1S 2011-2012 sujets - Freemaths.ab.free.fr/1S 2011-2012 sujets.pdfb) Déterminer trois réels C,F,G tels que pour tout réel , on ait : 1 = +2 C +F +G . Expliquer comment vérifier

A.BERGER 1S VERTE 19/10/2011 Page 1 sur 28

1S VERTE 2011-2012

DEVOIRS DE MATHEMATIQUES

SUJETS

DV 21/09/2011 page 2

DV 28/09/2011 page 3

DV 07/10/2011 page 4

DS1 19/10/2011 page 5-7

DS2 23/11/2011 page 8-10

DV 09/12/2011 page 11

DS 11/01/2012 page 12

DV 27/01/2012 page 15 ( trigonométrie)

DV 07/02/2012 page 16 ( étude d’une fonction rationnelle)

DS 29/02/2012 page 17

DV 23/03/2012 page 20 ( suites)

DS 04/04/2012 page 21

DS 23/05/2012 page 25


DEVOIR DE MATHEMATIQUES 1S VERTE 20/09/2011 1 HEURE CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes à condition de l’indiquer clairement sur la copie.

EXERCICE I : ( 4 points ) On considère la fonction �définie sur ]1; +∞[ par �� = 1 − �

�� 1° Déterminer le sens de variation de cette fonction sur ]1; +∞[. 2° En déduire un encadrement de �10�� et �10�� + 1�.

EXERCICE II : ( 7 points )

1° Sans justifier, recopiez et complétez au mieux, à l’aide du sens de variation des fonctions de référence,

a) si −5 ≤ ≤ −1 , alors ……………. ² …………

b) si �� ≤ ≤ �

� , alors ………..….�� ………………

c) si −3 ≤ ≤ 5 , alors …………...² …………….. 2° Sachant que ∈ [1; 3], encadrez au mieux. Justifiez.

�� = 1− − 4 �� = −² + 4�� = 2 − 3��!� = 2 − 3

+ 1

EXERCICE III : ( 5 points )

On considère la fonction � définie sur � par �� = ��²"# .

Un logiciel de calcul formel donne les informations suivantes :

La fonction � est strictement croissante sur ] − ∞;−2] , strictement décroissante sur [−2; 2] et strictement croissante sur [2;+∞[. 1° Montrer que la fonction � est bornée a) sur [−2; 2] b) sur [−4; 1] 2° L’affirmation « la fonction � est majorée sur ] − ∞; 2] » est-elle vraie ? Justifier.

EXERCICE IV : ( 4 points ) On considère une fonction $ définie sur [−5; 3] et on donne son tableau de variation. −5 −2 1 3 $�

10 4 0 1

Déterminer le sens de variation des fonctions �, &, ℎ sur leur ensemble de définition :

a) la fonction � est définie sur (1; 3) par �� = $� − 4

b) la fonction & est définie sur ] − 2; 1] par &� = �*��

c) la fonction ℎ est définie sur [1; 3] par ℎ� = −$� + 2 + 5.


DEVOIR DE MATHEMATIQUES 1S VERTE 29/09/2011 ¾ HEURE CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT


EXERCICE I : ( 5 points ) On considère une fonction $ définie sur [−5; 3] et on donne son tableau de variation. −5 −2 1 3 $�

10 4 0 1

Déterminer le sens de variation des fonctions �, &, ℎ sur leur ensemble de définition :

a) la fonction � est définie sur (1; 3) par �� = −$� − 4

b) la fonction & est définie sur [−5; −2[ par &� = �*��

c) la fonction ℎ est définie sur [−5; −2] par ℎ� = $� + ²

EXERCICE II : ( 5 points )

On considère la fonction � définie sur � par �� = � − 3 + 2

Un logiciel de calcul formel a permis d’établir ses variations : la fonction �est :

strictement croissante sur ] − ∞;−1], strictement décroissante sur [−1; 1] et strictement croissante sur [1; +∞[. 1° Encadrez au mieux �� : a) pour ∈ [−1; 1] b) pour ∈ [0; 2] 2° La fonction � est-elle minorée sur [0; +∞[ ?

3° Le réel 5 est-il un majorant de la fonction � sur ] − ∞; 1] ?

EXERCICE III : ( 5 points )

On considère la fonction � définie sur � par �� = |− + 3| − 4

1° En s’aidant d’un tableau, écrire �� sans valeur absolue

2° Tracer la courbe représentative de la fonction � dans un repère orthonormé.

