1Les Equations aux Dimensions - Cal-cul d’Erreurs - Les Vecteurs

Les objectifs

En étudiant ce chapitre, vous allez découvrir :

Trois quantités physiques fondamentales ainsi que les

unités que les physiciens utilisent pour les mesurer.

Comment gérer le nombre de chiffres significatifs dans

vos calculs.

La différence entre les vecteurs et les scalaires et com-

ment les additionner graphiquement.

Quelles sont les composantes d’un vecteur et comment

les utiliser dans les calculs.

Que sont les vecteurs unitaires et comment les utiliser

pour décrire un vecteur.

Les différentes façons de multiplier les vecteurs.

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L

a physique est l’une des sciences les plus fondamentales. Les scien-tifiques de toutes les disciplines utilisent les idées de la physique,

en incluant les chimistes qui étudient la structure des molécules, lespaléontologues qui essayent de comprendre comment les dinosauresmarchent, les climatologues qui essayent d’étudier comment les activi-tés humaines peuvent a�ecter l’atmosphère et les océans. La physiqueest aussi à la base de toutes les avancées technologiques. En e�et, au-cun ingénieur ne peut concevoir un écran plat, une navette spatiale,ou une version améliorée d’un piège à rats sans comprendre les loisfondamentales de la physique préalablement.

L’étude de la physique est aussi une aventure. Vous pouvez la trou-ver di�cile, parfois frustrante, occasionnellement douloureuse et sou-vent généreusement gratifiante. Si vous vous êtes demandé un jourpourquoi le ciel est bleu, comment les ondes voyagent dans le vide,comment un satellite reste en orbite, vous pouvez trouver les réponsesen utilisant la physique fondamentale. En vous lançant corps et âmedans le monde de la physique, vous allez, sans aucun doute, arriverà la voir (la physique) comme l’ultime accomplissement de l’intellecthumain dans sa tentative de compréhension de notre monde.

Dans ce chapitre d’introduction, nous allons survoler quelquesconcepts préliminaires dont nous aurons besoin à travers ce module.Nous allons discuter la nature de la physique, l’utilisation des mo-dèles pour représenter les systèmes physiques. Nous allons introduireles systèmes d’unités utilisés pour décrire les quantités physiques etcomment décrire la précision des nombres. Nous allons aussi discuterdes problèmes pour lesquels on ne peut pas ou on ne veut pas trou-ver des réponses précises et où une estimation approximative peut êtreintéressante et même satisfaisante. Finalement, nous allons étudier plu-sieurs aspects sur les vecteurs et l’algèbre vectoriel. Nous allons avoirbesoin des vecteurs tout le long de notre étude de la physique pourdécrire et analyser des quantités physiques, comme les vitesses et lesforces, qui ont à la fois une direction ainsi qu’une grandeur.

1.1 La Nature de la Physique

La physique est une science expérimentale. Les physiciens observentles phénomènes de la nature et essayent de trouver des modèles quidécrivent ces phénomènes. Ces modèles sont appelés des théories phy-siques ou quand celles-ci sont bien établies et largement utilisées deslois ou des principes physiques.

Pour développer une théorie physique, un physicien doit apprendreà poser des questions approximatives, mettre au point des expériencespour essayer de répondre à ces questions et tirer des conclusions ap-propriées à partir des résultats.

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La légende raconte que Galileo Galilée laissait tomber des objetslourds et légers pour voir s’ils vont tomber de la même manière ounon. En analysant les résultats de son expérience, il arriva au principe,ou théorie, selon lequel l’accélération d’un objet en chute libre est in-dépendante de sa masse.

Le développement des théories physiques souvent prend des cheminsindirects, avec des ruelles sombres, de fausses suppositions, et l’écar-tement des théories infructueuses en faveur de celles beaucoup plusprometteuses. Aucune théorie n’est vue comme étant l’ultime vérité. Ilexiste toujours une possibilité pour qu’une nouvelle observation puissenécessiter la révision ou l’écartement d’une théorie. Une théorie pos-sède aussi un intervalle de validité. En revenant à l’exemple de Galilée,si on lâche en même temps une plume et une boule à canon, il est clairque les deux objets ne vont pas atterrir au même moment. Ceci neveut pas dire que Galilée s’est trompé, mais plutôt que sa théorie estincomplète. Si on laisse tomber la plume et la boule à canon dans levide pour éliminer les e�ets de l’air, alors ces deux objets vont tomberexactement avec le même rythme. On dira alors que la théorie de Ga-lilée possède un intervalle de validité, elle s’applique uniquement auxobjets pour lesquels les forces exercées par l’air sont beaucoup moinsimportantes que le poids de ces objets.

Figure 1.1: La légende raconte queGalilée a étudié la chute des objets enles faisant tomber depuis le sommet dela Tour de Pise en Italie et il a étudiéle mouvement des pendules on obser-vant l’oscillation des chandeliers de lacathédrale adjacente.

