1.1 Les formules magiques8 | Cahier de l’élève | 1.1 Les formules magiques. Remarquez que cette formule est un cas particulier de celle qu’on a uti- lisée tout à l’heure

Présentation | 1.1 Les formules magiques

1.1 Les formules magiques

Considérant les connaissances et les compétences nécessaires à la réalisation de cette activité, celle-ci est suggérée pour la 2e année du premier cycle.

On sait que les élèves ont de la difficulté à intégrer le concept de « variable » et que plusieurs d’entre eux peinent à reconnaître qu’une variable représente un nombre même si on n’en connaît pas la valeur.

L’activité présente différentes situations pour familiariser l’élève aux variables et à leur traitement. Quelques étapes de preuves sont aussi présentées ; ce sont surtout des généralisations d’opérations qu’ils ont déjà travaillées dans les exercices.

Intentions pédagogiques

• Familiariser l’élève avec le concept de variables

• L’habituer à considérer les variables comme des nombres

• Lui faire manipuler des équations contenant des variables

• Lui montrer l’utilité et la nécessité des variables

Forme de la production attendue

• Courtes démarches et réponses

Concepts utilisés

• Variable

• Équation et résolution d’équations

• Taux

• Relation symétrique

• Exemple simple de preuve algébrique

Ressources matérielles

• Tuiles algébriques si disponibles

• Calculatrices personnelles pour les élèves

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Préparation

• L’activité est prévue pour être présentée après le spectacle de Show Math 2, mais peut très bien se dérouler en n’importe quel temps. Si les élèves n’ont pas vu les équations en classe, ils peuvent tout de même faire l’activité. Ce travail pourrait amener les élèves à vouloir voir Show Math.

• L’activité comprend un texte assez long, même s’il est divisé en courtes parties. Il faudrait peut-être vérifier avec les élèves leur com-préhension du vocabulaire pour qu’ils ne restent pas bloqués pen-dant le travail. Le travail peut se faire seul. Si les élèves ont déjà tra-vaillé les équations, l’enseignant ne devrait pas avoir à intervenir très souvent.

Réalisation

Partie 2

• Quelques problèmes nécessitent des changements d’unités. Cer-tains élèves pourraient avoir besoin d’aide si cela les déstabilise.

• On a résumé les règles de résolution d’équations du premier degré à une « formule » pas très conventionnelle, mais elle devrait convenir à cette étape du parcours de l’élève.

• La question dans l’encadré n’a pas de réponse précise attendue. Les exemples de relations non symétriques sont légion : relations ma-thématiques comme < ou >, ou relations relatives à la vie courante comme « est le père de » ou « est l’oncle de », etc.

Partie 3

• Pour l’accélération, nous avons préféré ne pas utiliser les unités comme m/s2. Nous avons plutôt choisi la périphrase « Augmenta-tion ( ou diminution ) de tant de m/s à chaque seconde ». Pour une première approche, cela devrait être plus facile pour l’élève.

Intégration

• Si on a peu travaillé les équations avant cette activité, elle peut ser-vir de départ. On pourrait alors prendre un peu de temps pour ex-pliquer la règle que nous avons énoncée.

• En plus de faire un retour sur les équations, un mot sur les démons-trations pourrait servir de première approche à ce type de situa-tions propres à la compétence 2 « Déployer un raisonnement ma-thématique ».

Commentaires sur l’activité

Pistes de différenciation

• Plusieurs formules plus complexes pourraient être ajoutées.

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1.1 Les formules magiques

Pourrais-tu calculer la vitesse de la Terre dans son voyage autour du Soleil, l’inten-sité du courant électrique nécessaire pour faire fonctionner une voiture électrique ou la vitesse d’un astéroïde s’écrasant au sol ? On y arrive seulement si on connaît les formules magiques permettant de faire ces calculs !

À plusieurs reprises, dans Show Math, vous avez entendu parler d’équations.

Les équations sont des outils exceptionnels pour résoudre divers problèmes d’ordre mathématique, physique, astronomique, statis-tique, économique, etc. Plusieurs d’entre elles vous seront présen-tées à l’école secondaire et il est important de bien comprendre leur fonctionnement, car elles sont le langage de toutes les sciences.

Les formules magiques dont il est question dans cette activité ne se résolvent pas avec une baguette magique et ne sont pas des secrets de mages, ce sont des équations !