3° Résoudre algébriquement l’équation �� = 2

EXERCICE IV : ( 5 points )

1° Résoudre dans � à l’aide d’un schéma l’inéquation |2 + 1| ≥ 4

2° Résoudre dans � à l’aide d’un schéma le système d’inéquations : -| − 1| ≤ 4|| ≥ 3



1° Résoudre dans �

a) 6² − − 1 = 0 b) 16² − 2 + 1 = 0

c) 2² − 10 + �� = 0

d) ² − 4 = 0

e) −7 + 5�3 + 8� = 0

f) #

��− �� = −1

2° Factoriser si possible :

1� = 3� + 7 + 2

2� = 25� − 70 + 49

3° Résoudre dans �

a) 5² + 2 − 3 ≤ 0 b) 3� − + 1 > 0

c) �� ≤ 2 −


DEVOIR DE MATHEMATIQUES 1S VERTE 19/10/2011 3 HEURES CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT


EXERCICE I : (6 points) Résoudre dans �

a) ��"� = ��#

��

b) � − 6� + 9 = 0 c) −# + 3� + 4 = 0 d) 3² + 3 − 126 ≥ 0

e) -| − 1| ≤ 3|| ≥ 2 (on s’aidera d’un schéma)

EXERCICE II : (6,5 points) On considère la fonction � définie sur � par �� = �

�� + − �� . Sa courbe représentative �5 est

donnée dans le repère ci-joint (feuille annexe page 3 à rendre avec votre devoir)

1. Par lecture graphique :

1. a. Dresser, sans justifier, le tableau de variation de la fonction �. (Prévoir un tableau sur la largeur de la page pour pouvoir le compléter si nécessaire).

1. b. Dresser, sans justifier, le tableau de signe de ��.

2. a. Encadrer au mieux �� pour ∈ [−3; 3]. 2. b. L’affirmation « si ∈ [0; 1] , alors �� ∈ [−8; −6] » est-elle vraie ? Justifier.

3. On considère la fonction & définie sur � par &� = �� + + 4

3. a. Déterminer son sens de variation, puis dresser son tableau de variations.

3. b. Déterminer ses racines, puis dresser son tableau de signe.

3. c. Tracer soigneusement la courbe représentative de la fonction & dans le repère joint.

4. En utilisant au mieux les informations obtenues dans les questions précédentes, déterminer l’ensemble de solution de l’inéquation �� × &� ≥ 0.

5. Voici la copie d’un écran obtenu avec le logiciel de calcul formel Xcas :

Cette copie d’écran permet de conjecturer que �5 et �8 se coupent en deux points ayant des abscisses

opposées. Déterminer la valeur exacte des abscisses des points d’intersection de �5 et �8 pour valider

cette conjecture.

A.BERGER 1S VERTE année 2011-2012 Page 6 sur 28

EXERCICE III : (6,5 points )

On considère la fonction �définie sur ! =] − 3;+∞[ par :

�� = 9 − 1 + 3

On désigne par �5 sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Démontrer que pour tout réel de ] − 3; +∞[, on a : �� = 9 − �9�"�.

2. a. Soient � et � deux réels de ] − 3;+∞[ tels que � < � , comparer �� et ��. 2. b. Déterminer le sens de variation de la fonction � sur ] − 3;+∞[. 2. c. Calculer � ;�<= . En déduire le tableau de signe de �� sur ] − 3; +∞[. 3. Montrer que la fonction � est majorée sur ] − 3; +∞[.

4. a. Etudier le signe de >� = ��?"��

�"� pour ∈] − 3; +∞[ 4. b. On considère la droite D d’équation @ = 2. Comparer la position de �5 et D sur ] − 3; +∞[ EXERCICE IV : ( 1 point ) Ces cinq courbes ��, ��, ��, �#AB�� représentent des fonctions polynômes de degré 2. Pour chacune préciser sans justifier le signe de « C » coefficient de ² et le signe de son discriminant Δ . Une sixième situation est possible, préciser laquelle et donner l’équation d’une courbe �� correspondant à cette situation manquante.

C1

C2

C3

C4

C5

2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4-5-6-7-8

2

3

4

5

6

-1

-2

-3

-4

-5

0 1

1

x

y


Annexe exercice II (à rendre avec votre devoir)

Cf

2 3 4 5 6 7-1-2-3-4-5-6

2

3

4

5

6

7

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

0 1

1

x

y

1S Verte

NOM :




EXERCICE I : ( 10 points) On considère l’algorithme suivant :

Donnée Choisir un polynôme 1� Choisir un réel E

Traitement et affichage Si 1E� = 0 Alors afficher « 1� factorisable par − E� » Sinon afficher « 1� non factorisable par − E� » Fin Si

Les deux questions sont indépendantes 1° On choisit 1� = 2� + 11� + 10 − 8

a) Donner l’affichage renvoyé par l’algorithme pour les choix suivants :

� E = −2 � E = 1 . Justifier. b) Déterminer trois réels C, F, G tels que pour tout réel , on ait : 1� = + 2�C� + F + G�.

Expliquer comment vérifier vos valeurs à la calculatrice. c) Résoudre l’inéquation 1� ≥ 0.

