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Ensembles-Applications
Exercice 1 :
Soient ๐ด = {1,2,3} et ๐ต = {0,1,2,3}. Dรฉcrire les ensembles ๐ด โฉ ๐ต, ๐ด โช ๐ต et ๐ด ร ๐ต.
Allez ร : Correction exercice 1 :
Exercice 2 :
Soient ๐ด = [1,3] et ๐ต = [2,4]. Dรฉterminer ๐ด โฉ ๐ต et ๐ด โช ๐ต.
Allez ร : Correction exercice 2 :
Exercice 3 :
1. Dรฉterminer le complรฉmentaire dans โ des parties suivantes :
๐ด1 =] โ โ, 0]; ๐ด2 =] โ โ, 0[; ๐ด3 =]0, +โ[; ๐ด4 = [0, +โ[; ๐ด5 =]1,2[; ๐ด6 = [1,2[.
2. Soient ๐ด =] โ โ, 1[โช]2, +โ[, ๐ต =] โ โ, 1[ et ๐ถ = [2, +โ[. Comparer les ensembles suivants :
๐ถโ๐ด ๐๐ก ๐ถโ๐ต โฉ ๐ถโ๐ถ
Allez ร : Correction exercice 3 :
Exercice 4 :
Soient ๐ด =] โ โ, 3], ๐ต =] โ 2,7] et ๐ถ =] โ 5, +โ[ trois parties de โ.
Dรฉterminer ๐ด โฉ ๐ต, ๐ด โช ๐ต, ๐ต โฉ ๐ถ, ๐ต โช ๐ถ, โ โ ๐ด, ๐ด โ ๐ต, (โ โ ๐ด) โฉ (โ โ ๐ต), (โ โ (๐ด โช ๐ต), (๐ด โฉ ๐ต) โช
(๐ด โฉ ๐ถ) et ๐ด โฉ (๐ต โช ๐ถ).
Allez ร : Correction exercice 4 :
Exercice 5 :
Soient ๐ด, ๐ต et ๐ถ trois parties dโun ensemble ๐ธ. Montrer que :
1. ๐ด โช (๐ต โฉ ๐ถ) = (๐ด โช ๐ต) โฉ (๐ด โช ๐ถ)
2. ๐ด โฉ (๐ต โช ๐ถ) = (๐ด โฉ ๐ต) โช (๐ด โฉ ๐ถ)
Allez ร : Correction exercice 5 :
Exercice 6 :
Soient ๐ธ un ensemble et ๐ด et ๐ต deux parties de ๐ธ. On suppose que :
๐ด โฉ ๐ต โ โ ; ๐ด โช ๐ต โ ๐ธ; ๐ด โ ๐ต; ๐ต โ ๐ด
On pose
๐ด1 = ๐ด โฉ ๐ต; ๐ด2 = ๐ด โฉ ๐ถ๐ธ๐ต; ๐ด3 = ๐ต โฉ ๐ถ๐ธ๐ด; ๐ด4 = ๐ถ๐ธ(๐ด โช ๐ต)
1. Montrer que ๐ด1, ๐ด2, ๐ด3 et ๐ด4 sont non vides.
2. Montrer que ๐ด1, ๐ด2, ๐ด3 et ๐ด4 sont deux ร deux disjoints.
3. Montrer que ๐ด1 โช ๐ด2 โช ๐ด3 โช ๐ด4 = ๐ธ.
Allez ร : Correction exercice 6 :
Exercice 7 :
1. Dรฉterminer le complรฉmentaire dans โ des parties suivantes :
๐ด1 =] โ โ, 0]; ๐ด2 =] โ โ, 0[; ๐ด3 =]0, +โ[; ๐ด4 = [0, +โ[; ๐ด5 =]1,2[; ๐ด6 = [1,2[.
2. Soient ๐ด =] โ โ, 1[โช]2, +โ[, ๐ต =] โ โ, 1[ et ๐ถ = [2, +โ[. Comparer les ensembles suivants :
๐ถโ๐ด et ๐ถโ๐ต โฉ ๐ถโ๐ถ
Allez ร : Correction exercice 7 :
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Exercice 8 :
Justifier les รฉnoncรฉs suivants.
a) Soient ๐ธ un ensemble, ๐ด et ๐ต deux sous-ensembles de ๐ธ. Si ๐ด est inclus dans ๐ต, alors le
complรฉmentaire de ๐ต dans ๐ธ est inclus dans le complรฉmentaire de ๐ด dans ๐ธ.
b) Soient ๐ธ un ensemble, ๐ด et ๐ต deux sous-ensembles de ๐ธ. Si ๐ด et ๐ต sont disjoints, alors tout รฉlรฉment
de ๐ธ est soit dans ๐ถ๐ธ๐ด soit dans ๐ถ๐ธ
๐ต.
c) Soient ๐ธ un ensemble, ๐ด un sous-ensemble de ๐ธ. Dรฉterminer les ensembles suivants :
๐ถ๐ธ(๐ถ๐ธ๐ด) ; ๐ด โฉ ๐ถ๐ธ๐ด ; ๐ด โช ๐ถ๐ธ๐ด ; ๐ถ๐ธโ ; ๐ถ๐ธ๐ธ
Allez ร : Correction exercice 8 :
Exercice 9 :
1. Montrer que (๐ด โ ๐ต) โ ๐ถ = ๐ด โ (๐ต โช ๐ถ)
2. Montrer que (๐ด โ ๐ต) โฉ (๐ถ โ ๐ท) = (๐ด โฉ ๐ถ) โ (๐ต โช ๐ท)
Allez ร : Correction exercice 9 :
Exercice 10 :
On rappelle que lโon note
๐ดฮ๐ต = (๐ด โ ๐ต) โช (๐ต โ ๐ด)
1. Montrer que
(๐ด โฉ ๐ต) โฉ (๐ด โฉ ๐ถ) = ๐ด โฉ ๐ต โฉ ๐ถ
(๐ด โฉ ๐ถ) โฉ (๐ด โฉ ๐ต) = ๐ด โฉ ๐ถ โฉ ๐ต
2. En dรฉduire que
(๐ด โฉ ๐ต)ฮ(๐ด โฉ ๐ถ) = ๐ด โฉ (๐ตฮ๐ถ)
Allez ร : Correction exercice 10 :
Exercice 11 :
On rappelle que pour toutes parties ๐ et ๐ dโun ensemble ๐ธ, on note
๐ฮ๐ = (๐ โ ๐) โช (๐ โ ๐)
1. Montrer que pour toutes parties ๐ด, ๐ต et ๐ถ dโun ensemble ๐ธ.
(๐ด โช ๐ต) โฉ (๐ด โช ๐ถ) = ๐ด โฉ ๐ต โฉ ๐ถ
(๐ด โช ๐ถ) โฉ (๐ด โช ๐ต) = ๐ด โฉ ๐ถ โฉ ๐ต
2. En dรฉduire que
(๐ด โช ๐ต)ฮ(๐ด โช ๐ถ) = ๐ด โฉ (๐ตฮ๐ถ)
Allez ร : Correction exercice 11 :
Exercice 12 :
Soient ๐ด, ๐ต et ๐ถ trois parties dโun ensemble ๐ธ.
1. Que pensez-vous de lโimplication
๐ด โช ๐ต โ ๐ถ โ (๐ด โ ๐ถ ou ๐ต โ ๐ถ) ?
Justifiez (on pourra utiliser la contraposรฉe).
2. On suppose que lโon a les inclusions suivantes : ๐ด โช ๐ต โ ๐ด โช ๐ถ et ๐ด โฉ ๐ต โ ๐ด โฉ ๐ถ. Montrer que
๐ต โ ๐ถ.
3.
Allez ร : Correction exercice 12 :
Exercice 13 :
Soient ๐ด et ๐ต deux parties dโun ensemble ๐ธ . Dรฉmontrer les รฉgalitรฉs suivantes :
1. ๐ถ๐ธ(๐ด โฉ ๐ต) = ๐ถ๐ธ๐ด โช ๐ถ๐ธ๐ต
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2. ๐ถ๐ธ(๐ด โช ๐ต) = ๐ถ๐ธ๐ด โฉ ๐ถ๐ธ๐ต
Si ๐ด โ ๐ต, montrer ๐ถ๐ธ๐ต โ ๐ถ๐ธ๐ด
Allez ร : Correction exercice 13 :
Exercice 14 :
Soit ๐ธ un ensemble et ๐น et ๐บ deux parties de ๐ธ. Dรฉmontrer que :
1. ๐น โ ๐บ โ ๐น โช ๐บ = ๐บ
2. ๐น โ ๐บ โ ๐น โฉ ๐ถ๐ธ๐บ = โ
Allez ร : Correction exercice 14 :
Exercice 15 :
Soit ๐ธ un ensemble et soit ๐ซ(๐ธ) lโensemble des parties de ๐ธ. Pour ๐ด et ๐ต dans ๐ซ(๐ธ), on appelle
diffรฉrence symรฉtrique de ๐ด par ๐ต lโensemble, notรฉ ๐ดฮ๐ต dรฉfini par :
๐ดฮ๐ต = (๐ด โช ๐ต) โ (๐ด โฉ ๐ต)
1. Montrer que ๐ดฮ๐ต = (๐ด โฉ ๐ต) โช (๐ต โฉ ๐ด) = (๐ด โ ๐ต) โช (๐ต โ ๐ด).
2. Calculer ๐ดฮ๐ด, ๐ดฮโ et ๐ดฮ๐ธ.
3. Montrer que pour tous ๐ด, ๐ต et ๐ถ dans ๐ซ(๐ธ), on a :
a) Montrer que : (๐ด โฉ ๐ต) โช (๐ต โฉ ๐ด) = (๐ด โฉ ๐ต) โช (๐ต โฉ ๐ด)
b) Montrer que : (๐ดฮ๐ต)ฮ๐ถ = (๐ด โฉ ๐ต โฉ ๐ถ) โช (๐ต โฉ ๐ด โฉ ๐ถ) โช (๐ถ โฉ ๐ด โฉ ๐ต) โช (๐ถ โฉ ๐ต โฉ ๐ด)
c) Montrer que ๐ดฮ(๐ตฮ๐ถ) = (๐ถ๐ฅ๐ต)๐ฅ๐ด
d) A lโaide du b), montrer que (๐ด๐ฅ๐ต)๐ฅ๐ถ = (๐ถ๐ฅ๐ต)๐ฅ๐ด,
e) En dรฉduire que : (๐ดฮ๐ต)ฮ๐ถ = ๐ดฮ(๐ตฮ๐ถ)
Allez ร : Correction exercice 15 :
Exercice 16 :
Soit ๐: ๐ผ โ ๐ฝ dรฉfinie par ๐(๐ฅ) = ๐ฅ2
1. Donner des ensembles ๐ผ et ๐ฝ tels que ๐ soit injective mais pas surjective.
2. Donner des ensembles ๐ผ et ๐ฝ tels que ๐ soit surjective mais pas injective.
3. Donner des ensembles ๐ผ et ๐ฝ tels que ๐ soit ni injective ni surjective.
4. Donner des ensembles ๐ผ et ๐ฝ tels que ๐ soit injective et surjective.
Allez ร : Correction exercice 16 :
Exercice 17 :
Dire (en justifiant) pour chacune des applications suivantes si elles sont injectives, surjectives,
bijectives :
๐: โ โ โ
๐ฅ โฆ ๐ฅ2
๐: โ+ โ โ+
๐ฅ โฆ ๐ฅ2
๐: [0,1] โ [0,2]
๐ฅ โฆ ๐ฅ2
๐: โ โ โ
๐ฅ โฆ ๐ฅ + ๐ฅ3 โ: โ โ โ
๐ฅ โฆ ๐ฅ2 + ๐ฅ3 ๐: โ โ โ
๐ฅ โฆ ๐ฅ + ๐ฅ4
Allez ร : Correction exercice 17 :
Exercice 18 :
Soit ๐ผ โ โ et ๐ฝ โ โ, deux intervalles de โ. Soit ๐: ๐ผ โ ๐ฝ une fonction strictement croissante.
1. Montrer que ๐ est injective.
On pourra montrer la contraposรฉe (et on rappelle que ๐ฅ1 โ ๐ฅ2 รฉquivaut ร ๐ฅ1 < ๐ฅ2 ou ๐ฅ2 < ๐ฅ1)
2. Dรฉterminer lโensemble ๐พ tel que ๐: ๐ผ โ ๐พ soit bijective.
Allez ร : Correction exercice 18 :
Exercice 19 :
Soit ๐: โ2 โ โ dรฉfinie pour tout (๐, ๐) โ โ2 par ๐(๐, ๐) = ๐๐
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Soit ๐: โ โ โ2 dรฉfinie pour tout ๐ โ โ par ๐(๐) = (๐, (๐ + 1)2)
1. ๐ est-elle injective ?
2. ๐ est-elle surjective ?
3. ๐ est-elle injective ?
4. ๐ est-elle surjective ?
Allez ร : Correction exercice 19 :
Exercice 20 :
Soient
๐: โ โ โ๐ โฆ 2๐
๐: โ โ โ
๐ โฆ ๐ธ (๐
2)
Oรน ๐ธ(๐ฅ) dรฉsigne la partie entiรจre de ๐ฅ
Les fonctions sont-elles injectives, surjective ? Comparer ๐ โ ๐ et ๐ โ ๐.
Allez ร : Correction exercice 20 :
Exercice 21 :
Soit ๐ une application de ๐ธ vers ๐ธ telle que :
๐(๐(๐ธ)) = ๐ธ
Montrer que ๐ est surjective.
