1Choix pdagogiques

1. Le point sur les classes prcdentesLes lves ont dj rencontr des situations dans les-quelles ils doivent reprer une grandeur en fonction dune autre. En 6e, les situations de proportionnalit font intervenir deux grandeurs dpendantes lune de lautre.Ds la classe de 5e, le vocabulaire en fonction de ou varie en fonction de est abord en situation. Les lves tra-vaillent la fois sur des expressions numriques et sur des expressions littrales notamment dans le domaine grandeurs et mesures.En 4e, le mot fonction est employ sans quune dfinition formelle soit donne. Le calcul littral amne les lves travailler sur des expressions o figure une lettre.

2. La notion de fonctionCe chapitre a pour objectif de faire merger progres-sivement sur des exemples issus de la vie courante la notion de fonction. Les activits proposes permettent de travailler diffrentes faons de dfinir une fonction. La notion de fonction est hors socle.Lactivit 1 aborde la fonction du point de vue gra-phique. Les lves ont dj interprt des graphiques dans des classes antrieures. Cest aussi loccasion de revenir sur les lectures graphiques dans un repre du plan. Par lecture graphique, on associe une valeur unique un nombre t donn. A ce sujet on pourra faire remarquer que les lectures ne sont que des valeurs approches sauf dans le cas o le graphique donne une indication supplmentaire petite croix. La notation V(t) est introduite. On pourra reprendre la question 2. en traduisant les rponses laide de cette notation. partir dune situation de la vie courante motivantepour les lves reprsente par un tableau de valeurs, lactivit 2 introduit la notation A (x) et la distingue de la notation A. Les lves se familiarisent progressivement cette notation et la traduisent pour cette situation. Cet exercice fait appel lutilisation dun tableur-grapheur pour crer une reprsentation graphique. On pourra sinterroger sur la signification entre placer les points ou les joindre avec une ligne. Les activits 3 et 4 abordent la fonction comme proces-sus qui fait correspondre un nombre un autre nombre. La fonction est compare une machine dans laquelle on entre un nombre et on obtient la sortie un nombre. Les notions dimage et dantcdent sont introduites.

De plus dans lactivit 4, nous nous interrogeons sur la ncessit davoir une seule image associe un nombre pour pouvoir dfinir une fonction.Lactivit 5 aborde un exemple de fonction en go-mtrie. Cette fonction permet dintroduire la fonction constante. Cela permet ainsi de diversifier les registres de travail avec les fonctions pour crer du sens. Lutili-sation de GeoGebra facilite la conjecture sur laire de la figure. Une fois la conjecture mise, les lves doivent la dmontrer par un calcul daires.

3. Les savoir-faireDeux exercices rsolus sont proposs. Lexercice 1explique comment dterminer les images et les ant-cdents dun nombre par lecture graphique. Les lves peuvent ainsi donner des valeurs exactes ou des valeurs approches suivant les indications sur la courbe. Lani-mation interactive facilite la comprhension du sens de lecture.Lexercice 2 donne deux exemples de calcul dune image partir dune fonction dfinie par une formule.Les exercices des rubriques Japplique permettent aux lves de sentraner sur des exercices de base mlant les graphiques, les formules et les tableaux de valeurs.Lexercice 8, porte sur lutilisation de la calculatrice pour contrler ses calculs ou pour obtenir un tableau de valeurs dune fonction donne.Les deux exercices de la page Atelier Brevet font appel une reprsentation graphique de fonction. Les exemples sont issus de problmes de la vie courante ou de la physique. Lectures graphiques et calculs dimages sont sollicits. Dans lexercice guid13, les lves doi-vent extraire plusieurs informations du graphique en utilisant les graduations des deux axes. Cet exercice est aussi pertinent car il fait rfrence un raisonnement qui nest pas directement li la notion de fonction. Lexercice 14 permet un travail pluridisciplinaire car il mle physique et mathmatiques. Les lves dispo-sent dun moyen de contrler les rponses grce au graphique et la formule de la fonction.

7. ComplmentsUn premier travail est propos autour de lmergence de la notion de fonction.

Notion de fonctionC H A P I T R E

8

2Le vocabulaire et les notations sont rinvestis dans des exercices dapplication (exercices loral 15 18 puis 24 27). Les exercices dapplication permettent de travailler sur une fonction dfinie par un graphique (exercices 20 puis 30 34). Des tableaux de valeurs issus de situations concrtes ou plus mathmatiques aident les lves sapproprier progressivement la dfinition dune fonction (exercices 21 puis 35 38). De nombreux exercices de ce chapitre permettent de travailler aussi une fonction dfinie par une for-mule (exercices 22 et 23 puis 39 42). Bien que cette notion ne figure pas dans le socle com-mun il est possible de valoriser des comptences dans certains exercices avec le logo porter un regard cri-tique ou dautres figurant dans la page Prsenter, argumenter, communiquer.Lexercice 45 math et ARTS peut tre loccasion dabor-der lutilit des fonctions dans de nombreux domaines comme linformatique, les effets spciaux, les bruitages, lconomie, la biologie, Dans la page Objectif Brevet, deux exercices sont pro-poss autour de la gomtrie et des fonctions. Le pre-mier permet de revenir sur la gomtrie dans lespace et le second sur la gomtrie plane. Les lves doivent dterminer la formule dune fonction. Des rponses par lecture graphique de courbes donnes sont attendues.En troisime, les lves napprennent qu reprsenter

