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Programme de mathématiques du cycle terminal

de la série Littéraire

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Classe de première : Option obligatoire au choix

Classe de terminale : Enseignement de Spécialité

Horaire : 3 heures

Epreuve du Baccalauréat : durée 3 heures; coefficient 3

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Finalités de la formation

Rendre les élèves, appelés à suivre des cursus variés, capables de s’adapter à différents niveaux d’exigences en mathématiques.

L’acquisition de compétences a été privilégiée relativement à celle de contenus plus ambitieux.

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Différences

avec l’ancien programme

Les nombres constructibles ne figurent plus dans ce programme

MAIS

un travail sur les nombres demeure et l’apprentissage au raisonnement est très présent.

ARITHMETIQUE

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La fonction logarithme était auparavant introduite par quadrature de l’hyperbole.

Les fonctions exponentielles sont maintenant introduites comme prolongement « continu » de suites géométriques travaillées en programme obligatoire maths-info.

Différences

avec l’ancien programme

ANALYSE

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Différences avec l’ancien programme

• les probabilités sont introduites dès la classe de première

• la combinatoire n’est proposée qu’en terminale

STATISTIQUES-PROBABILITES

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Différences avec l’ancien programme

• il n’y a pas de géométrie analytique

• l’angle d’attaque est celui de la représentation graphique des objets

• la représentation des corps ronds ne fait plus partie des contenus

GEOMETRIE

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DOMAINES TRANSVERSAUX

LOGIQUE ET ALGORITHMIQUE

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LOGIQUE

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Objectif : faire acquérir aux élèves des

compétences élémentaires de logique :

• utiliser correctement les connecteurs logiques « et » et « ou »• repérer les quantifications implicites dans certaines propositions• distinguer une implication de sa réciproque• formuler la négation d’une proposition• utiliser un contre-exemple

Exemple :

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Différents types de raisonnement utilisés

•Raisonnement par disjonction de cas•Raisonnement par l’absurde•Recours à la contraposée•Raisonnement spécifique du dénombrement•Raisonnement par récurrence

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Démonstrations du programme

•L’ensemble des nombres premiers est infini.•L’ensemble des diviseurs communs à plusieurs entiers est l’ensemble des diviseurs de leur PGCD.•Pour a et b entiers relatifs et n entier naturel non nul, montrer l’équivalence entre a –b est un multiple de n dans et a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n.•Compatibilité de la congruence avec l’addition et la multiplication. •Pour tout nombre réel x, exp’(x) = ex.•Théorème du toit.•Le point de fuite d’une droite d est l’intersection du plan du tableau avec la droite parallèle à d passant par le point de vue.

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•produire des conjectures•trouver des contre-exemples•dégager le domaine de validité de certaines

phrases•distinguer les notions de condition nécessaire et

de condition suffisante•se poser le problème de la vérité de propositions

comportant des quantificateurs et des connecteurs

Exemple

Une entrée par les problèmes pour

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Un exemple de problème d’arithmétique en première

Chercher des multiples de 15 qui sont aussi multiples de 22. Peut-on les trouver tous ? Chercher des multiples de 15 qui sont aussi multiples de 30. Peut-on les trouver tous ? Chercher des multiples de 15 qui sont aussi multiples de 99. Peut-on les trouver tous ? Et si les nombres sont m et p ?

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AlgorithmesQu’est-ce qu’un algorithme ?

Algorithme : ensemble de règles opératoires dont l’application permet de résoudre un problème en un nombre fini d’opérations

Deux caractéristiques sont prépondérantes : •la séquencialité •l’effectivité.

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Familiariser les élèves à une démarche algorithmique

en les entraînant à

• décrire certains algorithmes en langage naturel• réaliser quelques algorithmes simples à l’aide d’un tableur ou d’une calculatrice• identifier ce que certains algorithmes un peu plus complexes « produisent »

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Deux procédés de multiplication utilisés au Moyen Âge.

