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Fonctions partie 1 - exercices corrigés

3.2. Exercices de base

3.2.1. Calculs de limites

1. x doit être positif et non nul : ] [0 ;x ∈ + ∞ . 2. a. f semble tendre vers 0.

x 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001

( )f x 2 0,348 0,101 0,031 0,01 0,003

b. La courbe de f se rapproche de 0 quand x se rapproche de 0 (en restant supérieur à 0).

3.

Données a, f, e

Variables x, p

Calcul p ← 1, x ← a+p Tant que abs(x – a)>e faire

Calculer et afficher f(x) ;

p ← p/10 ; x ← a+p ;

fin tant que.

Sortie …

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4.

fonction valeur de a limite confirmation graphique

( )2

2 2

1

xf x

x

+=−

1, 1a a= > −∞

1, 1a a= > +∞

1, 1a a= − < − 1

1, 1a a= − > − 1

( )21 2

2 2

xf x

x

−=−

2

2a = 0,707…, soit 2

2.

( ) sin xf xx

=

0, 0a a= > 1

0, 0a a= < 1

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3.2.2. Lecture graphique

n ( )( )A ;n n n na f a ( )n nf a′ Tangente en An 0 (–2 ; 0) 1 2y x= +

1 ( )1 ;1,5− 5 ( )5 1 1,5 5 6,5y x x= + + = +

2 ( )0 ; 0,5 –1 ( )1 0 0,5 0,5y x x= − − + = − +

3 ( )1 ; 2 –2 ( )2 1 2 2 4y x x= − − + = − +

4 ( )2 ; 3,5 0,5 ( )0,5 2 3,5 0,5 2,5y x x= − + = +

5 ( )3 ; 0,75 0,3 ( )0,3 3 0,75 0,3 0,15y x x= − + = −

3.2.3. Calcul du nombre dérivé

Fonction Nombre dérivé (calculatrice)

Nombre dérivé

(direct) Tangente

( ) 201

2f x x x= +

a0=–2

–3,5 ( ) ( )

( )0 0

2

2 7lim

2 2x

f x f

x→−

− −= −

− − ( )7 2 3

2y x

−= + +

( ) 21 2 1f x x x= − + + a1=0

1 1y x= +

( ) 32 2f x x x= + a2=1

5 5 2y x= −

( )32

1f x

x=

−

a3=2

–2 2 6y x= − +

( )41

f x xx

= +

a4=–1

–2 2 2y x= − −

3.2.4. QCM justifié

f définie sur l’intervalle ] [1 ;− + ∞ par ( ) 121

f xx

= −+

.

1. On a :

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( )1

lim 1x

f x→−

= − ( )1

lim 2x

f x→−

= ( )1

limx

f x→−

= −∞

Quand x tend vers –1, x+1 tend vers 0 en étant positif (f est définie sur ] [1 ;− + ∞ ), –1/(x+1) devient très gros en négatif, donc réponse C.

2. La fonction dérivée de f est :

( )( )2

1'

1f x

x= −

+ ( )

( )21

' 21

f xx

= ++

( )( )2

1'

1f x

x=

+

La dérivée de 2 est 0, celle de 1/(x+1) est ( )2

1

1x

−

+ donc réponse C.

3. La courbe C admet une tangente au point d’abscisse x = 0 d’équation :

11

2y x= + 3 1y x= + 1y x= +

( ) ( ) ( ) ( )' 0 0 0 1 0 1 1y f x f x x= − + = − + = + .

4. Le signe de ( )f x′ sur l’intervalle ] [1 ;− + ∞ est :

positif négatif positif avant 0, négatif après 0

Réponse A…évident.

5. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point d’abscisse 1 est :

3/2 1/4 –1/2

( )( )2

1 1' 1

41 1f = =

+, réponse B.

6. Pour tout réel x de l’intervalle ] [1 ;− + ∞ , ( )f x peut s’écrire :

( ) 2 11

xf x

x

+=+

( ) 21

xf x

x=

+ ( ) 1

1f x

x=

+

Mise au même dénominateur : ( ) ( )2 1 11 2 121 1 1

x xf x

x x x

+ − += − = =+ + +

, réponse A.