les couples de nombres donns par une formule ou un tableau. Lide du caractre continu de la variable appa-rat progressivement dans les courbes reprsentatives mais nest pas exigible des lves. Les Exercices dapprofondissement par leur diver-sit permettent dapprofondir les connaissances des lves sur les fonctions. Les lves doivent pratiquer une dmarche scientifique pour rsoudre les problmes proposs. En effet, aprs avoir extrait des informations des graphiques, ils sont amens calculer et crire une formule par exemple. Ils doivent donc sapproprier le problme, le modliser en terme de fonction tout en expliquant leur dmarche (exercices 73, 74, 76).Lexercice 75 permet de faire une synthse sur la notion de fonction dfinie par une formule, un tableau et un graphique. Le graphique est obtenu laide dun tableur-grapheur. Lexercice 77 (tche complexe) est un problme dop-timisation. partir dinformations extraire de diffrents docu-ments, les lves devront observer le comportement dune grandeur puis sorganiser afin de proposer et de structurer une solution. Pour faciliter la transition vers le lyce, un exercice avec le logiciel GeoGebra est propos dans la rubrique En route vers la seconde. Les lves doivent raliser la figure, dgager une conjecture puis la dmontrer. Cest de nouveau loccasion de travailler des comptences lies la dmarche scientifique du socle commun.

31. Devinettes Devinette On remarque que les nombres qui sortent de la botre sont les doubles des carrs des nombres quon entre. En effet:32 2=18102 2=200122 2=288 donc 72 2=98.On obtient donc 98 quand on entre le nombre 7. Devinette Profil 1 car au dbut la distance augmente rgulire-ment, puis la distance parcourue est moins importante car il est en monte ; aprs la distance augmente rapi-dement car il est en descente et la fin elle augmente de nouveau rgulirement.

2. Je vrifie mes acquis 1 Bonne rponse: a.

Il faut respecter les priorits opratoires en ajoutant les parenthses.2 Bonne rponse: c.

On remplace P par 70 et T par 1,75.3 Bonne rponse: b.

On effectue le calcul 3 ( 4)25 ( 4)+2.4 Bonne rponse: b.

Labscisse se lit sur laxe horizontal et lordonne sur laxe vertical.5 Bonne rponse: c.

Les coordonnes dun point sont donnes par le couple de nombres form par une abscisse et une ordonne.

3. Calcul mental6 a. si t=0 alors F= (50+3) 0+1=1

b. si t=1 alors F= (51+3)1+1=9c. si t=1 alors F= (5 (1)+3) (1)+1=3d. si t=2 alors F= (5 (2)+3) (2)+1=15

e. si t=25 alors F= 525 + 3( ) 25+1=3

f. si t=100 alors F=(5100+3)100+1=50 3017 a. La longueur du ct dun carr daire 36cm2 est

gale 36 =6cm.b. La longueur dun ct de langle droit dun triangle

rectangle dont les deux autres cts ont pour longueur 0,8m et 1m est 0,6m.

4. Activits

La notion de fonction1 Comprendre un graphique

1. a. Lors de son passage sur la ligne de dpart la voiture tait lance la vitesse de 250km/h. Elle a mis 87,87s

pour effectuer un tour de circuit.b. Ce graphique reprsente les variations de la vitesse de la voiture en fonction du temps.2. a. Au bout de 5s la vitesse est de 100km/h.Au bout de 20s la vitesse est de 175km/h.Au bout de 40s la vitesse est de 125km/h.Au bout de 55s la vitesse est denviron 52km/h.Au bout de 80s la vitesse est de 100km/h.b. La voiture a roul 300km/ h 45s.La voiture a roul 250km/h 0s, 10s, environ 13s, environ 42s, environ 48s et 87,87s.La voiture na jamais roul 25km/h.2 Comprendre un tableau

a. Le taux dalcoolmie est le plus lev au bout de 2heures.b. chaque temps en heures correspond un unique taux dalcoolmie en g/L. Donc ce tableau dfinit une fonction A qui un temps t associe le taux dalcoolmie.c. A (1,5)=0,6 signifie quau bout de 1h30 le taux dal-coolmie est de 0,6g/L.d. A (t)=0,5 pour t=3,5h et pour t environ gal 1,25h (1h15min).e. La personne pourra reprendre sa voiture aprs 3,5heures.

3 Dfinir lexpression dune fonctiona. 4 42=16 16+3=19 192=38 donc f (4)=38b. 4 ( 4)2=16 16+3=19 192=38 donc f ( 4)=38c. x x2 x2+3 (x2+3)2 donc f (x)=(x2+3)2 d. f (3)= (32+3)2=122=24Limage de 3 par f est 24.f (5)= ( (5)2+3)2=282=56.Limage de 5 par f est 56.f (7)= (72+3)2=522=104 etf (7)= ( (7)2+3)2=522=104Les antcdents de 104 par f sont 7 et 7.4 Porter un regard critique

a. la note sur 20 on associe lge de llve qui a obte-nu cette note. On ne dfinit pas une fonction car une note il peut y avoir plusieurs ges correspondant des lves diffrents.