2° On choisit 1� = −3² + 5 − 4

a) Donner l’affichage renvoyé par l’algorithme pour E = 1. Justifier.

b) On considère la fonction � définie sur ] − ∞; 1[∪]1;+∞[ par �� = ��?"��#��

Déterminer trois réels C, F, G tels que pour tout de � −{1} on ait : �� = C + F + K��.

c) Pour tout de � −{1} , comparer la position de la courbe �5 représentant la fonction � avec la droite d’équation @ = −3 + 2

EXERCICE II : ( 7 points)

1° Résoudre dans � l’équation :

3 − = 4� − 6

− 3� − 1�

2° Six entiers naturels consécutifs sont tels que le produit des deux plus petits nombres est égal au triple de la somme des quatre plus grands. Déterminer ces six entiers. 3.a. Démontrer que : pour tout entier naturel L non nul, on a :

1LL + 1� =

1L −

1L + 1

3.b. En déduire une expression simple de la somme

M = 11 × 2 +

12 × 3 +

13 × 4 +⋯+ 1

L − 1� × L


EXERCICE III : ( 3 points ) Soit ℎ la fonction définie sur � par ℎ� = ² � F � 16 où F désigne un réel.

Déterminer la ou les valeurs de F pour lesquelles :

a) '� admet le réel 1 comme racine b) '� admet deux racines distinctes c) '� n’admet pas de racine

EXERCICE IV : ( 5 points ) �� est un triangle.

1. Construire les points O, P, Q définis par : �ORRRRRS � �� RRRRRS �PRRRRRS �

�# ��RRRRRS �

�� RRRRRS �QRRRRRS �

�� RRRRRS

On s’aidera au mieux du quadrillage.

2. a. Montrer que OPRRRRRS � �� RRRRRS �

�# ��RRRRRS

2. b. Exprimer le vecteur OQRRRRRS en fonction de ��RRRRRS et ��RRRRRS 2. c. Démontrer que les points O, P, Qsont alignés.

EXERCICE V : ( 5 points ) ��! est un parallélogramme.

Les points OABP sont tels que �ORRRRRS � �# ��RRRRRS et !PRRRRRS � 3�!RRRRRS

Le but de l’exercice est de démontrer que les droites !O�et (BF) sont parallèles. Méthode 1 :

1.a. Exprimer le vecteur P�RRRRRS en fonction de ��RRRRRS et �!RRRRRS 1.b. Exprimer le vecteur !ORRRRRS en fonction de ��RRRRRS et �!RRRRRS 2° Conclure. Méthode 2 :

Dans le repère �; �; !� , ou T�; ��RRRRRS; �!RRRRRSU 1° Donner, sans justification, les coordonnées des points �, �, �, ! 2° Déterminer en justifiant les coordonnées : des points OABP,

puis des vecteurs P�RRRRRS et !ORRRRRS 3° Conclure.


EXERCICE VI : ( 5 points ) Dans cet exercice, aucune justification n’est demandée. Une réponse juste rapporte 0.5 point, une réponse erronée enlève 0,25 point, l’absence de réponse n’est pas pénalisée.

1° Donner la ou les bonnes réponses. On reportera sur sa copie le n° de la question et la ou les réponses choisies

1.a. Si �VRRRRRRS + 3�VRRRRRRS = 0RS alors (a) �VRRRRRRS = �# ��RRRRRS ( b) 4�VRRRRRRS = 3��RRRRRS ( c) �VRRRRRRS = �

# ��RRRRRS 1.b. Si 2�VRRRRRRS − 3�VRRRRRRS = 0RS alors ( a) �VRRRRRRS = 3��RRRRRS ( b) V�RRRRRRS = −2��RRRRRS (c) �VRRRRRRS = 2��RRRRRS 1.c. la droite d’équation cartésienne − 2@ + 3 = 0 a pour vecteur directeur (a) $RS ;12= (b) $RS ;21= c) $RS ; 10,5= Vrai ou Faux ? Dans les questions 2°-3°-4° On reportera sur sa copie le n° de la question et la réponse choisie : vrai ou Faux 2° �, �, � désignent trois points non alignés.

2.a. Si $RS = 2��RRRRRS + ��RRRRRS alors $RS = ��RRRRRS + ��RRRRRS 2.b. Si WS = 3��RRRRRS + 4��RRRRRS alors WS = 3��RRRRRS + 7��RRRRRS 2.c. Si XRRS = 2��RRRRRS + 3��RRRRRS alors XRRS = 3��RRRRRS − 5��RRRRRS

3° $RSABWS désignent deux vecteurs non colinéaires

3. a. Si ��RRRRRS = 2$RS − 3WS et ��RRRRRS = �� $RS − �

� WS alors les vecteurs ��RRRRRS et ��RRRRRS sont colinéaires.