7. La position de la courbe C par rapport à la droite D d’équation 2y = est :

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Au-dessus avant 0, en dessous après 0

Au-dessus En dessous

Signe de ( ) 121

f xx

− = −+

: x+1 est positif sur ] [1 ;− + ∞ donc ( ) 2f x − est négatif, C est en dessous de D, réponse C.

8. La courbe C a une tangente parallèle à la droite 4y x= au point d’abscisse :

–1/2 1/2 1

La courbe C a une tangente parallèle à la droite 4y x= si on trouve x tel que ( )' 4f x = (égalité des

coefficients directeurs) : on résoud ( )

( )22

1 1 1 1 34 1 1 ou

4 2 2 21x x x

x

−= ⇔ + = ⇔ + = ± ⇔ = −+

. Seul la

première solution convient sur ] [1 ;− + ∞ , réponse A.

9. La courbe C et la droite D’ d’équation 2 3 2 0x y− − = sont :

Sécantes au point x=–1/2 Sécantes aux points

x=4 et x=–2/3

Sécantes aux points solutions de 22 6 5 0x x− − =

(Regarder sur la calculette ou Geogebra…)

On réécrit D’ sous la forme 2 2

3 3y x= − et on résoud :

( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 1 2 2 3 2 1 2 2 1 2 6 5 03 3 1 3

x xf x x x x x x x

x

+ −= − ⇔ = ⇔ + = − + ⇔ − − =+

. Réponse C.

10. Pour tout x de ] [1 ;− + ∞ , on a ( )f x =

2

2

2 3 2

2

x x

x x

− −− −

( )

2

2

2 3 1

1

x x

x

+ +

+

1

1 2

x

x+

+

Tester les différentes formes à la machine pour voir que c’est B : ( )

( ) ( )( )

2

2 2

1 2 12 3 1 2 1

11 1

x xx x x

xx x

+ ++ + += =++ +

.

3.2.5. Lecture graphique et interprétation

La courbe (C) ci-dessous est celle d’une fonction f définie sur I = ]1 ; + ∞ [.

1. a. f(2) = 8, f(3)= 1, f(9) = 1.

1. b. f(x) = 0 lorsque x = 3,5 ou x = 7,5 environ.

c. f est positive sur [1 ; 3,5] [7,5 ; [∪ + ∞ f est positive, sur [3,5 ; 7,5] f est négative.

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2. a. f’(5) vaut 0 car la tangente à la courbe de f en 5 est horizontale.

b. (T) passe par (1 ; 7) et par (3 ; 1) d’où l’équation 3 10y x= − + . Comme (T) est tangente à la courbe au point (3 ; 1), on a '(3) 3f = − , coefficient directeur de (T).

c.

3. a. 2

( )( 1)

cf x a

x′ = −

− .

b. et c. f(2)=8 donc 2 8a b c+ + = , f(9) = 1 donc 9 18

ca b+ + = , '(5) 0f = donc 0

16

ca − = .

c.

2 8 18 8 18 8 1

72 8 8 88 8 8 11 1 10.

16 0 16 16 16

a b c a b a b a

a b c a b a b b

a c a c a c c

+ + = + = + = = + + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = − − = = = =

4. 16

( ) 101

f x xx

= − +−

.

a. y = x – 10.

b. Comme x > 1, 16

01x

>−

donc C est au-dessus de D.