Corrigs

4b. Machine de Mathis :25 est le carr de 5 et de 5 donc un nombre on asso-cie deux images donc cette machine ne dfinit pas une fonction.Machine de Marie :Cette machine associe un nombre x le nombre (x+1) (2)3 . Cette machine dfinit bien une fonc-tion.5 tudier une fonction en gomtrie

a. On pose t=DE , le point E varie entre le point D et le point C comme DC=6 m donc t est compris entre 0 et 6.b. Avec le logiciel GeoGebra

c. On peut observer que laire du polygone AECF semble tre toujours gale 18 m2.d. S (t) =Aire de AECF

=aire du carr ABCDaire AEDaire ABF=626t : 26 (6t) : 2=363t3 (6t)=36 3t18+3t=18

5. Japplique3 a. Par lecture graphique limage de 0 par f est 1,

limage de 2 par f est 2 et limage de 3 par f est 2.b. Par lecture graphique les antcdents de 1 par f sont 0 et 3 et les antcdents de 1 par f sont 2 et 4.c. Le nombre 3 na pas dantcdent par la fonction f.d. 0 a trois antcdents par la fonction f : 1 ; 3,5 et 6.4 a. Par lecture graphique limage de 0 par la fonc-

tiong est 0.b. Par lecture graphique limage de 2,5 par la fonctiong est 0, 5 (valeur approche).c. Par lecture graphique les antcdents de 0 par la fonc-tiong sont 4 ; 2 ; 0 et 3.d. les antcdents de 1 par la fonctiong sont 1,7 ; 0,3 et 3,6 (valeurs approches).

5 a. Par lecture graphique h (3)=2 ; h (2)=2,5 eth (2)=2.b. Les antcdents de 3 par la fonctionh sont 2,5 et 1.6 1. f (x)=2 (x 3)2

a. f (0)=2 (03)2=29=18b. f (3)=2 (33)2=0c. f (2)=2 (23)2=225=50

d. f 32( )=2 32 3( )2=2 (3)2( )2=184 =4,52. f (10)=2 (103)2=98 et f ( 4)=2 ( 43)2=98 Donc Galle a raison.7 a. P (10)=60 signifie que pour un vent ayant une

vitesse de 10m/s la puissance dlivre par une olienne est de 60kWh.b. P(V)=175 pour une vitesse V gale 14m/s ou 18m/s.9 f (x)=5x23x+1 avec la calculatrice pour des

nombres entiers compris entre 0 et 10:

Nombres 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Images 1 3 15 37 69 111 163 225 297 379 471

10 g (x)=1x2

g (5,37)=27, 8 369 g (10,572)=110, 767184g (159,4)=25 407, 3611 h (x)=x2+5xImages de 2 2 avec un pas de 0,1 :

Nombres Images

2 6

1,9 5,89

1,8 5,76

1,7 5,61

1,6 5,44

1,5 5,25

1,4 5,04

1,3 4,81

1,2 4,56

1,1 4,29

Nombres Images

0 0

0,1 0,51

0,2 1,04

0,3 1,59

0,4 2,16

0,5 2,75

0,6 3,36

0,7 3,99

0,8 4,64

0,9 5,31

Nombres Images

1 4

0,9 3,89

0,8 3,36

0,7 3,01

0,6 2,64

0,5 2,25

0,4 1,84

0,3 1,41

0,2 0,96

0,1 0,49

Nombres Images

1 6

1,1 6,71

1,2 7,44

1,3 8,19

1,4 8,96

1,5 9,75

1,6 10,56

1,7 11,39

1,8 12,24

1,9 13,11

2 14

512 k (x)= (x+1) (2x 5)

k (1)3( ) = (34)9 et k 54( ) = (45)86. Atelier Brevet13 a. Cinq minutes aprs le dpart la cabine se trouve environ 30mtres du sol.b. Dix minutes aprs le dpart la cabine se trouve envi-ron 100mtres du sol.c. La dure dun tour complet de la cabine est de 30minutes car elle revient 0m du sol au bout de 30minutes.d. La cabine est plus de 100m du sol pendant environ 10minutes.2. diamtre= 134421 Le primtre de la roue est denviron 421m.

3. V=dt avec d= 0,134km et t=0,5h

V= 0,1340,5Ainsi V0,842 km/h 0,842 1 donc la cabine ne se dplace pas plus de 1km/h.14 a. P=150I2

P=1507,52=8 437,5 Limage de 7,5 par la fonction g est 8 347,5.b. Quand I=5 ampres, on lit P4 000 watts.c. Un antcdent de 2 500 par la fonction g est environ 4.

7. Exercices loralNotion de fonction

15 a. 20 14 20=5 52=25

On vrifie bien quen entrant le nombre 5 on obtient 25.b. p (12)=9 signifie que si on entre 12 on obtient 9 avec cette machine. On dit que limage de 12 est 9.

12 14 (12)=3 (3)2=9

16 a. 2 22=4 45=1Si lon entre 2 dans la machine on obtient 1.b. f (2)=1 1 est limage de 2 par la fonction f.2 est lantcdent de 1 par la fonction f.17 a. 3 (5)=15Limage de 5 par la fonction g est 15. g (5)=15.b. 3=21Lantcdent de 21 est 7 car 21 : 3=7.g (7)=21.

c. g (0)=0 g (10)=3 (10)=30 g 73( )=3 73=7 g (2)=6 car 6 : 3=2 g (100)=300 car 300 : 3=100 g (20)= 60 car 60 : 3=2018 1. a. h (1)=2 donc limage de 1 par la fonctionhest 2.b. h (1)=2 donc limage de 1 par la fonctionh est 2.c. h (5)=0 donc limage de 5 par la fonctionh est 0.2. a. h (0)=2 et h (1)=2 donc deux antcdents de 2 sont 0 et 1.b. h (3)=3 donc un antcdent de 3 est 3.c. h (5)=0 donc un antcdent de 0 est 5.3. 3 et 1 ont pour image 2 par la fonctionh.19 a. une temprature releve, on associe laltitude du lieu, on ne dfinit pas une fonction car une temp-rature il peut correspondre plusieurs altitudes.b. une altitude releve il correspond une seule tem-prature donc on dfinit bien une fonction.

