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1/10/08 Amphi 7 Les puissances virtuelles
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Principe des puissances virtuellesPrincipe des puissances virtuellesPrincipe des puissances virtuellesPrincipe des puissances virtuelles
Chapitre 7
Une écriture qui regroupe toutes les équations
1/10/08 Amphi 7 Les puissances virtuelles
2
Principe des puissances virtuellesPrincipe des puissances virtuelles
Système et équations (chapitre 6)
Puissance virtuelle des efforts intérieurs
Définitions et énoncés (intuitions)
Vérification du Principe des puissances virtuelles (1)
Vérification du Principe des puissances virtuelles (2)
1/10/08 Amphi 7 Les puissances virtuelles
3
'
Le sous-système matériel
d
Champ forces volumiques
dtxF ),( da
daT '
Efforts de contact
Efforts intérieurs (contraintes) d
Efforts d’accélération
)(. UUdanWU
Efforts d’accélération
1/10/08 Amphi 7 Les puissances virtuelles
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Équations générales du mouvement
),,(div tx),( tx ),( txF en tout point régulier de
Symétrie du tenseur des contraintesSymétrie du tenseur des contraintes
Relations de saut Relations de saut (référentiel galiléen)(référentiel galiléen)
Vecteur contrainte et conditions aux limites Vecteur contrainte et conditions aux limites
'' . nT sur toute interface '
(t) sur]][[.]][[ . nnWUU
t
Équations de champ Équations de champ (référentiel galiléen)(référentiel galiléen)
1/10/08 Amphi 7 Les puissances virtuelles
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Transformation des équations
Objectif : rassembler toutes les équations dans un principe unique
Préalable : calculer les puissances développées par les différents efforts dans un mouvement virtuel (mouvement arbitraire imaginé par observateur)
Technique : traduire les équations du mouvement sous forme d’égalité entre puissances développées
1/10/08 Amphi 7 Les puissances virtuelles
6
Principe des puissances virtuellesPrincipe des puissances virtuelles
Système et équations
Puissance virtuelle des efforts intérieurs
Définitions et énoncés
Vérification du Principe des puissances virtuelles (1)
Vérification du Principe des puissances virtuelles (2)
1/10/08 Amphi 7 Les puissances virtuelles
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Puissance d’une liaison élémentaire
d
IÛ
IJIJIJ ÛFÛFU ..)ˆ()i( dpJÛ
)(. IJJI ÛÛF
)(.. IJJI rÛgradF
ÛgradrFt
IJJI ..
)ˆ()i( Udp ÛgradrFt
IJJI :
Ix
Jx
IJIJ xxr JIIJ FF
JIF
1/10/08 Amphi 7 Les puissances virtuelles
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Densité « particulaire » de puissance virtuelle
JIF
IJrdrc )(n
c
t
r
cJIc rdÛgradrFdrUc
):())(2
1)ˆ( (n)i(dP
Puissance élémentaire entre I et JÛgradrF
t
IJJI :
Nombre de liaisons entre et avec
Ix
cIJIJ rxxr Jx
ccJI rtF
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Puissance virtuelles des efforts intérieurs
JIF
IJr
dÛgradrdrrtrU
t
r
ccccc
c
:)(2
1)ˆ( n)i(dP
dÛgradUt
:)ˆ()i(dP
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Puissance des efforts intérieurs sur
'
dÛgradUt
:)ˆ()i(dP
Par analyse particulaire
Repris en définition générale
dÛgradU
Ut
:')i( :)ˆ(
pour m.v.ˆ,
P''
dÛ jiij ,
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Dualité contraintes déformations
12
1 dÛ
1e
da11
daedaT 1.
jiij
tÛÛgrad , :
12
1112 dÛda 1
1
111 dx
x
Ûda
dÛ 1,111
1dxPuissance fournie par d dans l’élongation d’axe 1e
da11
1/10/08 Amphi 7 Les puissances virtuelles
12
Dualité contraintes déformations
22
1 dÛ
da21
daedaT 1.
jiij
tÛÛgrad , :
dÛdxx
ÛdadÛda 1,2211
1
22122
1212
1e2e
1dxPuissance fournie par d dans le glissement d’axe 2e
da21
1/10/08 Amphi 7 Les puissances virtuelles
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Principe des puissances virtuellesPrincipe des puissances virtuelles
Système et équations
Puissance virtuelle des efforts intérieurs
Définitions et énoncésVérification du Principe des puissances virtuelles (1)
Vérification du Principe des puissances virtuelles (2)
1/10/08 Amphi 7 Les puissances virtuelles
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danWUUÛ
xUtxtxU
'
'
.]][[
d)(ˆ.),(),()ˆ(
.