5. ( )

( )( )

( ) ( )( )

2 2

2 2 2

1 4 5 316'( ) 1

1 1 1

x x xf x

x x x

− − − += − = =

− − − est du signe de 5x − …

6. a. 2

16 16'( ) 1 '(2) 1 15

1( 1)f x f

x= − ⇒ = − = −

− et (2) 8 16 8f = − + = : la tangente a pour équation

15( 2) 8 15 38y x x= − − + = − + .

b. ( ) ( ) ( )22 216 1 4 4

15 38 16 48 16 3 16 161 1 1 1

xx xf x x x x

x x x x

− − + − − + = − + = − + = = − − − − qui est positif

sur I donc C au-dessus de T’.

x

f

0

+∞

f’

+∞

1

−

+∞

5

+

−1

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7. 2( 10)( 1) 16 11 26

( )1 1

x x x xf x

x x

− − + − += =− −

; 121 104 17∆ = − = , 111 17

3,52

x−= ≈ et

111 17

7,52

x+= ≈ . Négatif entre x1 et x2…

3.2.6. Fonction et dérivée

Partie A

1. C1 est la courbe de f, C2 celle de f’ : lorsque C2 est positive C1 est croissante, et lorsque C2 est négative C1 est décroissante.

2. a.

( )( )( )

1 0 0

3 0 9 3 0

1 4 4

p a b c

p a b c

p a b c

− = ⇔ − + =

= ⇔ + + = = − ⇔ + + = −

, soit :

2

12 4 0 3 3

2 1 1

b a c b a c b

a c c a c

a c a a

= + = + = − + = ⇔ = − ⇔ = − + = − = =

; ( ) 2 2 3p x x x= − − .

b. Comme on a ( ) ( ) 2' 2 3f x p x x x= = − − , en « revenant en arrière » on trouve ( ) 3 21 33

f x x x x C= − − +

où C est une constante inconnue (la dérivée de C est 0).

c. ( ) ( )3 2 3 21 10 0 0 3 0 2 3 23 3

f C C f x x x x= − − × + = = ⇒ = − − + .

3.2.8. Second degré et translations

1. ( )22( ) 2 3 1 4f x x x x= − − = − − . La courbe fC représentative de f est donc l’image de la parabole P d’équation 2y x= par la translation de vecteur 4u i j= −

�� � �.

2. ( )221 1( ) 2 3 2 52 2

g x x x x= − − + = − + + . La courbe Γ représentative de g est l’image de la parabole

'P d’équation 21

2y x= − par la translation de vecteur 2 5v i j= − +

� � �.

3. Tracé des deux paraboles fC et Γ .

4. Les coordonnées ( );x y des points d’intersection de fC et Γ vérifient : 2

2

2 3

12 3

2

y x x

y x x

= − −

= − − +

.

2 2 22

2 2 2 2

2 3 2 3 2 32 3

1 1 322 3 2 3 2 3 6 0

2 2 2

y x x y x x y x xy x x

xy x x x x x x x

= − − = − − = − − = − − ⇔ ⇔ ⇔ = ±= − − + − − = − − + − =

.

Les coordonnées des points d’intersection de fC et Γ sont donc ( )2; 3− et ( )2;5− .

5. ( )2 2 21 3( ) ( ) 2 3 2 3 62 2

f x g x x x x x x − = − − − − − + = −

.

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23 62

x − est un trinôme du 2° positif à l’extérieur de ses racines –2 et 2.

Sur ] [; 2− ∞ − et sur ] [2 ;+ ∞ , ( ) ( )f x g x> et la courbe fC est donc au-dessus de la courbe Γ . Sur ] [2 ;2− , ( ) ( )f x g x< et la courbe Γ est donc au-dessus de la courbe fC . 3.2.9. Drame familial

1. a. '( ) 10 10 0 1f t t t= − + ≥ ⇔ ≤ . Les limites sont celle de 25t− , soit −∞ .

t 1

( )'f t + 0 −

f

5

2. a. 2 2( ) 5 10 3,75 2 0,75 0f t t t t t= − + = ⇔ − + = , 0,5t = ou 1,5t = .

b. Lorsque ( ) 0f t = , soit à t = 2.

3. a.

b. 2 2( ) 5 10 5 5,2 5 15 5,2 0f t t t t t t= − + = − + ⇔ − + − = , soit t = 0,4 (lorsqu’elle monte) ou t = 2,6 (lorsqu’elle descend).