Graphique, tableau, formules20 1. a. Ce graphique dfinit une fonction T qui lge du tigre associe sa taille en cm.b. La variable de cette fonction est lge du tigre.c. On lit cette variable sur laxe des abscisses.2. a. deux mois la taille du tigre est denviron 20 cm. 9 mois la taille du tigre est denviron 60 cm.b. Le tigre mesure 45 cm environ 4 mois.Le tigre mesure 80 cm environ 16 mois.3. T (14)=75 signifie qu 14 mois le tigre mesure 75 cm.21 a. Limage de 2010 par la fonction P est 67,6.b. Lantcdent de 61,4 par la fonction P est 2 006.c. P (2 008)=68,4P (a)=61,6 pour a=2 009.22 a. f: x 5+3x et f: a 3a+5.b. f (4)=5+3 4=17f (2)=5+3 (2)=1f (0)=5+30=5

f 23( )=5+3 23 =7c. (8 5) : 3=1 Donc un antcdent de 8 est 1.(955) : 3=30 Donc un nombre dont limage est 95 est 30.23 g (x)=x2+1a. g (0)=02+1=1g (5)= (5)2+1=26g (8)=82+1=65b. g (3)=32+1=10 et g (3)= (3)2+1=10 donc 3 et 3 sont des antcdents de 10.c. Pour calculer les antcdents de 0, on rsout x2+1=0, cest--dire x2=1.Cette quation na pas de solution donc 0 na pas dantcdent.

68. Exercices dapplication

Notion de fonction24 a. La fonction qui un nombre associe son oppos est : g: x xb. f: x 2x est la fonction qui un nombre associe son double.h : x x2 est la fonction qui un nombre associe sa moiti.c. f (10)=210=20 g (10)=10h (10)=10: 2=5.d. Lantcdent de 8 par la fonction f est 4.Lantcdent de 8 par la fonction g est 8.Lantcdent de 8 par la fonctionh est 16.25 a.

En franaisEn langage

mathmatiqueLimage de 2 est 5. f (2)=5

1 est limage de 3 f (3)=1

Un antcdent de 9 est 5. f (5)=9

2 a pour antcdent 4 f ( 4)=2

b. f (3)=4Limage de 3 par la fonction f est 4.Un antcdent de 4 par la fonction f est 3.26 1. a. f : x 3x2

b. g (0)=12. h : x 2x 5 h est la fonction qui un nombre associe le double auquel on retranche 5.k : t (3t)2

k est la fonction qui un nombre associe le carr du triple du nombre.27 a. f (0)=1 et f (5)=1.0 est un antcdent de 1 par la fonction f.5 est un antcdent de 1 par la fonction f.b. f (2)=f (3)=f (1)=0.0 a pour antcdents par la fonction f , 2; 3 et 1.28 h (x)=2 (x 1)2

x 5 1 0 1 5 101

h (x) 72 8 2 0 32 20 000

29 a. Les deux grandeurs sont la masse du rti en kg et le temps de cuisson en heures. On dfinit la fonction qui une masse en kg de rti asso-cie une dure de cuisson en heures.b. Les deux grandeurs sont la quantit de gazole enL et le prix payer en. On dfinit la fonction qui une quantit de gazole asso-cie le prix payer.

Avec un graphique30 a. les tranches horaires possibles sont entre environ 0h et 1,5h et entre environ 7,6h et 12 h.

b. La hauteur deau est maximale vers 10h30.Julien partira 10h30.31 1. Sur laxe des abscisses on peut lire la dure du parcours en minutes et sur laxe des ordonnes on peut lire la distance parcourue par le coureur enkm.2. a. Le coureur sest arrt car la courbe est horizontale un moment donn.Il sest arrt 10minutes environ.b. Au bout de 5minutes, il a parcouru 1km.c. Pour parcourir 4km il a mis 33minutes environ.3. a. d (10)=2d (35)=6