Allez ร : Correction exercice 21 :
Exercice 22 :
On considรจre lโapplication ๐: โ โ โ dรฉfinie pour tout ๐ โ โ par ๐(๐) = ๐2
1. Existe-t-il ๐: โ โ โ telle que :๐ โ ๐ = ๐ผ๐โ ?
2. Existe-t-il โ: โ โ โ telle que :โ โ ๐ = ๐ผ๐โ ?
Allez ร : Correction exercice 22 :
Exercice 23 :
Soit ๐: โค โ โค dรฉfinie par ๐(๐) = 2๐
1. Existe-t-il une fonction ๐: โค โ โค telle que ๐ โ ๐ = ๐ผ๐โค ?
2. Existe-t-il une fonction โ: โค โ โค telle que โ โ ๐ = ๐ผ๐โค ?
Allez ร : Correction exercice 23 :
Exercice 24 :
Soit ๐: ๐ธ โ ๐น une application, oรน ๐ถ๐๐๐(๐ธ) = ๐ถ๐๐๐(๐น)
Montrer que les trois propriรฉtรฉs suivantes sont รฉquivalentes
(i) ๐ est injective
(ii) ๐ est surjective
(iii) ๐ est bijective
Allez ร : Correction exercice 24 :
Exercice 25 :
Rรฉpondre aux questions qui suivent, en justifiant, le cas รฉchรฉant, votre rรฉponse par un bref argument, un
calcul ou un contre-exemple.
1. Si les applications ๐ข: โ โ โค et ๐ฃ: โค โ โ sont bijectives, alors lโapplication ๐ข โ ๐ฃ โ ๐ข: โ โ โค est
aussi bijective. Vrai ou Faux, justifier.
2. Lโapplication ๐: โ3 โ โ: (๐, ๐, ๐) โฆ 2๐3๐5๐ est une application
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(i) bijective (ii) injective et pas surjective (iii) surjective et pas injective (iv) ni surjective ni
injective
Justifier.
3. Soit ๐ โ โ โ {0,1}. Lโapplication ๐: โค โ โ qui ร lโentier ๐ โ โค associe le reste de la division
euclidienne de ๐ par ๐ est une application.
4. bijective (ii) injective et pas surjective (iii) surjective et pas injective (iv) ni surjective ni
injective
Justifier.
5. Soient ๐, ๐, ๐, ๐ โ โค tels que ๐๐ โ ๐๐ = 1. Dรฉterminer lโapplication rรฉciproque de la bijection
๐: โค2 โ โค2
(๐ข, ๐ฃ) โฆ (๐๐ข + ๐๐ฃ + 1, ๐๐ข + ๐๐ฃ โ 1)
Allez ร : Correction exercice 25 :
Exercice 26 :
1. Soient ๐1 โ โ โ {0,1} et ๐2 โ โ โ {0,1}
Montrer que :
โ1
2<
1
๐1โ
1
๐2<
1
2
2. Soit ๐: โค ร โ โ {0,1} โ โ lโapplication dรฉfinie par :
๐(๐, ๐) = ๐ +1
๐
a. Montrer que ๐ est injective ?
b. ๐ est-elle surjective ?
Allez ร : Correction exercice 26 :
Exercice 27 :
Soit ๐ซ(๐ธ) lโensemble des parties de ๐ธ. Montrer quโil nโexiste pas dโapplication surjective ๐: ๐ธ โ ๐ซ(๐ธ).
Considรฉrer la partie ๐ด = {๐ฅ โ ๐ธ, ๐ฅ โ ๐(๐ฅ)}.
Allez ร : Correction exercice 27 :
Exercice 28 :
Pour un entier ๐ โ โ on dรฉsigne par ๐ผ๐ lโensemble {1,2, โฆ , ๐}.
1. On suppose ๐ โฅ 2. Combien y-a-t-il dโapplication injectives ๐: ๐ผ2 โ ๐ผ๐ ?
2. A quelle condition portant sur les entiers ๐ et ๐ peut-on dรฉfinir une application ๐: ๐ผ๐ โ ๐ผ๐ qui soit
injective, surjective, bijective ?
Allez ร : Correction exercice 28 :
Exercice 29 :
Soient ๐ธ, ๐น et ๐บ trois ensemble et soient ๐: ๐ธ โ ๐น et ๐: ๐น โ ๐บ deux applications.
1. Montrer que si ๐ et ๐ sont injectives alors ๐ โ ๐ est injective.
2. Montrer que si ๐ et ๐ sont surjectives alors ๐ โ ๐ est surjective.
3. Que peut-on conclure sur ๐ โ ๐ si ๐ et ๐ sont bijectives ?
4. Montrer que si ๐ โ ๐ est injective alors ๐ est injective.
5. Montrer que si ๐ โ ๐ est surjective alors ๐ est surjective.
6. Si ร prรฉsent ๐: ๐ธ โ ๐น et ๐: ๐น โ ๐ธ, dรฉduire de ce qui prรฉcรจde ce que lโon peut dire dans les cas
suivants :
a. ๐ โ ๐ = ๐ผ๐๐ธ
b. ๐ โ ๐ = ๐ผ๐๐น
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c. ๐ โ ๐ = ๐ผ๐๐ธ
Allez ร : Correction exercice 29 :
Exercice 30 :
Soient ๐ et ๐ deux ensembles non vides et ๐ une application de ๐ dans ๐. Une application ๐ , de ๐ dans
๐, telle que ๐ โ ๐ = ๐ผ๐๐ sโappelle une section de ๐.
1. Montrer que si ๐ admet au moins une section alors ๐ est surjective.
2. Montrer que toute section de ๐ est injective.
Une application ๐, de ๐ dans ๐, telle que ๐ โ ๐ = ๐ผ๐๐ sโappelle une rรฉtraction de ๐.
3. Montrer que si ๐ possรจde une rรฉtraction alors ๐ est injective.
4. Montrer que si ๐ est injective alors ๐ possรจde une rรฉtraction.
5. Montrer que toute rรฉtraction de ๐ est surjective.
6. En dรฉduire que si ๐ possรจde ร la fois une section ๐ et une rรฉtraction ๐, alors ๐ est bijective et lโon a :
๐ = ๐ (= ๐โ1 par consรฉquent).
Allez ร : Correction exercice 30 :
Exercice 31 :
Soient ๐ธ et ๐น deux ensembles et soit ๐ une application de ๐ธ dans ๐น. Soient ๐ด et ๐ต deux parties de ๐ธ,
montrer que :
1. ๐(๐ด โช ๐ต) = ๐(๐ด) โช ๐(๐ต)
2. ๐(๐ด โฉ ๐ต) โ ๐(๐ด) โฉ ๐(๐ต)
Donner un exemple oรน cette derniรจre inclusion est stricte. Montrer alors que ๐ est injective si et
seulement si pour toute partie ๐ด de ๐ธ et pour toute partie ๐ต de ๐ธ, on a ๐(๐ด โฉ ๐ต) = ๐(๐ด) โฉ ๐(๐ต).
Allez ร : Correction exercice 31 :
Exercice 32 :
1. Soit ๐ lโapplication de lโensemble {1,2,3,4} dans lui-mรชme dรฉfinie par :
๐(1) = 4, ๐(2) = 1 , ๐(3) = 2, ๐(4) = 2.
Dรฉterminer ๐โ1(๐ด) lorsque ๐ด = {2}, ๐ด = {1,2}, ๐ด = {3}.
2. Soit ๐ lโapplication de โ dans โ dรฉfinie par ๐(๐ฅ) = ๐ฅ2. Dรฉterminer ๐โ1(๐ด) lorsque ๐ด = {1},
๐ด = [1,2].
Allez ร : Correction exercice 32 :
Exercice 33 :
1. Soit ๐: โ2 โ โ dรฉfinie par ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐ฅ. Dรฉterminer ๐([0,1] ร [0,1]), ๐โ1([โ1,1]).
2. Soit ๐: โ โ [โ1,1] dรฉfinie par ๐(๐ฅ) = cos(๐๐ฅ), dรฉterminer ๐(โ), ๐(2โ), ๐โ1({ยฑ1}).
Allez ร : Correction exercice 33 :
Exercice 34 :
Soient ๐ธ et ๐น deux ensembles et soit ๐ une application de ๐ธ dans ๐น. Soient ๐ดโฒ et ๐ตโฒ deux parties
quelconques de ๐น, non vides. Montrer que :
1. ๐โ1(๐ดโฒ โช ๐ตโฒ) = ๐โ1(๐ดโฒ) โช ๐โ1(๐ตโฒ)
2. ๐โ1(๐ดโฒ โฉ ๐ตโฒ) = ๐โ1(๐ดโฒ) โฉ ๐โ1(๐ตโฒ)
Allez ร : Correction exercice 34 :
Exercice 35 :
Soient ๐ธ et ๐น deux ensembles et soit ๐ une application de ๐ธ dans ๐น .
1. Montrer que pour toute partie ๐ด de ๐ธ, on a ๐ด โ ๐โ1(๐(๐ด)).
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2. Montrer que pour toute partie ๐ต de ๐น, on a ๐(๐โ1(๐ต)) โ ๐ต.
3. Montrer que ๐ est injective si et seulement si pour toute partie ๐ด de ๐ธ on a ๐ด = ๐โ1(๐(๐ด)).
4. Montrer que ๐ est surjective si et seulement si pour toute partie ๐ต de ๐น on a ๐(๐โ1(๐ต)) = ๐ต.
Allez ร : Correction exercice 35 :
Exercice 36 :
Soit ๐ท = {(๐ฅ, ๐ฆ) โ โ2, โ๐ฆ โค ๐ฅ โค ๐ฆ}
Soit ๐: ๐ท โ โ ร โ dรฉfinie par ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = (๐ฅ2 + ๐ฆ2, 2๐ฅ๐ฆ)
1. Reprรฉsenter ๐ท dans le plan.
2. a. Montrer que si deux couples de rรฉels (๐ฅ1, ๐ฆ1) et (๐ฅ2, ๐ฆ2) vรฉrifient
{๐ฅ1 + ๐ฆ1 = ๐ฅ2 + ๐ฆ2
๐ฅ1 โ ๐ฆ1 = ๐ฅ2 โ ๐ฆ2
Alors (๐ฅ1, ๐ฆ1) = (๐ฅ2, ๐ฆ2) (autrement dit ๐ฅ1 = ๐ฅ2 et ๐ฆ1 = ๐ฆ2).
b. Montrer que ๐ est injective, on pourra se ramener au systรจme du 2.a..
3. Est-ce que ๐ est surjective ?
Allez ร : Correction exercice 36 :
CORRECTIONS
Correction exercice 1 :
๐ด โฉ ๐ต = {1,2,3} ; ๐ด โช ๐ต = {0,1,2,3}
Remarque :
Comme ๐ด โ ๐ต on a ๐ด โฉ ๐ต = ๐ด et ๐ด โช ๐ต = ๐ต
๐ด ร ๐ต = {(1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (2,0), (2,1), (2,2), (2,3), (3,0), (3,1), (3,2), (3,3)
Remarque :
Card(๐ด ร ๐ต) = Card(๐ด) ร Card(๐ต) = 3 ร 4 = 12
Allez ร : Exercice 1 :
Correction exercice 2 :
๐ด โฉ ๐ต = [2,3] ; ๐ด โช ๐ต = [1,4]
Allez ร : Exercice 2 :
Correction exercice 3 :
1.
๐ถโ๐ด1 =]0, +โ[ ; ๐ถโ๐ด2 = [0, +โ[ ; ๐ถโ๐ด3 =] โ โ, 0] ; ๐ถโ๐ด4 =] โ โ, 0[;
๐ถโ๐ด5 =] โ โ, 1] โช [2, +โ[; ๐ถโ๐ด6 =] โ โ, 1[โช [2, +โ[
2.
๐ถโ๐ด = [1,2]; ๐ถโ๐ต โฉ ๐ถโ๐ถ = [1, +โ[โฉ]2, +โ[= [1,2]
Remarque :
๐ถโ๐ต โฉ ๐ถโ๐ถ = ๐ถโ(๐ต โช ๐ถ) = ๐ถโ๐ด
Allez ร : Exercice 3 :
Correction exercice 4 :
๐ด โฉ ๐ต =] โ 2,3]
๐ด โช ๐ต =] โ โ, 7]
๐ต โฉ ๐ถ =] โ 2,7]
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๐ต โช ๐ถ =] โ 5, +โ[
โ โ ๐ด =]3, +โ[
๐ด โ ๐ต =] โ โ, โ2]
(โ โ ๐ด) โฉ (โ โ ๐ต) =]3, +โ[โฉ (] โ โ, โ2] โช]7, +โ[) = (]3, +โ[โฉ] โ โ, โ2]) โช (]3, +โ[โฉ]7, +โ[)
= โ โช]7, +โ[=]7, +โ[
Ou mieux
(โ โ ๐ด) โฉ (โ โ ๐ต) = โ โ (๐ด โช ๐ต) =]7, +โ[
(โ โ (๐ด โช ๐ต) =]7, +โ[
(๐ด โฉ ๐ต) โช (๐ด โฉ ๐ถ) =] โ 2,3] โช] โ 5,3] =] โ 5,3]
Ou
(๐ด โฉ ๐ต) โช (๐ด โฉ ๐ถ) = ๐ด โฉ (๐ต โช ๐ถ) =] โ โ, 3] โฉ] โ 5, +โ[=] โ 5,3]
๐ด โฉ (๐ต โช ๐ถ) =] โ โ, 3] โฉ] โ 5, +โ[=] โ 5,3]
Allez ร : Exercice 4 :
Correction exercice 5 :
Il sโagit de rรฉsultats du cours que lโon peut utiliser sans dรฉmonstration mais cet exercice demande de les
redรฉmontrer.
1. Si ๐ฅ โ ๐ด โช (๐ต โฉ ๐ถ)
Alors (๐ฅ โ ๐ด ou ๐ฅ โ (๐ต โฉ ๐ถ))
Alors (๐ฅ โ ๐ด ou (๐ฅ โ ๐ต et ๐ฅ โ ๐ถ))
Si ๐ฅ โ ๐ด alors ๐ฅ โ ๐ด โช ๐ต et ๐ฅ โ ๐ด โช ๐ถ, par consรฉquent ๐ฅ โ (๐ด โช ๐ต) โฉ (๐ด โช ๐ถ).
