1 Instruments contemporains et apprentissage des mathmatiques
Luc TROUCHE IREM & LIRDEF Universit Montpellier II Sminaire
REHSEIS 14-15 juin 2004 Typus arithmeticae (Bibliothque municipale,
Rouen)
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2 Entre en matire Van Gogh utilise des roseaux, taills comme
une plume doie. Le roseau devient linstrument de ses dessins. Il
lui donne la possibilit de creuser ses feuilles et de forcer les
contours. Cet outil lui permet dimiter le geste large des peintres
japonais, qui nutilisent pas le roseau, mais le pinceau.
Particulirement souple, le roseau donne naissance une manire de
faire, que traduit tout un vocabulaire de signes : pointills,
hachurs, arrondis et surtout les tourbillons qui deviennent une des
techniques majeures du peintre (Exposition Van Gogh 2003,
Arles)
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3 Plan 1)Les outils dans lenseignement et lapprentissage des
mathmatiques, influence et rsistances 2)Des artefacts aux
instruments du travail mathmatique, les genses instrumentales 3)Une
prise en compte didactique ncessaire Le mot instrument vient du
latin instrumentum, qui signifie matriel, outillage ou ressource et
qui drive du verbe instruere. Ce verbe, francis en enstruire,
correspond disposer, outiller et quiper. Ainsi les mots instrument
et instruire renvoient lun lautre . (Barbin 2004)
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4 Influence et rsistance Mathmatiques, calculs et outils Le
calcul est une composante essentielle des mathmatiques tous les
niveaux, insparable des raisonnements qui le guident ou en sens
inverse quil outille . ( Kahane 2002 ) Mathematical Cuneiform Texts
(Neugebauer & Sachs 1945)
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5 Influence et rsistance Evolutions rcentes des outils La
combinaison de plusieurs outils, une caractristique ancienne du
travail mathmatique Des volutions notables avec les outils
informatiques : le regroupement des outils dans une mme enveloppe ;
des outils de poche ; la multiplication des images ; le changement
de paradigme (de la flche au filet) Une ncessit encore plus grande
de coordination et de contrle des outils du travail
mathmatique
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6 Influence et rsistance Influence sur les apprentissages
Effets sur la production La gomtrie du compas Effets sur les
programmes dtude De la plume doie la plume de fer (Lavoie 1994)
Effets sur les modes de travail des lves Le phnomne de pche
(Artigue 1998) Effets sur la conceptualisation Une droite est
dautant plus tangente un cercle quelle a plus de points communs
avec lui . (Trouche 1996)
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7 Influence et rsistance Rsistances des professeurs : outils
secondaires Ponctuels, transitoires, mais non problmatiques 1970 :
outils refouls Mathmatiques modernes Peu doutils, priode de
transition 1980 : outils prescrits Plan Informatique pour Tous
Irruption des calculatrices Acclration technologique, importation
dans les classes par les lves Difficults renforces Pour le
professeur form aux rigueurs de la discipline mathmatique,
lintroduction de la rgle calcul ds les classes moyennes peut poser
un vrai cas de conscience . Aristo, Bulletin dinformation pour le
corps enseignant (Bieber 1971) Des outils de plus en plus prsents
Des outils de plus en plus complexes Une appropriation rapide par
les lves Les difficults des professeurs
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8 Influence et rsistance Rsistances des professeurs Utilisation
des tableurs par les professeurs de math. (IREM, Universit
Montpellier II, 2004)
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9 Les genses instrumentales Dtour pistmologique Lellipse est
une ligne courbe que jai vu dessiner par les jardiniers dans leurs
parterres, o ils la dcrivent dune faon fort grossire, mais qui fait
mieux comprendre sa nature . La Dioptrique, Discours VIII
(Descartes 1637) Une double tradition : - le travail abstrait de
lesprit (Hegel) ; - le faire industrieux (Descartes, Diderot,
Marx). Hritier de cette tradition, Vygotski situe tout
apprentissage dans un monde de culture o les instruments (matriels
et psychologiques) jouent un rle essentiel. Nec manus, nisi
intellectus, sibi permissus, multum valent: instrumentis et
auxiliis res perfectur (Francis Bacon 1600) La main et
l'intelligence, prives des outils ncessaires, restent assez
impuissantes ; ce qui renforce leur puissance, ce sont les outils
et les auxiliaires offerts par la culture .
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10 Les genses instrumentales La notion de schme Par
approximations successives, la main trouve le geste juste. Lesprit
enregistre les rsultats et en tire peu peu le schme efficace .
