informations: http://cag.epfl.chsections IN + SC

Serie 10

ANALYSE IV

Printemps 2009-2010

Exercice 1.Calculer, en utilisant une formule integrale de Cauchy, lintegrale suivante

I =

20

1

3 + 2 cos tdt.

Astuce : Utiliser la courbe (t) = eit, t [0, 2].

Corrige exercice 1.En utilisant (t) = z on trouve

dt = ieitdz = iz1dz et cos t = 12(eit + eit) =

1

2(z + z1).

Donc

I =

iz13 + z + z1

dz = i

dz

z2 + 3z + 1= i

dz

(z z0)(z z1)ou` z0 = 32 +

52 et z1 = 32

52 sont les zeros de z

2 + 3z + 1. Noter que seulement z0 se trouve a`linterieur du . En plus la fonction

f(z) =1

z z1est holomorphe dans un domaine qui contient et son interieur. Ainsi on peut utiliser la formule deCauchy

f(z0) =1

2i

f(z)

z z0dzet on trouve que

I

2=

1

2i

f(z)

z z0dz =1

z0 z1 =15.

Exercice 2. Soient a > 0, b > 0 et

I(a, b) =

cos x

(x2 + a2)(x2 + b2)dx.

(a) Soient a = b. Calculer, en utilisant le theore`me des residus, lintegrale I(a, b).Justifier soigneusement toutes les etapes de votre calcul.Astuce : Considerer

eix

(x2 + a2)(x2 + b2)dx.

(b) Calculer

limba

I(a, b).

1

2(c) Calculer

cos x

x4 + 2x2 + 1dx.

Astuce : Utiliser la propriete

limba

cos x

(x2 + a2)(x2 + b2)dx =

limba

cos x

(x2 + a2)(x2 + b2)dx

et lexercice precedent.

Corrige exercice 2.(a) Le denominateur de lintegrant, (x2 + a2)(x2 + b2) ne sannule jamais pour x R ; de plus eix(x2+a2)(x2+b2) = O( 1x4 ) si x , ce qui assure que lintegrale existe. La fonction

f(z) =eizz

(z2 + a2)(z2 + b2)=

eiz

(z ia)(z + ia)(z ib)(z + ib)a 4 poles simples. Ces poles sont ia, ia, ib et ib.Soit R > max{a, b}, 1R(t) = t avec t [R,R] et 2R(t) = Reit avec t [0, ] et soit R la

somme. Par le theore`me des residus, on a doncR

f(z)dz = 2i(Res(f, z = ia) + Res(f, z = ib)).

Or,

Res(f, z = ia) = limzia

(z ia)f(z) = eia

2iai(a+ b)i(a b) = ieia

2a(a2 b2) ,

Res(f, z = ib) = i eib

2b(a2 b2) .

Donc on obtient R

f(z)dz = aeb beaab(a2 b2) .

On va montrer que2R

f(z)dz tend vers 0 si R tend vers :2R

f(z)dz

R 0

eR sin(t)(R2e2it + a2)(R2e2it + b2) dt.

Pour tout t [0, ], eR sin t 1. De plus, 1(R2e2it+a2)(R2e2it+b2) 1(R2a2)(R2b2) . Donc

2R

f(z)dz

R 0

1

(R2 a2)(R2 b2) dt =R

(R2 a2)(R2 b2)qui tend vers 0 lorsque R tend vers linfini.Donc

I(a, b) = limR

1R

f(z)dz + 0 = limR

R

f(z)dz = aeb beaab(a2 b2) .

3(b)

limba

I(a, b) = limba

aeb beaab(a2 b2) = ()

Par le theore`me de lHospital :

() = ea(1 + a)

2a3.

(c) Il sut de poser a = 1 dans la reponse de lexercice precedent.

cos x

x4 + 2x2 + 1dx =

e1(1 + 1)2 13 =

e

Exercice 3.(a) Calculer

I =

0

x2 dx

(x2 + 9)(x2 + 4)2.

(b) Soit a > 0. Calculer 0

dx

x3 + a3.

Astuce : Trouver une courbe simple fermee qui passe par les points 0, R, Rei23 , et qui nentoure

quun seul pole.

