1. Analyse dimensionnelle

I-Analyse dimensionnelle et calcul vectoriel -Exercices corrigés _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

12 | P a g e Dr. KADRI M. T.

1. Analyse dimensionnelle

Exercice 1.1:

Déterminez la dimension de l’énergie, de la puissance, du potentiel et de la

résistance .

Exercice 1.2:

Déterminez la dimension de la capacité d’un condensateur.

Exercice 1.3:

Vérifiez l’homogénéité de la relation

√

qui représente la fréquence

d’oscillation d’un système solide-ressort. est la masse du solide, la constante de

raideur. La force de rappel est liée à l’allongement par la relation:

Exercice 1.4:

En utilisant l’expression de la quantité de travail échangé avec un gaz parfait

et celle du travail d’une force, retrouver la dimension d’une pression.

Exercice 1.5:

La fréquence de vibration d’une goutte d’eau va dépendre de plusieurs paramètres.

On supposera que la tension superficielle est le facteur prédominant dans la

cohésion de la goutte ; par conséquent, les facteurs intervenant dans l’expression

de la fréquence de vibration seront :

- R, le rayon de la goutte ;

- , la masse volumique, pour tenir compte de l’inertie ;

- , la constante intervenant dans l’expression de la force due `a la tension

superficielle (la dimension de A est celle d’une force par unit´e de longueur).

On écrira donc : , où est ici une constante sans dimension; , et

sont les exposants de , et .



En déduire les valeurs de ; , et .

Exercice 1.6:

Dans un fluide, une bille de rayon animée d’une vitesse v est soumise à une

force de frottement donnée par , où est la viscosité du fluide.

1) Quelle est la dimension de ?

2) Lorsque la bille est lâchée sans vitesse initiale à l’instant , sa vitesse

s’écrit pour : ( ( ⁄ )), où et sont deux grandeurs qui

dépendent des caractéristiques du fluide. Quelles sont les dimensions de et

?

3) Si désigne la masse volumique du fluide, trouver une combinaison simple

qui soit sans dimension (parmi les différents choix possibles

on prendra ). On obtient ainsi le nombre de Reynolds qui permet de

caractériser le régime d’écoulement d’un fluide (laminaire ou turbulent).

________________________

Solution

Exercice 1.1:

Energie:

En partant de la relation

, on obtient d'abord:

[ ] [ ][ ]

Par ailleurs comme la vitesse

s'exprime en , on a [ ] . On

obtient donc [ ] , l'unité est le Joule.

Puissance:

La puissance est l'énergie par unité de temps. On a donc , l'unité est le

Watt.

Potentiel:

De la relation (ou est en Volt et en Ampère) on déduit:



[ ] [ ][ ], puis [ ] [ ][ ]

Résistance:

La loi d'Ohm s'écrit , ce qui entraine: [ ] [ ][ ]

Exercice 1.2:

L'énergie emmagasinée par le condensateur est

.

Avec l'exercice précédent, on sait que [ ] et [ ]

On en déduit: [ ] [ ]

[ ] .

Exercice 1.3:

Il s’agit de vérifier que les deux membres de la relation ont la même dimension.

Comme est une fréquence, on a [ ] .

Déterminons la dimension du second membre. On a [

] et [ ] . De

l'égalité on déduit: [ ] [ ] . Comme [ ] , on en

déduit que [ ] , puis

*

√

+ √

[ ]

[ ] √

Les deux membres ont donc la même dimension: la relation est homogène.

Exercice 1.4:

En utilisant la formule donnée, on a [ ] [ ] [ ].

Comme: [ ] [ ] et [ ] , on en déduit:

[ ]

L'unité est le Pascal

Exercice 1.5:

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ⁄ ] ⁄

[ ] [ ] [ ] }

( ) ( )



{

On déduire de l'égalité précédente:

{

{ ⁄

⁄

⁄

√

Exercice 1.6:

1)

[ ] [ ]

[ ] [ ] ( )

( )

[ ]

2) L'argumentation de l'exponentielle est sans dimension donc [ ] . Le

membre de droite à la dimension d'une vitesse, donc [ ]

3)

[ ]

[ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( )

étant sans dimension (d'après l'énoncé), en prenant , on en

déduit:

{

{

En conclusion:



2. Calcul vectoriel

Exercice 2.1:

Deux points et , ont pour coordonnées cartésiennes dans l’espace : A(2,3,-3),

B(5,7,2)

Déterminer les composantes du vecteur ainsi que son module, sa direction et

son sens.

Exercice 2.2:

On considère, dans un repère orthonormé , les trois vecteurs:

, et .

a. calculer les modules de , et .

b. calculer les composantes ainsi que les modules des vecteurs:

et .

c. déterminer le vecteur unitaire porté par .

d. calculer le produit scalaire et en déduire l'angle formé par les deux

vecteurs.

e. calculer le produit vectoriel .