Texte d’IBN al-Madji, Extrait de hawi l-lubab, traduction de A. Djebbar

Calculer 438 2

Procédé par translation

1 7 5 23 2

1 21 6

4 3 84 3 8

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1 8 8 3 42 49

1 21 7 5 2

4 3 84 3 8

1 9 1 8 4 46 4

2 43 2

1 8 8 3 44 3 84 3 8

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Procédé par semi-translation

6 44 8

6 49

2 41 6

4 . 3 . 88

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Si x = 100a + 10b + c alors x² = 10 000a² + 1000.2ab + 100(b² + 2 ac) + 10.2bc + c² 

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ARITHMETIQUEOrientations du programme :

•Donner des solides connaissances sur les nombres entiers

•Confronter les élèves à différents types de raisonnements mathématiques : contraposée, disjonction des cas, absurde, récurrence (en terminale)

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ARITHMETIQUELes grandes lignes du programme en première :

comprendre notre numération écrite

• en comparant différents systèmes de numération

• en factorisant des nombres entiers en nombres premiers

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ARITHMETIQUELes grandes lignes du programme en terminale :

• Division euclidienne dans IN

•Multiples d’un entier naturel

•Introduire l’outil « congruences »

• Elargir la palette des raisonnements (Récurrence)

• Construire et consolider les connaissances de logique

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Travail de groupe

1. Problème à résoudre : donner l’écriture d ’un entier naturel N en base 8

Consigne : décrire en langage naturel la stratégie à adopter

2. Problème à résoudre : donner l’écriture d ’un entier naturel N en base b

Consigne : programmer l’algorithme sur tableur

3. Problème à résoudre : interpréter un algorithme plus complexe

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Objectifs :Repérer les quantifications implicites Distinguer une proposition conditionnelle de sa réciproque Formuler la négation d’une proposition

Exemple n°1 est-elle une autre écriture de ?

est-elle une autre écriture de ? Comment le prouver ?

Prouver que l’équation n’a pas de solution dans IR.

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Exemple n°2On considère la représentation en perspective parallèle d’un solide.

Sur cette représentation les dessins de trois points donnés de l’espace sont alignés. Peut-on en déduire une information sur ces trois points ? Sur cette représentation les dessins de trois points donnés de l’espace ne sont pas alignés. Peut-on en déduire une information sur ces trois points?

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Problème à résoudre : donner l’écriture d ’un entier naturel N en base 8

L’analyse du problème permet de décrire en langage naturel la stratégie à adopter :

• On initialise en affectant à A la valeur N.

• Procédure : On effectue la division euclidienne de A par 8. On obtient un quotient et un reste. On affecte à A la valeur de ce quotient et on garde ce reste. (qui est l’un des chiffres de l’écriture recherchée).

• On réitère cette procédure tant que le contenu de A n’est pas nul.

• L’écriture de N dans la base 8 s’obtient en disposant de droite à gauche tous les restes dans l’ordre où ils ont été obtenus .

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Problème à résoudre : donner l’écriture d ’un entier naturel N en base b

Programmation de l’algorithme sur tableur :

• On saisit la valeur de la base en cellule A2 et celle de N en cellule B2.

• On saisit en cellule B3 : = ENT(B2/A$2)

et en cellule C3:= B2-(B3*A$2)

• On recopie vers le bas dans les cellules

des colonnes B et C les formules

saisies en B3 et C3.

On lit dans la colonne C les chiffres de l’écriture de N en base b.

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Problème à résoudre : interpréter un algorithme plus complexe

N est un entier naturel non nul.

1°) Initialisation : la liste L est vide

2°) Pour tout entier naturel k compris entre 1 et N,

• on effectue la division euclidienne de N par k. On obtient un quotient et un reste.

• si le reste est nul alors on écrit k dans la liste L sinon on passe à l’entier k suivant.

3°)Quand toutes les valeurs de k ont été examinées, on calcule le nombre S des termes de la liste L.

Question : que représente S ?

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Problème à résoudre : interpréter un algorithme plus complexe

1° )Cas n°1 : N = 20

a) Initialisation : on a écrit 1 dans la cellule A4

b) on saisit dans la cellule A5 :

puis on tire vers le bas cette formule.

Qu’obtient-on dans les plages de cellules A4:A23 et A23:A27 ?

c) On saisit dans la cellule B4 :

Qu’obtient-on dans la plage de cellules B4:B23 ?

d) On saisit dans la cellule C1 : = NB(B:B). Le résultat de l’algorithme est le contenu de cette cellule C1.

Que produit cet algorithme ?

2°) Que suffit-il de modifier à cette page de calcul pour que cet algorithme fonctionne avec n’importe quel entier naturel non nul N ?

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1ère L Math - Info Information chiffrée

Pourcentages, feuilles informatisées de calcul, représentation graphique, outils graphiques de dénombrement.

Statistique- diagramme en boîte, intervalle inter-quartile ;- variance, écart-type  ;- tableaux croisés

Exemple de type de croissance- suites arithmétiques, croissance linéaire - suites géométriques, croissance exponentielle  - autres exemples 

Activités d'ouverture