Si (๐ฅ โ ๐ต et ๐ฅ โ ๐ถ) alors (๐ฅ โ ๐ด โช ๐ต et ๐ฅ โ ๐ด โช ๐ถ)
Donc si (๐ฅ โ ๐ด ou (๐ฅ โ ๐ต et ๐ฅ โ ๐ถ)) alors (๐ฅ โ ๐ด โช ๐ต et ๐ฅ โ ๐ด โช ๐ถ)
On a montrรฉ que ๐ด โช (๐ต โฉ ๐ถ) โ (๐ด โช ๐ต) โฉ (๐ด โช ๐ถ)
Si ๐ฅ โ (๐ด โช ๐ต) โฉ (๐ด โช ๐ถ) alors (๐ฅ โ ๐ด โช ๐ต et ๐ฅ โ ๐ด โช ๐ถ).
(๐ฅ โ ๐ด โช ๐ต et ๐ฅ โ ๐ด โช ๐ถ) โ ((๐ฅ โ ๐ด ou ๐ฅ โ ๐ต) et (๐ฅ โ ๐ด ou ๐ฅ โ ๐ถ))
Si (๐ฅ โ ๐ด et (๐ฅ โ ๐ด ou ๐ฅ โ ๐ถ)) alors ๐ฅ โ ๐ด โฉ ๐ด ou ๐ฅ โ ๐ด โฉ ๐ถ
Si (๐ฅ โ ๐ต et (๐ฅ โ ๐ด ou ๐ฅ โ ๐ถ)) alors ๐ฅ โ ๐ต โฉ ๐ด ou ๐ฅ โ ๐ต โฉ ๐ถ
Alors ๐ฅ โ ๐ด ou ๐ฅ โ ๐ด โฉ ๐ถ ou ๐ฅ โ ๐ต โฉ ๐ด ou ๐ฅ โ ๐ต โฉ ๐ถ
Alors ๐ฅ โ ๐ด ou ๐ฅ โ ๐ด โฉ ๐ถ โ ๐ด ou ๐ฅ โ ๐ต โฉ ๐ด โ ๐ด ou ๐ฅ โ ๐ต โฉ ๐ถ
Alors ๐ฅ โ ๐ด ou ๐ฅ โ ๐ต โฉ ๐ถ
Alors ๐ฅ โ ๐ด โช (๐ต โฉ ๐ถ)
On a montrรฉ que (๐ด โช ๐ต) โฉ (๐ด โช ๐ถ) โ ๐ด โช (๐ต โฉ ๐ถ)
Finalement ๐ด โช (๐ต โฉ ๐ถ) = (๐ด โช ๐ต) โฉ (๐ด โช ๐ถ)
2. Si ๐ฅ โ ๐ด โฉ (๐ต โช ๐ถ)
Alors (๐ฅ โ ๐ด et ๐ฅ โ ๐ต โช ๐ถ)
Alors (๐ฅ โ ๐ด et (๐ฅ โ ๐ต ou ๐ฅ โ ๐ถ))
Alors (๐ฅ โ ๐ด et ๐ฅ โ ๐ต) ou (๐ฅ โ ๐ด et ๐ฅ โ ๐ถ)
Alors ๐ฅ โ ๐ด โฉ ๐ต ou ๐ฅ โ ๐ด โฉ ๐ถ
Alors ๐ฅ โ (๐ด โฉ ๐ต) โช (๐ด โฉ ๐ถ)
On a montrรฉ que ๐ด โฉ (๐ต โช ๐ถ) โ (๐ด โฉ ๐ต) โช (๐ด โฉ ๐ถ)
Si ๐ฅ โ (๐ด โฉ ๐ต) โช (๐ด โฉ ๐ถ)
Alors ๐ฅ โ ๐ด โฉ ๐ต ou ๐ฅ โ ๐ด โฉ ๐ถ
Alors (๐ฅ โ ๐ด et ๐ฅ โ ๐ต) ou (๐ฅ โ ๐ด et ๐ฅ โ ๐ถ)
Alors (๐ฅ โ ๐ด ou ๐ฅ โ ๐ด) et (๐ฅ โ ๐ด ou ๐ฅ โ ๐ถ) et (๐ฅ โ ๐ต ou ๐ฅ โ ๐ด) et (๐ฅ โ ๐ต ou ๐ฅ โ ๐ถ)
Alors ๐ฅ โ ๐ด et ๐ฅ โ ๐ด โช ๐ถ et ๐ฅ โ ๐ต โช ๐ด et ๐ฅ โ ๐ต โช ๐ถ
Comme ๐ฅ โ ๐ด et ๐ฅ โ ๐ด โช ๐ถ et ๐ฅ โ ๐ต โช ๐ด entraine que ๐ฅ โ ๐ด
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9
๐ฅ โ (๐ด โฉ ๐ต) โช (๐ด โฉ ๐ถ) โ ๐ฅ โ ๐ด et ๐ฅ โ ๐ต โช ๐ถ โ ๐ฅ โ ๐ด โฉ (๐ต โช ๐ถ)
On a montrรฉ que (๐ด โฉ ๐ต) โช (๐ด โฉ ๐ถ) โ ๐ด โฉ (๐ต โช ๐ถ)
Et finalement ๐ด โฉ (๐ต โช ๐ถ) = (๐ด โฉ ๐ต) โช (๐ด โฉ ๐ถ)
Allez ร : Exercice 5 :
Correction exercice 6 :
1.
๐ด1 = ๐ด โฉ ๐ต โ โ
Dโaprรจs lโรฉnoncรฉ
๐ด2 = ๐ด โฉ ๐ถ๐ธ๐ต = ๐ด โ ๐ต โ โ
Car ๐ด โ ๐ต.
๐ด3 = ๐ต โฉ ๐ถ๐ธ๐ด = ๐ต โ ๐ด โ โ
Car ๐ต โ ๐ด
๐ด4 = ๐ถ๐ธ(๐ด โช ๐ต) = ๐ธ โ (๐ด โช ๐ต) โ โ
Car ๐ด โช ๐ต โ ๐ธ, en fait ๐ด โช ๐ต โ ๐ธ car ๐ด โ ๐ธ et ๐ต โ ๐ธ.
2.
๐ด1 โฉ ๐ด2 = (๐ด โฉ ๐ต) โฉ (๐ด โฉ ๐ถ๐ธ๐ต) = ๐ด โฉ ๐ต โฉ ๐ด โฉ ๐ถ๐ธ๐ต = (๐ด โฉ ๐ด) โฉ (๐ต โฉ ๐ถ๐ธ๐ต) = ๐ด โฉ โ = โ
๐ด1 โฉ ๐ด3 = (๐ด โฉ ๐ต) โฉ (๐ต โฉ ๐ถ๐ธ๐ด) = ๐ด โฉ ๐ต โฉ ๐ต โฉ ๐ถ๐ธ๐ด = (๐ต โฉ ๐ต) โฉ (๐ด โฉ ๐ถ๐ธ๐ด) = ๐ต โฉ โ = โ
๐ด1 โฉ ๐ด4 = (๐ด โฉ ๐ต) โฉ (๐ถ๐ธ(๐ด โช ๐ต)) = (๐ด โฉ ๐ต) โฉ (๐ถ๐ธ๐ด โฉ ๐ถ๐ธ๐ต) = ๐ด โฉ ๐ต โฉ ๐ถ๐ธ๐ด โฉ ๐ถ๐ธ๐ต
= (๐ด โฉ ๐ถ๐ธ๐ด) โฉ (๐ต โฉ ๐ถ๐ธ๐ต) = โ โฉ โ = โ
๐ด2 โฉ ๐ด3 = (๐ด โฉ ๐ถ๐ธ๐ต) โฉ (๐ต โฉ ๐ถ๐ธ๐ด) = ๐ด โฉ ๐ถ๐ธ๐ต โฉ ๐ต โฉ ๐ถ๐ธ๐ด = (๐ด โฉ ๐ถ๐ธ๐ด) โฉ (๐ต โฉ ๐ถ๐ธ๐ต) = โ โฉ โ = โ
๐ด2 โฉ ๐ด4 = (๐ด โฉ ๐ถ๐ธ๐ต) โฉ ๐ถ๐ธ(๐ด โช ๐ต) = (๐ด โฉ ๐ถ๐ธ๐ต) โฉ (๐ถ๐ธ๐ด โฉ ๐ถ๐ธ๐ต) = ๐ด โฉ ๐ถ๐ธ๐ต โฉ ๐ถ๐ธ๐ด โฉ ๐ถ๐ธ๐ต
= (๐ด โฉ ๐ถ๐ธ๐ด) โฉ (๐ถ๐ธ๐ต โฉ ๐ถ๐ธ๐ต) = โ โฉ ๐ถ๐ธ๐ต = โ
๐ด3 โฉ ๐ด4 = (๐ต โฉ ๐ถ๐ธ๐ด) โฉ ๐ถ๐ธ(๐ด โช ๐ต) = (๐ต โฉ ๐ถ๐ธ๐ด) โฉ (๐ถ๐ธ๐ด โฉ ๐ถ๐ธ๐ต) = ๐ต โฉ ๐ถ๐ธ๐ด โฉ ๐ถ๐ธ๐ด โฉ ๐ถ๐ธ๐ต
= (๐ต โฉ ๐ถ๐ธ๐ต) โฉ (๐ถ๐ธ๐ด โฉ ๐ถ๐ธ๐ด) = โ โฉ ๐ถ๐ธ๐ด = โ
3. ๐ด1, ๐ด2, ๐ด3 et ๐ด4 sont deux ร deux disjoints.
๐ด1 โช ๐ด2 โช ๐ด3 โฉ ๐ด4 = (๐ด โฉ ๐ต) โช (๐ด โฉ ๐ถ๐ธ๐ต) โช (๐ต โฉ ๐ถ๐ธ๐ด) โช ๐ถ๐ธ(๐ด โช ๐ต)
= (๐ด โฉ ๐ต) โช (๐ด โฉ ๐ถ๐ธ๐ต) โช (๐ต โฉ ๐ถ๐ธ๐ด) โช (๐ถ๐ธ๐ด โฉ ๐ถ๐ธ๐ต)
= [(๐ด โฉ ๐ต) โช (๐ด โฉ ๐ถ๐ธ๐ต)] โช [(๐ต โฉ ๐ถ๐ธ๐ด) โช (๐ถ๐ธ๐ด โฉ ๐ถ๐ธ๐ต)]
= [(๐ด โช ๐ด) โฉ (๐ด โช ๐ถ๐ธ๐ต) โฉ (๐ต โช ๐ด) โฉ (๐ต โช ๐ถ๐ธ๐ต)]
โช [(๐ต โช ๐ถ๐ธ๐ด) โฉ (๐ต โช ๐ถ๐ธ๐ต) โฉ (๐ถ๐ธ๐ด โช ๐ถ๐ธ๐ด) โฉ (๐ถ๐ธ๐ด โช ๐ถ๐ธ๐ต)]
= [๐ด โฉ (๐ด โช ๐ถ๐ธ๐ต) โฉ (๐ด โช ๐ต) โฉ ๐ธ] โช [(๐ต โช ๐ถ๐ธ๐ด) โฉ ๐ธ โฉ ๐ถ๐ธ๐ด โฉ (๐ถ๐ธ๐ด โช ๐ถ๐ธ๐ต)]
= [๐ด โฉ {(๐ด โช ๐ถ๐ธ๐ต) โฉ (๐ด โช ๐ต)}] โช [๐ถ๐ธ๐ด โฉ {(๐ต โช ๐ถ๐ธ๐ด) โฉ (๐ถ๐ธ๐ด โช ๐ถ๐ธ๐ต)}]
= [๐ด โฉ {๐ด โช (๐ถ๐ธ๐ต โฉ ๐ต)}] โช [๐ถ๐ธ๐ด โฉ {๐ถ๐ธ๐ด โช (๐ต โฉ ๐ถ๐ธ๐ต}]
= [๐ด โฉ {๐ด โช โ }] โช [๐ถ๐ธ๐ด โฉ {๐ถ๐ธ๐ด โช โ }] = [๐ด โฉ ๐ด] โช [๐ถ๐ธ๐ด โฉ ๐ถ๐ธ๐ด] = ๐ด โช ๐ถ๐ธ๐ด = ๐ธ
Remarque :
(๐ด1, ๐ด2, ๐ด3, ๐ด4) est une partition de ๐ธ.
Sur un schรฉma cโest une รฉvidence (๐ธ est le carrรฉ sur le schรฉma).
๐ด2 ๐ด1 ๐ด3
๐ด4
๐ด ๐ต
๐ธ
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10
Allez ร : Exercice 6 :
Correction exercice 7 :
1.
๐ถโ๐ด1 =]0, +โ[ ; ๐ถโ๐ด2 = [0, +โ[ ; ๐ถโ๐ด3 =] โ โ, 0] ; ๐ถโ๐ด4 =] โ โ, 0[;
๐ถโ๐ด5 =] โ โ, 1] โช [2, +โ[; ๐ถโ๐ด6 =] โ โ, 1[โช [2, +โ[
2.
๐ถโ๐ด = [1,2]; ๐ถโ๐ต โฉ ๐ถโ๐ถ = [1, +โ[โฉ]2, +โ[= [1,2]
Remarque :
๐ถโ๐ต โฉ ๐ถโ๐ถ = ๐ถโ(๐ต โช ๐ถ) = ๐ถโ๐ด
Allez ร : Exercice 7 :
Correction exercice 8 :
a) Soit ๐ฅ โ ๐ต = โ๐ธ๐ต, ๐ฅ โ ๐ต, comme ๐ด โ ๐ต, ๐ฅ โ ๐ด, autrement dit ๐ฅ โ ๐ด = โ๐ธ
๐ด ce qui montre que si
๐ฅ โ ๐ต alors ๐ฅ โ ๐ด.
b) Si ๐ฅ โ ๐ด alors ๐ฅ โ ๐ต (car ๐ด โฉ ๐ต = โ ) donc ๐ฅ โ ๐ต = โ๐ธ๐ต.
