 N n0 N n0 N n0 N n0 N n0

1011

12

13

14

15

1617

18

19

-

11

2

2

2

3

34

4

4

-

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

-

5

5

5

6

6

7

7

7

8

8

-

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

-

9

9

9

10

10

11

11

12

12

12

-

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

-

13

13

14

14

15

15

15

16

16

17

-

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

-

17

18

18

18

19

19

20

20

21

21

-

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

-

21

22

22

23

23

24

24

25

25

25

-

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

-

26

26

27

27

28

28

28

29

29

30

-

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

-

30

31

31

32

32

32

33

33

34

34

-

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

35

35

36

36

37

37

37

38

38

39

39

11

Table de corrlation pour un risque derreur = 5%


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PROCESSUS :COEFFICIENT DE CORRELATI ON A 2 VARIABLES

COEFFICIENT DE CORRELATION VRAI ENTRE 2 VARIABLES X et Y, pour

nombre de mesures = nombre inconnu tel que -1 < < +1. Valeur estime

par r sur nombre restreint de mesures : ( )( ) ( )[ ] ( )[ ]

=22

yyxx

yyxxr

ii

ii .

TABLE DE CORRELATION DE : premire colonne nombre degrs delibert : (pour 2 variables, = N - 2 , pourk variables = N - k). Autrescolonnes probabilit de trouver valeur valeur de r donne.

P = 10% P = 5% P = 2% P = 1%12

34

5

0,9877

0,9000

0,80540,7293

0,6694

0,9969

0,9500

0,87830,8114

0,7545

0,9995

0,9800

0,93430,8822

0,8329

0,9999

0,9900

0,95870,9172

0,8745

6

7

89

10

0,6215

0,5822

0,5494

0,5214

0,4973

0,7067

0,6664

0,6319

0,6021

0,5760

0,7887

0,7498

0,7155

0,6851

0,6581

0,8343

0,7977

0,7646

0,7348

0,7079

1112

13

1415

0,4762

0,4575

0,4409

0,42590,4124

0,5529

0,5324

0,5139

0,49730,4821

0,6339

0,6120

0,5923

0,57420,5577

0,6835

0,6614

0,6411

0,62260,6055

1617

18

1920

0,4000

0,3887

0,3783

0,3687

0,3598

0,4683

0,4555

0,4438

0,4329

0,4227

0,5425

0,5285

0,5155

0,5034

0,4921

0,5897

0,5751

0,5614

0,5487

0,5368

25

3035

40

45

0,3233

0,2960

0,2746

0,02573

0,2428

0,3809

0,3494

0,3246

0,3044

0,2875

0,4451

0,4093

0,3810

0,3578

0,3384

0,4869

0,4487

0,4182

0,3932

0,3721

50

6070

8090

100

0,2306

0,2108

0,1954

0,1829

0,1726

0,1638

0,2732

0,2500

0,2319

0,2172

0,2050

0,1946

0,3218

0,2948

0,2737

0,2565

0,2422

0,2301

0,3541

0,3248

0,3017

0,2830

0,2673

0,2540

Pour N > 100,

=

3

2/

N

kthr P avec k = nombre dcarts-types pour la probabilit P/2 (Loi

Normale Rduite) et th = fonction tangente hyperbolique.

12

Table de corrlation 2 variables


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PROCESSUS :REGRESSIONS

Lorsque tests prcdents montrent corrlation entre X et Y volont dedterminer relation linaire qui lie effet de X sur Y de faon pouvoir agir sur

Y par intermdiaire de X.Rgression linaire de la forme : y = a x + b avec a = r sY/sX et

b = y - a x o r = coefficient de corrlation, sX et sY = carts-types respectifs

sur X et Y,x et y = moyennes respectives de X et Y.

APPLICATION 1 :POLYMERISEUR NYLON

Etude de linfluence V de la vis dextraction (X) sur la porosit des pastilles de

polymres obtenus (Y). On a relev les donnes suivantes

n chantillon X =vitesse Y = porosit n chantillon X =vitesse Y = porosit

1

2

3

4

5

6

7

8

910

56

59

61

52

54

65

53

57

6355

15

22

20

10

16

23

13

16

2412

11

12

13

14

15

16

17

18

1920

57

60

66

56

59

59

63

62

5551

17

24

27

20

20

17

21

18

1713

Construire le diagramme de corrlation. En dduire si la porosit est corrle

V ? Dans le cas positif, donner la relation linaire qui lie la porosit la vitesse

V de la vis dextraction pour la polymrisation du nylon.