4. V=DT avec=6km et T=35min=3560 h=

712 h

V= 6712

=6 127 =727 10,3 km

. h1

32 a. f (2)=1 et f (0)=2b. f (4)=2 et f ( 4)=233 1. a. La variable de la fonction T est lheure.La grandeur mesure est la temprature en C.b. On lit la variable sur laxe des abscisses.La grandeur mesure est lue sur laxe des ordonnes.2. a. T (16)11,8T (23)8 et T (7)10,9b. T (18,8)10 et T (5)103. 16 heures la temprature tait de 11,8C. 23 heures la temprature tait de 8C. 7 heures la temprature tait de 10,9C. 18,8h=18h48min et 5 heures la temprature tait de 10C.34 1. a. On lit les images des nombres sur laxe des ordonnes.b. On lit les antcdents sur laxe des abscisses.2. f (0,5)=0; f (1,5)=1 et f (0)=3.3. a. 2 na aucun antcdentb. 1 a un seul antcdent qui est 1.c. 0 a deux antcdents: 0,5 et 1,3.d. 1 a trois antcdents: 1,5; 0,3; 1,4.4. Xavier a raison car 3 a une infinit dantcdents com-pris entre 1 et 0.Avec un tableau35 a. N (7)=9 signifie quil y a 9 petites annonces qui ont 7 lignes.b. Limage de 6 est N (6)=15.N (3)=24 et N (5)=243 et 5 sont les antcdents de 24.36 a. h (2)=2; h (3)=10; h (5)=10b. h (1)=2; h (10)=12; h (2)=5.c. Flix a confondu image et antcdent. h (1)=2.d. h (a)=10 pour a=3 ou a=5.37 a. Une lettre de 18g est affranchie 0,60.Une lettre de 80g est affranchie 1,45.

7b. M (20)=0,60 et M (250)=2,40c. Avec un timbre de 3,25 on sait que la masse de la lettre est comprise entre 250g et 500g.38 a. et b.

200

500

1 000

0 5 000 10 000

Pression

Altitude

Avec une formule 39 f (x)=3 (x 2)2

a. f (5)=3 (5 2)2=332=27b. f (2)=3 (2 2)2=30=0c. f (0)=3 (0 2)2=34=12

d. f 23( )=3 23 2( )2 =3 43( )2 =16340 g: x x (4x 1)a. g (2)=2 (421)=27=14b. g (0)=0 (401)=0c. g (3)=3 (4(3)1)=3 (13)=39

d. g 12( )=12 4 12 1( ) =12 (21)=1241 h (x)=7 x

h ( 4)=7 ( 4)=2828 est limage de 4 , ou un antcdent de 28 est 4. Clmence a raison.42 f: x x (x+3)1. f (x)=x (x+3)2. a. Vrai car f (3)=3 (3+3)=0 b. Vrai car f (7)=7 (7+3)=70c. Faux car f (2)=2 (2+3)=10d. Vrai car f ( 4)= 4 ( 4+3)=443 1. a. 22 5+10=20+10=30. Cest exact.b. 0,12 5+10=0,05+10=10,05. Robin obtient 10,05.2. a. p (x)=x2 5+10b. p (1)= (1)2 5+10=5+10=15p (3)=32 5+10=45+10=55p (0)=02 5+10=10c. p (0,2)=0,22 5+10=0,045+10=10,2

9. Prendre des initiatives44 On pose AM=xa. Si 0 x 4, alors f (x) est laire dun rectangle de dimensions x et 3.f (x)=3xb. Si 4 x 7, alors f (x) est la somme de laire du rect-angle de dimensions 4 et 3 et de laire dun rectangle de dimensions (x 4) et 1.f (x)=12+x 4=8+x

c. Si 7 x 10, alors f (x) est la somme des aires des rectangles de dimensions 3 et 4, 3 et 1, x 7 et 4.f (x)=12+3+ (x 7) 4=15+4x28=4x 1345 x est la longueur du ct du triangle quilatral.

P1 (x)=3 4x3( )=4 x

P2 (x)=3 4 4x9( )=16x3

10. Vrai ou faux46 Faux : f: x 52 (x 1)

f (3)=52 (31)=52 ( 4)=1347 Vrai : g (x)=1+x2

g (5)=1+52=26 et g (5)=1+ (5)2=2648 Faux : j (x)=3x3+5

j (2)=3 (2)3+5=3 (8)+5=19donc 2 nest pas un antcdent de 29.49 Vrai : f: t (t+2)2

On cherche les antcdents de 4(t+2)2=4 donc t+2=2 ou t+2=2t =0 ou t=4.Les antcdents de 4 sont 0 et 4.

11. Calcul mental et rflchi50 g est dfinie par g (x)=5 (3+x)a. Vrai : g (2)=5 (3 2)=5b. Vrai : g (3)=5 (3 3)=0c. Faux : g (0)=5 (3+0)=1551 f: x x251. a. f (0)=025=5 b. f (1)=125= 4c. f (2)= (2)25=1 d. f (0,1)=0,125= 4,99e. f ( 5 )= 5( )2 5=02. a. f (3)=f (3)=4b. f (0)=5c. f (5)=f (5)=20d. f (2)=f (2)=1e. f (7)=f (7)=49

12. Prsenter, argumenter, communiquer 52 f: x 3x 1

f (2)=32 1=553 g (x)=x5 +1

1. Dans la cellule B2 on a saisi=B1/5+12. a. Vrai : limage de 5 est 2 car g (5)=2b. Faux

g 12( )=125 +1=

12

15+1=

110 +1=

1110 =1,1

c. Vrai : g (3)=1,6 et 8: 5=1,6

d. Faux : g (0)=05 +1= 1

e. Faux : g (2)=25 +1=25 +

55 =

35

854 a. Cest Jules qui a raison on lit les images sur laxe des ordonnes et les antcdents sur laxe des abscisses.b. Par lecture graphique g (3)=3 et g (1)=3c. Lantcdent de 1 par la fonction g est 2.d. g (0)=2 et g (0,5)=0e. 4 na pas dantcdent par la fonction g.55 a. Ce graphique nest pas valable, car les valeurs de x ont t portes sur laxe des ordonnes au lieu de laxe des abscisses et les valeurs de f(x) sur laxe des abscisses au lieu de laxe des ordonnes. b. Ce graphique comporte une erreur : daprs le tableau, limage de 2 est 0 ; or sur le graphique on lit que 2 na pas dimage (autre argument: limage de 0 est 2 ; confusion image-antcdent).56 h: x 3 (x 1) (x+5)Pablo a raison 0 a deux antcdents. Le produit (x 1) (x+5) sannule pour deux valeursx=1 et x=5.57 Le graphique b. ne peut pas reprsenter une fonc-tion car un nombre a deux images.Les deux autres graphiques peuvent reprsenter une fonction car un seul nombre est associ une seule valeur.58