Exercice 2.3:

a. Montrer que la surface d'un parallélogramme est | | tels que | | et | |

sont les côtés du parallélogramme formé par les deux vecteurs.

b. Prouver que les vecteurs et sont perpendiculaires si | | | |.

Exercice 2.4:

Soient les deux vecteurs ( ), (

)



Trouver , pour que soit parallèle à , puis déterminer le vecteur unitaire pour

chacun des deux vecteurs.

Exercice 2.5:

Trouver la sommes des trois vecteurs:

, et .

Calculer le module de la résultante ainsi que les angles qu'elle forme avec OY, OX et

OZ.

Exercice 2.6:

Soient les vecteurs suivants: et

a. Calculer les produits scalaires: , , ,

On donne: , et

b. Calculer: et ;

c. Sans faire de représentation graphique que peut-on dire du sens et la

direction du vecteur par rapport à ;

d. Calculer les produits suivants ( ) et ( ) ;

e. Déterminer la surface du triangle formé par les vecteurs et

________________________________________

Solution

Exercice 2.1:

Le vecteur est donné par:

Son module: | | ‖ ‖ √ √



Sa direction est déterminée par les angles ( ) qu'il fait avec chacun des axes

du repère. Ses angles se déduisent par le produit scalaire du vecteur par les

vecteurs unitaires du repère orthonormé:

( )

√

( )

√

( )

√

Son sens: comme le produit scalaire du vecteur avec les trois vecteurs

unitaires est positif alors, il a un sens positif suivant les trois axes du repère.

Exercice 2.2:

a. calcul des modules de , et :

‖ ‖ √( ) ( ) ( ) √ ‖ ‖ √

‖ ‖ √( ) ( ) ( ) √ ‖ ‖ √

‖ ‖ √( ) ( ) ( ) √ ‖ ‖ √



b. composantes et modules de et :

{

( )

( )

‖ ‖ √( ) ( ) ( ) √ ‖ ‖ √

{

( ) ( )

( )

‖ ‖ √( ) ( ) ( ) √ ‖ ‖ √

c.

{ ( )

Etant donné que s'écrit: ‖ ‖ , nous allons tout d'abord calculer le module

de .

‖ ‖ √( ) ( ) ( ) √ ‖ ‖ √

‖ ‖

√

√

√

d.

(

) (

) ( ) ( )

Nous allons maintenant utiliser la relation du cosinus du produit scalaire:

‖ ‖‖ ‖ ( )

( )

‖ ‖‖ ‖



( )

√ √

( ) , ( )

a.

On utilise l'expression analytique du produit vectoriel:

{ {

{( ) ( )

( ) ( )

Exercice 2.3:

a. La surface du parallélogramme: | |

D'après la figure, on peut écrire: | |

En remplaçant la valeur de dans la première

égalité, la surface devient:

| | | |

Ce n'est autre que l'expression analytique du produit vectoriel:

| | | | | |

De la même manière on peut montrer que la surface d'un triangle de côtés | | et

| | est égale à:

| |

| | | |

b. soient les deux vecteurs:

(

) ; (

)

| | [( ) ( )

( )

] ⁄

| | [( ) ( )

( )

] ⁄



En égalisant les deux dernières expressions, et en développant nous arrivons

au résultat:

| |

qui n'est autre que le produit scalaire ( ) .

Exercice 2.4:

Pour que les deux vecteurs à et soient parallèle il faut que la relation

soit vérifiée, avec constante.

Partant de cela on peut écrire:

( ⁄

⁄

⁄) (

)

On en déduit la valeur et par la suite les valeurs de et :

⁄

⁄

⁄

|

|

( ) (

)

On s'assure des deux résultats en calculant

Les valeurs unitaires correspondant à chacun des deux vecteurs et sont:

√

√

√

√

√

√

Exercice 2.5:

La résultante des trois vecteurs, peut être écrite comme suit:



{ ( ) ( )

‖ ‖ √( ) ( ) ( ) √ ‖ ‖

( ) ( ) ⁄ ⁄ , ( ) ( )

( ) ( ) ⁄ ⁄ , ( ) ( )

( ) ( ) ⁄ ⁄ , ( ) ( )

Exercice 2.6:

a.

b. ( )( )

{ {

{

{

c. Comme le produit vectoriel des deux vecteurs est nul, alors ils sont parallèles

De plus le produit scalaire est négatif , alors les vecteurs et

sont parallèles et de sens opposés.

d. ( ) ( ) ({

{ ) {

{



e. ( ) { ({ { ) {

{ {

( )

f. La surface du triangle formé par les vecteurs et est donnée par la

moitié du module du produit vectoriel des deux vecteurs:

Nous avons:

alors:

| | √( ) ( ) ( )

| |

C'est la demi surface du parallélogramme

Documents

1. Analyse dimensionnelle