(Tchouang-Tseu, in Billeter 2002) Un schme : lorganisation
invariante de la conduite pour une classe de situations (Piaget
1936, Vergnaud 1996) Il contient : - des buts et des anticipations
; - des rgles daction ; - des invariants opratoires. Aspect
instrument et social des schmes (Rabardel 1995)
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11 Les genses instrumentales De lartefact linstrument Les
artefacts, des propositions (Bguin & Rabardel 2000) De
lartefact un instrument Deux processus duaux - instrumentation ; -
instrumentalisation. Les instruments : - un mixte stable dhumain et
de naturel (Simondon 1989) ; - une entit mixte compose dune partie
de lartefact et des schmes dutilisation . (Rabardel 1995)
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12 Les genses instrumentales Les processus dinstrumentation
Avoir une limite infinie suppose, pour une fonction, dtre
croissante partir dun certain moment (Trouche 2000) Un artefact
instrumente le sujet, prstructure, relativement, son activit
Comprendre ce processus suppose ltude des contraintes de lartefact,
lies aux contraintes matrielles et aux choix du concepteur Autre
exemple : calculatrices au Sngal calculatrices
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13 Les genses instrumentales La transposition informatique La
transposition informatique : Ce travail sur la connaissance qui en
permet une reprsentation symbolique et la mise en uvre par un
dispositif informatique . (Balacheff 1994) Une typologie des
contraintes : - contraintes internes ; - contraintes de commande ;
- contraintes dorganisation (cf. les calculatrices graphiques)
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14 Les genses instrumentales Prsentation et reprsentation Un
contrle complexe exercer Un mme objet, diffrentes
reprsentations
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15 Les genses instrumentales Les processus dinstrumentalisation
Linstrumentalisation est un processus de diffrentiation des
artefacts. Exemple des calculatrices : stockage de jeux, de
thormes, dessins, modification de la barre de menus Il peut tre
considr comme un dtournement, ou comme une contribution de lusager
au processus mme de conception de linstrument.
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16 Les genses instrumentales Vers des systmes dinstruments
Schmes sociaux ? Habitus (Bourdieu 1979) Artefacts et instruments
Artefact symbolique ou artefact matriel ? Justiciables de lapproche
instrumentale, mais des diffrences profondes 1 artefact 1
instrument ? Praxologies et usages Environnement(s)
Environnement(s) ? Rgimes daction (Boltanski 1990) Les systmes
dinstruments Un enjeu didactique
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17 Les genses instrumentales Extraordinaire varit des genses
Pouvoir saisir les donnes Savoir analyser linformation Savoir
organiser linformation Savoir coordonner et comparer Savoir faire
appel des connaissances antrieures Savoir infrer Savoir prouver
Savoir contrler un rsultat Calculez la drive nime de
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18 Les genses instrumentales Extraordinaire varit des genses *
Dveloppement des instruments, enrichissement et articulation... *
ou affaiblissement des instruments, appauvrissement et
cloisonnement. 1) Plus lenvironnement est complexe, plus les carts
entre les instruments sont importants Artefacts plus complexes,
quelle volution des instruments ? 2) Grande sensibilit des modes de
travail certains dispositifs didactiques institus par le
professeur
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19 Les genses instrumentales Un point de vue neuronal Deux
rseaux neuronaux : - un rseau de traitement compos de processeurs
parallles en comptition ; - un rseau ddi aux fonctions de
supervision Le fonctionnement lconomie : En prsence dune
multiplicit dinformations, cest la perception dont le traitement
est le plus rapide qui peut tre slectionne (Houd 2004) La
productivit des rseaux cognitifs intercrbraux Cest par () lchange
de reprsentations, de concepts et de points de vue que surgit
brusquement ce que Hadamard appelle une illumination (Changeux
2002) Une remise en cause du modle modulariste du fonctionnement
crbral. Traitement parallle et interactif de linformation par des
aires crbrales diffrentes. (Changeux, Dehaine, Houd)
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20 Une prise en compte didactique Des praxologies construire
Nouvelles organisations mathmatiques : - nouvelles tches ; -
nouvelles techniques ; - nouvelles technologies. Juste distance
entre lancien et le nouveau. Abrg darithmtique lusage des
pensionnaires et des coles chrtiennes (Silvestre 1810)
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21 Une prise en compte didactique Un ensemble dingnieries
concevoir Ingnieries des objets informatiques - les EIAH
(Environnements Informatiques pour lApprentissage Humain) :
Cabri-Gomtre, Aplusix, etc. - les environnements informatiss
dapprentissage (Basque et Dor 1998) : Systmes de Calcul Formel,
tableurs Ingnieries didactiques Intgration et viabilit des objets
informatiques, le problme de lingnierie didactique (Chevallard
1992) Les niveaux du hardware et du software didactiques et la
ncessit de penser leur intgration
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22 Une prise en compte didactique Les orchestrations
instrumentales Dans un groupe de jazz, une improvisation musicale
merge dun va-et-vient continu entre chaque musicien, dans un jeu
dajustements rciproques permanents, le chef dorchestre ayant un rle
de mise en forme, en phase de lensemble. (Bril 2002) Agencement
systmatique par un agent intentionnel des lments (artefacts et
humains) dun environnement en vue de mettre en uvre une situation
donne et de gnrer certains rsultats (aspects sociaux des schmes,
articulation individuelle des systmes dinstruments). Interne ou
externe ? Dialectique gestes-invariants Individuel ou social ?
