1 Ensembles Nombres

7/25/2019 1 Ensembles Nombres

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Yvan Monka Acadmie de Strasbourg www.maths-et-tiques.fr

ENSEMBLES DE NOMBRES

I. Dfinitions et notations Non exigible

1. Nombres entiers naturels

Un nombre entier naturel est un nombre entier qui est positif.

L'ensemble des nombres entiers naturelsest not !.

!= 0;1;2;3;4...{ }.

Exemples :

4 !!

-2 !!

2. Nombres entiers relatifs

Un nombre entier relatif est un nombre entier qui est positif ou ngatif.

L'ensemble des nombres entiers relatifsest not ".

! = ...!3;!2 ;!1;0 ;1 ;2 ;3 . . .

{ }.

Exemples :

-2

!"

5

!"

0,33 !"

3. Nombres dcimaux

Un nombre dcimal peut s'crire avec un nombre fini de chiffres aprs la virgule.L'ensemble des nombres dcimauxest not #.

Exemples :

0,56

!#

3

!#

1

3! # %&'(

3

4! #


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4. Nombres rationnels

Un nombre rationnel peut s'crire sous la forme d'un quotienta

bavec a un entier et b un

entier non nul.

L'ensemble des nombres rationnelsest not).

Exemples :

1

3! )

4 !)

-4,8 !)

2 ! ).

5. Nombres rels

L'ensemble des nombres relsest not*.C'est l'ensemble de tous les nombres que nous utiliserons en classe de seconde.

Exemples :

2, 0, -5, 0.67,1

3, 3 ou ! appartiennent *.

6. Ensemble vide

Un ensemble qui ne contient pas de nombre sappelle lensemble vide et se note ! .

7. Symbole dexclusion

Le signe * exclu le nombre 0 d'un ensemble.

Par exemple, ** est l'ensemble des nombres rels priv de 0.

8. Inclusions

Tous les nombres de lensemble des entiers naturels !appartiennent lensemble des

entiers relatifs ".

On dit que lensemble !est inclus dans lensemble ".

On note : !! ".

On a galement les inclusions suivantes :

!! "! #! )! *


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Exercices conseills En devoir Exercices conseills

p37 n28p38 n48 50p37 n29 30Ex 1 (page8)p37 n33

p37 n31 Ex 1 (page8)

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II. Intervalles de *

1. Notations :

Lensemble de tous les nombres relsxtels que 2 !x!4 peut se reprsenter surune droite gradue.

Cet ensemble est appel un intervalle et se note : [ 2 ; 4 ]

En latin, intervallum dsignait la distance entre deux pieux.

Exemple :

Lensemble de tous les nombres relsxtels que -2 !x!7 se note : [-2 ; 7].

2 4

0 1


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On a par exemple :4 ![-2 ; 7]-1 ![-2 ; 7]

8 ! [-2 ; 7]

Nombres relsx Notation Reprsentation

2 !x!4 [ 2 ; 4 ]

-1


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Mthode : Donner les solutions dune inquation

Rsoudre linquation et donner les solutions sous forme dun intervalle : 2x!3


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A!B A!B

Mthode : Dterminer lintersection et la runion dintervalles

Dans les cas suivants, dterminer l'intersection et la runion des intervalles I et J :1) I =[-1 ; 3] et J = ]0 ; 4[ 2) I = ] -#; -1] et J = [1 ; 4]

1) Pour visualiser les ensembles solutions, on peut reprsenter les intervalles Iet Jsur unmme axe gradu.

Les nombres de l'intersection des deux ensembles sont les nombres qui appartiennent lafois aux deux ensembles. Il sagit donc de la zone de laxe gradu o les deux ensemblesse superposent. Ainsi I ! J = ]0 ; 3].

Les nombres de la runion des deux ensembles sont les nombres qui appartiennent aumoins l'un des deux ensembles. Il sagit donc de la zone de laxe gradu marque soitpar lintervalle I soit par lintervalle J. Ainsi I ! J = [-1 ; 4[.

I

0 1J

I ! J

0 1

I ! J

0 1


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2)

I ! J = ! , car les ensembles I et J nont pas de zone en commun.I ! J = ] -#; -1] ! [1 ; 4]

Exercices conseills En devoir Exercices conseills En devoirp38 n53 et 54p37 n39p38 n52Ex 5, 6 (page8)p37 n41

p37 n40 p17 n17, 18p48 n57p43 n16Ex 5 (page8)

Ex 6 (page8)

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I

0 1 J

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Exercice 1

1) Effectuer : A =11

5!

3

4 B =

5

3!4

3"6

7 C =

5!1" 5

3( )3

5" 52

D = 1! 6( ) 1+ 6( ) E = 3 !1( )2

F= 3+ 2 2( )2

G =7 3 ! 2 12 + 3 27 H = 18! 2! 2 20

2) Dterminer la nature de chacun des nombres prcdents.

Exercice 2Dans chaque cas, crire les ingalits sous forme dun intervalle.

a) 2! x! 7 b) !2 " x< 0 c) !2 < x" 6 d) x! 9

e) 2 > x f) 9 < x< 11 g) !9 < x h) 13! x

Exercice 3Rsoudre chacune des inquations suivantes et donner le rsultat sous forme dun intervalle.

a) 3x! 4 < 8 b) 9x! 5 >5x!1 c) 6x! 7 " 7x+ 5

d) 5 2x ! 3( ) " !5x+ 3 e) ! x! 4( ) !3 et x

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