Remarque avec Excel, si valeurs X places dans colonnes B2-B21 et Y dans

colonnes C2-C21 :

Etendue wx = MAX (B2 : B21) MIN (B2 : B21),Moyenne x = MOYENNE (B2 : B21),Ecart-type sx = ECARTYPE (B2 : B21),

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Coefficient corrlation r = COEFFICIENT.CORRELATION (B2 : B21 ; C2 : C21)


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STATISTIQUES:H ISTOGRAMME

STATISTIQUE = rsum chiffr nombre important de donnes ( perteinformations) obtenu par .

regroupement donnes individuelles en classes : 6 15 valeurs rsument40 plusieurs milliers de donnes

moyenne + dispersion donnes individuelles autour valeur centrale : valeurscalcules selon loi de distribution choisie qui rsument ensemble des donnes.

GRAPHIQUES = reprsentation valeurs sous forme histogramme, "camembert",

courbe de distribution en frquences, etc. Pour construire correctement

histogramme, partir de N donnes individuelles, 4 rgles :

Nombre de classes K tel que 6 < K < 15. Estimation parK = N ou rglede STURGES : K = 1 + 3,3 log10 (N).Largeur L classes calcule partir tendue (w ou R) des donnes etnombre K de classes : L = w /K. Arrondir L selon prcision voulue diminution ou augmentation parfois de K de 1.

Limites basse (haute) 1re (dernire) classe telles que + petite (grande)des donnes se trouve dans classeet non en limite de classe.Si une valeur se trouve une interclasse, la mettre par convention dansclasse immdiatement droite (rgle dite "priorit droite").

REMARQUES : Forme symtrique histogramme indique normalitdistribution des donnes mais test de normalit ncessaire. Si intervalle des

classes de lhistogramme valeur infinitsimale dx (nombre de classes ),polygone de distribution en frquences des valeurs courbe de distribution.Recherche loi de distribution la + proche de la distribution exprimentale puis

utilisation modle mathmatique pour reprsenter processus.

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STATISTIQUES :DISTRIBUT ION NORMALE

DISTRIBUTION LOI NORMALE caractrise, pour rfrence N 100 parmoyenne = x/N et cart-type des valeurs ( ) = Nx /2 .Pourchantillon taille n : m = xi/n et ( ) ( ) = 1/2 nmxs i Commencer par tracer donnes sur diagramme chronologique et liminer

points "singuliers" de cause connue. Si aucune tendance discernable :

Calculer moyenne et cart-type sur ensemble des points (N 100) avecformules pour rfrence afin dobtenirdispersion ensemble des donnes.Dissocier srie des N donnes en r sous-groupes de taille n voisine deschantillons afin dobtenir dispersion "intrinsque" ou "instantane". Si

trac met en vidence plusieurs populations, calculer cart-type de chacunedes populations ou des r sous-groupes puis cart-type moyen partir desvariances. Pour tracer histogramme, recentrer valeurs individuelles sur

moyenne cible.

Si tendance chronologique (cas frquent pour indicateurs) diviser

artificiellement donnes en sous-groupes de quelques valeurs (minimum = 2) et

calculer cart-type intrinsque moyen comme prcdemment.

aucune tendance n = 2 populations tendance chronologique

Lorsque N donnes divises en sous-groupes, cart-type moyen calcul

soit directement partir de ceux des sous groupes (mthode la plus

prcise), soit partir tendue moyenne w de ces sous-groupes.

Avec 1re mthode, = rss i /2 si taille n des r sous-groupes ne varie pasde 10% et [ ] ( ) = 11 /2 iii nsns autrement.

Avec 2nde mthode, taille n des sous-groupes rigoureusement identiques ets = w /d2 o d2 donne en fonction taille n des sous groupes.

n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

d2 1,128 1,693 2,059 2,326 2,534 2,704 2,847 2,970 3,078 3,173 3,258

15


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STATISTIQUES:PROPRIETES DE LA LOI N ORMALE

DISTRIBUTION NORMALE reprsente par une courbe symtrique centre suret probabilit P(x) de trouver valeur donne x dtermine par fonction

( )

=

2

2

2exp

21)(

xxP . Probabilit de trouver des valeurs entre deux limites

x1 et x2 vaut :( )

dxx

xxxPx

x

= 2

12

2

212

exp2

1)(

( surface S)

COORDONNEES CENTREES REDUITES = nombre dcarts-types k = (x-)/,probabilit de trouver valeurs situes au-del de k carts-types de la moyenne

sexprime par la LOI NORMALE REDUITE (LNR) :

P (x tel que (x-)/ k) = dxk

k

2exp2

1 2

Par dfinition, distribution LNR a pour moyenne = 0 et cart-type = 1.VALEURS CARACTERISTIQUES DE LA LOI NORMALE REDUITE

Entre % de valeurs A lextrieur de % de valeurs

1 cart-type 68,3 % 1 cart-type 31,7 % 2 carts-types 95,4% 2 carts-types 4,6%

3 carts-types 99,73% 3 carts-types 0,27%Tableur EXCEL : PROBABILITE P = LOI.NORMALE.STANDARD (k)Inversement si P = 5% k = LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE(0,05)

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STATISTIQUES :INTERVALLE DE CONFIAN CE DUNE MOYENNE

Pour juger tat statistique dun processus prlvements (chantillons) dont on

dtermine moyennex

et cart-type sx.