Si ๐ฅ โ ๐ด alors ๐ฅ โ ๐ด = โ๐ธ๐ด
c) ๐ถ๐ธ(๐ถ๐ธ๐ด) = ๐ด, ๐ด โฉ ๐ถ๐ธ๐ด = โ , ๐ด โช ๐ถ๐ธ๐ด = ๐ธ, ๐ถ๐ธโ = ๐ธ et ๐ถ๐ธ๐ธ = โ
Allez ร : Exercice 8 :
Correction exercice 9 :
1. (๐ด โ ๐ต) โ ๐ถ = (๐ด โฉ ๐ต) โ ๐ถ = (๐ด โฉ ๐ต) โฉ ๐ถ = ๐ด โฉ (๐ต โฉ ๐ถ) = ๐ด โฉ (๐ต โช ๐ถ) = ๐ด โ (๐ต โช ๐ถ)
2. (๐ด โ ๐ต) โฉ (๐ถ โ ๐ท) = (๐ด โฉ ๐ต) โฉ (๐ถ โฉ ๐ท) = (๐ด โฉ ๐ถ) โฉ (๐ต โฉ ๐ท) = (๐ด โฉ ๐ถ) โฉ (๐ต โช ๐ท) = (๐ด โฉ ๐ถ) โ
(๐ต โช ๐ท)
Allez ร : Exercice 9 :
Correction exercice 10 :
1.
(๐ด โฉ ๐ต) โฉ (๐ด โฉ ๐ถ) = (๐ด โฉ ๐ต) โฉ (๐ด โช ๐ถ) = (๐ด โฉ ๐ต โฉ ๐ด) โช (๐ด โฉ ๐ต โฉ ๐ถ) = โ โช (๐ด โฉ ๐ต โฉ ๐ถ)
= ๐ด โฉ ๐ต โฉ ๐ถ
Pour la seconde il suffit dโintervertir ๐ต et ๐ถ.
2.
(๐ด โฉ ๐ต)ฮ(๐ด โฉ ๐ถ) = ((๐ด โฉ ๐ต) โ (๐ด โฉ ๐ถ)) โช ((๐ด โฉ ๐ถ) โ (๐ด โฉ ๐ต))
= ((๐ด โฉ ๐ต) โฉ (๐ด โฉ ๐ถ)) โช ((๐ด โฉ ๐ถ) โฉ (๐ด โฉ ๐ต)) = (๐ด โฉ ๐ต โฉ ๐ถ) โช (๐ด โฉ ๐ถ โฉ ๐ต)
= ๐ด โฉ ((๐ต โฉ ๐ถ) โช (๐ถ โฉ ๐ต)) = ๐ด โฉ ((๐ต โ ๐ถ) โช (๐ถ โ ๐ต)) = ๐ด โฉ (๐ตฮ๐ถ)
Allez ร : Exercice 10 :
Correction exercice 11 :
1.
(๐ด โช ๐ต) โฉ (๐ด โช ๐ถ) = (๐ด โช ๐ต) โฉ (๐ด โฉ ๐ถ) = (๐ด โฉ (๐ด โฉ ๐ถ)) โช (๐ต โฉ (๐ด โฉ ๐ถ))
= (๐ด โฉ ๐ด โฉ ๐ถ) โช (๐ต โฉ ๐ด โฉ ๐ถ) = โ โช (๐ต โฉ ๐ด โฉ ๐ถ) = ๐ต โฉ ๐ด โฉ ๐ถ = ๐ด โฉ ๐ต โฉ ๐ถ
Pour la seconde รฉgalitรฉ il suffit dโintervertir les rรดles de ๐ต et ๐ถ.
2.
(๐ด โช ๐ต)ฮ(๐ด โช ๐ถ) = (๐ด โช ๐ต) โ (๐ด โช ๐ถ) โช (๐ด โช ๐ถ) โ (๐ด โช ๐ต) = (๐ด โฉ ๐ต โฉ ๐ถ) โช (๐ด โฉ ๐ถ โฉ ๐ต)
= ๐ด โฉ ((๐ต โฉ ๐ถ) โช (๐ถ โฉ ๐ต)) = ๐ด โฉ (๐ต โ ๐ถ โช ๐ถ โ ๐ต) = ๐ด โฉ (๐ตฮ๐ถ)
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11
Allez ร : Exercice 11 :
Correction exercice 12 :
1. La contraposรฉe de cette implication est :
(๐ด โ ๐ถ et ๐ต โ ๐ถ) โ ๐ด โช ๐ต โ ๐ถ
Cette implication est vraie.
2. Prenons ๐ฅ โ ๐ต.
Alors ๐ฅ โ ๐ด โช ๐ต, alors ๐ฅ โ ๐ด โช ๐ถ dโaprรจs lโhypothรจse.
Si ๐ฅ โ ๐ถ cโest fini. Si ๐ฅ โ ๐ด โ ๐ถ alors ๐ฅ โ ๐ด โฉ ๐ต (puisque lโon a pris ๐ฅ โ ๐ต), dโaprรจs lโhypothรจse
๐ฅ โ ๐ด โฉ ๐ถ ce qui entraine que ๐ฅ โ ๐ถ.
On a bien montrรฉ que ๐ต โ ๐ถ.
Allez ร : Exercice 12 :
Correction exercice 13 :
Il sโagit de rรฉsultats du cours, on peut les utiliser sans dรฉmonstration mais cโest lโobjet de cet exercice.
1. Soit ๐ฅ โ ๐ถ๐ธ(๐ด โฉ ๐ต), ๐ฅ โ ๐ด โฉ ๐ต et donc ๐ฅ โ ๐ด ou ๐ฅ โ ๐ต, ce qui signifie que ๐ฅ โ ๐ถ๐ธ๐ด โช ๐ถ๐ธ๐ต
Cela montre que ๐ถ๐ธ(๐ด โฉ ๐ต) โ ๐ถ๐ธ๐ด โช ๐ถ๐ธ๐ต.
Soit ๐ฅ โ ๐ถ๐ธ๐ด โช ๐ถ๐ธ๐ต, ๐ฅ โ ๐ด ou ๐ฅ โ ๐ต donc ๐ฅ โ ๐ด โฉ ๐ต ce qui entraine que ๐ฅ โ ๐ถ๐ธ(๐ด โฉ ๐ต).
Cela montre que ๐ถ๐ธ๐ด โช ๐ถ๐ธ๐ต โ ๐ถ๐ธ(๐ด โฉ ๐ต).
Et finalement
๐ถ๐ธ(๐ด โฉ ๐ต) = ๐ถ๐ธ๐ด โช ๐ถ๐ธ๐ต
Remarque :
On aurait raisonner par รฉquivalence.
2. Soit ๐ฅ โ ๐ถ๐ธ(๐ด โช ๐ต), ๐ฅ โ ๐ด โช ๐ต et donc ๐ฅ โ ๐ด et ๐ฅ โ ๐ต, ce qui signifie que ๐ฅ โ ๐ถ๐ธ๐ด โฉ ๐ถ๐ธ๐ต
Cela montre que ๐ถ๐ธ(๐ด โช ๐ต) โ ๐ถ๐ธ๐ด โฉ ๐ถ๐ธ๐ต.
Soit ๐ฅ โ ๐ถ๐ธ๐ด โฉ ๐ถ๐ธ๐ต, ๐ฅ โ ๐ด et ๐ฅ โ ๐ต donc ๐ฅ โ ๐ด โช ๐ต ce qui entraine que ๐ฅ โ ๐ถ๐ธ(๐ด โช ๐ต).
Cela montre que ๐ถ๐ธ๐ด โฉ ๐ถ๐ธ๐ต โ ๐ถ๐ธ(๐ด โช ๐ต).
Et finalement
๐ถ๐ธ(๐ด โช ๐ต) = ๐ถ๐ธ๐ด โฉ ๐ถ๐ธ๐ต
Remarque :
On aurait pu raisonner par รฉquivalence.
Allez ร : Exercice 13 :
Correction exercice 14 :
Il sโagit de rรฉsultats du cours, on peut les utiliser sans dรฉmonstration mais cโest lโobjet de cet exercice.
1. Supposons que ๐น โ ๐บ.
Si ๐ฅ โ ๐น โช ๐บ alors ๐ฅ โ ๐น โ ๐บ ou ๐ฅ โ ๐บ alors ๐ฅ โ ๐บ. Donc ๐น โช ๐บ โ ๐บ.
Si ๐ฅ โ ๐บ alors ๐ฅ โ ๐น โช ๐บ, par consรฉquent ๐น โช ๐บ = ๐บ.
On a montrรฉ que ๐น โ ๐บ โ ๐น โช ๐บ = ๐บ
Supposons que ๐น โช ๐บ = ๐บ.
Soit ๐ฅ โ ๐น, ๐ฅ โ ๐น โช ๐บ = ๐บ donc ๐ฅ โ ๐บ.
On a montrรฉ que ๐น โช ๐บ = ๐บ โ ๐น โ ๐บ.
Finalement ๐น โ ๐บ โ ๐น โช ๐บ = ๐บ.
2. Supposons que ๐น โ ๐บ.
Si ๐ฅ โ ๐น โฉ ๐ถ๐ธ๐บ, ๐ฅ โ ๐น et ๐ฅ โ ๐บ โ ๐น donc ๐ฅ โ ๐น et ๐ฅ โ ๐น ce qui est impossible par consรฉquent
๐น โฉ ๐ถ๐ธ๐บ = โ .
On a montrรฉ que ๐น โ ๐บ โ ๐น โฉ ๐ถ๐ธ๐บ = โ
Supposons que ๐น โฉ ๐ถ๐ธ๐บ = โ .
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12
Soit ๐ฅ โ ๐น, supposons que ๐ฅ โ ๐บ โ ๐ฅ โ ๐ถ๐ธ๐บ ce qui signifie que ๐ฅ โ ๐น โฉ ๐ถ๐ธ๐บ = โ , cโest impossible
donc lโhypothรจse ๐ฅ โ ๐บ est fausse, par consรฉquent ๐ฅ โ ๐บ et ๐น โ ๐บ.
On a montrรฉ que ๐น โฉ ๐ถ๐ธ๐บ = โ โ ๐น โ ๐บ.
Finalement ๐น โ ๐บ โ ๐น โฉ ๐ถ๐ธ๐บ = โ .
Allez ร : Exercice 14 :
Correction exercice 15 :
1.
(๐ด โช ๐ต) โ (๐ด โฉ ๐ต) = (๐ด โช ๐ต) โฉ (๐ด โฉ ๐ต) = (๐ด โช ๐ต) โฉ (๐ด โช ๐ต)
= (๐ด โฉ ๐ด) โช (๐ด โฉ ๐ต) โช (๐ต โฉ ๐ด) โช (๐ต โฉ ๐ต) = โ โช (๐ด โฉ ๐ต) โช (๐ต โฉ ๐ด) โช โ
= (๐ด โฉ ๐ต) โช (๐ต โฉ ๐ด) = (๐ด โ ๐ต) โช (๐ต โ ๐ด)
2.
๐ดฮ๐ด = (๐ด โช ๐ด) โ (๐ด โฉ ๐ด) = ๐ด โ ๐ด = โ
๐ดฮโ = (๐ด โช โ ) โ (๐ด โฉ โ ) = ๐ด โ โ = ๐ด
๐ดฮ๐ธ = (๐ด โช ๐ธ) โ (๐ด โฉ ๐ธ) = ๐ธ โ ๐ด = ๐ด
3.
a)
(๐ด โฉ ๐ต) โช (๐ต โฉ ๐ด) = ๐ด โฉ ๐ต โฉ (๐ต โฉ ๐ด) = (๐ด โช ๐ต) โฉ (๐ต โช ๐ด)
= (๐ด โฉ ๐ต) โช (๐ด โฉ ๐ด) โช (๐ต โฉ ๐ต) โช (๐ต โฉ ๐ด) = (๐ด โฉ ๐ต) โช โ โช โ โช (๐ต โฉ ๐ด)
= (๐ด โฉ ๐ต) โช (๐ต โฉ ๐ด)
b)
(๐ดฮ๐ต)ฮ๐ถ = ((๐ด โฉ ๐ต) โช (๐ต โฉ ๐ด)) ฮ๐ถ = (((๐ด โฉ ๐ต) โช (๐ต โฉ ๐ด)) โฉ ๐ถ) โช (๐ถ โฉ (๐ด โฉ ๐ต) โช (๐ต โฉ ๐ด))
= (๐ด โฉ ๐ต โฉ ๐ถ) โช (๐ต โฉ ๐ด โฉ ๐ถ) โช (๐ถ โฉ ((๐ด โฉ ๐ต) โช (๐ต โฉ ๐ด)))
= (๐ด โฉ ๐ต โฉ ๐ถ) โช (๐ต โฉ ๐ด โฉ ๐ถ) โช (๐ถ โฉ ๐ด โฉ ๐ต) โช (๐ถ โฉ ๐ต โฉ ๐ด)
c)
(๐ดฮ๐ต)ฮC = (๐ถ โฉ ๐ดฮ๐ต) โช ((๐ดฮ๐ต) โฉ ๐ถ) = ((๐ดฮ๐ต) โฉ ๐ถ) โช (๐ถ โฉ ๐ดฮ๐ต) = ๐ถฮ(๐ดฮ๐ต)
or ๐ดฮ๐ต = (๐ด โฉ ๐ต) โช (๐ต โฉ ๐ด) = (๐ต โฉ ๐ด) โช (๐ด โฉ ๐ต) = ๐ตฮ๐ด donc (๐ดฮ๐ต)ฮC = ๐ถฮ(๐ดฮ๐ต) = ๐ถฮ(๐ตฮ๐ด)
d)
(๐ถ๐ฅ๐ต)๐ฅ๐ด = (๐ถ โฉ ๐ต โฉ ๐ด) โช (๐ต โฉ ๐ถ โฉ ๐ด) โช (๐ด โฉ ๐ถ โฉ ๐ต) โช (๐ด โฉ ๐ต โฉ ๐ถ) = ๐ดฮ(๐ตฮ๐ถ), en changeant ๐ด et
๐ถ.
e)
(๐ดฮ๐ต)ฮ๐ถ = ๐ถฮ(๐ตฮ๐ด) dโaprรจs d) or ๐ถฮ(๐ตฮ๐ด) = ๐ดฮ(๐ตฮ๐ถ) dโaprรจs c).
