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Classe : Terminale ES Année : 2013/2014 Chapitre 04 : exercices fonctions exponentielles

Les fonctions exponentielles

Exercice 1 :

1. Expliquer pourquoi la suite ( )nu définie pour tout naturel n par ( )23

n

nu = est

géométrique ; préciser son premier terme et sa raison. 2. Placer dans un repère orthogonal les dix premiers termes de la représentation graphique de ( )nu (on prendra pour unités 1 cm en abscisse et 5 cm en ordonnée)

3. Tracer dans ce repère une représentation de la fonction ( )2:

3

x

f x ֏

Exercice 2 : Ecrire chacun des nombres suivants sous la forme d’une puissance de 2 :

(a) 3 12 34 8× (b)

1 32 48 16−× (c) ( )

113 242 16

−− × Exercice 3 : Simplifier chacune des expressions suivantes :

(a) 3 3x y (b) 1,3 2,5x x (c) 2 22

x y

x y− (d) ( ) 25 5x−

Exercice 4 : Simplifier chacune des expressions suivantes :

(a) ( )1

10 532 x× (b)

19 3

8x

(c) ( )1

3 61 000 x× (d) ( )1338

27x−

Exercice 5 : x est un nombre réel, simplifier les expressions suivantes :

(a) 2 19 2 3x x++ × (b) 3 1125 5

25

x x

x

−+

Exercice 6 : Dans un autocuiseur, la pression p est donnée en fonction de la température t par la formule

( )4

100t

p = (t en degrés Celsius, p en atmosphère).

1. Calculer la pression correspondant à une température de 120°,et de 130°. Calculer la température à un degrés près pour une pression égale à 2, et à 1,8. 2. L’autocuiseur est muni d’une soupape de sécurité qui limite la pression à la valeur maximale 1,5. Quelle est la température maximale de l’autocuiseur ?

La fonction exponentielle de base e

Exercice 7 : Simplifier l’écriture des expressions suivantes :

(a) ( )3 2e ex x− (b) 1

2ee

x

x

−

+ (c)

e ee

x x

x

−+ (d) ( ) 2e ex−

(e) ( )

3

2e

e e

x

x x− × (f)

e ee

x y

x y− (g) 2e e

e

x x

x

− (h)

( )

( )

2 22

32

e e

e

x x x

x

− ×

Exercice 8 : Démontrer que pour tout réel x :

(a) e 1 1 ee 1 1 e

x x

x x

−

−

− −=

+ + (b) 2

2e 1

e ee

xx x

x− − −− =

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Exercice 9 : Résoudre chacune des équations suivantes : (a) e 1x = (b) 2e ex = (c) e ex x−= Exercice 10 : Résoudre chacune des inéquations suivantes : (a) 2e 1x

� (b) e ex > (c) e ex x−�

Exercice 11 : Calculer la fonction dérivée de la fonction f définie sur D. (a) ( ) exf x x= sur D = R (b) ( )( ) 3 2 exf x x= − sur D = R

(c) e

( )x

f xx

= sur *D = R (d) e 1

( )e 2

x

xf x+

=+

sur D = R

Exercice 12 : Calculer la fonction dérivée de la fonction f définie sur D. (a) 3( ) e 2 exf x x= + − sur D = R (b) ( ) 2 exf x x= sur D = R

(c) 2e 1

( )e 3

x

xf x−

=+

sur D = R (d) 2e

( )3

x

f xx

=+

sur ] [3;D = − +∞

Exercice 13 : Calculer la fonction dérivée de la fonction f définie sur D. (a) 2 3( ) 2e xf x += sur D = R (b) 3 5( ) ( 2)e xf x x −= + sur D = R

(c) 2

2e 1

( )e 1

x

xf x

−=

+ sur D = R (d) 2 5 8( ) e xf x x −= sur D = R

Exercices type baccalauréat

Exercice 14 : Partie A

Soit la fonction f définie sur l’intervalle I = [1900 ; 2100] par : 0,004 5( ) e xf x −= . La fonction f est dérivable sur l’intervalle I et on note f ′ sa fonction dérivée. 1. Reproduire et compléter le tableau de valeurs ci-dessous. Les valeurs de f (x) seront arrondies au dixième.

x 1900 1950 2000 2050 2100

( )f x 2. Calculer, pour tout réel x appartenant à l’intervalle I, le nombre ( )f x′ . En déduire le sens de variation de f sur l’intervalle I. 3. Tracer la courbe représentative de f sur le graphique donné en annexe 1. Partie B

On considère que, pour tout entier naturel n appartenant à l’intervalle I, le nombre f (n) donne la population d’une ville V, exprimée en centaines de milliers d’habitants, au 1er janvier de l’année n. 1. a. Déterminer graphiquement la population de la ville V au 1er janvier 1990. (On fera apparaître les constructions nécessaires sur le graphique de l’annexe 1 et on donnera une réponse arrondie à la centaine de milliers d’habitants).

b. Déterminer par le calcul la population de la ville V au 1er janvier 1990. (On arrondira le résultat à la dizaine de milliers d’habitants.) 2. On cherche à déterminer à partir du 1er janvier de quelle année la population de la ville V dépassera les 2 600 000 habitants, Déterminer graphiquement un encadrement de cette année. (On fera apparaître les constructions nécessaires sur le graphique de l’annexe 1.)

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Exercice 15 : On considère les fonctions f et g définies sur l’intervalle [ ]1;25 par :

( ) 5 50f x x= − et e

( ) 100100

x

g x = −

1. Donner le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [ ]1;25 . 2. (a) Déterminer la dérivée ( )g x′ . (b) Étudier le sens de variations de la fonction g sur l’intervalle [ ]1;25 .

10

15

20

25

30

1900 2000 2100

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3. Tracer les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère orthogonal. On prendra pour unité graphique : - 2 cm pour 5 unités en abscisse - 1 cm pour 20 unités en ordonnée. Pour la courbe représentative de la fonction g, on se limitera à représenter les points dont l’abscisse est comprise entre 1 et 10. Exercice 16 : 1. On considère la fonction g définie sur [ ]2;2− par ( ) e ex xg x −= − . (a) Calculer des valeurs approchées à 210− près de ( )2g − et de ( )2g . (b) Calculer (0)g . (c) Trouver la fonction dérivée de g et montrer que ( ) 0g x′ > pour tout x dans [ ]2;2− . (d) En déduire le tableau de variations de la fonction g . (e) Pour quelles valeurs de x a-t-on ( ) 0g x = ? 2. On considère la fonction f définie sur [ ]2;2− par ( ) e ex xf x −= + . On appelle fc sa courbe représentative dans un repère orthonormal ( ); ,O i j

� �

(unité : 3 cm). (a) Montrer que ( ) ( )f x g x′ = . (b) En déduire le tableau de variations de f . (c) Tracer la courbe représentative de f .