1.2 Résoudre les problèmes de la physique

A un certain stade de leurs études, la plupart des étudiants en phy-sique se trouve entrain de penser : "je comprends le concept, mais jesuis incapable de résoudre le problème." Mais en physique, comprendrele concept veut dire être capable de l’appliquer à une variété de pro-blèmes. Apprendre à résoudre des problèmes est absolument essentiel,vous ne pouvez connaître la physique que si vous pouvez faire de laphysique.

Modèle

En physique un modèle est une version simplifiée d’un systèmephysique qui est trop compliqué pour être analysé en détail. A titred’exemple, supposons que nous voulons analyser le mouvement d’unballon de foot qui vient d’être tiré. Le ballon n’est pas une sphèreparfaite, il est en rotation durant son mouvement à travers l’air. Levent ainsi que la résistance de l’air influencent son mouvement, sonpoids varie légèrement quand sa distance au centre de la terre change,et ainsi de suite. Si on essaye de prendre en compte tous ces e�ets,l’analyse du mouvement du ballon peut devenir très compliquée. Aulieu de cela, nous allons inventer une version simplifiée du problème.Nous allons négliger les dimensions ainsi que la forme du ballon enle représentant par un point ou une particule. Nous allons négliger la

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résistance de l’air en supposant que le ballon se déplace dans le videet nous allons supposer que son poids est constant. Maintenant nousavons un problèmes assez simple à résoudre.

Figure 1.2: Un ballon de football envol réel.

Figure 1.3: Un modèle simplifié d’unballon de football en vol.

Nous devons négliger quelques e�ets mineurs pour construire unmodèle, mais nous devons faire attention à ne pas en négliger trop.Si l’on ignore l’e�et de la gravitation, alors notre modèle va prédireque quand on tire le ballon, il va se déplacer en ligne droite et il vadisparaître dans l’espace. Un modèle intéressant est celui qui simplifieconsidérablement le problème pour le rendre faisable, mais en gardanttoutes ces propriétés essentielles.

La validité des prédictions que nous faisons en utilisant un modèlesimplifié est limitée par la validité de notre modèle. A titre d’exemple,les prédictions de Galilée concernant la chute des objets correspondentà un modèle qui n’inclut pas les e�ets de la résistance de l’air. Ce mo-dèle marche assez bien pour une boule à canon, mais ne marche paspour une plume.

1.3 Références et Unités

La physique est une science expérimentale et les expériences néces-sitent des mesures. En général on utilise des nombres pour décrire lesrésultats des mesures. Chaque nombre utilisé pour décrire un phéno-mène physique quantitativement est appelé une quantité physique. Atitre d’exemple deux quantités physiques qui peuvent vous décrire estvotre poids ainsi que votre taille. Quelques quantités physiques sont sifondamentales qu’elles ne peuvent être définies que si l’on décrit com-ment on peut les mesurer. Comme exemple, la mesure des distancesen utilisant une règle et la mesure du temps en utilisant un chrono-mètre. Dans d’autres cas, on définit une quantité physique en décrivantcomment on peut la calculer à partir d’autres quantités qu’on peut me-surer. Ainsi on peut définir la vitesse moyenne d’un objet en mesurantla distance parcourue (mesurée en utilisant une règle) divisée par ladurée du trajet (mesurée par un chronomètre).

Figure 1.4: Mètre Etalon - Musée desArts-et-Métiers à Paris, France.

Quand on mesure une quantité, souvent on la compare à quelquesréférences. Quand on dit qu’une personne mesure 1,70 m, on veut direque cette personne est 1,70 fois la longueur d’un mètre ruban qui estdéfini, quant à lui, comme ayant 1 m de longueur. Ces standards défi-nissent l’unité d’une quantité. Le mètre est l’unité de la distance et laseconde est l’unité du temps. Quand on utilise un nombre pour décrireune quantité physique, nous devons toujours spécifier l’unité utilisée.Décrire une taille comme étant 1,70 ne veut absolument rien dire.

Pour faire des mesures précises et fiables, nous avons besoin d’uni-tés de mesure qui ne changent pas et qui peuvent être reproduites pardi�érents observateurs et dans di�érentes places. Le système d’uni-

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tés utilisé par les scientifiques et les ingénieurs à travers le monde estappelé le système métrique, cependant à partir de 1960, il est o�cielle-ment connu comme étant le Système International ou tout simplementSI.

Le Temps

De 1889 jusqu’en 1967, l’unité du temps a été défini comme étantune certaine fraction de la durée moyenne d’un jour, le temps moyenentre deux passages successifs du Soleil à travers le point le plus hautdans le ciel. La nouvelle référence, adoptée en 1967, est beaucoup plusprécise. Elle est basée sur le principe de l’horloge atomique, qui utilisela di�érence d’énergie entre les deux niveaux d’énergie les plus bas del’atome du césium. Quand il est bombardé par des micro-ondes d’unefréquence bien définie, l’atome de césium subit une transition d’un deces niveaux d’énergie à l’autre. Une seconde est définie comme le tempsnécessaires pour e�ectuer 9 192 631 770 cycles.

