09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences 1 Modélisation Le livre de la nature est écrit en caractères mathématiques Galilée (1564-1642)

09/01/2008journées IUFM sur la modélisation

en sciences1

Modélisation

Le livre de la nature est écrit en caractères mathématiques

Galilée

(1564-1642)

Mythe ou réalité?

A quoi servent les mathématiques?


en sciences2

Plan de l’exposé

Présentation du socle commun Modélisation (lien) Rôle des mathématiques (lien) Exemples concrets de modélisation

dans les sciences (lien) Modélisation en sciences (lien) Projet P3 : activité interdisciplinaire Annexes, Vocabulaire et bibliographie


en sciences3

Compétences viséeshttp://eduscol.education.fr/D0231/accueil.htm

la maîtrise de la langue française ; la pratique d'une langue vivante

étrangère ; les principaux éléments de

mathématiques et la culture scientifique et technologique ;

la maîtrise des techniques usuelles de l'information et de la communication ;

la culture humaniste ; les compétences sociales et civiques ; l'autonomie et initiative.


en sciences4

Socle commun en maths et sciences et techniques

représentation cohérente du monde. compréhension de l’environnement quotidien. la complexité peut être exprimée par des lois

fondamentales. Manipuler pour comprendre. Acquérir rigueur intellectuelle seule

constitutive du raisonnement scientifique.


en sciences5

Les Mathématiques

Développement de la pensée logique, et de capacités d'abstraction.

acquérir une vision dans le plan et dans l'espace.

utilisation de formules, de modèles, de graphiques et de diagrammes.

Développer le raisonnement logique et le goût de la démonstration.


en sciences6

Conditions d’acquisition

Résolution de problèmes,

Ancrage dans la réalité notamment à partir de situations proches de cette réalité.


en sciences7

Connaissances

Nombres et calcul. Gestion de données et fonctions. Géométrie plane et dans l’espace. Grandeurs et mesures.


en sciences8

Attitudes

On peut appréhender la réalité à partir de lois logiques

L’enseignement des mathématiques doit permettre : rigueur et précision, respect de la vérité rationnellement

établie, le goût du raisonnement fondé sur des

arguments dont la validité est à prouver.


en sciences9

Culture scientifique et technologique Comprendre et décrire :

le monde réel, celui de la nature, celui construit par l'Homme, les changements induits par

l'activité humaine. Distinguer :

faits et hypothèses vérifiables et opinions et croyances.


en sciences10

Pour atteindre ces buts

l'observation, le questionnement, la manipulation et l'expérimentation.


en sciences11

Capacités à développer dans les sciences expérimentales

démarche scientifique observer, questionner, formuler une hypothèse et la

valider, argumenter, modéliser de façon élémentaire


en sciences12

Mathématiques outil de modélisation Comprendre le lien entre les

phénomènes de la nature et le langage mathématique qui s'y applique et aide à les décrire.


en sciences13

Manipuler et Expérimenter en éprouvant la résistance du réel

Concevoir un protocole et le mettre en œuvre Utiliser les outils appropriés, y compris

informatiques Développer des habiletés manuelles, être

familiarisé avec certains gestes techniques Percevoir la différence entre réalité et simulation Comprendre qu'un effet peut avoir plusieurs

causes agissant simultanément, de percevoir qu'il peut exister des causes non apparentes ou

inconnues


en sciences14

Exprimer et exploiter les résultats d'une mesure ou d'une recherche

utiliser les langages scientifiques à l'écrit et à l'oral,

maîtriser les principales unités de mesure et savoir les associer aux grandeurs correspondantes,

comprendre qu'à une mesure est associée une incertitude,

comprendre la nature et la validité d'un résultat statistique.


en sciences15

Appréhender rationnellement les choses pour :

développer les attitudes suivantes : le sens de l'observation, la curiosité pour la découverte des causes des

phénomènes naturels, l'imagination raisonnée, l'ouverture d'esprit, l'esprit critique : distinction entre le prouvé, le

probable ou l'incertain, la prédiction et la prévision, situation d'un résultat ou d'une information dans son contexte.


en sciences16

Éducation à la citoyenneté

Développer : l'intérêt pour les progrès scientifiques et

techniques, la conscience des implications éthiques de ces

changements, l'observation des règles élémentaires de

sécurité dans les domaines de la biologie, de la chimie et dans l'usage de l'électricité,

la responsabilité face à l'environnement, au monde vivant, à la santé.


en sciences17

Place de la modélisation dans la démarche scientifique


en sciences18

Modélisation : Pourquoi?