Donc (๐ดฮ๐ต)ฮ๐ถ = ๐ดฮ(๐ตฮ๐ถ).
Allez ร : Exercice 15 :
Correction exercice 16 :
1. ๐ผ = [0,1] et ๐ฝ = [โ1,1].
2. ๐ผ = [โ1,1] et ๐ฝ = [0,1].
3. ๐ผ = [โ1,1] et ๐ฝ = [โ1,1].
4. ๐ผ = [0,1] et ๐ฝ = [0,1].
Allez ร : Exercice 16 :
Correction exercice 17 :
๐: โ โ โ
๐ฅ โฆ ๐ฅ2
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13
๐(โ1) = ๐(1) donc ๐ nโest pas injective.
โ4 nโa pas dโantรฉcรฉdent, car ๐(๐ฅ) = โ4 โ ๐ฅ2 = โ4 nโa pas de solution dans โ. ๐ nโest pas surjective.
Une fonction est bijective si et seulement si elle est injective et surjective donc cette fonction nโest pas
bijective.
๐: โ+ โ โ+
๐ฅ โฆ ๐ฅ2
๐(๐ฅ1) = ๐(๐ฅ2) โ ๐ฅ12 = ๐ฅ2
2 โ โ๐ฅ12 = โ๐ฅ2
2 โ |๐ฅ1| = |๐ฅ2| โ ๐ฅ1 = ๐ฅ2
Car ๐ฅ1 โฅ 0 et ๐ฅ2 โฅ 0. ๐ est injective.
Pour tout ๐ฆ โ โโ, (celui de lโensemble dโarrivรฉe), il existe ๐ฅ = โ๐ฆ โ โโ, (celui de lโensemble de dรฉpart)
tel que : ๐ฆ = ๐(๐ฅ), en effet ๐(๐ฅ) = (โ๐ฆ)2
= ๐ฆ donc ๐ est surjective.
๐ est bijective.
๐: [0,1] โ [0,2]
๐ฅ โฆ ๐ฅ2
๐(๐ฅ1) = ๐(๐ฅ2) โ ๐ฅ12 = ๐ฅ2
2 โ โ๐ฅ12 = โ๐ฅ2
2 โ |๐ฅ1| = |๐ฅ2| โ ๐ฅ1 = ๐ฅ2
Car ๐ฅ1 โฅ 0 et ๐ฅ2 โฅ 0. ๐ est injective.
2 nโa pas dโantรฉcรฉdent, car ๐(๐ฅ) = 2 โ ๐ฅ2 = 2 nโa pas de solution dans [0,1]. ๐ nโest pas surjective.
๐: โ โ โ
๐ฅ โฆ ๐ฅ + ๐ฅ3
๐ est une fonction dรฉrivable, ๐โฒ(๐ฅ) = 1 + 3๐ฅ2 > 0 donc ๐ est strictement croissante sur โ.
La contraposรฉe de ๐(๐ฅ1) = ๐(๐ฅ2) โ ๐ฅ1 = ๐ฅ2 est ๐ฅ1 โ ๐ฅ2 โ ๐(๐ฅ1) โ ๐(๐ฅ2)
Supposons que ๐ฅ1 โ ๐ฅ2, alors ๐ฅ1 < ๐ฅ2 (ou ๐ฅ2 < ๐ฅ1, ce que revient au mรชme), on en dรฉduit que ๐(๐ฅ1) <
๐(๐ฅ2) car ๐ est strictement croissante, par consรฉquent ๐(๐ฅ1) โ ๐(๐ฅ2), ๐ est injective.
lim๐ฅโโโ
๐(๐ฅ) = โโ et lim๐ฅโ+โ
๐(๐ฅ) = +โ
๐ est une bijection strictement croissante de โ sur โ, par consรฉquent pour tout ๐ฆ โ โ, il existe un
unique ๐ฅ โ โ tel que ๐ฆ = ๐(๐ฅ), ๐ est surjective. Mais lโunicitรฉ du ยซ ๐ฅ ยป fait que ๐ est bijective donc il
รฉtait inutile de montrer lโinjectivitรฉ de ๐.
โ: โ โ โ๐ฅ โฆ ๐ฅ2 + ๐ฅ3
On va รฉtudier (sommairement) cette fonction et dresser son tableau de variation.
โ est une fonction dรฉrivable sur โ. โโฒ(๐ฅ) = 2๐ฅ + 3๐ฅ2 = ๐ฅ(2 + 3๐ฅ)
lim๐ฅโโโ
โ(๐ฅ) = โโ et lim๐ฅโ+โ
โ(๐ฅ) = +โ
Le ยซ ๐ฅ3 ยป lโemporte sur le ยซ ๐ฅ2 ยป.
โ(0) = 0 et โ (โ2
3) = (โ
2
3)
2
+ (โ2
3)
3
=4
9โ
8
27=
4
27
๐ฅ โโ โ2
3 0 +โ
โโฒ(๐ฅ) + 0 โ 0 +
โ(๐ฅ) 4
27 +โ
โโ 0
Les seules bijections de ๐ธ โ โ sur ๐น โ โ sont les fonctions strictement monotones dont lโimage de ๐ธ
est ๐น.
โ nโest pas une bijection.
Comme โ(โ1) = 0 = โ(0), โ nโest pas injective.
Pour tout ๐ฆ โ โ il existe ๐ฅ โ โ tel que ๐ฆ = โ(๐ฅ), et bien il nโy a pas unicitรฉ sinon โ serait bijective.
Pour tout ๐ฆ โ [0,4
27[ il existe trois valeurs ๐ฅ tel que ๐ฆ = โ(๐ฅ), pour ๐ฆ =
4
27, il y en a deux pour les
autres ๐ฆ nโa quโun antรฉcรฉdent.
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๐: โ โ โ๐ฅ โฆ ๐ฅ + ๐ฅ4
On va รฉtudier cette fonction, ๐ est dรฉrivable et ๐โฒ(๐ฅ) = 1 + 4๐ฅ3
๐โฒ(๐ฅ) = 0 โ 1 + 4๐ฅ3 = 0 โ ๐ฅ3 = โ1
4โ ๐ฅ = (โ
1
22)
13
= โ1
223
๐ (โ1
223
) = (โ1
223
) (1 + (โ1
223
)
3
) = (โ1
223
) (1 โ1
4) = (โ
1
223
) ร3
4= โ
3
283
lim๐ฅโโโ
โ(๐ฅ) = +โ et lim๐ฅโ+โ
โ(๐ฅ) = +โ
Le ยซ ๐ฅ4 ยป lโemporte sur le ยซ ๐ฅ ยป.
๐ฅ โโ โ3
283
+โ
๐โฒ(๐ฅ) โ 0 +
๐(๐ฅ) +โ +โ
โ3
283
Pour tout ๐ฆ > โ3
283
, ๐ฆ admet deux antรฉcรฉdents, ๐ est ni surjective ni injective.
Allez ร : Exercice 17 :
Correction exercice 18 :
1.
Si ๐ฅ1 < ๐ฅ2 alors ๐(๐ฅ1) < ๐(๐ฅ2) donc ๐(๐ฅ1) โ ๐(๐ฅ2)
Si ๐ฅ1 > ๐ฅ2 alors ๐(๐ฅ1) > ๐(๐ฅ2) donc ๐(๐ฅ1) โ ๐(๐ฅ2)
Donc ๐ est injective.
2. ๐พ = ๐(๐ผ)
Allez ร : Exercice 18 :
Correction exercice 19 :
1.
๐(1,2) = 1 ร 2 = 2 ร 1 = ๐(2,1)
Donc ๐ nโest pas injective.
2. ๐(1, ๐) = 1 ร ๐ = ๐
Donc pour tout ๐ โ โ, il existe (๐, ๐) = (1, ๐) tel que ๐ = ๐(๐, ๐)
๐ est surjective.
3.
๐(๐1) = ๐(๐2) โ (๐1, (๐1 + 1)2) = (๐2, (๐2 + 1)2) โ {๐1 = ๐2
(๐1 + 1)2 = (๐2 + 1)2 โ ๐1 = ๐2
Donc ๐ est injective.
4. On va montrer que (1,1) nโadmet pas dโantรฉcรฉdent. Supposons que
(1,1) = (๐, (๐ + 1)2)
Alors
{1 = ๐
1 = (๐ + 1)2
Ce qui รฉquivaut ร
{1 = ๐1 = 22
Ce qui est impossible donc (1,1) nโadmet pas dโantรฉcรฉdent, ๐ nโest pas surjective.
Allez ร : Exercice 19 :
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Correction exercice 20 :
๐(๐1) = ๐(๐2) โ 2๐1 = 2๐2 โ ๐1 = ๐2
๐ est injective.
1 nโa pas dโantรฉcรฉdent car il nโexiste pas dโentier naturel ๐ tel que 1 = 2๐, ๐ nโest pas surjective.
๐(0) = ๐ธ (0
2) = ๐ธ(0) = 0 et ๐(1) = ๐ธ (
1
2) = 0, donc ๐(0) = ๐(1) ce qui entraine que ๐ nโest pas
injective.
Pour tout ๐ฆ = ๐ โ โ (dans lโensemble dโarrivรฉ) il existe ๐ฅ = 2๐ โ โ (dans lโensemble de dรฉpart) tel
que :
๐(๐ฅ) = ๐ธ (๐ฅ
2) = ๐ธ (
2๐
2) = ๐ธ(๐) = ๐ = ๐ฆ
๐ est surjective.
Si ๐ est pair, il existe ๐ โ โ tel que ๐ = 2๐
๐ โ ๐(๐) = ๐(๐(๐)) = ๐(๐(2๐)) = ๐ (๐ธ (2๐
2)) = ๐(๐ธ(๐)) = ๐(๐) = 2๐ = ๐
Si ๐ est impaire, il existe ๐ โ โ tel que ๐ = 2๐ + 1
๐ โ ๐(๐) = ๐(๐(๐)) = ๐(๐(2๐ + 1)) = ๐ (๐ธ (2๐ + 1
2)) = ๐ (๐ธ (๐ +
1
2)) = ๐(๐) = 2๐ = ๐ โ 1
๐ โ ๐(๐) = {๐ si ๐ est pair
๐ โ 1 si ๐ est impair
Que ๐ soit paire ou impaire
๐ โ ๐(๐) = ๐(๐(๐)) = ๐(2๐) = ๐ธ (2๐
2) = ๐ธ(๐) = ๐
๐ โ ๐ = ๐๐
Remarque :
Comme on le voit sur cet exemple, il ne suffit pas que ๐ โ ๐ = ๐๐ pour que ๐ soit la bijection rรฉciproque
de ๐. La dรฉfinition de la bijection rรฉciproque dโune fonction ๐1: ๐ธ โ ๐ธ est :
ยซ Sโil existe une fonction ๐2: ๐ธ โ ๐ธ telle que ๐1 โ ๐2 = ๐2 โ ๐1 = ๐๐๐ธ alors ๐2 = ๐1โ1 ยป on a alors : ๐1 et
๐2 sont deux fonctions bijectives.
Allez ร : Exercice 20 :
Correction exercice 21 :
๐(๐ธ) โ ๐ธ donc ๐(๐(๐ธ)) โ ๐(๐ธ) โ ๐ธ, or ๐(๐(๐ธ)) = ๐ธ donc ๐ธ โ ๐(๐ธ) โ ๐ธ, par consรฉquent
๐ธ = ๐(๐ธ) ce qui signifie que ๐ est surjective.
Allez ร : Exercice 21 :
Correction exercice 22 :
1. Supposons que ๐ existe, ๐ โ ๐ = ๐ผ๐โ โ โ๐ โ โ, ๐(๐(๐)) = ๐ โ โ๐ โ โ, (๐(๐))2
= ๐
Si ๐ nโest pas un carrรฉ cela ne marche pas, par exemple si ๐ = 2, (๐(2))2
= 2 donc ๐(2) = ยฑโ2 โ โ
Il nโexiste pas de fonction ๐: โ โ โ telle que :๐ โ ๐ = ๐ผ๐โ.
2. Supposons que โ existe, โ โ ๐ = ๐ผ๐โ โ โ๐ โ โ, โ(๐(๐)) = ๐ โ โ๐ โ โ, โ(๐2) = ๐
Les valeurs โ(๐) prennent les valeurs quโelles veulent sauf lorsque ๐ est un carrรฉ auquel cas
โ(๐) = โ๐, donnons une fonction โ qui rรฉpond ร la question :
Si ๐ โ ๐2 alors โ(๐) = 0 et si ๐ = ๐2 alors โ(๐) = โ๐ = ๐.
Allez ร : Exercice 22 :
Correction exercice 23 :
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1. Si ๐ existe alors pour tout ๐ โ โค, ๐(๐(๐)) = ๐ โ 2๐(๐) = ๐, si ๐ est impair ๐(๐) โ โค donc il
nโexiste pas de fonction ๐: โค โ โค telle que ๐ โ ๐ = ๐ผ๐โค.
2. Si โ existe alors pour tout ๐ โ โค, โ(๐(๐)) = ๐ โ โ(2๐) = ๐
Soit โ la fonction dรฉfinie, pour tout ๐ โ โค, par โ(2๐) = ๐ et โ(2๐ + 1) = 0 convient.