f (x)=x22x+1 on calcule f (2)=2222+1=1g (x)= (x 4)2+3 on calcule g (2)= (24)2+3=7Les deux fonctions ne sont pas gales.Un autre argument:g (x)=x28x+16+3=x28x+19 donc les deux fonc-tions ne sont pas gales.59 Le rservoir est compos dun cne et dun cylindre. Le dbit de leau est constant. Leau arrive dans le cne donc la hauteur augmente trs vite au dbut donc on peut liminer les graphiques 3 et 4.Puis aprs leau arrive dans le cylindre et le niveau deau augmente rgulirement donc on peut liminer le graphique 1.Cest donc le graphique 2 qui illustre le mieux lvolution du niveau deau dans le temps.

13. QCM60 c. 61 b. 62 b.63 a. 64 c. 65 c.66 a. 67 b. et c. 68 a et b.69 b et c. 70 a et c.

14. Objectif Brevet71 1. V=Bh ainsi V=1010,514V=1470 cm3.2. a. Le volume de la pyramide SABCD est :

13 B h soit

13 10 10,5 x=35x.

Le volume de la lanterne est donc :V (x)=1470+35x

b. Pour x=7, V (7)=1470+357=1715c. On rsout lquation 1470+35x=186235x=392x=392 : 35=11,2 Le volume de la lanterne est de 1862 cm3 pour SO=11,2cm.d. Il faut saisir dans la cellule B2 la formule:

=1470+35*A23. a. f (11) 930b. Une valeur approche de lantcdent de 850 est 6,5.72 1. Les droites (AN) et (BM) sont scantes en C et les droites (MN) et (AB) sont parrallles. Donc daprs le thorme de Thals:CNCA =

CMCB =

MNAB

CNCA =

x80 =

MN60

x80 =

MN60 donc MN=

60x80 =

3x4

2. Aire du triangle CMN: CMMN2 =x2

3x4 =

3x28

3.a. Comme les deux terrains ont la mme aire , donc le triangle doit avoir une aire de 1200 m2.Sur le graphique reprsentant la fonction f qui , un nombre x associe laire du triangle CNM, on doit donc lire un antcdent de 1200. On trouve environ 57 . Donc CM 57 m .b. On doit rsoudre lquation 3x

2

8 =1 200

x2=1200 83 =9 6003 =3 200

Lquation admet deux solutions une positive et lautre ngative mais comme x reprsente une longueur , la solution sera positive.x= 3200 m

c. MN= 3 32004 =3 40 2

4 = 30 2 m donc MN 42,4m4. a. 4240 : 20=212100 : 10=1021210=2 120 Il faudra 2 120 briquettes pour le muret.b. 20 briquettes cotent 352 12035 : 20=3 710Le cot du muret est de 3710.

15. Exercices dapprofondissement73 On souhaite raliser un bnfice dau moins 100euros.Le bnfice est la diffrence entre la recette compose du montant des formules et le cot de production.Pour diffrents nombres de repas servis, on peut calculer la recette et lire le cot de production sur le graphique. On dtermine ensuite le bnfice par diffrence.

9On peut organiser la recherche et prsenter les rsultats dans un tableau comme celui ci-dessous :

Conclusion : Vincent peut raliser un bnfice dau moins 100 ; pour cela il doit servir entre 37 et 57 repas.Remarque : cette conclusion est donne avec la prci-sion permise par le graphique.74 Sur le graphique, la vitesse diminue quand la voiture est dans un virage.Le circuit contient donc trois virages.On peut donc liminer les circuits A et E.On peut liminer le circuit C, car les trois virages sont peu prs identiques ; or sur le graphique, on remarque que la vitesse de la voiture a beaucoup baiss lors du 2e virage. On peut liminer ensuite le circuit D en sintressant aux lignes droites ; en effet la 3e ligne droite de ce circuit est nettement plus courte que la 2e, ce qui nest pas le cas sur le graphique. Par contre cela correspond bien au circuit B, avec une 3e ligne droite lgrement plus longue que la 2e.Conclusion : la voiture voluait sur le circuit B.75 1. 2.

En cellule B2, on a entr la formule =20*RACINE(B1).

3. a. Pour un la de frquence 440Hz il faut appliquer une tension de 490N environ. On rsout 20 T =440 donc T =440 : 20=22Donc T =222=484N

b. Si T =900 alors la frquence est de 600Hz.La frquence maximale est de 600Hz. 20 900 =20 30=600

76 On peut observer : tape 1 : le fait dajouter un 3e point align avec les deux premiers, amne tracer deux nouveaux segments de longueur 2 ; la longueur du trac est 2 + 2 2 tape 2 : le fait dajouter un 4e point align avec les trois premiers, amne tracer deux nouveaux segments de longueur 3 ; la longueur du trac est 2 + 2 2 + 2 3.On peut poursuivre les calculs jusqu trouver une somme de 870.On peut aussi concevoir une mthode de rsolution. On peut conjecturer, n dsignant un nombre entier, qu ltape n 1, la longueur du trac sera :2 + 2 2 + 2 3 + + 2 n (avec n + 1 points aligns).