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3.2.10. 3ème degré

1. 3: 3 1f x x x→ − − est dérivable sur ℝ , de dérivée : ( ) ( )2 2' 3 3 3 1f x x x= − = − . Sur ℝ , ( )'f x a le signe de 2 1x − . 2 1x − est positif (coefficient de 2x positif) à l’extérieur de ses deux racines –1 et 1. f est donc croissante sur ] ]; 1−∞ − et sur [ [1 ; + ∞ , et f est décroissante sur [ ]1 ;1− . 2. Une équation de la tangente 0T à la courbe fC au point d’abscisse 0 est : ( )3 0 1y x= − − − ; soit

3 1y x= − − . ( ) ( ) 33 1f x x x− − − = . Or 3 0x ≤ sur ] ];0− ∞ et 3 0x ≥ sur [ [0 ;+ ∞ .

fC est donc au-dessus de 0T sur [ [0 ;+ ∞ et fC est donc au-dessous de 0T sur ] ];0− ∞ .

3. Soit la parabole ( )22: 2 1 1P y x x x= − + = − . a. P est une parabole de sommet ( )1 ; 0S , d’axe la droite : 1x∆ = .

b. ( ) 32 2 3 2 1 1f = − × − = et 22 2 2 1 1− × + = . Le point ( )2 ;1A est un point des deux courbes fC et P .

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c. ( ) ( )2 3 22 1 2f x x x x x x− − + = − − − . On vérifie que 2 est racine de 3 2 2x x x− − − , on peut mettre 2x − en facteur : ( ) ( )3 2 22 2 1x x x x x x− − − = − + + . Or 2 1x x+ + est toujours positif car son discriminant est négatif et le coefficient de 2x est positif.

3 2 2x x x− − − est donc du signe de 2x − : fC est au-dessus de P sur [ [2 ;+ ∞ et en dessous sur ] ];2−∞ . 4. Courbes fC et P .

5. Pour répondre à cette question il faut résoudre l’équation

( ) ( ) 2 2' ' 3 3 2 2 3 2 1 0f x g x x x x x= ⇔ − = − ⇔ − − = ,

soit 1x = (tangentes horizontales) et 13

x = − (strictement parallèles, calculez les équations des tangentes…).

3.2.11. Hyperbole

1. ( )1

cf x ax b

x= + +

− passe par A(2 ; 4) si (2) 2 4f a b c= + + = ; on calcule

2'( )

( 1)

cf x a

x= −

−

; elle a en ce

point une tangente horizontale si 2

'(2) 0 0(2 1)

cf a a c= ⇔ − = ⇔ =

−

; elle a au point d'abcisse 3 une tangente

parallèle à la droite d'équation y = x + 4, soit '(3) 1f = , le coefficient directeur de la droite.

On a donc 4

1 14 4 3

c aa a a c− = ⇒ − = ⇔ = = .

On termine avec 2 4 4 4 0a b c b b+ + = ⇔ + = ⇔ = , soit 4 4( )3 3( 1)

f x xx

= +−

.

2. Soit 4 4

( ) 13 3 3

g x xx

= − +−

.

a. g n’a pas la même écriture que f… mais c’est la même décalée de 1 ves le bas.

2

2 2 2

( 1) 1 ( 2)4 4 4 4'( )

3 3 33( 1) ( 1) ( 1)

x x xg x

x x x

− − −= − = = − − −

.

Tableau de variation :

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c. Lorsque x > 1, 4

3 3x − est positif, C est au dessus de D, lorsque x < 1,

4

3 3x − est positif, C est en dessous

de D.

d. (T) : 11 2

'(3)( 3) (3) 1( 3)3 3

y g x g x x= − + = − + = + .

x

g

−∞

0

0 +∞

g’ +

+∞

1

−∞

− −

−∞

+∞

2

−7/3

0 +

7/3

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22 ( 3)2 4 4 2 1 5 4 6 9( ) 1

3 3 3( 1) 3 3 3 3( 1) 3( 1) 3( 1)

xx xg x x x x x

x x x x

−− + − + = − + − − = − + = = − − − − . Y a plus qu’à faire le

signe… qui est très facile.

