Nom : Résistance des Matériaux (RDM) pj

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N = ∆∆∆∆f1 + ∆∆∆∆f2 + … + ∆∆∆∆fn = F N = F

1. Hypothèses de RDM

La modélisation des solides en Résistance des Matériaux, nécessite certaines hypothèses : � Les matériaux sont homogènes (tous les cristaux ont même constitution et même structure) et isotropes (mêmes

caractéristiques mécaniques dans toutes les directions), � Toutes les forces extérieures exercées sur la poutre sont contenues dans le plan de symétrie, � Hypothèse de Navier Bernoulli : les sections droites planes et perpendiculaires à la ligne moyenne, restent planes

et perpendiculaires à la ligne moyenne après déformations. Il n’y a pas de gauchissement des sections droites. � Le solide reste dans le domaine des petites déformations : les déformations restent faibles comparativement aux

dimensions de la poutre.

Remarques :

• Empiriquement (par l’expérience), l’on vérifie que l’écart entre le modèle et la réalité est faible ; l’hypothèse 1 est vérifiée,

• Compte tenu des hypothèses 3 et 4, on peut admettre que les forces extérieures conservent une direction fixe avant et après déformation.

2. Solide soumis à la traction

Les relations établies en RdM permettront de prévoir le comportement d’un corps solide de formes diverses, sous l’effet d’actions mécaniques. L’essai de traction, définit les caractéristiques mécaniques courantes utilisées en RdM. La seule connaissance des paramètres de l’essai de traction permet de prévoir le comportement d’une pièce sollicitée en cisaillement, torsion, flexion.

2.1. Effort normal

Pour la poutre considérée, faisons une coupe fictive entre les deux extrémités A et B pour faire apparaître les efforts intérieurs dans la poutre. La section coupée S est soumise à un effort normal N.

En fait, la section S est soumise à un ensemble de forces ∆f dont la somme est l’effort normal N. On écrit que :

F F

0 1 2 3 4 0 1 2 3 4

Avant déformation Après déformation

Une poutre droite est sollicitée en traction chaque fois que les actions aux extrémités (A et B) se réduisent à deux forces égales et opposées (F et –F).

F -F

B A

F -F

B A

G

N -F

A

G

G

∆∆∆∆f1

∆∆∆∆fn

∆∆∆∆f2

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Loi de Hook σσσσ : contrainte normale en Pa ou N.m -2

ŰŰŰŰ : allongement relatif E : module d'élasticité longitudinale Pa

σσσσ = E ŰŰŰŰ

Lame 1

Lame 2

Section cisaillée

2.2. Contrainte normale σσσσ (sigma)

Divisons la coupure S précédente en n petites surfaces élémentaires ∆Sn. Chaque élément de surface (∆S) supporte un effort de traction ∆f1, ∆f2, …, ∆fn.

2.3. Condition de résistance

Lors de la conception d’un système, il est nécessaire de respecter la condition suivante :

2.4. Allongement relatif εεεε (epsilon)

L’expérience montre que les allongements sont proportionnels aux longueurs initiales. L’allongement relatif ŰŰŰŰ traduit cette propriété :

2.5. Relation contrainte-déformation – Loi de Hook

Pour un grand nombre de matériaux, l’essai de traction montre qu’il existe une zone élastique pour laquelle l’effort F de traction est proportionnel à l’allongement ∆L.

Nuance Re (Mpa) E (Mpa)

Acier E295 295 200000

Acier S235 235 190000

Acier C55 730 210000

Alu. 2017 240 70000

Cuivre 300 126000

3. Solide soumis au cisaillement

∆∆∆∆f1

∆∆∆∆fn

∆∆∆∆f2

Mn

M1

M2

∆∆∆∆Sn ∆∆∆∆S1

∆∆∆∆S2

σσσσ1

Mn

M1

M2

σσσσn

σσσσ2

σσσσ = N

S

Contrainte normale uniforme : Dans le cas général on admettra que toutes les contraintes sont identiques :

σ = σ1 = σ2 = … = σn Il en résulte : σσσσ : contrainte normale en MPa ou N.mm -2 N : effort normal en N S : aire de la section droite en mm²

σσσσ = N

S

Rpe : résistance pratique à l'extension en MPa Re : limite élastique du matériaux s : coefficient de sécurité (varie entre 1 et 10 suivant la connaissance des charges réelles)

σσσσmaxi = N

S ���� Rpe =

Re

s

L0 : longueur initiale de la poutre L : longueur finale de la poutre εεεε : allongement relatif Ű =

∆∆∆∆L

L0

L – L 0

L0 =

Dans certains cas de concentration de contraintes , l'hypothèse d'une contrainte uniforme n'est plus valable. Ex. : σσσσ

A

B

Un solide soumis au cisaillement, peut être modélisé de la façon suivante :

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3.1. Effort tranchant

L’effort tranchant correspond à la somme d’une infinité de petites forces ∆f agissant sur les surfaces élémentaires ∆S.

3.2. Contrainte de cisaillement ττττ (tho)

La contrainte de cisaillement est une contrainte tangentielle , parallèle à la section. Dans l’effort normal de l’essai de traction, la contrainte est perpendiculaire à la section.

3.3. Condition de résistance

Lors de la conception d’un système, il est nécessaire de respecter la condition suivante : La limite élastique au cisaillement peut être obtenue à partir des relations suivantes :

Acier doux (σe < 270Mpa), alliages d’aluminium τe = 0,5 σe

Aciers mi-durs (320 < σe < 500MPa) τe = 0,7 σe

Aciers durs (σe > 270Mpa) τe = 0,8 σe 4. Application

Etude de la traction dans l’élingue 2 ( ∅∅∅∅ 60 – matériau S235) : A partir des conditions énoncées sur le schéma ci-contre : a) déterminer l’effort normal et la contrainte normale dans

l’élingue, b) vérifier la condition de résistance (coef. de sécurité s=8), c) calculer l’allongement de l’élingue (DB = 3450mm) Etude de l’axe de chape 3 au cisaillement (point B) : Données : ∅d = 40,

Résistance admissible au cisaillement = 90Mpa d) calculer l’effort tranchant dans chaque section cisaillée, e) calculer la contrainte tangentielle dans ces sections, f) vérifier la condition de résistance.

g) indiquer si le mécanisme cassera à la traction ou au cisaillement dans le cas d’une utilisation extrême.

T = ∆∆∆∆f1 + ∆∆∆∆f2 + … + ∆∆∆∆fn = -A

A

G

G

∆∆∆∆f1 ∆∆∆∆fn

∆∆∆∆f2

T

A

G

G

Contrainte tangentielle uniforme ττττ : Dans le cas du cisaillement, on suppose que toutes les contraintes tangentielles sont identiques (τ = τ1 = τ2 = … = τn) : Il en résulte : ττττ : contrainte tangentielle en MPa ou N.mm -2 N : effort normal en N S : aire de la section droite en mm² ττττ =

T

S

Rpg : résistance pratique au cisaillement en MPa Reg : limite élastique au cisaillement s : coefficient de sécurité (varie entre 1 et 10 su ivant la connaissance des charges réelles)

ττττmaxi = T

S ���� Rpg =

Reg

s