THEOREME LIMITE CENTRALE : si, dans une population normale (moyenne et cart-type ), on prlve des chantillons de taille n, distribution de ceschantillons suivra une loi normale (moyenne et cart-type sx = / n ).Pour chantillon, ix peut se trouver loigne de la vritablemoyenne .Intervalle de confiance de la moyenne, avec probabilit P donne, =

estimation [inf- sup] autour de ix . Vritable moyenne a P% de chance de se

trouver dans intervalle : inf= ix - k.s/ n ix + k.s/ n = sup o k =nombre carts-types loi LNR correspondant probabilitP = (100-P)/2 detrouver cette moyenne et s= estimation de connu.

COMPARAISON DE 2 MOYENNES :acuit du jugement = fonction du nombre nde mesures individuelles et calcul de la dispersion des donnes tablie de faon

sre (variance "connue") ou sur sries (variance "inconnue").

VARIANCE "CONNUE" : soit n1 et n2 = nombre de mesures pour chacune des

moyennes 1x et 2x , leur diffrence D = | 1x - 2x | est significativement 0,

avec probabilit choisie (risque ) de se tromper si D + k d avecd = 2212 // nn + et k = nombre dcarts-types de la loi LNR correspondant probabilit de dclarer diffrence significative alors quelle ne lest pas.

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VARIANCE "INCONNUE" (test dAspin-Welch) : utilisation de la loi de

Student au lieu de loi normale. Test de lhypothse D t sd avecsd = 2

2

21

2

1 // nsns + et t = variable correspondant probabilit de dclarerdiffrence significative alors quelle ne lest pas, pour nombre de degrs de

libert calcul et arrondi valeur entire la plus proche par :

+

=

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

1 1

1

1

11

dd sn

s

nsn

s

n


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STATISTIQUES :INTERVALLE DE CONFIAN CE DUN ECART-TYPE

INTERVALLE DE CONFIANCEDE LECART-TYPE :comme celui de la moyenne

il dpend de la taille n de lchantillon considr. Contrairement celui de la

moyenne, ce paramtre ne suit pas une LNR maisune LOI dite DE2. Pourune valeur dcart-type donne sx dchantillon, vritable cart-type peut setrouver loign de sx : on appelle intervalle de confiance de lcart-type,pour une probabilit P donne, lestimation (inf- sup) autour de sxinf= sx ( ) ( ) 2/10021 Pn sx ( ) ( ) 2/10021 Pn + = supRemarque : loi du 2 dissymtrique conduit a une faible prcision sur cart-type pour des tailles dchantillons faibles. Cest pourquoi, il faut dterminer la

dispersion sur minimum 100 valeurs.

COMPARAISON DE DEUX VARIANCES : soit 2 chantillons sur lesquels on adtermin les carts-types s1 sur n1 mesures et s2 sur n2 mesures. Pour

dterminer si les deux carts-types sont significativement diffrents, on calcule

le rapport F = s12/ s2

2en portant toujours au numrateur la variance la plus

leve. On cherche ensuite sur la table de "F" (FISHER-SNEDECOR), pour

1 = n1 -1 et 2 = n2 -1 degrs de libert, la valeurF0au-del de laquelle on nepeut trouver que P% (risque ) de valeurs si les carts-types sont gaux etconclure tort quils sont diffrents. Ecarts-types non significativement siFcalcul F0 et si Fcalcul F0 avec un risque = 5% de se tromper

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STATISTIQUES:TEST DE NORMAL ITE

TEST DE LA DROITE DE HENRY (norme AFNOR X06-050) : test de normalitpour juger ajustement dune partie de la distribution des valeurs exprimentales

une courbe de Gauss. Sur un papier chelle Gausso-arithmtique(ordonnes - abscisses) porter, en ordonnes, les frquences cumules auxcentres de classes, sauf le premier et le dernier point (trop grande

imprcision). Plus valeurs exprimentales se rapprochent dune loi normale,

plus les points sont aligns. Pour conclure que la distribution est ou nest pas

normale, tablir un "couloir" de confiance tel quon na que 5% de risque detrouver des points extrieurs en portant les intervalles de confiance de la

moyenne et de la dispersion.