3.2.12. Rationnelle

Partie A

3 ²( )

² 1

x ax bx

xϕ + +=

+ est tangente en I si (0) 3ϕ = et '(0) 4ϕ = (même coefficient directeur que la droite T).

(0) 3bϕ = = et 2 2

2 2

(6 )( 1) 2 (3 3)'( ) '(0) 4

( 1)

x a x x x axx a

xϕ ϕ+ + − + += ⇒ = =

+.

Partie B

1. Ensemble de définition ℝ . 2 2

2

( 1)( ) 3, 4

² 1 ² 1 1

x xx x xf x

x x x

α ββ α β αα α β+ + + += + = = ⇒ = =+ + +

.

2. 2 2

2 2 2 2

4( 1) 4 (2 ) 4( 1)'( )

( 1) ( 1)

x x x xf x

x x

+ − − −= =

+ + d’où les racines −1 et 1. Négatif à l’extérieur, positif à l’intérieur.

3. La tangente a évidemment pour équation y = 4x + 3. On fait le signe de

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2 3

2 2 2

4 4 ( 1)4 4( ) (4 3) 3 4 3

1 1 1

x x xx xf x x x

x x x

− + −− + = + − − = =+ + +

qui est du signe de −x, soit (C) est au dessus de (T) pour 0x ≤ et en-dessous pour 0x ≥ .

4. Pour que le point ( , )u vΩ soit centre de symétrie de (C) il faut que ( ) ( ) 2f u x f u x v+ + − = ; ici ça donne :

2 2

4 4( ) ( ) 3 3 6 2.3

1 1

x xf x f x

x x+ − = + + − = =

+ +, ok !

3.3. Exercices intermédiaires

3.3.1. Solution d’équation

Traçons la courbe de la fonction ( )3

2 1xf x

x

−= sur l'intervalle 1 ;12

.

Comme on le voit la fonction prend la valeur 1 aux environs de 0,618 ; plus précisément on a

f(0,618031)= 0,99999068 et f(0,618034) = 1,00000963.

On a donc 0,618α ≈ .

3.3.2. Tangente

1. On a ( ) 3' 4 4 1f x x x= − + + d’où ( )' 1 1f − = et ( )1 1 2 1 0f − = − + − = ; la tangente est donc ( )0 1 1 1y x y x− = + ⇔ = + .

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2. Traçons la fonction f ainsi que la tangente en −1 ; nous voyons alors qu’en 1 elle est tangente à f de nouveau.

On vérifie par le calcul : ( )' 1 4 4 1 1f = − + + = et ( )1 1 2 1 2f = − + + = d’où la tangente en 1 a pour équation : ( )2 1 1 1y x y x− = − ⇔ = + . C’est bien la même.

On pouvait également cherche les points de la courbe où la tangente a pour coefficient directeur 1 :

( ) ( )3 3 2' 4 4 1 1 4 4 0 4 1 0 0,1, 1f x x x x x x x x= − + + = ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ = − . Mais la tangente en 0 a pour équation y x= et ne convient donc pas.

3.3.3. Second degré

1. On a ( )1 3f = pour A, ( )' 1 1f = pour la tangente en A et ( )' 1 / 2 0f = pour la tangente horizontale ;

avec ( )' 2f x ax b= + on a donc les équations : 3 3

2 1 1

0 1

a b c c

a b a

a b b a

+ + = = + = ⇔ = + = = − = −

et ( ) 2 3f x x x= − + .

2. Facile…

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3.3.8. Approximations

1. (1 )

( )1 1 1

a x bb a b axf x a

x x x

− + + −= + = =− − −

d’où 2a = − et 1 3b a= − = . On a donc 3( ) 21

f xx

= − +−

.

2 2

3( 1) 3'( ) 0

(1 ) (1 )f x

x x

−= − =

− − donc positive, f est croissante.