Nom : _________________________________________________________

Partie 1 : La vitesseVous savez tous ce que l’on entend par « vitesse ». Par exemple, la vi-tesse sur une autoroute est limitée à 100 kilomètres par heure ( km/h ). Les meilleurs sprinters en athlétisme atteignent des vitesses approchant 10 mètres par seconde ( m/s ) puisqu’ils parcourent le 100 mètres en ap-proximativement 10 secondes.

Vous avez remarqué que lorsque l’on parle de vitesse, on utilise toujours deux termes :

• Une distance ( kilomètre, mètre, etc. )

• Un intervalle de temps ( heure, seconde, etc. )

Lorsqu’elle demeure constante, la vitesse de n’importe quel objet peut se calculer à l’aide d’une formule mathématique qui a la forme de l’équation ci-dessous.

Les variables sont :

v, la vitesse ;

d, la distance parcourue ;

t, le temps pour parcourir la distance d.

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À votre tour !

1.

a ) Une voiture parcourt 190 kilomètres en deux heures.

Rép. : _______ km/h

b ) Un coureur franchit la distance de 200 mètres en 25 se-condes.

Rép. : _______ m/s

c ) Dans son trajet autour de la Terre, la Lune parcourt 100 628 kilomètres en 27,3 jours.

Rép. : __________ km/jour ou __________ km/h

Si on veut connaître la vitesse dans une autre unité de mesure, on doit effectuer les calculs nécessaires.

Imaginons qu’on cherche à obtenir la vitesse en kilomètre par heure ( km/h ). On peut se poser la question suivante : comme la voiture roule à une vitesse de 1,2 km/min, quelle distance parcourra-t-elle en une heure ?

Il y a 60 minutes dans une heure.

Par exemple, si une voiture se déplace à la même vitesse pendant 10 mi-nutes et qu’elle parcourt 12 km durant ce temps, sa vitesse sera :

12 km

10 min.

Quelle opération a-t-on réalisée pour obtenir ce résultat ?

Il est très utile d’exprimer les vitesses avec les mêmes unités afin de pou-voir les comparer. Seriez-vous capables de transformer les vitesses dans chacune des situations suivantes pour obtenir la réponse dans les unités demandées ? Vous devez supposer que les vitesses sont constantes.

Hélios 2

Le soleil


Partie 2 : Trouvez les termes manquantsIl est maintenant temps d’utiliser les formules magiques pour faire appa-raître quelque chose ! À vous de découvrir la distance parcourue par un objet si on connaît le temps qu’il a mis à la parcourir et la vitesse à laquelle il voyageait. Vous devez utiliser la même formule que dans le numéro pré-cédent.

2.a ) Un train roule à 78 km/h pendant 3 heures. Quelle distance

a-t-il parcourue durant ce temps ?

Rép. : _________ km

b ) Le championnat du monde de la course d’escargots a été remporté à la vitesse de 0,0275 m/s. Le temps du gagnant a été de 36,364 secondes. Quelle était la distance à parcourir ?

Rép. : _________ m

c ) La sonde solaire Helios 2, l’objet le plus rapide jamais fabri-qué par l’homme, se déplace à une vitesse de 252 792 km/h. Quelle distance parcourt-elle en une semaine si elle maintient constamment cette vitesse ?

Rép. : ____________________ km

d ) Si un vaisseau spatial propulsé par une fusée pour sortir de l’atmos-phère terrestre mettait 84 heures à parcourir la distance entre la Terre et la Lune qui est de 380 226 kilomètres au moment de son voyage, à quelle vitesse irait-il ?

Rép. : __________ km/h

e ) Un électron parcourt une distance estimée à kilomètre dans un temps de heure.

Rép. : ___________________ km/h


Vous avez sans doute remarqué que, dans chacun des exemples que vous venez de résoudre, vous avez multiplié la vitesse donnée par le temps où elle a été maintenue.

On aurait pu transformer la formule initiale pour arriver à une nouvelle formule permettant de trouver directement la distance. Pour réaliser cela, il aurait fallu utiliser la règle des équations.

Règle des équations ?

On peut résumer cela en peu de mots : on peut faire à peu près n’importe quoi à un côté de l’équation, à condition de faire exactement la même chose de l’autre côté !

Connaissez-vous une relation qui n’est pas symétrique ?

On multiplie les deux membres de l’équation par t.

Dans le membre de droite, on retrouve t au numérateur et au dénominateur de la fraction ; on peut donc le simplifier.