A mmin = m - k2,5% s/ N = m - 1,96 s/ N pour 50% des valeurs

B mmax = m + k2,5% s/ N = m + 1,96 s/ N pour 50% des valeurs

C mmin + smin = mmin + s ( )%5,2

2/1 N pour 84% des

valeurs

D mmax + smax = mmax + s ( )

%5,97

2/1 N pour 84% des valeurs

E mmin - smax = mmin - s ( )%5,97


F mmax - smin = mmin - s ( )%5,2


TRACES TYPIQUES DU GRAPHIQUE DE HENRY

Loi normale

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MAITRISE STATISTIQUE

DES PROCEDES

ANALYSES

A. LAMURE


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APTITUDE:APTITUDE STANDARD

OBJECTIF = vrifier que variabilit naturelle et centrage du processus deproduction compatibles avec tolrances de la caractristique slectionne.

Sur une priode stable de rfrence, prlever, de faon alatoire, N = 100valeurs non conscutives. Eviter :

prlvement sur une trop longue priode : risque de modifications deconsigne de marche, de matriel, assimilables des variations alatoires du

processus surestimation de la dispersion, prlvement sur une priode trop courte : risque que certains facteursalatoires naient pas eu le temps de jouersous estimation de la variabilit.

Moyenne m trouve sur la (ou les) priode(s) de rfrence peut treremplace par une valeur "cible" m0 fixe en gnral par rapport auxtolrances [Ti ; Ts] centre ou non.

INDICATEURS DAPTITUDE STANDARD : Cp =s

TT is

.6

lorsque cible centre

sinon Cpk =

s

Tm

s

mTMin is

.3;

.3

.. 00 (norme NF X06-033). Indicateurs standard

fonds surdispersion standard de 6 carts-types (99,73% des valeurs). Troiscas :

Suivant valeurs de Cp ou Cpk, aptitude des processus classe comme :

Cp 0,67 0,67 Cp 1,001,00 Cp 1,33

1,33 Cp 1,671,67 Cp 2,00

2,00 Cptrs

mauvaise

mauvaise trs moyenne

moyenne

moyenne

bonne

bonne

trs bonne

excellente

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APTITUDE:APTITUDES DUN MOYEN DE PRODUCTION ET DE CONTROLE

APTITUDE SPECIFIQUE :pour prciser la notion de "risque lutilisation du

produit" utilisation dindicateurs dAptitude plus spcifiques ( coefficients

dAptitude spcifique) nots Apou Apk se rapportant une dispersion de 2 kcarts-types (2 k = nombre dcarts-types dfini par loi LNR en fonction dupourcentage de valeurs qui doivent se trouver entre les tolrances) :

Ap =sk

TT is

.2

et Apk =

sk

Tm

sk

mTMin is

.2;

.2

.. 00

APTITUDES = indicateurs dtat a posteriori. Dans cart-type s de la priodede rfrence, tous les facteurs (matires premires, moyens de fabrication,moyens de contrle) ont contribu la dispersion de la production. Afin

de faire la part de chacun deux, distinction entre : APTITUDE OPTIMALE (OU INTRINSEQUE) DUN MOYEN DEPRODUCTION : Prlever, dans conditions optimales de stabilit defonctionnement, une cinquantaine de pices sur une courte dure dont

dispersion si = "dispersion intrinsque du moyen de production" Cam =IT/ 6si(rapport intervalle de tolrance sur dispersion intrinsque du moyende production sur une courte priode) ou Cmk = min.[(Ts - m)/ 3si ; (m - Ti)/3si] (rapport distance entre moyenne et tolrance la plus proche sur demi -

dispersion intrinsque du moyen de production sur une courte priode).Remarque : aptitude optimale (ou intrinsque) aptitude defabrication (influence de la variance de la chane de mesure).

APTITUDE DUN MOYEN DE CONTROLE. : "justesse" du systme decontrle (dispersion entre moyenne dune srie de rsultats et une valeur de

rfrence). Essais de "rptabilit" partir dun seul prlvement defabrication, par le mme oprateur, dans un mme lieu, sur un seul appareil,

avec le mme mode opratoire) non raliss en MSP.

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Essais de "Reproductibilit" (dispersion sR des rsultats obtenus partirdun mme prlvement de fabrication, par mme mthode mais avec des

oprateurs diffrents, des appareils diffrents et des temps ventuellement

variables) pour dterminer les variations de lensemble de la chane qui

auront des rpercussions sur pilotage de fabrication. Cmc = IT/6sR (rapportintervalle de tolrance du moyen de production sur dispersion dereproductibilit du moyen de contrle sur une courte priode).


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APTITUDE:ETUDE COMPARATIVE DES VARIANCES

INDICATEURS DAPTITUDE prsentent plusieurs inconvnients :

aptitudes dun niveau de qualit ne peuvent servir au pilotage des processus,

aptitude intrinsque juge quau travers de mesures valeurs ne donnentpas aptitude propre du processus de fabrication, aptitudes non additives : aptitude globale du processus de production aptitudes processus fabrication + processus contrle (inverse racine carre),

aptitudes ne permettent pas de dfinir objectifs relatifs de variabilit duprocessus de contrle vis--vis du processus de fabrication.