3. b. Si ��RRRRRS = 4$RS + 5WS et �!RRRRRS = −2$RS − 5WS alors les droites �� et �!� sont parallèles.

4. a. Toute droite admet au moins un vecteur directeur

4. b. Toute droite admet un coefficient directeur.

EXERCICE VII : (5 points) Le plan est muni d’un repère orthonormé Y; ZS; [S� On fera une figure soignée que l’on complètera au fur et à mesure en faisant apparaître tous les « objets » utilisés (droites, points, vecteurs). 1° On considère les points �−5; 8��5; −7� 1. a. Déterminer un vecteur directeur de la droite ��. 1. b. Déterminer une équation cartésienne de la droite ��

2° On considère la droite \ passant par l’origine du repère et de vecteur directeur WS ;−23 =

2. a. Déterminer la position relative des droites �� et \. 2. b. Déterminer une équation cartésienne de la droite \ 3° On considère la droite Δ d’équation − + 6@ + 17 = 0. 3. a. Déterminer un vecteur directeur XRRS , le coefficient directeur ], l’ordonnée à l’origine ̂ et deux points à coordonnées entières de cette droite Δ. 3. b. Justifier que Δ est sécante avec �� et avec \ 3. c. Déterminer les coordonnées du point d’intersection de Δ et ��.



EXERCICE I : (4 points)

La fig.1 représente une fonction � et la fig.2 représente une fonction &. Pour chaque point A et B, préciser les coordonnées du point, dire si la fonction est ou n’est pas dérivable en l’abscisse de ce point, et si oui, donner le nombre dérivé.

EXERCICE II : (7.5 points) On considère la fonction � définie sur � par �� = � − � − − 1.

1° Dérivée : Déterminer l’ensemble de dérivabilité, puis l’expression de �′� 2° Etudier le signe de �′� 3° Enoncer, au sens strict, le sens de variation de la fonction �. Vous détaillerez la justification pour un intervalle. 4° Dresser le tableau de variation de la fonction �. 5° Encadrer au mieux �� pour ∈ �0; 2� 6° Déterminer une équation de la tangente à �5 au point A d’abscisse 2.

EXERCICE III : (4 points) On considère la fonction � définie par �� C² � F � 2, où C et F sont deux réels ( C ` 0� 1° Déterminer �′� 2° Déterminer C et F sachant que : �1; 3� ∈ �5 et la tangente ab à �5 en � a pour coefficient directeur 0.

3° Déterminer une équation de la tangente ab. EXERCICE IV : (4.5 points)

On considère la fonction � définie sur �0; �∞� par ��

1° En utilisant les différentes fonctions de la calculatrice, sans aucun calcul, donner une valeur approchée du nombre dérivé de � en 1 et l’équation de la tangente à �5 au point A d’abscisse 1.

2° Calculer le taux d’accroissement de � entre 1 et 1 � '. En déduire que � est dérivable en 1 et déterminer le nombre dérivé de � en 1. 3° Calculer �′� pour ∈�0; �∞�. En déduire la valeur de �′1�.



La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes à condition de l’indiquer clairement sur la copie. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.

EXERCICE I : (11,5 points) Les questions sont indépendantes

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct Y; ZS; [S� 1° Un angle TZS; YVRRRRRRSU a une mesure principale de

c�.

Recopier et compléter en donnant deux mesures de cet angle inférieures à c� et deux supérieures à

c�

… < ⋯ < c� < ⋯ < ⋯

2° Les réels �ec# et

��c# sont-ils des mesures d’un même angle orienté ?

3° Déterminer la mesure principale de �ec� , puis celle de

��c# .

4° Les écritures suivantes sont –elles correctes ? Justifier.

4. a. �c� = �ec

� [2f] 4.b. ��c# = #�c

# [2f] 4. c. ��c� = �c

� [2f] 5° Soit ABC un triangle direct.

Montrer que la somme de ses angles orientés dans le sens direct est égale f.

6° OPQ est un triangle équilatéral direct. g est le symétrique de P par rapport à Q.

Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants :

TOQRRRRRS; QPRRRRRSU ; TQgRRRRRRS; OPRRRRRSU ; TQPRRRRRS; QgRRRRRRSU 7° Dans un repère orthonormé direct Y; ZS; [S� : Représenter l’ensemble O� des points V tels que :

c# ≤ TZS; YVRRRRRRSU ≤ �c

# ABYV = 1

Représenter l’ensemble O� des points V tels que : TZS; YVRRRRRRSU = c� AB1 ≤ YV ≤ 2

EXERCICE II : (4,5 points) Retrouver les équivalences vraies parmi les situations suivantes. Dans le cas où l’équivalence n’est pas vraie, préciser laquelle des implications est vraie. Aucune justification n’est demandée. Sur votre copie vous reportez symboliquement l’affirmation vraie. Un réponse exacte rapporte 0,75 point, une réponse erronée enlève 0,25 point