On se pose une question dont la réponse n’est pas évidente et l’expérimentation coûteuse ou impossible.

Acquérir une représentation cohérente du monde reposant sur des connaissances. Se créer des images.

Pour échanger avec les non spécialistes en ayant un langage commun.

Pour modifier certains paramètres et ainsi prévoir, anticiper, simuler.

Rigueur, précision.


en sciences19

Qu’est-ce qu’un modèle?

Un assemblage de concepts représentant de manière simplifiée une chose réelle déjà existante (objet, phénomène, etc.), en vue de la comprendre, d'en prédire le comportement,

Il allie les notions de ressemblance et de représentation.

C’est une représentation d'une réalité qui doit coller à l’expérience.


en sciences20

Modèle mathématique

Un modèle mathématique est une traduction de la réalité pour pouvoir lui appliquer les outils, les techniques et les théories mathématiques.

Généralement, en sens inverse, la traduction des résultats obtenus permet de prédire et d’opérer sur le monde réel.

Un même modèle peut s’appliquer dans des contextes différents.


en sciences21

Modèle

un modèle est toujours lié à ce que l'on veut en faire, à une théorie.

un modèle n'est jamais parfait ni totalement représentatif de la réalité.

il y a toujours plusieurs modèles possibles.

C’est utile pour traiter le réel, mais il ne faut pas le prendre pour le réel.


en sciences22

Des sortes de modèles

modèles prédictifs pour anticiper des événements ou des

situations

modèles descriptifs Pour rendre compte, de manière

interprétable, d'une masse d'informations Les deux modèles sont liés et souvent

l’un ne va pas sans l’autre


en sciences23

Pertinence d’un modèle

Couvrir le champ du problème réel. Obtention du résultat escompté. Respect des délais souhaités. Il est souhaitable qu’il soit ré-utilisable. Une bonne modélisation permet de répondre

à des questions complexes avec des calculs simples.


en sciences24

Comment Modéliser?

Inspiration, imagination, analogie, rasoir d’Occam et changement de point de vue.

Il faut bien limiter le champ du problème. filtrer les données pour atteindre l’essentiel. Introduire des paramètres manquants,

éventuellement adopter une approche probabiliste.

Bien décrire l’ensemble des règles ou équations.

valider le modèle.


en sciences25

Force des mathématiques

Fournir des idées Langage universel d’expression Généralité, richesse et puissance du langage

Équations aux dérivées partielles analyse fonctionnelle : méthodes numériques Méthodes des éléments finis Algorithmes et méthodes approchées Traitement du signal Calcul stochastique, etc.

Outil de dialogue et de prospection


en sciences26

Il faut toujours garder son esprit critique

Il faut toujours avoir l’esprit critique vis à vis du modèle et d’autant plus s’il contient des mathématiques (voir usage abusif de concepts mathématiques).

Chercher la simplicité. Organiser une critique active et

imaginative Rechercher des co-vérités (en utilisant des

changements de registre) Fabriquer des contre-modèles. (pour

échapper aux interprétations dominantes : voir Copernic et les trajectoires des astres)


en sciences27

Quelques exemples détaillés

Modèle proies-prédateurs (1er jour) Modélisation des forces de frottement

(2ème jour) Loi logistique discrète (2ème jour) TPE sur la vache folle (2ème jour) Du bon usage du continu (2ème jour) La molécule de méthane (voir activité)


en sciences28

Année Pourcentage de mauvais poisson

1914 11,9

1915 21,4

1916 22,1

1917 21,2

1918 36,4

1919 27,3

1920 16

1921 15,9

1922 14,8

1923 10,7

Statistiques de pêche à Triestre


en sciences29

Proies-prédateursVolterra (1860-1940)

Bons poissons (sardines) : x(t) Mauvais poissons (requins) : y(t) Variation du nombre de sardines : x’(t)

Si pas de requins : + ax(t) Si rencontre avec requins : - bx(t)y(t)

Variation du nombre de requins : y’(t) Si pas de sardines : - dy(t) Si rencontre avec sardines : + cx(t)y(t)


en sciences30

Système différentiel

x’(t) = a x(t) – b x(t)y(t) y’(t) = - d y(t) + c x(t)y(t)

Voir fichier :

proie_predateur_différentielle.xls


en sciences31

De l’intérêt de se parler (I)Approximation affine et usage dans les sciences

Que penser d’un exercice formulé ainsi? Dans un récipient on chauffe un liquide de volume 4l à

20°C. A 30°C il ne reste que 2,8l dans le récipient. La physique nous apprend que, entre 20°C et 40°C, l’accroissement de volume est proportionnel à l’accroissement de température. On note x la température.