VARIANCES DE FABRICATION ET DE CONTROLE : variance VP du processusde production, pour caractristique donne dun produit = somme variances

des lments qui le compose : matires premires, opration de fabrication

(hommes et machines) et ensemble des oprations qui amnent aux rsultats de

mesure (chane de mesure).

Si Vp = variance globale de production (Vp = s2

processus de production) et

VC = variance processus de contrle (VC = sR2

reproductibilit) variancematires premires Vmp Vp + VC et Vmp + VF = estimation de la variance delensemble (matires premires + fabrication). La part de la variance decontrle ne doit pas dpasser 20% de la variance totale. La variance nestpas un indicateur passif : cest un outil damlioration de la Qualit.

Exemple : rduction en priorit de la dispersion du processus de :fabrication. Contrle

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APTITUDE:FABRICATION DE FIL METALLIQUE

APPLICATION :FABRICATION FILS METALLIQUESDans une usine de fabrication de fil mtallique pour pneumatique, on contrle

la charge la rupture des fils avec un dynamomtre. Les fils de diamtres0,175 mm ont une charge la rupture moyenne de 80 N et les tolrances sont

de 3,6 N. On sait centrer cette charge la rupture en jouant sur le diamtre

Durant une priode de rfre

du fil initial avant trfilage.

nce, on a trouv cart-type global sP = 1,08 N sur

fil, le laboratoire de

n dduire les pourcentages respectifs des variances de fabrication et de

rt de la variance de contrle est trop importante pour

uelle est, dans ce cas, laptitude globale du processus Cp ?

la production. En dduire lAptitude de la production Ap

ur la mme priode, partir dune seule bobine deS

contrle a estim la reproductibilit de la mesure dynamomtrique sR= 0,75 N.

En dduire laptitude du moyen de contrle Cmc

E

contrle VF% et VC%n saperoit que la paO

pouvoir piloter le processus de trfilage avec une seule mesure par bobine. Le

seul moyen de diminuer cette part de variance et, par l mme, augmenter

laptitude de lensemble (fabrication + contrle) est de faire n mesures surchaque bobines. Calculer avec n = 8 les nouvelles variances de contrle VC

et de production ainsi que les nouveaux pourcentages respectifs des variances

Q

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CARTESDECONTROLE:DEPLACEMENT LIMITE DE LA MOYENNE

ZERO DEFAUT nexiste statistiquement que pour intervalle compris entre "zro dfaut" trs faible probabilit statistique p, dfinie enfonction du risque que client trouve rsultats hors tolrances. Toutprocessus drive avec le temps sous effet de causes indtermines quon

sefforce de supprimer pas pas ou alatoires qui peuvent se conjuguer

momentanment pour donner des effets dans le mme sens. Si

caractristique dun processus drive dune quantit vers la tolrancesuprieure Ts, il ne faut pas que sa moyenne m dpasse une certaine valeur

limite mrs (= "moyenne refusable suprieure") qui assure encore probabilit p choisie (quivalente au "zro dfaut"). Dans le cas de 2

tolrances Ti infrieure et Ts suprieure limites infrieure mri etsuprieure mrs. Exemple si quivalence du "zro dfaut" est p = 0,135%mri et mrs se trouveront 3 carts-types en retrait des tolrances Ti et Ts

POSITIONS DE mri ET mrsdfinies par loi LNR, ds que p fix : mrs = Ts -ks et mri = Ti + ks avec k = nombre carts-types correspondent p%. Pour

simplifier formules, drive maximale de la moyenne exprime ennombre dcarts-types = Min.[(mrs - m0)/s ; (m0 - mri)/s]. Plus grand,plus processus apte respecter tolrances et moins contrle cote

cher et optimum quand Ti et Ts symtriques par rapport m0. Lorsqueprocessus est centr, probabilit que client trouve des valeurs horstolrances est minime : ce nest que lorsque moyenne atteint mri ou mrsquelle est de p%. Comme cartes de matrise calcules de faon dtecter

toute drive D, probabilit moyenne relle quun client trouve unevaleur hors tolrances est toujours infrieure p.

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CARTESDECONTROLE:PERIODES OPERATIONNELLES

Pour la dtermination de leffectif n des chantillons, il faut tenir compte

des deux risques et de se tromper.

CARTES SHEWHART : risques valus en probabilits carinformationsdonnes par chantillons successifs traites de faon indpendante les

unes des autres ( et constants dun chantillon lautre).CARTES CUSUM ET EWMA : informations prsentes combines avec

celles du pass risques et voluent chronologiquement etconcepts de risque traduits en termes de "Priodes Oprationnelles".