1 (P) ∶ L est un entier naturel multiple de 10 (Q) : Lest un entier naturel multiple de 5. 2 (P) : ≥ 2 (Q) : > 2

3 (P) : ≥ 3 (Q) : ² ≥ 9

4 (P) : il existe un réel i tel que ��RRRRRS = i!�RRRRRS (Q) : ��! est un parallélogramme

5 \ et \′ étant deux droites non parallèles à l’axe des ordonnées : (P) : les droites \ et \′ sont sécantes (Q) : les droites \ et \′ ont des coefficients directeurs

distincts

6 (P) : $RS ;−53 = est un vecteur directeur de \ (Q) : la droite \ a pour équation 3 + 5@ = 0


EXERCICE III : ( 16 points ) A Question de cours : on considère la fonction $ définie sur � par $� = �.

Soit Cun réel quelconque. Calculer *j"k��*j�

k , et retrouver le nombre dérivé de la fonction $ en C. B On considère la fonction & définie sur � par &� = � + 3² − 24 + 28.

On se propose de : • retrouver par les méthodes de calcul habituelles quelques informations données par un logiciel de calcul formel,

• déterminer le signe de &� de deux façons différentes.

1ère méthode :

a) Démontrer que pour tout de �, on a : &� = − 2�� + 7� b) Etudier le signe de &� sur �

2ème méthode : Etude des variations de la fonction & : a) Calculer sa dérivée. b) Etudier le signe de sa dérivée c) Dresser le tableau de variation de la fonction &. d) Calculer &−7� e) En déduire le signe de &� sur �

C Etude des variations de la fonction �On considère la fonction � définie sur � par �� = �

# # + � − 12� + 28.

a) Calculer sa dérivée. b) Déterminer le signe de �’� et montrer que �′� a le même signe que &�. c) Dresser le tableau de variation de la fonction �. d) Votre étude est- elle cohérente avec les informations suivantes données par le logiciel Xcas ?

e) Quel est le plus grand minorant entier de �sur � ?


f) On appelle �5 la courbe représentative de la fonction �.Existe-t-il des points en lesquels �5 admet une tangente parallèle à l’axe des abscisses ? si oui, préciser leurs coordonnées et donner l’équation de ces tangentes.

g) Déterminer une équation de la tangente à �5 en A d’abscisse 1.

h) Recopier et compléter le tableau suivant pour donner une « fenêtre calculatrice » permettant de visualiser « correctement » la courbe �5 . mnonm*m : mj�nm*m: 1Cp : @mnonm*m: @mj�nm*m: 1Cp:

EXERCICE IV : ( 4 points ) 1° On considère la somme : M � 1

1 7 2 �1

2 7 3 �1

3 7 4 �⋯� 1LL � 1�

où L désigne un entier naturel non nul.

1. a. Ecrire sur votre copie un algorithme qui demande un entier L non nul et qui affiche la valeur de la somme M. 1. b. A l’aide d’un algorithme adapté sur la calculatrice, donner la valeur de M (en fraction irréductible) affichée quand on choisit L � 2012. 2. Avez-vous retravaillé le corrigé du précédent DS ???

2. a. Démontrer que : pour tout entier naturel L non nul, on a :

1LL � 1� �

1L

1L � 1

2. b. En déduire une expression simple de la somme

M′ � 11 7 2 �

12 7 3 �

13 7 4 �⋯� 1

2012 7 2013

2.c. Les résultats des questions 1b et 2b sont-ils cohérents ? EXERCICE V : ( 4 points ) Dans un parallélépipède rectangle de longueur 12cm et de largeur 9cm, on extrait un cube d’arête cm, comme le montre les figures ci-dessous (avant - après).

Quelle valeur doit-on donner à pour que le volume restant soit maximal ? Justifier.


DEVOIR DE MATHEMATIQUES 1S VERTE 27/01/2012 1 HEURE CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes à condition de l’indiquer clairement sur la copie.

EXERCICE I : ( 5 points ) Dans cet exercice aucune justification n’est demandée, une réponse erronée enlève la moitié des points attribués à

la réponse exacte ; l’absence de réponse n’est pas pénalisée.

Soient $RS et WS deux vecteurs non nuls 1° Exprimez en fonction de $RS; WS� : C� $RS; WS� F� 2$RS; WS� G�;��$RS;

#� WS= d� 2WS; $RRRS�

2° Repérez les équivalences et les implications vraies : 1 ⟺ >,1 ⟹ >, > ⟹ 1 , 1� ∶ $RSABWS sont orthogonaux 1� ∶ $RSABWS sont colinéaires 1� ∶ $RSABWS sont colinéaires de même sens

>� ∶ $RS; WS� � 0�2f�t$$RS; WS� � f�2f� >� ∶ $RS; WS� � 0�2f� >� ∶ $RS; WS� � c

� �2f�

EXERCICE II : ( 6 points ) 1° OPQ est un triangle équilatéral direct. g est le symétrique de P par rapport à Q.

Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants : TOQRRRRRS; QPRRRRRSU ; TQPRRRRRS; QgRRRRRRSU 2° Calculer la valeur exacte de puL ;�<c� = 3° Un réel C vérifie GtpC � ��

� et C ∈ v f; c�v. Calculer puLC.

4° En écrivant toutes les étapes du calcul, exprimer en fonction de Gtp et de puL: cos z � 9f

2 { sin 9f� � puL ; f2= � cos �

EXERCICE III : ( 9 points ) 1° Sur un cercle trigonométrique, représentez soigneusement (laissez les traits de construction apparents) l’ensemble On des

points M du plan dont l’abscisse curviligne � ZS; YVRRRRRRS�vérifie l’inéquation, puis donner l’ensemble de solution de l’inéquation dans � f; f� O� est l’ensemble des points M dont l’abscisse curviligne vérifie puL , �

�

O� est l’ensemble des points M dont l’abscisse curviligne vérifie Gtp � √��

2° Compléter le tableau de signe suivant (aucune justification n’est demandée)

f �f Gtp puL

3° Résoudre dans �, puis dans � f; f� les équations : a) puL�� # b) Gtp2� � √�

� .


DEVOIR DE MATHEMATIQUES 1S VERTE 07/02/2012 3/4 HEURE CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes à condition de l’indiquer clairement sur la copie.

EXERCICE I : (5 points)

On considère la fonction � définie sur v−∞; ��# � ∪ v��# ; +∞�par :

�� = −54 + 1

Déterminer sa dérivée, étudier le signe de cette dérivée, puis dresser le tableau de variations.

EXERCICE II : (7 points) On considère la fonction � définie sur ] − ∞; −2[∪] − 2; +∞[ par

�� = � + + 2 + 2

Déterminer sa dérivée, étudier le signe de cette dérivée, puis dresser le tableau de variations.

EXERCICE III : (8 points) On considère la fonction � définie sur ] − ∞; 0[∪]0;+∞[ par

�� = + 1 + 4�

1° Montrer que pour tout de ] − ∞; 0[∪]0; +∞[ �� = − 2�� + 2 + 4�

�

2° Etudier le signe de �′� puis dresser le tableau de variations et énoncer le sens de variation.


DEVOIR DE MATHEMATIQUES 1S VERTE 29/02/2012 4 HEURES CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes à condition de l’indiquer clairement sur la copie. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.

EXERCICE I : (6 points) La courbe ci-dessous représente une fonction �, on la note �5.

Aucune justification n’est demandée. Par lecture graphique, 1. Déterminer l’ensemble de définition. 2. Déterminer les limites aux bornes ouvertes de cet ensemble de définition. 3. Déterminer les asymptotes à la courbe �5 .

4. Dresser le tableau de variation, on fera apparaître le signe de la dérivée et on reportera les limites. 5.a. On nomme � , � et � ( avec � < � < ��les solutions de l’équation �� = 0 Dresser le tableau de signe de ��. 5.b. Donner pour chacune de ces solutions un encadrement par deux entiers consécutifs. EXERCICE II : (3 points) On considère la somme M avec L entier naturel supérieur ou égal à 2, définie par

M � 12� �

23� �

34� �⋯� L 1

L�

1° Recopier et compléter : ⋆ M est la somme des termes de la forme…… où u est un entier qui varie depuis u � ⋯ jusqu’à u � ⋯

⋆ M ��……

…

2° Ecrire un algorithme de calcul de M.


EXERCICE III : (11 points)

On considère la fonction � définie sur � par :

�� = ² � 4 4² 2 � 2.

On désigne par �5 sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

On appelle Δ la droite d’équation @ � 1.

1. Expliquer pourquoi la fonction � est définie sur �

2. a) Calculer la dérivée. On montrera que �� ?"��?��"��?

b) Etudier le signe de ��. 3. Etudier la position relative de �5 et de la droite Δ d’équation @ � 1. 4. Un logiciel de calcul formel donne les informations suivantes :

1 Commande �� :� � � 4 7 4�/� 2 7 � 2� Réponse 4 � � 4 4

� 2 � 2

2 Commande �u]uBA��, , uL�uLuB@� Réponse 1

3 Commande �u]uBA��, , �uL�uLuB@� Réponse 1

Réécrire les informations données lignes 2 et 3 avec les notations habituelles. 5. Dresser le tableau de variation de la fonction �. On reportera les limites données à la question 3. 6. Encadrer au mieux �� pour ∈ �1; 3�. 7. Déterminer une équation de la tangente à �5 au point A d’abscisse 1. On la note ab. 8. Tracer la droite Δ, la tangente ab , la ou les tangentes horizontales et la courbe représentative de la fonction

dans un repère orthonormé d’unités 2cm. On utilisera du papier millimétré, et on prendra la feuille format paysage.