1)Donner une expression en fonction de x du volume V(x) de liquide restant dans le récipient à la température x, pour x entre 20°C et 40°C.

2)En déduire le volume à 40°C.


en sciences32

Proposition de modification-l’exercice ne doit pas induire de mauvaises images chez l’élève-il doit permettre à l’élève d’utiliser le modèle fonction affine et proportionnalité des « écarts » avec un support tiré des sciencescomment noter la variable? x ou t?

EX : Dans un récipient on chauffe un liquide de volume 4l à 20°C. A 30°C le volume dans le récipient est de 4,8l. On a constaté expérimentalement que pour ce liquide, entre 20°C et 40°C, l’accroissement de volume est proportionnel à l’accroissement de température. On note x la température.

1)Donner une expression en fonction de x du volume V(x) de liquide dans le récipient à la température x, pour x entre 20°C et 40°C.

2)En déduire le volume à 40°C.


en sciences33

De l’intérêt de se parler (II)Approximation affine et usage dans les sciencesQue peut-on faire pour améliorer la cohérence avec les enseignements de mathématiques?

Extrait d’un ex de physique : On présente le spectre d’une étoile Markab, dont on

cherche à extraire la présence d’éléments chimiques dans la couche superficielle. On place en dessous le spectre du fer, dont on connaît les longueurs d’onde des raies. Les 8 raies du spectre du fer, à partir de la raie origine (404,4 nm), coïncident avec certaines raies du spectre de l’étoile.

Question : mesurer la distance dx entre chacune des 8 raies et la raie origine. Calculer la différence de longueur d’onde dL entre chacune de ces raies et la raie origine. Calculer dx/dL pour chaque raie. Montrer que dx est proportionnel à dL.


en sciences34

Du bon usage de la continuitéPremier exemple :

Deux mobiles reliés par une ficelle de longueur h vont de A à B sur 2 routes différentes, d’intersection vide sans casser la ficelle.

Deux sphères de rayon h l’une partant de A et l’autre de B peuvent-elles aller l’une de A vers B et l’autre de B vers A sans se rencontrer?


en sciences35

Du bon usage de la continuitéDeuxième exemple :

A une élection on vote pour A ou pour B. Peut-on, avant le scrutin faire une prédiction qui ne sera pas démentie par les faits?

H Simons (prix Nobel d’économie) pense que oui et argumente : Soit p une prédiction (%de suffrages pour A) Soit f(p) le résultat du scrutin. On fait l’hypothèse que f est continue. Alors la

courbe de f coupe forcément la droite d’équation y=x. Donc il existe bien p telle que : p = f(p).


en sciences36

Le pendule simple

Pendule simple : fil inextensible, et sans masse, longueur L, masse ponctuelle m.

Angle avec la verticale : a(t) Newton : d²a(t)/dt² = -g/L sin (a(t))

avec a(0) = ao et a’(0) = 0


en sciences37

Des mathématiques aseptisées aux Mathématiques Tout Terrain

Exemples Beaucoup de problèmes concrets échappent

aux mathématiques classiques. Pourtant les maths ont leur rôle à jouer mais

différemment : Utilisation de l’informatique : discrétisation

des problèmes et modélisation. Analyse non standard


en sciences38

Qu'est une véritable activité mathématique?introduction aux programmes de collège

(BO n° 4 du 4 avril 2004)

identifier et formuler un problème, conjecturer un résultat en

expérimentant sur des exemples, bâtir une argumentation, contrôler les résultats obtenus en

évaluant leur pertinence en fonction du problème étudié,

communiquer une recherche, mettre en forme une solution.


en sciences39

Méthode des tangentes parallèles pour la détermination du point d'équivalence E


en sciences40

Autre méthode : méthode du pic de la dérivée

dérivée

0

1

2

3

4

5

6

0 10 20 30 40

dérivée


en sciences41

Projet P3

projet interdisciplinaire maîtrise de la langue française par les élèves, éducation

à l’environnement ou au développement durable, éducation à la santé, thème de convergence, TPE, IDD, PPCP,….).