PERIODE OPERATIONNELLE P = nombre N dchantillons successifsjusqu' en trouver un qui conduise penser que le processus a driv.

si processus na pas driv en ralit, priode note P0 correspond auconcept de "fausse alarme",

si le processus a driv effectivement, priode note P1 correspond auconcept "(100 - )" chance de dtecter rapidement cette drive.Remarque : on dsire P1 la plus petite possible (dtection rapide desvritables drives 1 < P1 < 4) et P0 la plus grande possible (le moins

possible de fausses alarmes 100 < P0 < 1 000) consquences sur effectif

n des chantillons, c.a.d sur cot de contrle.

Drive Fausse alarme

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CARTESDECONTROLE:PERIODES OPERATIONNELLES MOYENNES

PERIODE OPERATIONNELLE dune squence dchantillons, jusqu'obtenir un chantillon qui sort des limites de contrle = nombre entier.

Mais si processus plac une position dtermine (exemple mrs) et que plusieurs squences successives sont lances, nombre dchantillons au

bout duquel on est alert dune drive nest pas le mme chaque

squence : on a une distribution alatoire des frquences de PriodesOprationnelles.

PERIODE OPERATIONNELLE MOYENNE : pour carte SHEWHARTdistribution des Priodes Oprationnelles toujours dcroissante et a une

longue trane tandis que celle des cartes CUSUM et EWMA est beaucoup

plus resserre, dissymtrique, avec un maximum (continment que simoyenne < 1,5). Moyenne de cette distribution = "PriodeOprationnelle Moyenne" note POM0 si cest une fausse alarme

(conventionnellement P0= 100/) et POM1 si cest une vritable alarme(P1 = 100/(100-)).

PERIODE OPERATIONNELLE MAXIMALE : normes font apparatre, pour lesvritables alarmes, la notion de POMAX, = valeur de PriodeOprationnelle Maximale nayant que 5% de risque dtre dpasse : lesPOMAX peuvent tre :

calcules pour cartes SHEWHART : POMAX = ENT.1 + 3/Ln[P1/(P1-1])estims pour les 2 autres cartes : POMAXCUSUM = ENT. 2P1

1,1- 0,75

et POMAXEWMA = ENT. 2P11,1

- 0,5).

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CARTESDECONTROLE:CARTES DE LA MOYENNE SHEWHART

RISQUE : cartes SHEWWART + adaptes aux processus discontinus.Le processus tant centr, si distribution suit loi LN (moyenne m0 et cart-

type s), distribution chantillons suit loi normale (moyenne m0 et cart-type s/ n ). Si limites de matrise 3 carts-types de cible (Lm = m03s/ n ), probabilit = 2 x 0,135% = 0,27% de trouver valeurs hors destolrances : risque "bilatral" (gale probabilit de chaque ct).Remarque : limites de matrise sont soit fixes k1 s/ n de la valeurcible, k1 = nombre carts-types correspondant probabilit /2 (0,1% /2 1% 3,09 k1 2,33) soit exprimes en Priodes OprationnellesP0 = 100/, (1 fausse alarme tous les 500 50 chantillons en moyenne).RISQUE : pour calculer taille n des chantillons, il suffit, aprs avoircalcul dplacement maximal de la moyenne, de tenir compte du risque de ne pas dceler ce drglage. Si moyenne du processus se dplace de carts-types ( = .s) et atteint moyenne "refusable", trs forteprobabilit de trouver une valeur dchantillon (= moyenne de n valeurs

individuelles) > limite de matrise Lms mais probabilit de trouver une

valeur < Lms (= risque ) et dcider, tort, de ne pas rgler. Risque "unilatral" (nexiste que dun seul ct de la distribution lorsqueprocessus est centr sur mrs ou sur mri). Pour un risque donn, nombrecarts-types entre Lms et mrs = k2 (loi LNR). En gnral : 5% 20% 1,645 k2 0,842DEPLACEMENTDE LA MOYENNE : = (Lms -m0)/s + (mrs - Lms)/s = (k1 s/ n )/s + (k2 s/ n )/s = (k1 + k2)/ n Equation defficacit carteSHEWHART : n = k1 + k2 o k1 et k2 = nombres carts-types lis auxrisques /2et .

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CARTESDECONTROLE:EFFICACITE DES CARTES SHEWHART

EFFECTIF N DES ECHANTILLONS : quation defficacit n = k1 + k2 pour un dplacement de la moyenne fix et des risques et choisis,

effectif n des chantillons ne peut tre quelconque si on veut assurer lestolrances. Courbes defficacit traditionnelles (risque = 0,27%)permettent, aprs avoir choisi , de dterminer cet effectif n. Cescourbes montrent quune carte SHEWHART nest efficace et conomique

que pour de grandes drives ( > 1,33 soit Cp >145). Limites de matrisedune carte de SHEWHART assurant tolrances sont Lm = m0 k1 s/ n avec n calcul par quation defficacit

ABAQUE permet de trouver rapidement meilleur compromis entre n (cotde contrle) et P0 (fausse alarme) et donne les limites de matrise

correspondantes. Calculer et choisir P1 (nombre moyen dchantillonssuccessifs pour dtecter drive ) puis lire sur abaque couples (n, P0)correspondants et le paramtre k1 des limites de matrise.