Allez ร : Exercice 23 :
Correction exercice 24 :
On pose ๐ธ = {๐1, ๐2, โฆ , ๐๐} et ๐น = {๐1, ๐2, โฆ , ๐๐}, et bien sur tous les ๐๐ sont distincts ainsi que tous les
๐๐.
On rappelle que le fait que ๐ soit une application entraine que {๐(๐1), ๐(๐2), โฆ , ๐(๐๐)} โ {๐1, ๐2, โฆ , ๐๐}
On suppose que ๐ est injective, on va montrer que ๐ est surjective.
On va montrer la contraposรฉe, cโest-ร -dire que lโon va montrer que si ๐ nโest pas surjective alors ๐ nโest
pas injective.
Soit ๐๐ โ ๐น et on suppose quโil nโexiste pas de ๐๐ โ ๐ธ tel que ๐๐ = ๐(๐๐) (๐ nโest pas surjective)
Donc {๐(๐1), ๐(๐2), โฆ , ๐(๐๐)} โ {๐1, โฆ , ๐๐โ1, ๐๐+1, โฆ , ๐๐}, il y a ๐ รฉlรฉments dans le premier ensemble et
๐ โ 1 dans le second, donc il existe ๐1 et ๐2, avec ๐1 โ ๐2 dans {1,2, โฆ , ๐} tels que ๐(๐๐1) = ๐(๐๐2
), or
๐๐1โ ๐๐2
donc ๐ nโest pas injective.
On suppose que ๐ est surjective et on va montrer que ๐ est injective.
On va montrer la contraposรฉe, cโest-ร -dire que lโon va montrer que si ๐ nโest pas injective alors ๐ nโest
pas surjective.
Si ๐(๐๐) = ๐(๐๐) = ๐ข avec ๐๐ โ ๐๐ alors
{๐(๐1), โฆ , ๐(๐๐โ1), ๐ข, ๐(๐๐+1), โฆ , ๐(๐๐โ1), ๐ข, ๐(๐๐+1) โฆ , ๐(๐๐)} โ {๐1, ๐2, โฆ , ๐๐}, le premier ensemble a
๐ โ 1 รฉlรฉments et le second ๐ donc il existe un ๐๐ qui nโa pas dโantรฉcรฉdent, cela montre que ๐ nโest pas
surjective.
On a montrรฉ que (๐) โ (๐๐), par dรฉfinition (๐๐๐) โ (๐) et (๐๐๐) โ (๐๐). Si on a (๐) alors on a (๐๐) et
(๐) ๐๐ก (๐๐) entraine (๐๐๐) de mรชme si on a (๐๐) alors on a (๐) et (๐) ๐๐ก (๐๐) entraine (๐๐๐). Ce qui achรจve de
montrer les trois รฉquivalences.
Allez ร : Exercice 24 :
Correction exercice 25 :
1. ๐ข et ๐ฃ sont surjectives donc ๐ข(โ) = โค et ๐ฃ(โค) = โ par consรฉquent
๐ข โ ๐ฃ โ ๐ข(โ) = ๐ข (๐ฃ(๐ข(โ))) = ๐ข(๐ฃ(โค)) = ๐ข(โ) = โค
Cela montre que ๐ข โ ๐ฃ โ ๐ข est surjective.
๐ข โ ๐ฃ โ ๐ข(๐ฅ1) = ๐ข โ ๐ฃ โ ๐ข(๐ฅ2) โ ๐ข (๐ฃ(๐ข(๐ฅ1))) = ๐ข (๐ฃ(๐ข(๐ฅ2))) โ ๐ฃ(๐ข(๐ฅ1)) = ๐ฃ(๐ข(๐ฅ2))
Car ๐ข est injective
๐ข โ ๐ฃ โ ๐ข(๐ฅ1) = ๐ข โ ๐ฃ โ ๐ข(๐ฅ2) โ ๐ฃ(๐ข(๐ฅ1)) = ๐ฃ(๐ข(๐ฅ2)) โ ๐ข(๐ฅ1) = ๐ข(๐ฅ2)
Car ๐ฃ est injective
๐ข โ ๐ฃ โ ๐ข(๐ฅ1) = ๐ข โ ๐ฃ โ ๐ข(๐ฅ2) โ ๐ข(๐ฅ1) = ๐ข(๐ฅ2) โ ๐ฅ1 = ๐ฅ2
Car ๐ข est injective
Finalement ๐ข โ ๐ฃ โ ๐ข est injective et donc bijective (puisquโelle est surjective).
2. 7 nโadmet pas dโantรฉcรฉdent donc ๐ nโest pas surjective.
๐(๐, ๐, ๐) = ๐(๐โฒ, ๐โฒ, ๐โฒ) โ 2๐3๐5๐ = 2๐โฒ3๐โฒ
5๐โฒ
Lโunicitรฉ de la dรฉcomposition des entiers en produit de facteur premier entraine que ๐ = ๐โฒ,
๐ = ๐โฒ et ๐ = ๐โฒ, autrement dit ๐ est injective.
Donc ๐ est injective et pas surjective.
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3. ๐(๐) = 0 ๐๐ก ๐(2๐) = 0
Donc ๐ nโest pas injective.
๐(โค) = {0,1, โฆ , ๐ โ 1} โ โ
Donc ๐ nโest pas surjective.
4. Pour tout (๐ฅ, ๐ฆ) โ โค on cherche sโil existe un unique couple (๐ข, ๐ฃ) โ โค tel que
Premier cas ๐ โ 0
(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐(๐, ๐) โ (๐ฅ, ๐ฆ) = (๐๐ข + ๐๐ฃ + 1, ๐๐ข + ๐๐ฃ โ 1) โ {๐ฅ = ๐๐ข + ๐๐ฃ + 1๐ฆ = ๐๐ข + ๐๐ฃ โ 1
โ๐ฟ1
๐ฟ2{๐ฅ โ 1 = ๐๐ข + ๐๐ฃ๐ฆ + 1 = ๐๐ข + ๐๐ฃ
โ๐ฟ1
๐๐ฟ1 โ ๐๐ฟ2{
๐ฅ โ 1 = ๐๐ข + ๐๐ฃ๐(๐ฅ โ 1) โ ๐(๐ฆ + 1) = ๐๐๐ฃ โ ๐๐๐ฃ
โ {๐ฅ โ 1 = ๐๐ข + ๐๐ฃ
๐(๐ฅ โ 1) โ ๐(๐ฆ + 1) = (๐๐ โ ๐๐)๐ฃโ {
๐ฅ โ 1 = ๐๐ข + ๐๐ฃ๐(๐ฅ โ 1) โ ๐(๐ฆ + 1) = โ๐ฃ
โ {๐ฅ โ 1 = ๐๐ข + ๐(โ๐(๐ฅ โ 1) + ๐(๐ฆ + 1))
๐ฃ = โ๐(๐ฅ โ 1) + ๐(๐ฆ + 1)
โ {๐๐ข = โ๐(โ๐(๐ฅ โ 1) + ๐(๐ฆ + 1)) + (๐ฅ โ 1)
๐ฃ = โ๐(๐ฅ โ 1) + ๐(๐ฆ + 1)
โ {๐๐ข = ๐๐(๐ฅ โ 1) โ ๐๐(๐ฆ + 1) + (๐ฅ โ 1)
๐ฃ = โ๐(๐ฅ โ 1) + ๐(๐ฆ + 1)
โ {๐๐ข = (๐๐ + 1)(๐ฅ โ 1) โ ๐๐(๐ฆ + 1)
๐ฃ = โ๐(๐ฅ โ 1) + ๐(๐ฆ + 1)โ {
๐๐ข = ๐๐(๐ฅ โ 1) โ ๐๐(๐ฆ + 1)
๐ฃ = โ๐(๐ฅ โ 1) + ๐(๐ฆ + 1)
โ {๐ข = ๐(๐ฅ โ 1) โ ๐(๐ฆ + 1)
๐ฃ = โ๐(๐ฅ โ 1) + ๐(๐ฆ + 1)
Si ๐ = 0, alors ๐๐ = โ1, en particulier ๐ โ 0 et 1
๐= โ๐
(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐(0, ๐) โ (๐ฅ, ๐ฆ) = (๐๐ฃ + 1, ๐๐ข + ๐๐ฃ โ 1) โ {๐ฅ = ๐๐ฃ + 1
๐ฆ = ๐๐ข + ๐๐ฃ โ 1
โ { ๐ฃ =๐ฅ โ 1
๐๐ฆ = ๐๐ข + ๐๐ฃ โ 1
โ {๐ฃ = โ๐(๐ฅ โ 1)
๐ฆ = ๐๐ข โ ๐๐(๐ฅ โ 1) โ 1โ {
๐ฃ = โ๐(๐ฅ โ 1)
๐ฆ = ๐๐ข โ ๐๐(๐ฅ โ 1) โ 1
โ {๐ฃ = โ๐(๐ฅ โ 1)
๐๐ข = ๐๐(๐ฅ โ 1) + 1 + ๐ฆโ {
๐ฃ = โ๐(๐ฅ โ 1)
๐ข = ๐(๐ฅ โ 1) +1 + ๐ฆ
๐
โ {๐ฃ = โ๐(๐ฅ โ 1)
๐ข = ๐(๐ฅ โ 1) โ ๐(1 + ๐ฆ)
Ce sont les mรชmes formules que dans le cas oรน ๐ โ 0
Donc pour tout (๐ฅ, ๐ฆ) โ โค2 il existe un unique couple
(๐ข, ๐ฃ) = (๐(๐ฅ โ 1) โ ๐(๐ฆ + 1), โ๐(๐ฅ โ 1) + ๐(๐ฆ + 1)) โ โค2
tel que (๐ฅ, ๐ฆ) = ๐(๐ข, ๐ฃ), ๐ est bijective et
๐โ1(๐ฅ, ๐ฆ) = (๐(๐ฅ โ 1) โ ๐(๐ฆ + 1), โ๐(๐ฅ โ 1) + ๐(๐ฆ + 1))
Allez ร : Exercice 25 :
Correction exercice 26 :
1.
๐1 โฅ 2 โ 0 <1
๐1โค
1
2 (1)
๐2 โฅ 2 โ 0 <1
๐2โค
1
2โ โ
1
2โค โ
1
๐2< 0 (2)
En additionnant (1) et (2)
โ1
2<
1
๐1โ
1
๐2<
1
2
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2.
a. Pour tout (๐1, ๐1) โ โค ร โ โ {0,1} et (๐2, ๐2) โ โค ร โ โ {0,1}
๐(๐1, ๐1) = ๐(๐2, ๐2) โ ๐1 +1
๐1= ๐2 +
1
๐2โ
1
๐1โ
1
๐2= ๐2 โ ๐1
Dโaprรจs la premiรจre question cela montre que ๐2 โ ๐1 โ ]โ1
2,
1
2[ or ๐2 โ ๐1 โ โค donc ๐2 โ ๐1 = 0,
autrement dit ๐1 = ๐2, puis en reportant dans
๐1 +1
๐1= ๐2 +
1
๐2
Cela montre que 1
๐1=
1
๐2 et que ๐1 = ๐2
Finalement
(๐1, ๐1) = (๐2, ๐2)
Ce qui montre que ๐ est injective.
b. Regardons si 1 โ โ admet un antรฉcรฉdent, on suppose quโil existe, on lโappelle (๐, ๐)
๐ +1
๐= 1
Ce qui รฉquivaut ร
1
๐= 1 โ ๐
Mais 1
๐โ โค et 1 โ ๐ โ โค, ce qui est impossible. Par consรฉquent ๐ nโest pas surjective.
Allez ร : Exercice 26 :
Correction exercice 27 :
Supposons quโil existe ๐: ๐ธ โ ๐ซ(๐ธ) surjective et on cherche sโil existe un antรฉcรฉdent ร ๐ด. On appelle
๐ฅ0 โ ๐ธ, un antรฉcรฉdent de ๐ด, donc par dรฉfinition ๐(๐ฅ0) = ๐ด,
si ๐ฅ0 โ ๐(๐ฅ0) alors ๐ฅ0 โ ๐ด et donc ๐ฅ0 โ ๐(๐ฅ0) ce qui est contradictoire
Si ๐ฅ0 โ ๐(๐ฅ0) alors par dรฉfinition de ๐ด, ๐ฅ0 โ ๐ด = ๐(๐ฅ0) ce qui est aussi contradictoire.
Lโhypothรจse est donc fausse, il nโy a pas dโapplication surjective de ๐ธ dans ๐ซ(๐ธ).
Allez ร : Exercice 27 :
Correction exercice 28 :
1. Premiรจre mรฉthode : raisonnons par rรฉcurrence
On pose (๐ป๐) il y a ๐(๐ โ 1) applications injectives de ๐ผ2 dans ๐ผ๐.
Regardons si (๐ป2) est vraie.
Il y a 4 applications de ๐ผ2 dans ๐ผ๐.
๐1(1) = 1 et ๐1(2) = 1
๐2(1) = 1 et ๐2(2) = 2
๐3(1) = 2 et ๐3(2) = 1
๐4(1) = 2 et ๐4(2) = 2
Seules ๐2 et ๐3 sont injectives. Il y a 2 = 2(2 โ 1) applications injectives de ๐ผ2 dans ๐ผ2.
Montrons que (๐ป๐) โ (๐ป๐+1)
Il y a ๐(๐ โ 1) applications injectives de {0,1} dans {0,1, โฆ , ๐}.
Supposons que ๐(1) = ๐ + 1 alors ๐(2) โ {1, โฆ , ๐} (pour que ๐(1) โ ๐(2)), cela fait ๐
applications injectives de plus.
Supposons que ๐(2) = ๐ + 1 alors ๐(1) โ {1, โฆ , ๐} (pour que ๐(1) โ ๐(2)), cela fait ๐
applications injectives de plus.