Lorsque x tend vers l’infini, 3

1 x− tend vers 0 donc f tend vers −2.

Lorsque x tend vers 1, x1, 3

1 x− tend vers

−∞ (f(1,01)=−300).

2. 2( ) 1 3 3h x x x= + + ; '( ) 3 6 3(1 2 )h x x x= + = + donc croissante après −1/2, décroissante avant −1/2. ( 1 / 2) 1 / 4h − = .

3. On cherche le signe des expressions

* 23 3

( ) ( ) 2 1 3 3 3 31 1 1

xf x g x x x

x x x− = − + − − = − − + =

− − −.

Lorsque x < 1, ( ) ( ) 0f x g x− > donc la courbe de f est au dessus de la courbe de g ; c’est le contraire lorsque x > 1.

* 3

2 23 3( ) ( ) 2 1 3 3 3 3 3 31 1 1

xf x h x x x x x

x x x− = − + − − − = − − − + =

− − − qui est du signe de

1

x

x−, soit positif

(courbe de f au-dessus de courbe de h) lorsque [0, 1[x ∈ , négatif sinon.

4. On se demande s’il ne serait pas possible de trouver une fonction du troisième degré dont la courbe « ressemblerait » à C aux alentours de 0.

a. 2 3 44 2 3 2 3 4 4

2 3 (1 )(1 ) 1 111 1 1 1

x x x x xx x x x x x x x xx x x

x x x x

+ + + − + + + + − − − − ++ + + + = = =− − − −

.

b. 4 4

2 3 2 33 3( ) 2 2 3 1 1 3 3 31 1 1

x xf x x x x x x x

x x x

= − + = − + + + + + = + + + + − − −

.

c. En fait il faut montrer que 43

1

x

x− est croissant pour

1 1

2 2x− < < ; ceci dit on a alors

430,125 0,0417

1

x

x− < <

−.

On peut dire que ( ) ( )f x k x− vaut entre −0,125 et 0,0417 lorsque 1 12 2

x− < < . Ceci donne une valeur

approchée de f sur cet intervalle.

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3.4. Pour chercher

3.4.1. Coûts de production

1. a. Dérivée : 2

2 2 2

( 30)( 30)900 900'( ) 1

x xxU x

x x x

− +−= − = = d’où le tableau de variations : x + 30 est toujours

positif sur I, x − 30 est négatif avant 30, positif après.

b. Le minimum est obtenu pour 30 objets produits. Le bénéfice est alors (100 (30)) 30 1500U− × = .

c. Graphiquement le nombre d’objets fabriqués doit être compris entre 11,5 et 78,5.

2. Le bénéfice est 2900

( ) (100 ( )) 100 10 110 900B x x U x x x x xx

= − = − + − = − + −

. Sa dérivée est

'( ) 2 110B x x= − + qui s’annule pour 55x = . Avant 55 B est coissante (B’ > 0), après 55 B est décroissante (B’ < 0), c’est bien un maximum. Ce bénéfice maximum est alors (55) 2125B = .

3.4.3. Ficelle

1. Aire du triangle équilatéral : 21 3 3

2 2 2 4

base hauteurx x x

× = = ; pour l’aire du carré il faut le côté ; comme

on a déjà consommé 3x de ficelle avec le triangle, il reste 3l x− pour faire 4 côtés, soit 34

l xa

−= . L’aire totale

est donc 2

2 2 23 1 3 1( ) ( 3 ) (1 3 )4 4 4 16

s x x l x x x = + − = + −

.

2. On calcule 3 1 3 3 9 3 9 3

'( ) 2 2( 3)(1 3 )4 16 2 8 8 2 8 8

s x x x x x x

= + − − = − + = + −

. s’ s’annule en 3

4 3 9x =

+

qui est la valeur pour laquelle s est minimale.