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CARTESDECONTROLE:ABAQUE DES CARTES SHEWHART

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CARTESDECONTROLE :CARTES DE LA DISPERSION SHEWHART

Construction carte matrise de la moyenne sappuie sur valeur cart-type s

de rfrence surveillance de sa relative constance. Gnralement,

utilisation CARTE DES ETENDUES"wx" pour n < 10 - 12 et des ECARTS-TYPES"sx" au-dessus. Pour ces 2 cartes approximation loi en 2 en loinormale et limites se dduisent de tables normalises. Si dispersion doit

tre matrise, recalculer limites partir loi en 2. Intervalle de confiancecart-type 0 compris entre :

inf= sx ( )( ) 2/100

21P

n

0 sx ( )( ) 2/100

21P

n+

= supInversement, 0 ayant t estim par s, carts-types sx des chantillons ont

une probabilit p de se trouver entre limites Lci et Lcs telle que :

Lci =

( )1

2/1002

0 +

n

P

et Lcs =

( )1

2/1002

0

n

P

avec risque /2 de

fausse alarme identique pour chaque limite et gal (100 - P)/2

Cartes Cible limite infrieure limite suprieure

sx c4 s B5 s B6 s

wx

d2

s D1

s D2

s

n c4 B5 B6 d2 D1 D22 0,7979 0 2,606 1,128 0 3,686

3 0,8862 0 2,276 1,693 0 4,358

4 0,9213 0 2,088 2,059 0 4,698

5 0,9400 0 1,964 2,326 0 4,918

6 0,9515 0,029 1,874 2,534 0 5,078

7 0,9594 0,113 1,806 2,704 0,205 5,203

8 0,9650 0,179 1,751 2,847 0,387 5,307

9 0,9693 0,232 1,707 2,970 0,546 5,394

10 0,9727 0,276 1,669 3,078 0,687 5,469

11 0,8754 0,313 1,637 3,173 0,811 5,535

12 0,8776 0,346 1,610 3,258 0,922 5,594

13 0,9794 0,374 1,585

14 0,9810 0,399 1,563

15 0,9823 0,421 1,544

20 0,9869 0,504 1,471

250,9896 0,559 1,421

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CARTESDECONTROLE :PRINCIPE DES CARTES EWMA

Efficacit cartes SHEWHART mdiocre pour petites drives

CARTES EWMA ("Exponentially Weighted Moving Average") : prise en

compte valeur chantillon actuel et rsultats prcdents de faonpondre. A partir des valeurs moyennes1

x ,2

x , ....i

x des chantillons

successifs, calcul et suivi de : Zi = ix + (1 - ) Z(i-1) avec 0 < 1:VALEUR CIBLE : au dmarrage dune squence : Z0 = m0

ensuite : Zi = ix + (1 - ) Z(i-1) = coefficient de pondration tel que si = 1 carte de SHEWHART etplus petites drives mieux dceles mais pas drives brusques et

importantes gnralement pour processus continus, 0,25 0,50 etsouvent = 0,33.APPROXIMATION DE EN FONCTION DE LA PERIODE OPERATIONNELLE P1 1 - 0,7 tg[(P1 - 1)/P1] pour 1 < P1 5 et (P1 - 1)/P1 = angle en radians

LIMITES DE MAITRISE : . Lm = m0L sZ/ n avec :

sZ = s ( ) ( ) + 1211 i s ( ) 2 quand rang i chantillon . Audbut dune squence, limites = segments // qui convergent trs vite vers Lm

et ds 4me

chantillon, limites de matrise droites parallles. Paramtres des limites L soit lu sur abaque defficacit vraie, soitapproxim par L = k1 0,3 (. n )

-2,32 0,019 o k1 = nombre dcarts-types

de loi LNR pour probabilit (100/2P0) exprime en %. Obtention galementdu paramtre L par : L = k1 - ( )

5,2

41

nLorsque n > 2,5 L k1.

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CARTESDECONTROLE :EFFICACITE DES CARTES EWMA

EFFECTIF n DES ECHANTILLONS :

Efficacit vraie de la forme n = ),( 10 PfPfF avec :F(Pf0, Pf1) =2 1/Pf1 Ln(Pf0/Pf1) - (Pf1 - 1)/Pf1 Ln[Pf1/(Pf1 - 1) (Pf0 - 1)/ Pf0] utilisation dalgorithmes complexes (logiciels spcifiques) pour obtenir n.