On peut écrire , car la relation d’égalité est symétrique, c’est-à-dire qu’elle est vraie autant de droite à gauche que de gauche à droite. Par exemple, 2 + 2 = 4 et 4 = 2 + 2.

d ) Le guépard, l’animal terrestre le plus rapide, peut atteindre la vitesse de 108 km/h. Supposons qu’il maintient cette vitesse pendant 5 minutes, combien de kilomètres aura-t-il franchis ?

Rép. : _________ km

e ) Le son se déplace à 1 193,4 km/h. Si on entend un coup de tonnerre 4 se-condes après avoir vu l’éclair, à quelle distance la foudre a-t-elle frappé ?

Rép. : _________ km


4.

Testez votre formule avec les cas suivants.

a ) Une voiture roule à une vitesse moyenne de 95 km/h. Com-bien de temps prendra-t-elle pour parcourir les 237,5 kilo-mètres qui séparent Québec et Montréal ?

b ) Quel temps prendra un projectile à parcourir la distance de 225 mètres entre la cible et le fusil s’il voyage à 999 m/s ?

Rép. : ________________ h

Rép. : ________________ s

c ) Un cycliste pédale à une vitesse moyenne 31,5 km/h et fran-chit une distance de 195,3 kilomètres. Combien de temps a-t-il pédalé ?

Rép. : ________________ h

Pourriez-vous transformer la formule pour trouver di-rectement le temps pris par un objet pour franchir une distance connue avec une vitesse connue ?

3.

Rép : t =


Partie 3 : L’accélérationVoyons maintenant d’autres formules qui nous permettent de comprendre le monde autrement.

L’accélération joue un rôle important dans le calcul de l’énergie et des forces.

Lorsqu’un véhicule ou un objet est complètement arrêté et qu’il se met en mouvement en accélérant de manière constante, sa vitesse change à tous les instants. Si on veut connaître sa vitesse après un certain temps, on peut utiliser la formule ci-dessous.

L’accélération

Il existe plusieurs façons d’expri-mer l’accélération, en voici une :

Augmentation de la vitesse de 1 m/s à chaque seconde = 1 m/s2.

Ainsi, un bolide dont la vitesse augmente de 3 m/s à chaque seconde pos-sède une accélération de 3 m/s2. Quelle sera sa vitesse s’il maintient cette accélération pendant 30 secondes ?

Sa vitesse sera de .

Est-ce que c’est très rapide 90 m/s ?


v, la vitesse ;

a, l’accélération ;

t, le temps.

0 sec. 10 sec. 30 sec.

a ) Combien de mètres une voiture qui file à 90 m/s parcourt-elle en une minute ?5.

Rép. : ________________________

b ) Combien de mètres une voiture qui file à 90 m/s parcourt-elle en une heure ?

Rép. : ________________________

c ) Combien de kilomètres une voiture qui file à 90 m/s parcourt-elle en une heure ?

Rép. : ________________________

d ) Par quel nombre doit-on multiplier 90 pour obtenir 324 ?

Rép. : ________________________

e ) Croyez-vous qu’en multipliant n’importe quelle vitesse en m/s par 3,6 on obtient toujours la vitesse en km/h ?

Rép. : ________________________

f ) Vérifiez avec une voiture roulant à 10 m/s.

Rép. : ________________________

On peut utiliser une formule qui décrit ce que nous venons de faire :


y, la vitesse en km/h ;

x, la vitesse en m/s.

,

On pourra utiliser cette formule à chaque fois qu’une situation semblable se présentera.

Voilà la magie des formules algébriques : après avoir fait la démarche une fois, on peut la résumer en une formule et utiliser uniquement la formule par la suite.

g ) À quoi correspond la quantité 50 m/s en km/h ? ( Utilisez la formule. )

Rép. : ________________________


À partir du moment où les lumières s’éteignent, un « dragster » augmente sa vitesse de 10 m/s à chaque seconde, et cela, pen-dant 5,2 secondes, temps nécessaire pour atteindre sa vitesse maximale.

6.

Rép. :_______________________ m/s

En l’absence d’air, lorsqu’on laisse tomber un objet, on peut connaître sa vitesse à tout instant pendant sa descente, à l’aide de la formule ci-dessous.

7.

a ) Si une boule de métal placée sous vide tombe, quelle sera sa vitesse après 2,5 secondes ?