Préparer une séquence d’enseignement Le travail doit être guidé par une problématique

pluridisciplinaire Il doit y avoir articulation entre plusieurs disciplines et

une approche théorique On prépare une séquence pédagogique


en sciences42

Compétences évaluées

Exercer l’expression écrite et orale des élèves

Connaître le socle commun Mettre en œuvre des approches

pluridisciplinaires Maîtriser les TICE Travailler en équipe pluridisciplinaire Se former et innover


en sciences43

Contenu du dossier

présentation de la problématique et éléments théoriques inter-disciplines (deux pages)

objectifs de la séquence et choix effectués (une page)

Calendrier, analyse à priori et à posteriori (3 pages)

choix de productions d’élèves représentatifs (1 page)

synthèse et propositions alternative ou prolongements possibles (1 page)


en sciences44

Améliorer l’expression chez les élèves(Savoir utiliser un langage pour décrire une situation)

Enrichir l’emploi de la langue Approfondir la pratique de l’argumentation Fournir des mots nouveaux pour s’exprimer Exemples :

Résolution par traduction (analytique) Décrire en français un algorithme non commenté Fournir une bonne approximation, bien définie,

d’une fonction d’expression analytique inconnue. (chaque élève construit son modèle propre proposé aux autres)

Analyse mathématique de textes scientifiques


en sciences45

Inter, pluri, trans disciplinarité

L’interdisciplinarité fait appel aux spécificités de diverses disciplines qui convergent par nécessité pour résoudre un problème.

La pluridisciplinarité exploite une situation, à travers certaines disciplines, de façon élégante et opportune, sans chercher des liens et sans obligation.

La transdisciplinarité relie les disciplines sans obligation, de manière à atteindre les mêmes objectifs à travers des activités très variés.


en sciences46

Exemple de façon de travailler avec les élèves

Après analyse du problème répartir les élèves en groupes thématiques.

Chaque groupe est chargé d’une mission précise et devra produire un texte, rendant compte du travail accompli.

Une synthèse est alors organisée sous forme de débat ou chaque groupe apporte sa contribution.


en sciences47

Références bibliographiques (I)

Jacques Istas : Introduction aux modélisations mathématiques pour les sciences du vivant. Springer-Verlag, Berlin 2000.

Istas,J. (2005). Mathematical Modeling for the Life Sciences, Springer.

James Gleick : La théorie du chaos. (Champs-Flammarion)

T35 : E.J.Aubert (Mathematical intelligencer Vol 6 no 3)

Leçons de calcul infinitesimal. Deledicq-Diener 1989.


en sciences48

Références bibliographiques (II) Cherruault Y. (1998), Modèles et méthodes

mathématiques pour les sciences du vivant, Presses universitaires de France, (ISBN 2-13-048978-8)


en sciences49

Vocabulaire

Conjecture : Émettre une conjecture, c’est résumer dans un énoncé précis une idée que l’on pense universellement vraie (Legrand 2000).

Explication : Proposer une explication, c’est réaliser un discours dont l'objectif est de communiquer à d'autres le caractère de vérité d'un énoncé mathématique.


en sciences50

Vocabulaire Preuve : Faire une preuve c’est proposer une

explication acceptée relativement à la vérité d’un énoncé par une communauté de pensée à un moment donné.

Il y a : les preuves pragmatiques, les preuves intellectuelles, les preuves formelles, la démonstration. (Balacheff)

Une démonstration est tout raisonnement valide permettant d’établir qu’un énoncé est vrai ou faux à l’intérieur d’un système théorique.

Elle a : un statut social , et deux fonctions : une fonction de validation dans le but de réduire le doute et une fonction explicative du pourquoi


en sciences51

Preuve et démonstration ?Quelle différence?

Démonstration : “a finite number of logical steps from what

is known to a conclusion using accepted rules of inference.” (Hanna and Barbeau, p. 38)

un nombre fini d'étapes logiques à partir de ce qui est connu vers une conclusion en utilisant des règles d'inférence connues.

La démonstration souligne le raisonnement et donc la forme, alors que la preuve ne souligne que la finalité...


en sciences52

Démonstration et Argumentation?Quelle différence?

