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Modélisation Bond Graph2- Causalité

PAG + FMEEA / Commande des systèmes industriels

C : S1

C : S2Sf : d1

h1

0h1

h1

d1 d2

d2- d1

R : R1

1

d2h1

R : R2

h2

0h2

h2

d2 d2 -d3

d3

R1

d1(t)

h1(t)

d2(t)

h2(t)

d3(t)

S2

S1

R2

1-1- Notion de causalité1-2- Affectation de la causalité1-3- Propagation de la causalité1-4- Cas particuliers1-5- Exercices

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Introduction

BG2-1- Notion de causalité

Notion fondamentale :- Définit les relations de cause à effet en vue de la commande- Structure les équations en vue de la résolution- Permet la détection d’erreurs de modélisation

Γ

u

i

Exemple : Moteur à courant continu

Le moteur tournecar il est alimenté

L’alimentation électrique du moteur est la causeet sa rotation la conséquence

La causalité a un sens physique

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2 cas possibles :

- A impose l’effort à B qui en retour impose le flux à A

- A impose le flux à B qui en retour impose l’effort à A

La barre de causalité est du côté de l’élément qui impose le flux ou à qui l’effort est imposé

barre de causalité

f = φ(e)

e = φ(f)

A Bef

A Bef

Expression de la causalité dans les Bond Graph

A Be

f

A Be

f

BG2-1- Notion de causalité

4

PFD:

La masse acquiert de la vitessecar elle est soumise à une force

e.dtI

1f est une causalité intégrale

Il n’existe (à priori) pas de système physique à causalité dérivée

dt

dfIe

F.dtm

1V

est une causalité dérivée

C’est la force qui est imposée → causalité intégrale

dt

dVmF

F

VI : m

m

V

F

Exemple : Mise en mouvement d’une masse

Causalité intégrale, causalité dérivée

BG2-1- Notion de causalité

f = φ(e)

ou

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Résolution des équations

Il est souhaitable d’obtenir des équations sous la formequi conduit à l’implantation

Recherche d’une loi de commande

Principe de l’inversion de modèle : puisqu’on connaît les effets d’une cause,il suffit de choisir la bonne cause pour obtenir l’effet désiré,à condition que le modèle respecte la causalité naturelle (intégrale) ...

BG2-1- Notion de causalité

t,e,xfx .dtt,e,xftx

C’est une équation différentielle ordinaire (ODE), qui se résout avec les méthodesd’intégration explicites comme celle de Runge Kutta

Si certains éléments restent en causalité dérivée, il apparaîtra des équationsalgébro-différentielles de la forme 0t,e,x,xg

Elles sont traitées par des méthodes d’intégration implicites, plus délicates à utiliser

→ Il faut privilégier la causalité intégrale

Préférence à la causalité intégrale

6BG2-2- Affectation de la causalité

Causalité des sources et de l’éléments R

SeSf

Source d’effortSource de flux

e imposé par Sef imposé par Sf

Causalité imposée

Causalité indifférente

e = R.f

Elément R f = e/RR

R

Cas particulier : frottement sec

→ Causalité flux

Pour F donné, on ne connaît pas forcément v

R

F

v

7BG2-2- Affectation de la causalité

Causalité préférentielle = intégrale

IElément I

CElément C

e.dtI

1f

f.dtC

1e

Dans le cas où il faudrait utiliser la causalité dérivée,les équations diffèrent :

I

C

dt

dfIe

dt

deCf

Causalité des éléments I et C

8BG2-2- Affectation de la causalité

Restrictions de causalité

Jonction 1

f1 = f2 = f4 = f3

e3 = e1 + e2 - e4

ici c’est f3 qui s’impose :3

11 4

2

Egalité des flux→ un seul lien impose le flux à la jonction→ un seul lien sans trait causal près du 1

Jonction 0

e2 = e3 = e4 = e1

f1 = -f2 + f3 + f4

ici c’est e1 qui s’impose :3

01 4

2

Egalité des efforts→ un seul lien impose l’effort à la jonction→ un seul lien avec trait causal près du 0

Causalité des jonctions

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Transformateur

Gyrateur

e1 = m.e2 f2 = m.f1

Pas de permutation de la nature énergétique→ même causalité en entrée et en sortie→ affectation symétrique de la causalité

TF : m1 2

TF : m1 2 e2 = 1/m.e1 f1 = 1/m.f2

2 cas

e1 = r.f2 e2 = r.f1

Permutation de la nature énergétique→ affectation antisymétrique de la causalité

GY : r1 2

GY : r1 2 f2 = 1/r.e1 f1 = 1/r.e2

Restrictions de causalité (suite)

BG2-2- Affectation de la causalité

Causalité du transformateur et du gyrateur

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Règles de propagation de la causalité

BG2-3- Propagation de la causalité

1. Affecter les causalités imposées par les sources

2. Mettre les éléments I et C en causalité intégrale

3. Propager les causalités aux jonctions, transformateurs et gyrateurs

4. Affecter les causalités (de façon indifférente) aux éléments R

L’étape 2 peut amener des conflits de causalité. On peut alors :

- accepter de changer une causalité intégrale en une causalité dérivée et reprendre en 3 (causalité mixte)

- reprendre la modélisation en ajoutant des éléments qui auraient été négligés (par exemple en mécanique un élément C qui tient compte de la flexibilité d’une pièce), ou à l’inverse en simplifiant le modèle (par exemple en mécanique en ramenant les inerties sur le même axe)

11BG2-3- Propagation de la causalité

Exemple : Système masse ressort

V1 V2

f

F

K2K1

m1 m2

+

I : m1

Se : F

I : m2

C : 1/K2

C : 1/K1R : f

1 : V1 1 : V20

1 : V3

Bond Graph simplifié du 1-5- ...

12BG2-4- Cas particuliers

Causalité non unique ou non définie

Causalité non unique

Il n’y a pas toujours unicité dans l’affectation de la causalité aux éléments RCe degré de liberté peut créer des équations implicites problématiques pour la

résolution numérique

Causalité non définie

Exemple : Charge d’une batterie

Se : Vg 1 : I Se : Vg

conflit !

Solution : ajouter un élément R qui modélise la résistance du fil

Vg Vb

Se : Vg 1 : I Se : Vg

R : R

Vg VbChargeur

Batterie

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Causalité mixte

Exemple : Bras de levier

Solutions :- accepter une causalité mixte : mettre m1 ou m2 en causalité dérivée- réunir les 2 masses en une seule ayant une inertie équivalente- introduire une flexibilité du levier (ajoute une variable d’état...)

conflit !

Se : F

I : m2

C : 1/K2

I : m1

1 : V1 1 : V2TF : b/a

Cause :Traduction de la dépendance existant entre les vitesses des 2 masses

K

m2m1

a bV1

V2FV2 / V1 = b/a

BG2-4- Cas particuliers

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Exercices

Se : C

R : R3

0

C : 1/K1

I : J

1 : 1 1 : 2 1 : V1TF : D/2

1 : I1 + I2

0 : V

Se : Ve

C : CR : R

I : L

BG2-5- Exercices

Ve Vs

R

C

L

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Sf : V12

I : M1.r²

1 : 3

1 : V451 : V3

TF : -r

0

TF : 1/r

0

Se : – M1.g

I : M1 C : 1/K4 I : M2

Se : – M2.g

BG2-5- Exercices

Conflits de causalitéà cause de la non prise en compte de K2 K3

relations entre les vitesses...

K2 K3