Double aspect des schmes
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23 Une prise en compte didactique Orchestrations, zoom out
Dispositif dexploitation didactique Une orchestration sapplique un
environnement et une situation donns Elle sinsre dans un scnario
dexploitation didactique Elle vise lvolution de lenvironnement, du
point de vue des systmes dinstruments
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24 Une prise en compte didactique Orchestrations, zoom in
Diffrents types de configurations Des configurations suivant deux
axes Laxe du temps de la gense, laxe artefact-sujet Exemple 1
Configuration de lartefact Exemple 2 Configuration lie aux modes
daction des artefacts Exemple 3 Configuration lie aux mthodes
rflexives dauto-analyse de lactivit Remarques gnrales Diversit des
configurations, de leurs combinaisons et des modes dexploitation
Ncessaire adaptabilit, pour ajuster des situations et des
environnements diffrents Agencer, cest ncessairement modifier
lensemble des artefacts Ncessaire travail sur les traces de
lactivit Ncessaire prise en compte du temps, une variable
essentielle ( Time to think )
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25 Une prise en compte didactique Orchestrations, prcisions
Orchestrations, conception ? Equipes pluri-disciplinaires Plusieurs
types dingnierie Orchestrations, mise en oeuvre ? Diffrents stades
de mise en uvre Scnarios dusage, dispositifs Communauts de pratique
Environnements dapprentissage, environnements denseignement
Dispositif dexploitation didactique
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26 Une prise en compte didactique Orchestrations, discussion
Situer les orchestrations par rapport dautres concepts dagencements
Scaffolding tayage (Hoyles & Noss 1987, Kutzler 1994) Webbing
connecting, weaving, threading (Noss & Hoyles 1996)
Orchestrations Apprentissage des techniques (skills) Domaine et
situations indpendant Conu indpendamment de la construction active
des lves Champs conceptuels (Vergnaud) Domaines, situations et
artefacts dpendant Comprhension mergeant des connexions ralises par
llve au cours de son activit + le rle du professeur, rle
indispensable des agencements conus et construits par linstitution
Des points de vue sur la conceptualisation en mathmatique Complexit
et varit des processus de conceptualisation The situated, the
activity based, the experiential can contain within it the seeds
for something more general (Noss & Hoyles 1996) A process of
connection rather than ascension (idem), notion de
transcontextualisation (Laborde 1998) Etendre la mtaphore de
Vygotsky aux environnements informatiques, lordinateur jouant le
rle assign normalement un tuteur humain Connexion et ascension
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27 Une prise en compte didactique Orchestrations, perspectives
Un modle de ressource pdagogique (Guin, Joab & Trouche 2002)
Conception de ressources pdagogiques mathmatiques intgrant les TICE
Scnarios dusage et ressources vivantes Conception des artefacts
Rigidit et souplesse, contraindre et intgrer les usages Conception
de dispositifs de formation continue des matres Accompagnement et
mutualisation
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28 Instruments contemporains et apprentissage des mathmatiques
Vygotski L.S., 1934, Pense et langage Editions Sociales (1985)
Rabardel P., 1995, Les hommes et les technologies, approche
cognitive des instruments contemporains, Armand Colin Guin D. &
Trouche L. (eds.), 2002, Calculatrices symboliques : transformer un
outil en un instrument du travail mathmatique, un problme
didactique Editions La Pense Sauvage