Rép. : ___________________ m/s

b ) Si on remplace la boule de métal par une boule en styromousse, quelle sera sa vitesse après 2,5 secondes ?

Rép. : ___________________ m/s


v, la vitesse ;

t, le temps écoulé depuis que l’objet a commencé à descendre.

,

« En l’absence d’air ? »

L’air offre une résistance aux ob-jets en mouvement. Regarde ce parachutiste en chute libre et lorsqu’il a ouvert son parachute.

Un dragster

a ) Quelle est sa vitesse en m/s au fil d’arrivée ?

Rép. :_______________________ km/h

b ) Quelle est sa vitesse en km/h au fil d’arrivée ?


Remarquez que cette formule est un cas particulier de celle qu’on a uti-lisée tout à l’heure ; c’est le cas où l’accélération est égale à 9,8 m/s à chaque seconde ( 9,8 m/s2 ). C’est l’accélération d’un objet qui tombe sur la Terre, en l’absence d’air. Si on était sur la Lune, cette accélération serait six fois moins grande


Étonnant n’est-ce pas ? Avez-vous remarqué que les formules que vous avez vues depuis le début de cette activité permettent de résoudre des problèmes complexes ? Pas besoin de connaitre tous les détails ni d’avoir de connaissances approfondies.

C’est ça la magie des formules, pas besoin d’être mathématicien ni magi-cien pour les utiliser !

En voici une autre qui nous permet de connaitre la distance parcourue par un bolide pendant l’accélération.

Si une voiture augmente sa vitesse de 2,25 m/s à chaque se-conde, quelle distance aura-t-elle parcourue après 2 secondes ? Après 4 secondes ? Après 8 secondes ?

8.

Rép. Après 2 s :____________ m

Rép. Après 4 s :____________ m

Rép. Après 8 s :____________ m

Quelle distance la boule de métal placée sous vide a-t-elle franchie après 1 seconde ? Après seconde ? Après de se-conde ?

9.

Rép. Après 1 s :____________ m


d, la distance parcourue ;

t, le temps écoulé ;

a, l’accélération.

12

14

Rép. Après s :____________ m 12

Rép. Après s :____________ m 14

Voici une formule que vous avez probablement déjà vue. La formule d’Eu-ler relie entre eux le nombre d’arêtes, de sommets et de faces d’un poly-èdre quelconque.

Curieux ?

Pour te familiariser avec la formule d’Euler, vérifie qu’elle fonc-tionne avec le cube .10.

a ) Transformez maintenant la formule d’Euler pour exprimer A en fonction des autres variables, c’est-à-dire avoir « A » seul et positif du côté gauche du signe d’égalité « = » et toutes les autres variables et constantes de l’autre côté. Vous de-vrez vous servir de la règle des équations citée à la page 4.

11.

A = __________________________________

b ) Faites la même chose, mais cette fois exprimez S en fonction des autres variables.

S = ____________________________________

c ) Et finalement, exprimez F en fonction des autres variables.

F = ____________________________________


A, le nombre d’arêtes ;

S, le nombre de sommets ;

F, le nombre de faces du polyèdre.

Une formule peut être écrite sous plusieurs formes. Chacune des variables contenues dans une formule peut être « isolée », c’est-à-dire qu’on peut la placer seule d’un côté du signe « = » et placer le reste de l’équation de l’autre côté en utilisant les règles des équations équivalentes.


La formule permettant de déterminer l’aire d’un triangle à par-tir de la longueur de sa base et de sa hauteur est la suivante.12.

13.


A, l’aire du triangle ;

b, la longueur de sa base ;

h, sa hauteur.

a ) Isolez b dans la formule.

b ) Isolez h.

La formule permettant de connaître le périmètre d’un rectangle est la suivante.


P, le périmètre du rec-tangle ;

b, la longueur de sa base ;

h, sa hauteur.

a ) Isolez b.

b ) Isolez h.


La formule permettant de transformer les degrés Fahrenheit en degrés Celsius est la suivante :


C, le nombre de degrés Celsius ;

F, le nombre de degrés Fahrenheit.

Déterminez la formule qui permet de transformer des degrés Celsius en degrés Fahrenheit.

La formule permettant de calculer le volume d’un cône est la suivante :


V, le volume du cône ;

R, le rayon de sa base ;

h, sa hauteur.

a ) Isolez h.

b ) Isolez R.


15.

14.

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