3. 9 4 3 4 12 4 3 9

1 3 1 3.1 34 3 9 4 3 9 4 3 9 4 3

x xa x

a x

+= − = − = ⇒ = = =−+ + +

x

U

10

0

30 100

U’ + −

50

90 99

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3.4.6. Éclairement

1. Attention, il faut convertir les km en m… 2 2211 2

1 W.m 2,25.10 W(1,5.10 )

SS

pp− = ⇒ = .

2. a. La puissance reçue en M provenant de A est 2

p

x, celle provenant de B est

2( )

p

l x− donc l’intensité reçue

en M est 2 2

( )( )

p pI x

x l x= +

−.

b. On calcule I’(x) :

{ } { }

{ }

3 3

4 4 3 3 3 3

2 2 2 2 2 2

3 3 3 3

2 2

3 3

(2 ) 2( 1)( ) ( )1 1( ) 2 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (2 ) 22 2

( ) ( )

(2 )2

( )

x l x l x xI x p p p p

x l x x l x x l x

x l x x x l x l x x l x xl x l lx xp p

x l x x l x

x l l lx xp

x l x

− − − − − − +−′ = + = + = − − −

− + + − + − − + − + − + = = − −

− − += −

.

(En fait on pouvait s’arrêter au début de la deuxième ligne, ou même à la deuxième égalité… pourquoi ?)

Le terme 2 2x lx l− + a pour discriminant 2 2 24 3 0l l l∆ = − = − < et est donc toujours positif. Donc le signe de

I’ ne dépend que de celui de 2x l− , négatif pour 2

lx < et positif après. Il s’agit donc bien d’un minimum,

obtenu lorsque M est au milieu de [AB].

3.5.1

1.

Q1 : f est impaire (soit ( ) ( )f x f x− = − : faux, par exemple f(–1)=1 et f(1)=38. Q2 : f ′ s’annule deux fois. : faux c’est trois fois.

Q3 : ( )' 1 1f − = : faux, ce doit être aux environs de 35… Q4 : Si ( )f x est un polynôme, il est au moins de degré 4 : comme f’est de degré 3 au moins, f doit être de degré 4 au moins.

Q5 : ( )

0limx

f x

x→ existe et est comprise entre 10 et 15 : vrai, c’est le coefficient directeur de la tangente en 0, soit

environ 12.

Q6 : La tangente à C en –1 a un coefficient directeur négatif : faux, f est croissante, f’ est positive en –1.

Q7 : L’équation ( ) 0f x = n’a pas de solutions : faux, il y en a 2 (–2,5 et –1,3 environ).

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Q8 : Il n’existe aucun point de C d’ordonnée inférieure à –30 : vrai, la courbe ne descend pas en dessous de –15.

Q9 : La dérivée f ′ est croissante sur l’intervalle [−2 ; −1] : vrai f’ passe de 0 en –2 à 35 en 1.

Q10 : L’équation ( ) 20f x = a deux solutions sur [−2 ; 2] : vrai, la courbe coupe 2 fois la droite y=20. Q11 : Le coefficient directeur de la tangente en 1/2 est égal à 10 : faux, ça semble plutôt être 0.

Q12 : La fonction f admet un extremum relatif en 1 : vrai, c’est un minimum relatif.

Q13 : Quand x ∈ [0 ; 1], la courbe de f est en dessous de sa tangente en tout point : faux, aux environs de 0,8 la tangente change de côté.

Q14 : ( )2 60f = : faux, on ne sait pas. 2. Q1 : Vrai, faites le calcul avec la dérivée du produit et celle de un.

Q2 : Vrai.

Q3 : Faux : la dérivée ne change pas de signe.

Q4 : Faux.

Q5 : Faux : ( )3 / 5f est un maximum local, pas global. Q6 : Vrai : en 0, 1 et 3/5.

Q7 : Faux : il n’y a aucun point où la tangente est parallèle à y=–x (figure).

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Q8 : Vrai : dans les très grands x négatifs f est croissante donc comme 1000 100110 10−− > − , on a

( ) ( )1000 100110 10f f −− > − car f conserve l’inégalité.