On cherche alors pour quelle valeur de n, 2 + 2 2 + 2 3 + + 2 n = 870

cest--dire 2(1 + 2 + 3 + + n) = 870ou encore 1 + 2 + 3 + + n = 435.On peut faire la recherche laide dune calculatrice ou plutt dun tableur pour ne pas risquer doubli.En cellule B2, on entre la formule =A2+B1 et on tend vers le bas. On obtient :

Ainsi pour n = 29, le trac mesure 870cm.Conclusion : On sera ltape 28, o 30 points sont ali-gns.

16. Tche complexe : Optimiser la recette

77 1. Des aides possiblesAide n1: Peut-on dterminer combien de consoles seront vendues en France en moyenne par semaine si on augmente de 2 le prix de vente dune console? Peut-on calculer alors le bnfice?Et si on diminue de 2 le prix de vente dune console?Aide n2: Faire quelques essais, selon quon augmente ou diminue de 2 le prix de vente une fois, deux fois, etc. et calculer le bnfice total ralis dans chaque cas.Aide n3: Utiliser un tableur pour visualiser: le nombre de consoles vendues, le bnfice ralis par console ou le prix de vente dune console,

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le bnfice total, en fonction du nombre daugmentations ou de diminu-tions de 2 du prix de vente dune console.

2. Quelques commentaires

Cette tche complexe doit tre aborde en plusieurs tapes. Les lves doivent commencer dans un premier temps par prlever toutes les informations et les orga-niser.

La notion de fonction ntant pas au socle, on cher-chera valoriser toute comptence lie la dmarche scientifique : extraire des informations, raliser des calculs, raisonner, structurer une solution, prsenter sa dmarche. Lcriture de la formule du bnfice en fonction du nombre daugmentations ou de diminu-tions nest pas un objectif atteindre dans le cadre du socle commun pour tous les lves. Il nous semble donc intressant de dgager quelques indicateurs de russite comme ceux cits ci-dessus.

On peut penser que les lves commenceront par calculer le bnfice ralis par console avant ltude de march, puis feront quelques essais aprs augmentation ou diminution des tarifs.

Aprs un temps de recherche individuelle, il peut tre intressant de proposer un moment collectif dchanges, o les lves pourront exposer ce quils ont compris de la situation, poser des questions, dbattre. En particulier, ils peuvent tre gns par le fait que les nombres de consoles indiqus sont une moyenne des ventes par magasin. On pourra alors voquer lintrt de tenir compte de ces moyennes dans une tude de march.

Une cl de cette tche complexe est de se rendre compte de la ncessit de travailler sur lensemble de la chane de magasins et non pas sur un magasin en particulier. Lors de ce moment collectif, on dira si ncessaire quon sintresse la totalit des magasins de la chane.

Une autre cl est de comprendre quil faut tenir compte de deux grandeurs: le nombre de consoles et le prix de vente de ces consoles (ou le bnfice ralis par console). Les lves doivent russir les dterminer en fonction du nombre daugmentations ou de diminu-tions de 2 du prix de vente.

Les lves devront organiser leur recherche. Ils auront observer le comportement dune grandeur. Aprs quelques essais, la main ou la calculatrice, les lves remarqueront sans doute dans un premier temps que le bnfice total baisse au fur et mesure que le nombre daugmentations de 2 augmente et que ce bnfice augmente au fur et mesure que le nombre de diminu-tions de 2 augmente. Trouveront-ils ainsi un bnfice maximal? Le tableur trouve ici son utilit pour envisa-ger un grand nombre de situations. Il sera pertinent de laisser les lves libres de lutiliser.

Il est possible que certains lves se dirigent vers une dmarche utilisant le calcul littral. Sils peuvent exprimer le bnfice total en fonction du nombre ndaugmentations ou de diminutions de 2 du prix de vente dune console, ils ne disposent pas de mthode algbrique leur permettant de dterminer une valeur maximale. Un recours un tableur sera l aussi nces-saire. On pourra voquer le fait que ce nombre n est un nombre entier positif.

Lors dun moment collectif, les lves pourront expo-ser leurs diffrentes dmarches. Lintrt de pouvoir visualiser une fonction de diffrentes faons (tableau, graphique, formule) pourra tre dgag.On pourra aussi aborder lintrt de raliser des tudes de march dans certains secteurs conomiques. Les mathmatiques sont ici un outil daide la prise de dci-sion et de dveloppement de stratgies commerciales.

Un travail de rdaction et de prsentation dune solution ordonne et structure pourra tre ensuite demand.