9. a) Interpréter la donnée suivante, fournie par un solveur d’équation :

b) Interpréter graphiquement cette donnée.

EXERCICE IV : (4 points)

1° Etudier les variations de la fonction $ définie sur � par $� � ² � 3. On dressera le tableau de variation

2° On donne la courbe � d’équation @ � √ � 2 avec , 2 et le point �1; 0�. Soit V un point d’abscisse , avec , 2 , mobile sur la courbe �, on cherche la position de V qui rend la distance AM minimale.

a) Exprimer la distance �V en fonction de . On note �� l’expression obtenue.

b) Montrer que cette distance est minimale pour � ��

c) Calculer cette distance minimale. EXERCICE V : (7 points) ��! est un rectangle direct avec �� 4,�! � 2.

Les deux questions sont indépendantes

A.BERGER 1S VERTE Année 2011/2012 Page 19 sur 28

1° On définit � milieu de [��] et � milieu de [AD].

a) Calculer le produit scalaire ��RRRRS. ��RRRRS b) Calculer les distances �� et �� c) Déterminer la valeur arrondie à 1° près de la mesure de l’angle �� .

2° On désigne par O le point tel que �O� soit un triangle équilatéral direct

Calculer les produits scalaires : �ORRRRRS. ��RRRRRS et O�RRRRRS. ��RRRRRS

EXERCICE VI : (9 points)

Les trois questions sont indépendantes 1. Etudier dans un tableau le signe de Gtp� 7 puL� pour ∈ � f; f� 2. Sur un cercle trigonométrique : Représenter soigneusement (laissez les traits de construction apparents) l’ensemble On des points V du plan dont

l’abscisse curviligne � ZS; YVRRRRRRS�vérifie l’inéquation, puis donner l’ensemble de solution de l’inéquation dans � f; f� (On fera un cercle par ensemble)

O� est l’ensemble des points M dont l’abscisse curviligne vérifie puL � ��

O� est l’ensemble des points M dont l’abscisse curviligne vérifie √2 2Gtp � 0

3. a. Montrer que le réel ��c�� est une solution de l’équation sin2� � ��

�

3. b. Résoudre dans �, puis dans � f; f� l’équation : sin2� � ��


DEVOIR DE MATHEMATIQUES 1S VERTE 23/03/2012 1 HEURE CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT EXERCICE I : ( 6 points)

On considère la suite $o� définie par $o = 2 − �o"�

1° Calculer $�; $�; $� 2° Etudier le sens de variation de cette suite. 3° Montrer que cette suite est majorée par 2.

EXERCICE II : (6 points) Cet exercice est à traiter directement sur la feuille d’énoncé Partie A :

On donne la courbe représentative d’une fonction �

et on considère la suite $o� définie par :

$o = �L� pour L ∈ ℕ*.

Construire les cinq premiers termes de la suite sur

l’axe (Oy)

Partie B :

On donne la courbe représentative d’une fonction � et

on considère la suite $o� définie par :

$� = �9 et $o"� = �$o� (L ∈ �)

1° A l’aide de la droite d’équation @ = , construire les

cinq premiers termes sur l’axe (Ox) .

2° Emettre quatre conjectures sur cette suite :


1° On considère la suite $o� définie par - $� = 6$o"� = 2$o − 5 (L ∈ �)

a) Calculer $�; $� ; $� b) A l’aide de la calculatrice, déterminer $��

2° On considère la suite Wo� définie par Wo = 2o + 5 (L ∈ �) Etudier le sens de variation de la suite Wo�. 3° Montrer que les suites $o� et Wo� sont égales.

2 3 4 5 6 7 8 9-1

2

3

4

5

6

7

0 1

1

y

0 1

1

x

y

NOM :


DEVOIR DE MATHEMATIQUES 1S VERTE 04/04/2012 4 HEURES CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes à condition de l’indiquer clairement sur la copie. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.

EXERCICE I : ( 4 points) On considère la fonction � définie sur � par : �� = −� − 3� − 2

1° Etude de la fonction : a) Calculer la dérivée, puis étudier son signe. b) Dresser le tableau de variation de la fonction �.

2° On admet que l’équation �� = 0 admet une unique solution dans [−5; −2] , notée E. Avec la table de la calculatrice, déterminer un encadrement de α à 1 près ; à 0,1 près ; à 0,01 près.

3° Dresser le tableau de signe de �� sur �.