Le raisonnement déductif est décrit par une structure ternaire : les pas sont connectés selon un processus de recyclage, c’est-à-dire, la conclusion du premier pas devient la donnée du pas suivant. (la validité est contrôlée )

Au contraire, dans l’argumentation, les inférences sont reliées par connexion intrinsèque en prenant en compte le contenu. (on ne peut qu’ en évaluer la pertinence )


en sciences53

Démonstration et Argumentation

La démonstration fournit des preuves contraignantes, Elle est dans le champ de la

vérité formelle l’argumentation, elle, ne fait que

préciser les raisons en faveur ou contre une thèse déterminée. Elle est dans l’ordre de la vérité

matérielle


en sciences54

Argumentation mathématique

Justification rationnelle ayant pour objectif la recherche de la vérité d’une proposition mathématique, avec validation ou bien réfutation de conjectures par contre-exemple, passant ainsi par l’établissement du faux. (Douaire 1999)


en sciences55

Les types de raisonnement mathématique

Raisonnement par enchaînements déductifs (modus ponens )

L’utilisation de contre-exemple Le raisonnement par disjonction de

cas Le raisonnement par contra posée, Le raisonnement par l’absurde Le raisonnement par récurrence


en sciences56

Modèles en Sciences

Ce qui est donné pour servir de référence (souches…)

Ce qui est représentatif d’une catégorie (type de volcan…)

Reproduction à échelle différente (cellule, temps géologiques…)

Structure utilisée pour rendre compte de phénomènes non reproductibles ou non visibles…


en sciences57

1 - Les modèles animaux

Permettent d’utiliser des animaux possédant certaines particularités anatomiques ou physiologiques

Permettent d’étudier les animaux sur plusieurs générations

Peuvent être soumis à des tests ou expérimentations

Transposition à l’homme ultérieurement


en sciences58

Drosophile Antennapedia


en sciences59

Vibrio harveyi


en sciences60

2 – Les modèles analogiques

Analogues géométriques, mécaniques ou électriques d’objets biologiques

Définis par l’invariance du rapport de certaines grandeurs ou propriétés homologues


en sciences61

Le cœur est une pompe

Il met en mouvement un fluide dans un circuit fermé

Le circuit est en parallèle et non en série

http://svt.framanet.free.fr/imagesvt/utilex/rev_card/rev_card.htm


en sciences62

3 – Les modèles de simulation par ordinateur Simulation de la pression sanguine

sur la paroi d’un anévrisme : http://interstices.info/display.jsp?id=c_8694&portal=j_97&printView=true

Simulation des ondes sismiques : http://artic.ac-besancon.fr/svt/act_ped/svt_lyc/prem/sismologie/activites/college/mexico/mexico.htm


en sciences63

Rôles des modèles

Expliquer

Ex : remontée du magma Prévoir

Ex : anévrisme Visualiser

Ex : faille de San Andréa


en sciences64

Modèle, outil didactique

Objet de substitution, il aide à la construction des connaissances

Support concret, il demande un effort intellectuel moindre (surtout pour les plus jeunes)

Moyen de transmission de connaissances, c’est une forme de langage


en sciences65

Forces de frottement fluide

On lâche un tube à hémolyse lesté dans un fluide.

On cherche à estimer les forces de frottement fluide qui interviennent. On va comparer plusieurs modèles.

Relation fondamentale de la dynamique : mg – ρVg – ff = m dV/dt.

D’ou : g – ρVg/m – ff/m = dV/dt

On pose A = g – ρVg/m d’ou A-f/m = dV/dt


en sciences66

Modèles

Proportionnel à la vitesse : A-Bv = dV/dt

au carré de la vitesse : A-Cv² = dV/dt

Combiné des deux : A- Bv -Cv² = dV/dt


en sciences67

Expérimentalement la vitesse semble avoir une limite finie quand t tend vers l’infini.

A la limite dV/dt = 0 d’ou : 1er cas : A –B vlim= 0 2ème cas : A –C (vlim)² = 0 3 ème cas : A –B Vlim –C (Vlim)² =0

A est connu en fonction des données A = g – ρVg/m. On en déduit B ou C en fonction des données expérimentales.

Dans le 3ème cas on exprime l’un des paramètres B ou C en fonction de l’autre


en sciences68

Documents

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