A
Puissance des efforts d’accélérationPuissance des efforts d’accélération
'
dForces d’inertie
volumique
)(. UUdanWU
saut de qté de mouvement par unité de surface
Puissance développée dans un Puissance développée dans un mouvement virtuel de vitessemouvement virtuel de vitesse
calculée par intégration surcalculée par intégration sur 'Û
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axUtxT
dxUtxFtxU
d)(ˆ.),(
)(ˆ.),(),()ˆ(
''
'(e)
P'
Puissance des efforts extérieursPuissance des efforts extérieurs
'
Puissance développée dans un Puissance développée dans un mouvement virtuel de vitessemouvement virtuel de vitesse
calculée par intégration surcalculée par intégration sur 'Û
da
daT '
Efforts de contact
Champ forces volumiques
dtxF ),(
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Première intuition
Pas de de puissance développée par efforts intérieurs si mouvement virtuel respecte géométrie locale
Vrai en particulaire
0)ˆ(0).(0 )i(
2 UÛÛrrdt
dIJIJIJ dp
à vérifier dans un cadre généralà vérifier dans un cadre général
i.e si mouvement virtuel rigidifiant
OMUxU 00 ˆˆ)(ˆ translation + rotation
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Seconde intuition
En référentiel galiléen, efforts d’accélération équilibrent efforts extérieurs et intérieurs
à vérifier dans un cadre généralà vérifier dans un cadre général
Dans un référentiel GALILÉEN
U mouvement virtuelrégulier
)ˆ()ˆ()ˆ( )e()i( UUU A'PP
'
doncdans tout mouvement, la puissance développée par les uns sera égale à la puissance développée par les autres
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Les intuitions à vérifierLes intuitions à vérifierLes intuitions à vérifierLes intuitions à vérifier
'
0)ˆ()i( UP
U mouvement virtuel rigidifiant
Dans un référentiel GALILÉEN
U mouvement virtuelrégulier
)ˆ()ˆ()ˆ( )e()i( UUU A'PP
'
Principe des puissances virtuelles
++
1/10/08 Amphi 7 Les puissances virtuelles
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Principe des puissances virtuellesPrincipe des puissances virtuelles
Système et équations
Puissance virtuelle des efforts intérieurs
Définitions et énoncés
Vérification du Principe des Puissances Virtuelles (part 1)
Vérification du Principe des puissances virtuelles (2)
1/10/08 Amphi 7 Les puissances virtuelles
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Vérification de la première partie du PPV
Objectif : vérifier la première intuition sur la puissance virtuelle des efforts intérieurs dans un mouvement rigidifiant
, '
0)ˆ()i( UP(mouvement virtuel rigidifiant)
OMUxU 00 ˆˆ)(ˆ
??
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OMUÛ
dÛgradtx
t
t
.ˆ,'
,0:),(
0
'
',Â
,0ÂÂ:),(
33
'
RR
dtxt
,',0)ˆ()i( UP OMUxU A ˆ)(ˆ0
Hypothèse:
AA
t
AOMU ˆˆ,ˆˆ .0
OMUt
.ˆ0
rigidifiant
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xtxtxt ,0),(),(
,',0),(),('
dtxtxt
',Â
,0ÂÂ:),(
33
'
RR
dtxt
Symétrie deSymétrie de ),( tx
HypothèseHypothèse
33
'
Â,'
,0Â:),(Â:),(
RR
dtxtxt
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De la première partie du PPV à la symétrie de
x
txtxt ),,(),( '
0)ˆ()i( UP(mouvement virtuel rigidifiant)
OMUxU 00 ˆˆ)(ˆ
O.K
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Principe des puissances virtuellesPrincipe des puissances virtuelles
Système et équations
Puissance virtuelle des efforts intérieurs
Définitions et énoncés
Vérification du Principe des puissances virtuelles (1)
Vérification du Principe des puissances virtuelles (part 2)
1/10/08 Amphi 7 Les puissances virtuelles
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Vérification de la seconde partie du PPV
??U mouvement virtuel régulier '
)ˆ(UA')ˆ()e( UP)ˆ()i( UP
')i( d::)ˆ( ÛgradU
tP
danWUUÛdÛUt
')(
.]][[:)ˆ( ..'
A'
'' ')e( ..:)ˆ( daTÛdFÛU P
Mouvement virtuel = champ construit par observateurMouvement virtuel = champ construit par observateur
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'
'
d) (div
d.) (
..
Û
anÛ
Formule de la divergenceFormule de la divergence
anÛt
d.]] [[')(
.
''d:d) (div. ÛgradÛ
t
anÛt
d.]] [[')(
.
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'
d: Ûgradt
danWUUÛdÛt
')(
.]][[..'
'' '.. daTÛdFÛ
0
', Û
Du PPV aux équations du mouvementDu PPV aux équations du mouvement
danWUUÛ
daTÛdFÛ
t
')(
'
.]][[
0
.
..''
'.d.]] [[d) (div ...
)('danÛanÛÛ
t
'
d: Ûgradt
Théorème de la divergence
HypothèseHypothèse
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Transformer puissance efforts intérieursTransformer puissance efforts intérieurs
danWUUÛ
daTÛdFÛ
t
')(
'
.]][[
0
...
''
'.d.]] [[d) (div ...
)('danÛanÛÛ
t
div n.
n].][[ '
d: Ûgradt
HypothèseHypothèse
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Retrouver les équations du mouvementRetrouver les équations du mouvement
' sur.0 ' Tn
'sur div 0 IF
danWUUnÛ
daTnÛdFÛ
t
')(
'
.]][[].][[
.div 0
.
..''
)( sur.]][[].][[0 tnWUUn
Û
Équations du mouvementÉquations du mouvement
HypothèseHypothèse
O.K
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Principe des puissances virtuellesPrincipe des puissances virtuellesPrincipe des puissances virtuellesPrincipe des puissances virtuelles
-Équations de champÉquations de champ- Relations de sautRelations de saut-Vecteur contrainte-Vecteur contrainteet conditions aux limiteset conditions aux limites
U mouvement virtuel régulier
)ˆ()ˆ()ˆ( )e()i( UUU A'PP
'
dans un référentiel GALILÉEN
U mouvement virtuel rigidifiant
0)ˆ()i( UP -Symétrie de Symétrie de