Au total, il y a ๐(๐ โ 1) + ๐ + ๐ = ๐2 โ ๐ + ๐ + ๐ = ๐2 + ๐ = ๐(๐ + 1)
Lโhypothรจse est vรฉrifiรฉe.
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Conclusion pour tout ๐ โฅ 2, il y a ๐(๐ โ 1) applications injectives de ๐ผ2 dans ๐ผ๐.
Deuxiรจme mรฉthode :
Si ๐(1) = ๐ โ {0,1, โฆ , ๐} alors ๐(2) โ {1, โฆ , ๐ โ 1, ๐ + 1, โฆ , ๐}.
Cela fait ๐ choix possibles pour ๐(1) et ๐ โ 1 pour ๐(2), soit ๐(๐ โ 1) choix possibles pour
(๐(1), ๐(2)) de faรงon ร ce que ๐(1) โ ๐(2) (autrement dit pour que ๐ soit injective).
2. ๐: ๐ผ๐ โ ๐ผ๐
๐ injective รฉquivaut ร ๐(1) = ๐1; ๐(2) = ๐2; โฆ ; ๐(๐) = ๐๐, avec ๐1, ๐2, โฆ , ๐๐ โ {1,2, โฆ , ๐}
tous distincts par consรฉquent ๐ โค ๐.
Remarque :
Cela ne veut pas dire que toutes les applications de {1,2, โฆ , ๐} dans {1,2, โฆ , ๐} sont injectives !
Supposons que ๐ est surjective.
Pour tout ๐1, ๐2, โฆ , ๐๐ โ {1,2, โฆ , ๐} (les ๐๐ tous distincts) il existe ๐1, ๐2, โฆ , ๐๐ โ {1,2, โฆ , ๐} tels
que ๐๐ = ๐(๐๐) par dรฉfinition dโune application tous les ๐๐ sont distincts (sinon un รฉlรฉment aurait
plusieurs images), par consรฉquent ๐ โค ๐.
Pour que ๐ soit bijective il faut (et il suffit) que ๐ soit injective et sujective, par consรฉquent il
faut que ๐ โค ๐ et que ๐ โค ๐, autrement dit il faut que ๐ = ๐.
Remarque :
Cela ne veut pas dire que toutes les applications de {1,2, โฆ , ๐} dans {1,2, โฆ , ๐} sont bijectives.
Allez ร : Exercice 28 :
Correction exercice 29 :
1. ๐ โ ๐(๐ฅ1) = ๐ โ ๐(๐ฅ2) โ ๐(๐(๐ฅ1)) = ๐(๐(๐ฅ2)) โ ๐(๐ฅ1) = ๐(๐ฅ2)
Car ๐ est injective
๐ โ ๐(๐ฅ1) = ๐ โ ๐(๐ฅ2) โ ๐(๐ฅ1) = ๐(๐ฅ2) โ ๐ฅ1 = ๐ฅ2
Car ๐ est injective.
Donc ๐ โ ๐ est injective.
2. Premiรจre mรฉthode :
Pour tout ๐ง โ ๐บ il existe ๐ฆ โ ๐น tel que ๐ง = ๐(๐ฆ) car ๐ est surjective.
Comme pour tout ๐ฆ โ ๐น il existe ๐ฅ โ ๐ธ tel que ๐ฆ = ๐(๐ฅ) car ๐ est surjective. On en dรฉduit que
pour tout ๐ง โ ๐บ il existe ๐ฅ โ ๐ธ tel que ๐ง = ๐(๐(๐ฅ)) = ๐ โ ๐(๐ฅ) autrement dit ๐ โ ๐ est
surjective.
Remarque :
(a) Dโhabitude on appelle ๐ฆ un รฉlรฉment de lโimage ๐บ mais ici ce pose un petit problรจme de notation parce que
lโon va appeler ๐ฅ lโรฉlรฉment de ๐น et on ne saura pas trop comment appeler lโรฉlรฉment de ๐ธ, cโest pour cela quโil
est plus malin de lโappeler ๐ง.
(b) Si on commence par รฉcrire ยซ pour tout ๐ฆ โ ๐น il existe ๐ฅ โ ๐ธ tel que ๐ฆ = ๐(๐ฅ) car ๐ est surjective ยป puis
ยซ pour tout ๐ง โ ๐บ il existe ๐ฆ โ ๐น tel que ๐ง = ๐(๐ฆ) car ๐ est surjective ยป donc ยซ pour tout ๐ง โ ๐บ il existe ๐ฅ โ ๐ธ
tel que ๐ง = ๐(๐(๐ฅ)) = ๐ โ ๐(๐ฅ) ยป cela ne va pas, je vous laisse rรฉflรฉchir pourquoi.
Deuxiรจme mรฉthode :
On rappelle que ๐: ๐ โ ๐ est surjective si et seulement si ๐(๐) = ๐
Donc ๐(๐ธ) = ๐น et ๐(๐น) = ๐บ, par consรฉquent ๐ โ ๐(๐ธ) = ๐(๐(๐ธ)) = ๐(๐น) = ๐บ et on en dรฉduit
que ๐ โ ๐ est surjective.
3. Si ๐ et ๐ sont bijectives alors elles sont injectives et ๐ โ ๐ est injective et si ๐ et ๐ sont bijectives
alors elles sont surjectives et ๐ โ ๐ est surjective, on en dรฉduit que ๐ โ ๐ est bijective.
4. ๐(๐ฅ1) = ๐(๐ฅ2) โ ๐(๐(๐ฅ1)) = ๐(๐(๐ฅ2)) โ ๐ โ ๐(๐ฅ1) = ๐ โ ๐(๐ฅ2) โ ๐ฅ1 = ๐ฅ2
Car ๐ โ ๐ est injective, par consรฉquent ๐ est injective.
5. Premiรจre mรฉthode :
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Pour tout ๐ง โ ๐บ, il existe ๐ฅ โ ๐ธ tel que ๐ง = ๐ โ ๐(๐ฅ) = ๐(๐(๐ฅ)), donc il existe ๐ฆ = ๐(๐ฅ) tel que
๐ง = ๐(๐ฆ) ce qui signifie que ๐ est surjective.
Deuxiรจme mรฉthode :
Comme ๐ โ ๐ est surjective, ๐ โ ๐(๐ธ) = ๐บ โ ๐(๐(๐ธ)) = ๐บ or ๐(๐ธ) โ ๐น donc
๐(๐(๐ธ)) โ ๐(๐น)
Comme ๐(๐น) โ ๐บ, cela donne
๐บ = ๐(๐(๐ธ)) โ ๐(๐น) โ ๐บ
Dโoรน
๐(๐(๐ธ)) = ๐(๐น) = ๐บ โ ๐(๐น) = ๐บ
Ce qui montre que ๐ est surjective.
6.
a. ๐ โ ๐ = ๐ผ๐๐ธ est bijective (lโidentitรฉ est bijective)
๐ โ ๐ est injective, dโaprรจs 4ยฐ), ๐ est injective.
๐ โ ๐ est surjective, dโaprรจs 5ยฐ), ๐ est surjective.
Remarque :
๐ โ ๐ = ๐ผ๐๐ธ nโentraine pas que ๐ = ๐โ1 et que donc ๐ et ๐ sont bijectives.
b. ๐ โ ๐ = ๐ผ๐๐น est bijective (lโidentitรฉ est bijective)
๐ โ ๐ est injective, dโaprรจs 4ยฐ), ๐ est injective.
๐ โ ๐ est surjective, dโaprรจs 5ยฐ), ๐ est surjective.
c. ๐ โ ๐ = ๐ผ๐๐ธ est bijective
๐ โ ๐ est injective, dโaprรจs 4ยฐ), ๐ est injective.
๐ โ ๐ est surjective, dโaprรจs 5ยฐ), ๐ est surjective.
Par consรฉquent ๐ est bijective et ๐โ1 = ๐.
Allez ร : Exercice 29 :
Correction exercice 30 :
1. Pour tout ๐ฆ โ ๐ il existe ๐ฅ = ๐ (๐ฆ) โ ๐ tel que ๐ฆ = ๐ผ๐๐(๐ฆ) = ๐(๐ (๐ฆ)) = ๐(๐ฅ), ๐ est surjective.
2. ๐ (๐ฆ1) = ๐ (๐ฆ2) โ ๐(๐ (๐ฆ1)) = ๐(๐ (๐ฆ2)) โ ๐ฆ1 = ๐ฆ2
๐ est injective.
3. ๐(๐ฅ1) = ๐(๐ฅ2) โ ๐(๐(๐ฅ1)) = ๐(๐(๐ฅ2)) โ ๐ผ๐๐(๐ฅ1) = ๐ผ๐๐(๐ฅ2) โ ๐ฅ1 = ๐ฅ2
๐ est injective.
4. Pour tout ๐ฅ โ ๐, pose ๐ฆ = ๐(๐ฅ).
Comme ๐(๐ฅ) = ๐(๐ฅโฒ) โ ๐ฅ = ๐ฅโฒ ร chaque ๐ฆ โ ๐ telle que ๐ฆ = ๐(๐ฅ) on associe bien une unique
valeur ๐ฅ, on dรฉfinit alors ๐: ๐(๐) โ ๐ par ๐(๐ฆ) = ๐ฅ. Pour les ๐ฆ โ ๐ qui ne sont pas dans lโimage
de ๐ par ๐, autrement dit qui ne sont pas de la forme ๐ฆ = ๐(๐ฅ), on leur attribue nโimporte quelle
valeur dans ๐, mettons ๐ฅ0 pour fixรฉ les idรฉes (dโailleurs, on nโest pas obligรฉ de leur attribuer ร
tous la mรชme valeur).
Pour tout ๐ฅ โ ๐.
๐ฅ = ๐(๐ฆ) = ๐(๐(๐ฅ)) โ ๐ผ๐๐ = ๐ โ ๐
๐ est bien une rรฉtraction de ๐.
Remarque :
Si ๐ฆ โ ๐(๐), ๐(๐ฆ) = ๐ฅ0 ne sert ร rien pour montrer que ๐ est une rรฉtraction.
5. Pour tout ๐ฅ โ ๐, il existe ๐ฆ = ๐(๐ฅ) tel que :
๐ฅ = ๐ผ๐๐(๐ฅ) = ๐(๐(๐ฅ)) = ๐(๐ฆ)
Cela montre que ๐ est surjective.
Remarque :
Les rรดles habituels de ๐ฅ et ๐ฆ ont รฉtรฉ inversรฉs pour respecter les notations de lโรฉnoncรฉ.
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6.
Si ๐ admet une section alors ๐ est surjective dโaprรจs 1ยฐ).
Si ๐ admet une rรฉtraction alors ๐ est injective dโaprรจs 3ยฐ).
Par consรฉquent ๐ est bijective, on note ๐โ1: ๐ โ ๐ sa bijection rรฉciproque.
Comme ๐ผ๐๐ = ๐ โ ๐, en composant par ๐โ1 ร droite :
๐ผ๐๐ โ ๐โ1 = (๐ โ ๐) โ ๐โ1 โ ๐โ1 = ๐ โ (๐ โ ๐โ1) = ๐
Comme ๐ผ๐๐ = ๐ โ ๐ , en composant par ๐โ1 ร gauche :
๐โ1 โ ๐ผ๐๐ = ๐โ1 โ (๐ โ ๐ ) โ ๐โ1 = (๐โ1 โ ๐) โ ๐ = ๐
Dโoรน ๐ = ๐ = ๐โ1.
Allez ร : Exercice 30 :
Correction exercice 31 :
1. Pour tout ๐ฆ โ ๐(๐ด โช ๐ต), il existe ๐ฅ โ ๐ด โช ๐ต tel que ๐ฆ = ๐(๐ฅ).
Comme ๐ฅ โ ๐ด, ๐ฆ = ๐(๐ฅ) โ ๐(๐ด), comme ๐ฅ โ ๐ต, ๐ฆ = ๐(๐ฅ) โ ๐(๐ต) par consรฉquent
๐ฆ = ๐(๐ฅ) โ ๐(๐ด) โช ๐(๐ต)
Cela montre que ๐(๐ด โช ๐ต) โ ๐(๐ด) โช ๐(๐ต)
Pour tout ๐ฆ โ ๐(๐ด) โช ๐(๐ต), ๐ฆ โ ๐(๐ด) ou ๐ฆ โ ๐(๐ต)
Si ๐ฆ โ ๐(๐ด) alors il existe ๐ฅ โ ๐ด tel que ๐ฆ = ๐(๐ฅ), mais ๐ฅ โ ๐ด โ ๐ด โช ๐ต donc ๐ฆ = ๐(๐ฅ) โ
๐(๐ด โช ๐ต)
Si ๐ฆ โ ๐(๐ต) alors il existe ๐ฅ โ ๐ต tel que ๐ฆ = ๐(๐ฅ), mais ๐ฅ โ ๐ต โ ๐ด โช ๐ต donc ๐ฆ = ๐(๐ฅ) โ
๐(๐ด โช ๐ต)
Cela montre que s tous les cas ๐ฆ โ ๐(๐ด โช ๐ต) et que donc
๐(๐ด) โช ๐(๐ต) โ ๐(๐ด โช ๐ต)
Finalement ๐(๐ด โช ๐ต) = ๐(๐ด) โช ๐(๐ต)
2. Pour tout ๐ฆ โ ๐(๐ด โฉ ๐ต), il existe ๐ฅ โ ๐ด โฉ ๐ต tel que ๐ฆ = ๐(๐ฅ).
Comme ๐ฅ โ ๐ด โฉ ๐ต โ ๐ด, ๐ฆ = ๐(๐ฅ) โ ๐(๐ด), comme ๐ฅ โ ๐ด โฉ ๐ต โ ๐ต, ๐ฆ = ๐(๐ฅ) โ ๐(๐ต) par
consรฉquent
๐ฆ = ๐(๐ฅ) โ ๐(๐ด) โฉ ๐(๐ต)
Cela montre que ๐(๐ด โฉ ๐ต) โ ๐(๐ด) โฉ ๐(๐ต)
Pour trouver un exemple oรน lโinclusion est stricte, dโaprรจs la suite, il ne faut pas prendre une
fonction injective, par exemple prenons ๐: โ โ โ dรฉfinie par ๐(๐ฅ) = ๐ฅ2, ensuite il faut prendre
๐ด et ๐ต oรน ๐ nโest pas injective, par exemple :
๐ด = [โ4,2] et ๐ต = [โ2,3]
๐(๐ด) = ๐([โ4,2]) = [0,16] ; ๐(๐ต) = ๐([โ2,3]) = [0,9] โ ๐(๐ด) โฉ ๐(๐ต) = [0,9]
๐ด โฉ ๐ต = [โ2,2] โ ๐(๐ด โฉ ๐ต) = [0,4]
On a bien ๐(๐ด โฉ ๐ต) โ ๐(๐ด) โฉ ๐(๐ต)
Allez ร : Exercice 31 :
Correction exercice 32 :
1. ๐โ1({2}) = {3,4}; ๐โ1({1,2}) = {2,3,4} ; ๐โ1({3}) = โ
2.