Utilisation de lquation defficacit approche des cartes EWMA : n = [k1 + k2].e

[(f1

P1

)/f2

] ] pour 1 < P1 5 et k1 = nombre dcarts-types loiLNR pour la probabilit [100/2P0] %, k2 = nombre dcarts-types loi LNR

pour la probabilit [100(P1 1)/P1] %, f1 = 0,628 (P0 + 20)0,0221

+ 0,457 et

f2 = 16,33 (P0 - 20)-0,058

1,07

Utilisation dabaque de lefficacit vraie des cartes EWMA, en fonctiondes Priodes Oprationnelles Moyennes. Abaque permet trouver meilleurcompromis entre n (cot de contrle) et P0 (fausses alarmes) et donne

directement limites de matrise correspondantes : calcul dabord de etchoix de P1 (nombre moyen dchantillons successifs pour dtecter drive). Abaque donne couples (n, P0) correspondants et paramtres L des limitesde matrise. En fixant ensuite de faon intermdiaire n une valeur entire,

calcul de la valeur estime de P0 correspondant cette valeur intermdiaire.

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CARTESDECONTROLE :PRINCIPE DES CARTES CUSUM

PRINCIPE DES CARTES CUSUM : prise en compte informations passes enfaisant cumuls algbriques des carts entre valeurs des chantillons 1x ,

2x , ix et une moyenne dobservation m0. Suivi de 2 tracs sur carte dematrise :

celui des Si+

dont on ne prend que valeurs 0 (valeurs < 0 ramenes 0),

celui des Si-

dont on ne prend que valeurs 0 (valeurs >0 ramenes

0).

VALEUR CIBLE : m0 = 0

LIMITES DE MAITRISE dune carte CUSUM sont : Lm = 0 h s/ n o h = coefficient appel paramtre des limites de matrise qui peut tre :

lu sur labaque defficacit vraie approxim par h = k1 (. n /2)

+ 0,3 e

[1,2 k1

(1,55 . n )]

Comme cart direct valeur cible nombre trs important de fausses

alarmes, calculs dmarrs que lorsquune valeur dchantillon sort du

"couloir" [moi, mos] minimisation fausses alarmes. Moyennesdobservation habituellement places mi-chemin entre cible et

moyennes refusables. : Si+

= Si-1+

+ (xi - m0) 0 Si- = Si-1- + (xi - m0) 0avec mos = (m0 + mrs)/2 et moi = (m0 + mri)/2

Lorsquune valeur de S+

ou S-

sort des limites de matrise actionpour recentrer processus, arrt descalculs et dmarrage dune nouvelle

squence sans tenir compte des rsultats antrieurs.

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CARTESDECONTROLE :EFFICACITE DES CARTES CUSUM

EFFECTIF N DES ECHANTILLONS

Efficacit vraie de la forme n = ),( 10 PfPfF avec :F(Pf0, Pf1) =2 1/Pf1 Ln(Pf0/Pf1) - (Pf1 - 1)/Pf1 Ln[Pf1/(Pf1 - 1) (Pf0 - 1)/Pf0] utilisation dalgorithmes complexes (logiciels spcifiques) pourobtenir n.

Utilisation dabaque de lefficacit vraie des cartes CUSUM, enfonction des Priodes Oprationnelles Moyennes. Abaque permettrouver meilleur compromis entre n (cot de contrle) et P0 (faussesalarmes) et donne directement limites de matrise correspondantes:

Utilisation de lquation defficacit approche des cartes CUSUM : n = [k1 + k2].e

[(f1

P1

)/f2

] ] pour 1 < P1 5 et k1 = nombre dcarts-typesloi LNR pour la probabilit [100/2P0] %, k2 = nombre dcarts-types loi

LNR pour la probabilit [100(P1 1)/P1] %, f1 = 1,209 (P0 + 20)

0,0186

+ 0,003et

f2 = 11,50 (P0 - 40)-0,07

1,50

35


36/36


CARTESDECONTROLE :COMPARAISON DES CARTES DE MAITRISE

si n < 3,5 prendre une carte CUSUM ou EWMA, si n > 3,5 prendre la carte SHEWHART car elle a la mmeefficacit et est plus simple calculer et tenir pour les oprateurs.

CARTES SHEWHART CUSUM EWMA 0,75Caractristiques oui non lisse presque

Limites de contrle oui oui non au dbut non au dbut

Efficacit pour dtecter :

petites drives drives importantes

mauvaise

bonne

bonne

moyenne

bonne

moyenne

moyenne

bonne

Cot contrle pour petit lev plus faible plus faible moyen

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03Extrait_Maitrise_Statistique_des_Procedes