Une hologe atomique a une précisionde 1 seconde par 316 000 ans. Deshorloges encore beaucoup plus précisesdéveloppées, en 2015, par le Natio-nal Institute of Standards and Tech-nology (USA), atteignent des précisionde l’ordre de 1 seconde par 211 milliond’années.

La Longueur

En 1960, une référence atomique pour le mètre a été établie, en uti-lisant la longueur d’onde de la lumière rouge-orangée émise par l’atomedu Krypton (86Kr) dans un tube à décharge. En utilisant cette réfé-rence, la vitesse de la lumière a été mesurée comme étant 299 792 458m/s. En novembre 1983, la référence de longueur a été, encore unefois, redéfinie de telle sorte que la vitesse de la lumière dans le videsoit exactement 299 792 458 m/s. Ainsi la nouvelle définition du mètreest la distance que la lumière traverse dans le vide au cours de 1/299792 458 seconde.

En 1960, La Conférence Internatio-nale sur les Poids et Mesures a définile mètre comme étant 1 650 763,73 foisla longueur d’onde de la lumière émisepar l’isotope 86 du Krypton.

La Masse

La référence de masse, le kilogramme, est défini comme étant lamasse d’un cylindre particulier de platine et d’iridium conservé au Bu-reau International des Poids et Mesures à Sèvres en France (Fig. 1.5).Aucune référence atomique de la masse n’a été établie pour le moment.

Figure 1.5: Kilogramme Etalon - Bu-reau International des Poids et Me-sures à Sèvres, France.

Préfixes du Système International d’Unités

Une fois les unités fondamentales définies, il est facile d’introduireles unités les plus grandes ou les plus petites de la même quantité phy-sique. Dans le Système International d’unités, ces autres unités sontreliées aux unités fondamentales par des multiples de 10 ou de 1/10.Ainsi un kilomètre (1 km) est égal à 1 000 mètres, et un centimètre (1cm) à 1/100 mètres. En général, on exprime les multiples de 10 et de

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1/10 en notation exponentielle 1 000 = 103, 1/100 = 10≠2. Avec cesnotations, 1 km = 103 m et 1 cm = 10≠2 m.

Le nom de ces nouvelles unités sont dérivée en ajoutant un préfixeau nom de l’unité fondamentale. A titre d’exemple, le préfixe "kilo-,"(abréviation k), signifie toujours une unité plus grande d’un facteurmille ; Ainsi

1 kilomètre = 1 km = 103 mètres = 103 m1 kilogramme = 1 kg = 103 grammes = 103 g1 kilowatt = 1 kW = 103 Watts = 103 W

Figure 1.6: Echelle des longueurs del’infiniment petit à l’infiniment grand.

Quelques sous-unités de temps, de masse et de longueurs

1 nanomètre = 1 nm = 10≠9 m (≥ taille d’un atome).1 micromètre = 1 µm = 10≠6 m (≥ taille d’une bactérie).1 millimètre = 1 mm = 10≠3 m (≥ taille de la bille d’un stylo).1 centimètre = 1 cm = 10≠2 m (≥ diamètre d’un doigt).1 microgramme = 1 µg = 10≠9 kg (≥ masse d’une particule de pous-sière).1 milligramme = 1 mg = 10≠6 kg (≥ masse d’un grain de sel).1 gramme = 1 g = 10≠3 kg (≥ masse d’un trombone).1 nanoseconde = 1 ns = 10≠9 s (≥ le temps pour que la lumière voyage0.3 m).1 microseconde = 1 µs = 10≠6 s (≥ le temps pour que la StationSpatiale Internationale se déplace de 8 mm).1 milliseconde = 1 ms = 10≠3 s (≥ le temps pour que le son voyage0.35 m).

1.4 Equations aux Dimensions

On utilise les équations pour exprimer les relations qui existent entredi�érentes quantités physiques, qui sont représentées par des symbolesalgébriques. Chaque symbole algébrique représente à la fois un nombreet une unité. A titre d’exemple, d peut représenter une distance de 8m, t un temps de 2 s et v une vitesse de 4 m/s.

Une équation devrait toujours être dimensionnellement homogène.Vous ne pouvez additionner des pommes et des tomates ; deux termesne peuvent être additionnés ou égalisés que s’ils ont exactement lesmêmes unités. Si par exemple, un objet se déplace avec une vitesse v

pour parcourir la distance d durant l’intervalle de temps t, ces di�é-rentes quantités sont reliées par l’équation :

d = vt

Si d est mesurée en mètres, alors le produit vt devrait aussi êtreexprimé en mètres. En utilisant les valeurs de l’exemple précédent, on