๐โ1({1}) = {โ1,1}
๐โ1([1,2]) = [โโ2, โ1] โช [1, โ2]
Allez ร : Exercice 32 :
Correction exercice 33 :
1. [0,1] ร [0,1] = {(๐ฅ, ๐ฆ) โ โ2, 0 โค ๐ฅ โค 1 et 0 โค ๐ฆ โค 1}
Donc
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๐([0,1] ร [0,1]) = {๐ฅ โ โ, 0 โค ๐ฅ โค 1} = [0,1]
๐โ1([โ1,1]) = {(๐ฅ, ๐ฆ) โ โ2, ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โ [โ1,1]} = {(๐ฅ, ๐ฆ) โ โ2, ๐ฅ โ [โ1,1]} = [โ1,1] ร โ
2.
๐(โ) = {๐ฆ โ [โ1,1], ๐ฆ = cos(๐๐) , ๐ โ โ} = {๐ฆ โ [โ1,1], ๐ฆ = (โ1)n, ๐ โ โ} = {โ1,1}
๐(2โ) = {๐ฆ โ [โ1,1], ๐ฆ = cos(2๐๐) , ๐ โ โ} = {๐ฆ โ [โ1,1], ๐ฆ = 1, ๐ โ โ} = {1}
๐โ1({ยฑ1}) = {๐ฅ โ โ, cos(๐๐ฅ) = ยฑ1}
Or cos(๐ฅ) = 1 โ ๐ฅ = 2๐๐ et cos(๐ฅ) = โ1 โ ๐ฅ = (2๐ + 1)๐ avec ๐ โ โค
๐โ1({ยฑ1}) = {๐ฅ โ โ, ๐ฅ = 2๐๐ , ๐ฅ = (2๐ + 1)๐ , k โ โค} = {๐๐, ๐ โ โค}
Allez ร : Exercice 33 :
Correction exercice 34 :
1. Pour tout ๐ฅ โ ๐โ1(๐ดโฒ โช ๐ตโฒ), ๐(๐ฅ) โ ๐ดโฒ โช ๐ตโฒ donc ๐(๐ฅ) โ ๐ดโฒ ou ๐(๐ฅ) โ ๐ตโฒ, par consรฉquent
๐ฅ โ ๐โ1(๐ดโฒ) ou ๐ฅ โ ๐โ1(๐ตโฒ), autrement dit ๐ฅ โ ๐โ1(๐ดโฒ) โช ๐โ1(๐ตโฒ)
On a montrรฉ que ๐โ1(๐ดโฒ โช ๐ตโฒ) โ ๐โ1(๐ดโฒ) โช ๐โ1(๐ตโฒ)
Pour tout ๐ฅ โ ๐โ1(๐ดโฒ) โช ๐โ1(๐ตโฒ), ๐ฅ โ ๐โ1(๐ดโฒ) ou ๐ฅ โ ๐โ1(๐ตโฒ), par consรฉquent ๐(๐ฅ) โ ๐ดโฒ ou
๐(๐ฅ) โ ๐ตโฒ, autrement dit ๐(๐ฅ) โ ๐ดโฒ โช ๐ตโฒ, donc ๐ฅ โ ๐โ1(๐ดโฒ โช ๐ตโฒ).
On a montrรฉ que ๐โ1(๐ดโฒ) โช ๐โ1(๐ตโฒ) โ ๐โ1(๐ดโฒ โช ๐ตโฒ)
Finalement ๐โ1(๐ดโฒ โช ๐ตโฒ) = ๐โ1(๐ดโฒ) โช ๐โ1(๐ตโฒ)
2. Pour tout ๐ฅ โ ๐โ1(๐ดโฒ โฉ ๐ตโฒ), ๐(๐ฅ) โ ๐ดโฒ โฉ ๐ตโฒ donc ๐(๐ฅ) โ ๐ดโฒ et ๐(๐ฅ) โ ๐ตโฒ, par consรฉquent
๐ฅ โ ๐โ1(๐ดโฒ) et ๐ฅ โ ๐โ1(๐ตโฒ), autrement dit ๐ฅ โ ๐โ1(๐ดโฒ) โฉ ๐โ1(๐ตโฒ)
On a montrรฉ que ๐โ1(๐ดโฒ โฉ ๐ตโฒ) โ ๐โ1(๐ดโฒ) โฉ ๐โ1(๐ตโฒ)
Pour tout ๐ฅ โ ๐โ1(๐ดโฒ) โฉ ๐โ1(๐ตโฒ), ๐ฅ โ ๐โ1(๐ดโฒ) et ๐ฅ โ ๐โ1(๐ตโฒ), par consรฉquent ๐(๐ฅ) โ ๐ดโฒ et
๐(๐ฅ) โ ๐ตโฒ, autrement dit ๐(๐ฅ) โ ๐ดโฒ โฉ ๐ตโฒ, donc ๐ฅ โ ๐โ1(๐ดโฒ โฉ ๐ตโฒ).
On a montrรฉ que ๐โ1(๐ดโฒ) โฉ ๐โ1(๐ตโฒ) โ ๐โ1(๐ดโฒ โฉ ๐ตโฒ)
Finalement ๐โ1(๐ดโฒ โฉ ๐ตโฒ) = ๐โ1(๐ดโฒ) โฉ ๐โ1(๐ตโฒ)
Allez ร : Exercice 34 :
Correction exercice 35 :
1. Pour tout ๐ฅ โ ๐ด, ๐(๐ฅ) โ ๐(๐ด) et donc ๐ฅ โ ๐โ1(๐(๐ด)), ce qui montre que ๐ด โ ๐โ1(๐(๐ด))
2. Pour tout ๐ฆ โ ๐(๐โ1(๐ต)), il existe ๐ฅ โ ๐โ1(๐ต) tel que ๐ฆ = ๐(๐ฅ), comme ๐ฅ โ ๐โ1(๐ต) ๐(๐ฅ) โ ๐ต
ce qui entraine que ๐ฆ โ ๐ต, ce qui montre que ๐(๐โ1(๐ต)) โ ๐ต.
3. Comme ยซ pour toute partie ๐ด de ๐ธ, on a ๐ด โ ๐โ1(๐(๐ด)) ยป la question revient ร montrer que :
ยซ ๐ est injective si et seulement si pour toute partie ๐ด de ๐ธ on a ๐ด โ ๐โ1(๐(๐ด)) ยป
Si ๐ est injective.
Pour tout ๐ฅ โ ๐โ1(๐(๐ด)), ๐(๐ฅ) โ ๐(๐ด) ce qui signifie quโil existe ๐ฅโฒ โ ๐ด (attention, ร priori ce
nโest pas le mรชme ๐ฅ que celui du dรฉbut de la phrase) tel que ๐(๐ฅ) = ๐(๐ฅโฒ) comme ๐ est injective
๐ฅ = ๐ฅโฒ, par consรฉquent ๐ฅ โ ๐ด.
On a montrรฉ que ๐โ1(๐(๐ด)) โ ๐ด.
Si pour toute partie ๐ด โ ๐ธ, ๐โ1(๐(๐ด)) โ ๐ด
๐(๐ฅ1) = ๐(๐ฅ2) = ๐ฆ
On prend ๐ด = {๐ฅ1}
๐(๐ด) = ๐({๐ฅ1}) = {๐(๐ฅ1)} = {๐ฆ} โ ๐โ1(๐(๐ด)) = ๐โ1({๐ฆ}) = ๐โ1(๐ฆ)
Dโaprรจs lโhypothรจse ๐โ1(๐(๐ด)) โ ๐ด donc {๐โ1(๐ฆ)} โ {๐ฅ1}
Or ๐ฅ2 โ ๐โ1(๐ฆ) car ๐(๐ฅ2) = ๐ฆ donc ๐ฅ2 โ {๐ฅ1} par consรฉquent ๐ฅ1 = ๐ฅ2 ce qui signifie que ๐ est
injective.
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Finalement on a montrรฉ lโรฉquivalence demandรฉe.
4. Comme ยซ pour toute partie ๐ต de ๐น, on a ๐(๐โ1(๐ต)) โ ๐ต ยป la question revient ร montrer que :
ยซ ๐ est surjective si et seulement si pour toute partie ๐ต de ๐น on a ๐(๐โ1(๐ต)) โ ๐ต ยป
Si ๐ est surjective.
Pour tout ๐ฆ โ ๐ต, il existe ๐ฅ โ ๐ธ tel que ๐ฆ = ๐(๐ฅ) car ๐ est surjective.
๐ฅ โ ๐โ1(๐ต) entraine que ๐ฆ = ๐(๐ฅ) โ ๐(๐โ1(๐ต)), cela montre que ๐ต โ ๐(๐โ1(๐ต)).
Si pour tout ๐ต โ ๐(๐โ1(๐ต))
On pose ๐ต = {๐ฆ}, alors {๐ฆ} โ ๐(๐โ1({๐ฆ})) ce qui sโรฉcrit aussi ๐ฆ โ ๐(๐โ1({๐ฆ})), il existe donc
๐ฅ โ ๐โ1({๐ฆ}) tel que ๐ฆ = ๐(๐ฅ), cela montre bien que ๐ est surjective.
Finalement on a montrรฉ lโรฉquivalence demandรฉe.
Allez ร : Exercice 35 :
Correction exercice 36 :
1. Le point (0,1) vรฉrifie ๐ฅ โค ๐ฆ donc {(๐ฅ, ๐ฆ) โ โ2, ๐ฅ โค ๐ฆ} est le demi-plan supรฉrieur droit. De mรชme (0,1)
vรฉrifie โ๐ฆ โค ๐ฅ donc {(๐ฅ, ๐ฆ) โ โ2, โ๐ฆ โค ๐ฅ} est le demi-plan supรฉrieur droit, ๐ท est lโintersection de ces
deux demi-plan, ๐ท est le quart de plan supรฉrieur du schรฉma ci-dessous.
2. a.
๐ฟ1
๐ฟ2{๐ฅ1 + ๐ฆ1 = ๐ฅ2 + ๐ฆ2
๐ฅ1 โ ๐ฆ1 = ๐ฅ2 โ ๐ฆ2
En additionnant ๐ฟ1 et ๐ฟ2 on trouve que 2๐ฅ1 = 2๐ฅ2, donc ๐ฅ1 = ๐ฅ2, puis en remplaรงant dans ๐ฟ1, on trouve
que ๐ฆ1 = ๐ฆ2.
b.
๐(๐ฅ1, ๐ฆ1) = ๐(๐ฅ2, ๐ฆ2) โ (๐ฅ12 + ๐ฆ1
2, 2๐ฅ1๐ฆ1) = (๐ฅ22 + ๐ฆ2
2, 2๐ฅ2๐ฆ2) โ๐ฟ1
๐ฟ2{๐ฅ1
2 + ๐ฆ12 = ๐ฅ2
2 + ๐ฆ22
2๐ฅ1๐ฆ1 = 2๐ฅ2๐ฆ2
๐ฟ1 โ ๐ฟ2 donne ๐ฅ12 + ๐ฆ1
2 โ 2๐ฅ1๐ฆ1 = ๐ฅ22 + ๐ฆ2
2 โ 2๐ฅ2๐ฆ2, ce qui entraine que (๐ฅ1 โ ๐ฆ1)2 = (๐ฅ2 โ ๐ฆ2)2,
comme ๐ฅ โ ๐ฆ โค 0 sur ๐ท, cela donne โ(๐ฅ1 โ ๐ฆ1) = โ(๐ฅ2 โ ๐ฆ2) ou encore ๐ฅ1 โ ๐ฆ1 = ๐ฅ2 โ ๐ฆ2.
๐ฟ1 + ๐ฟ2 donne ๐ฅ12 + ๐ฆ1
2 + 2๐ฅ1๐ฆ1 = ๐ฅ22 + ๐ฆ2
2 + 2๐ฅ2๐ฆ2, ce qui entraine que (๐ฅ1 + ๐ฆ1)2 = (๐ฅ2 + ๐ฆ2)2,
comme ๐ฅ + ๐ฆ โฅ 0 sur ๐ท, cela donne ๐ฅ1 + ๐ฆ1 = ๐ฅ2 + ๐ฆ2.
Dโaprรจs 2.a. cela donne que ๐ฅ1 = ๐ฅ2 et que ๐ฆ1 = ๐ฆ2, ce qui montre que ๐ est injective.
3. (โ1, 1) โ โ ร โ nโa pas dโantรฉcรฉdent dans ๐ท car ๐ฅ2 + ๐ฆ2 > 0.
Allez ร : Exercice 36 :
๐ฆ = ๐ฅ ๐ฆ = โ๐ฅ ๐ท
ร (0,1)
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