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Analyse dimensionnelle

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Analyse dimensionnelle. Pierre GONTARD – Lycée l’Oiselet 38300 BOURGOIN-JALLIEU. Le système international d’unités. Il repose sur 7 grandeurs fondamentales :. Les unités SI des autres grandeurs s’expriment en fonction de ces unités de base. Le système international d’unités. Exemples : - PowerPoint PPT Presentation

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Analyse dimensionnelle

Analyse dimensionnellePierre GONTARD Lyce lOiselet38300 BOURGOIN-JALLIEU2Le systme international dunitsIl repose sur 7 grandeurs fondamentales :GrandeurUnit SILongueurmtre (m)Tempsseconde (s)Massekilogramme (kg)Intensit du courantampre (A)Quantit de matiremole (mol)Tempraturekelvin (K)Intensit lumineusecandela (cd)Les units SI des autres grandeurs sexpriment en fonction de ces units de base.3Le systme international dunitsExemples :La vitesse (v = d/t) sexprime en mtre par seconde ms-1.Lnergie cintique (Ec = mv2) sexprime en joule et 1 J = 1 kgm2s-2.Lunit SI de la concentration molaire (c = n/V) est la mole par mtre cube (molm-3).4Notion de dimensionLes grandeurs qui dcrivent un phnomne physique sont caractrises par leur dimension. Une grandeur peut avoir la dimension dune masse, dune nergie, dune tension lectriqueLa dimension de la grandeur G se note [G] sauf pour les grandeurs de base que sont la longueur, le temps, la masse, lintensit du courant qui seront notes pour simplifier: L, T, M, I,

La notion de dimension est trs gnrale et ne sup-pose aucun choix particulier de systme dunits.

5Notion de dimension

GrandeurDimension Longueur L Temps T Masse M Intensit du courant I Quantit de matire N Temprature Q6Analyse dimensionnelleFaire lanalyse dimensionnelle dune relation consiste remplacer, dans la relation, chaque grandeur par sa dimension.Exemple : la vitesse est le quotient dune longueur par un temps, lquation aux dimensions scrit : [v] = LT-1.La dimension dune grandeur quelconque peut sexpri-mer partir des dimensions fondamentales.Toute expression doit tre homogne, cest--dire que ses deux membres doivent avoir la mme dimension.Exemple : dans la relation DEc = WAB(&) les deux membres ont la dimension dune nergie.7Dimension dune grandeurEnergie cintique : Ec = mv2

[Ec] = ?[Ec] = ML2T-2Densit dun liquide : d =[d] = ?

La densit est une grandeur sans dimension.Masse volumique : r =

[r] = ?[r] = ML-38Dimension dune grandeurRemarque : une grandeur sans dimension peut cependant avoir une unit.

Exemple : lunit dangle, dans le systme international, est le radian et [a] = 1 puisque :RABa

9Dimension dune grandeurDimension dune force ?

Relation que lon pourra retrouver (plus simplement) partir de la 2e loi de Newton :F = ma .On peut exploiter le thorme de la variation de lnergie cintique : Ec(B) Ec(A) = WAB(&)DEc = &i = FABcos a si a = 0

?ML2T-2L-1 = MLT-2Remarque : [F] = MLT-2 1 N = 1 kg.m.s-210Dimension dune grandeurIl peut tre parfois relativement difficile dobtenir le rsultatExemple : la tension lectrique U a pour dimension[U] = L2 M T-3 I-1rsultat qui peut sobtenir en combinantles diffrentes relations:F = qE ; E = U/d ; q = It ; F = maOn pourra, en gnral, garder [U] dans lquation aux dimensions. Ainsi, partir de la loi dohm uR = Ri, on pourra crire :

11Homognit dune formuleUne quation est dite homogne si ses deux membres ont la mme dimension.Exemple : v = dt nest pas homogne : [v] = LT-1 et [dt] = LT

La relation v = dt est donc fausse.Attention, une expression homogne nest pas ncessairement juste : Ec = mv212Homognit dune formuleLe faisceau laser ayant une longueur donde l, parmi les relations suivantes, lesquelles ne sont pas homognes ?

13Homognit dune formule[d] = L2L-1 = L[d] = L2L-2 = 1 L

[d] = L2L-1 = L[d] = L3 LLa formule correcte est : Mais lanalyse dimensionnelle seule ne permet pas de la retrouver.

14Homognit dune formuleVrifier que la formule : T0 = 2pest homogne.Formule o T0 reprsente la priode des oscillations dun pendule simple, l sa longueur et g lintensit de la pesanteur.

15Homognit dune formuleT0 = 2p

Lexpression est homogne si : [T0] =

[T0] = T ; [l] = LP = mg g = P/m[g] = [F]/[m] = MLT-2M-1 = LT-2[l/g] = LT2L-1 = T2 et donc = T

16Autre rgle importantePour respecter lhomognit dune relation, on ne peut ajouter que des grandeurs de mme dimension.Exemples : Ec + Ep = E ; uR + uC = 0 Une relation telle que : (1)nest correcte que si : [l] =

? T-1

car :

(1) Forme diffrentielle de la loi de dcroissance radioactive (l : constante radioactive).