3. lments de rponse

78 + 48 + 67 + 173 + 182 + 46 + 84 + 42+ 240 + 81 + 91 + 68 = 1 2001 200 consoles sont vendues en moyenne par semaine par la chane de magasins. Quelques essaisa. Avant ltude de march:105 25 =80Le bnfice par console est de 80.80 1 200 =96 000Si la console est vendue 105, 1 200 consoles sont ven-dues par semaine et le bnfice est de 96 000.b. En cas daugmentation: 82 1 150 = 94 300Si la console est vendue 107, 1 150 consoles seront vendues par semaine et le bnfice sera de 94 300. 84 1 100 = 92 400Si la console est vendue 109, 1 100 consoles seront vendues par semaine et le bnfice sera de 92 400.c. En cas de diminution: 78 1 250 = 97 500Si la console est vendue 103, 1 250 consoles seront vendues par semaine et le bnfice sera de 97 500. 76 1 300 = 98 800Si la console est vendue 101, 1 300 consoles seront vendues par semaine et le bnfice sera de 98 800.Il semble, au vu de ces essais, que lorsquon augmente le prix de vente dune console, le bnfice total diminue et que lorsquon diminue le prix de vente dune console, le bnfice total augmente. Avec un tableura. Cas o on augmente le prix de vente dune console.

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Exemple de tableau

On entre 1 200 et 80 dans les cellules B2 et C2, puis la formule =B2*C2 dans la cellule D2.On entre les formules =B250 en B3 et =C2+2 en C3.On tend ces formules vers le bas.On remarque que le bnfice total ne cesse de baisser.b. Cas o on diminue le prix de vente dune consoleExemple de tableau

On entre 1 200 et 80 dans les cellules B2 et C2, puis la formule =B2*C2 dans la cellule D2.On entre les formules =B2+50 en B3 et =C22 en C3.On tend ces formules vers le bas.On remarque que le bnfice total atteint une valeur maximale lorsquon procde une diminution du prix de vente de 16 par console (8 rductions de 2).

105 16 =89Conclusion : Le bnfice est le plus grand possible lorsque le prix de vente dune console est 89.

4. Entre nousa. On dsigne par n le nombre daugmentations de 2 du prix de vente.Le nombre de consoles vendues est: 1 200 50n.105 + 2n 25 = 80 + 2nLe bnfice ralis par console est: 80 + 2 nLe bnfice total est donn par la fonction f telle que:

f(n) =(1 200 50n)(80 + 2n)soit f(n) =100n2 1 600n + 96 000On a aussi f(n) =100(n + 8)2 + 102 400n tant un nombre entier positif, on note que plus n augmente, plus f(n) diminue.b. On dsigne par n le nombre de diminutions de 2 du prix de vente.Le nombre de consoles vendues est: 1 200 + 50n.105 2n 25 =80 2nLe bnfice ralis par console est: 80 2nLe bnfice total est donn par la fonction g telle que:g(n) =(1 200 + 50n)(80 2n)soit g(n) =100n2 + 1600n + 96 000On a aussi g(n) =100(n 8)2 + 102 400Dans ce cas, le maximum est atteint pour n =8 et ce maximum est 102400.

17. En route vers la Seconde 78 a. Soit x le nombre de jours et f (x) le nombre dha-bitants compter du 1er novembre 2011.f (x)=7000000000+402 000x170 000xf (x)=7000000000+232 000xb. Entre le 1er novembre 2011 et le 1er janvier 2020, il scoule : deux mois (30 et 31 jours) en 2011 huit annes (6 de 365 jours et 2 de 366 jours)soit 30 + 31 + 365 6 + 366 2 = 2983jours.On calcule limage de 2983 par la fonction f:f(2 983) = 7000000 000 + 232 000 2 983Ainsi f(2 983) = 7692056 000.On peut est imer la populat ion mondiale 7692056000habitants, soit environ 7,7milliards dha-bitants, au 1er janvier 2020.

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Dans la fentre Tableur, on affiche la somme de ces deux aires en cellule A1.En dplaant le point M sur le segment [AB], on conjec-ture que la somme des deux aires est minimale lorsque M est environ 2,74cm de A.2. a. BM = AB AM do BM = 6 x.Aire du carr BMEF = BM2 = (6 x)2.BMEF tant un carr, BF = BM.DH = AD AH = 7 (6 x) do DH = 1 + xAire du rectangle DHEG = HE DH = x (1 + x)Par consquent : = (6 x)2 + x (1 + x)Ainsi = 36 12x + x2 + x + x2 soit = 2x2 11x + 36.b. Pour montrer que A (x)=2 (x2,75)2+20,875on dveloppe lexpression de droite:2 (x2,75)2+20,875=2 (x25,5x+7,5625)+20,875=2x211x+15,125+20,875=2x211x +36Donc A (x)=2 (x 2,75)2+20,875c. Comme lexpression est la somme de deux valeurs positives, laire est minimale quand lexpression leve au carr est minimale cest--dire quand lexpression dans les parenthses est gale 0.

x2,75=0 pour x=2,75On retrouve bien la valeur trouve dans la conjecture la question 1.

c. Entre le 1er novembre 2011 et le 1er janvier 2030, il scoule : deux mois (30 et 31 jours) en 2011 dix-huit annes (13 de 365 jours et 5 de 366 jours)soit 30 + 31 + 365 13 + 366 5 = 6636 jours.Si lONU a utilis le modle de la fonction f, on doit avoir f(6 636) proche de 10,1 milliards.Or f(6 636) = 7 000 000 000 + 232 000 6 636Ainsi f(6 636) = 8 539 552 000. Ce rsultat est diffrent de 10,1 milliards, donc lONU na pas utilis le modle de cette fonction.79 1.

Aprs avoir ralis la figure, on fait afficher la longueur AM, laire du carr BMEF et celle du rectangle EGDH.