Corrige exercice 3.(a) On va utiliser le Therore`me des residus pour lintegrale

R

z2 dz

(z2 + 9)(z2 + 4)2,

ou` R est le contour donne par R = R1 R2 avec R1 = {z R | R z R} et R2 = {z C ||z| = R, Im(z) 0}. Les poles sont 3i,3i (ordre 1) et 2i,2i (ordre 2). Seul 3i et 2i sont dans Ret les residus en ces poles sont

Res(f, 3i) = limz3i

(z 3i)f(z) = 3i50

,

et

Res(f, 2i) = limz2i

d

dz

(z 2i)2f(z) = lim

z2id

dz

z2

(z2 + 9)(z + 2i)2

= lim

z2i

2z(z2 + 9)(z + 2i)2 (2z(z + 2i)2 + 2(z2 + 9)(z + 2i))z2

(z2 + 9)2(z + 2i)4

=

13i200

.

4On a aussi R2

z2 dz

(z2 + 9)(z2 + 4)2

Rmax|z|=R z2(z2 + 9)(z2 + 4)2

= Rmax

|z|=R

1

|z4||(1 + 9/z2)(1 + 4/z2)2|

R 1R4

max|z|=R

1

|(1 + 9/z2)(1 + 4/z2)2|

R CR4 0 lorsque R .

En eet 1|(1+9/z2)(1+4/z2)2| tend vers 1 lorsque z . Donc 1|(1+9/z2)(1+4/z2)2| < C si R est assez grand.Donc par le Theore`me des residus, on a

x2 dx

(x2 + 9)(x2 + 4)2= 2i (Res(f, 3i) + Res(f, 2i)) = 2i

i200

=

100,

et 0

x2 dx

(x2 + 9)(x2 + 4)2=

200,

car la fonction f(x) = x2

(x2+9)(x2+4)2 est paire.

(b) Lintegrale est bien definie car 1x3+a3 = o(x2) si x.

Soit R > a et soit la courbe fermee definie par

= 1 2 3,ou` 1(t) = t, t [0, R], 2(t) = Reit, t [0, 23 ], et 3(t) = (R t)ei

23 , t [0, R]. On definit la

fonction

f(z) =1

z3 + a3.

Le point z0 = aei3 est le seul pole de f a` linterieur de . En consequence

f(z)dz = 2iRes(f, z0) = 2i

d

dz

z=z0

(z3 + a3)

1= 2i

3z20

1=

2i

3a2e2i/3.

En utilisant 2

f(z)dz 0 si R,car lim

zzf(z) = 0, et legalite

3

f(z)dz = e2i/3 R0

f(x)dx,

on obtient

limR

f(z)dz = (1 e2i/3) 0

1

x3 + a3dx = 2i

2i

3a2e2i/3

.

Donc, 0

1

x3 + a3dx =

2i

3a2e2i/3

1 e2i/3 =

3a2

2i

ei/3 ei/3ei

=

3a2 sin(/3)=

2

33a2

.

5Exercice 4.(a) On cherche a` calculer I =

0 (x

4 + 1)1dx.Astuce : Trouver a, b C de sorte que (x4 + 1)1 = a(x2 + i)1 + b(x2 i)1.

(b) Soient m,n appartenant a N, 0 < m < n. Montrer que 0

xm1

1 + xndx =

nsin1(

m

n).

Astuce : Trouver une courbe simple fermee qui passe par les points 0, R, Rei2n , et qui nentoure

quun seul pole.

Corrige exercice 4.(a) Comme

1 (x

4 + 1)1dx 0 et soit la courbe fermee definie par

= 1 2 3,ou` 1(t) = tR, t [0, 1], 2(t) = Reit, t [0, 2n ], et 3(t) = (R t)ei

2n , t [0, R]. On definit la

fonction

f(z) =zm1

1 + zn.

6Le point c = ein est le seul pole de f a` linterieur de . En consequence

f(z)dz = 2iRes(f, c) = 2i

d

dz

z=c

1 + zn

zm1

1= 2i

c

m

n

.

En utilisant 2

f(z)dz 0 si R,car lim

zzf(z) = 0, et legalite

3

f(z)dz = c2m R0

f(x)dx,

on obtient limR

f(z)dz = (1 c2m) 0

xm1

1 + xndx = 2i(c

m

n). Dou`, en utilisant sinx = e

ixeix2i ,

on trouve le resultat cherche.