EXERCICE II : ( 7 points ) On considère la fonction � définie sur [−1;+∞[ par �� = 2 + 9

��"�. Une partie de sa courbe représentative est donnée en annexe.

Soit la suite $o� telle que $o = �L�, c’est-à dire $o = 2 + 9�o"� pour L ∈ �.

1° Représenter graphiquement sur l’annexe les quatre premiers termes de la suite. On laissera apparents les traits de construction. Emettre quatre conjectures. 2° Calculer $�, $�, $� 3° Etudier le sens de variation de la suite.

4° a) Montrer que pour tout L ∈ � , on a : $o > 2.

b) Montrer que la suite $o� est majorée. 5° On considère l’algorithme : Données Initialisation

entrer un réel A L = 0 $ = 14/3

Traitement Tant que |$ − 2| ≥ A Affecter à L la valeur L + 1

Affecter à $ la valeur 2 + 9�o"�

FinTantque Affichage Afficher L

a) En faisant fonctionner l’algorithme avec A = 0,5 ; préciser la valeur affichée pour L. On détaillera les différentes étapes.

b) Un utilisateur a fait fonctionner l’algorithme avec A = 0,01 et a obtenu comme valeur L = 399. Interpréter cette valeur obtenue.



On considère la fonction � définie sur � par �� = �� + 3

et la suite $o� définie par -$� = −2$o"� = �$o� c’est-à-dire �$� = −2

$o"� = ��$o + 3 (L ∈ �)

1. Dans le repère orthonormé en annexe ,

a) Tracer la droite Δ représentant la fonction � et la droite \ d’équation @ = b) En utilisant ces droites, placer les termes $�; $�; $�; $�; $# de la suite sur l’axe des abscisses. Laisser apparents les traits de construction.

c) Emettre des conjectures. 2.a. Calculer $�; $�; $�

2.b. Déterminer une valeur approchée à 10�� près de $�� à l’aide de votre calculatrice.

2.c. Recopier et compléter l’algorithme pour qu’il donne :

la valeur du terme de rang L et la somme des termes de $� à $o

Données Initialisation

Entrer un entier L

Traitement Pour … allant de … à … FinPour

Sortie /Affichage Afficher

3. On considère la suite Wo� définie par Wo = $o − 6, pour L ∈ � 3. a. Calculer W�; W�; W�

3. b. Montrer que pour tout L de �, on a Wo"� = �� Wo.

4. On considère la suite Xo� définie par Xo = 6 − 8;��=o

Montrer que les suites $o� et Xo� sont égales.

5. Déduire la valeur exacte de $�� .

6. Déterminer le sens de variation de la suite Xo�. EXERCICE IV : (4 points)

1. a. En remarquant que : c� − c

# = c��, déterminer la valeur exacte de cos c

�� et de sin c��

1. b. En déduire la justification de l’information donnée par le logiciel XCas.

1 Commande sin5 ∗ ^u/12� Réponse √6 + √2

4

2. On considère : �� = cos� + cos ; + �c� = + cos ; + #c

� =

2. a. Calculer : � ;− c�=

2. b. Montrer que �� est constant sur � , c’est-à-dire Pour tout réel : �� = � ;− c�=


EXERCICE V : (6 points) Partie A : Restitution organisée de connaissance : Démontrer au choix l’une des deux propriétés suivantes : Propriété de la médiane : Soit [EF] un segment de milieu �. Pour tout point M du plan, on a : VO� �VP� � 2V��

�OP�

Propriété d’Al-Kashi :

Quel que soit le triangle ABC, on a : �� ²� ��² 2 7 �� 7 �� 7 Gtp�� .

Partie B : Application

1° �� est un triangle tel que �� 8, �� 3�� c�. Calculer la valeur exacte de BC.

2° OPQ est un triangle isocèle en O tel que OP � OQ � 2√3,PQ � 6 .

a) Calculer la valeur exacte de cos POQ�. En déduire la valeur exacte des angles POQ�, OPQ�,OQP� du triangle OPQ.

b) On désigne par P′ le milieu de �OQ�. Calculer PP′. EXERCICE VI : (5 points) Soit ��un triangle rectangle et isocèle en �, avec�� 4. On définit R milieu de �� , M milieu de �� et a milieu de ��M�. Le but de l’exercice : prouver que la médiane �a� du triangle ��M est une hauteur du triangle ��.

On considère les points � de �� et � de �� tel que �� 1. 1° Quelle est la particularité du repère �; �; �� ou

T�; ��RRRRS; ��RRRRSU ?

2° Donner sans justification les coordonnées des points �, � et �.

3° Déterminer les coordonnées des points �, M et a.

4° Calculer �aRRRRRS. ��RRRRRS 5° Conclure.

EXERCICE VII : (4 points) On a relevé le taux de cholestérol dans le sang des employés d’un fastfood (série A), et d’un restaurant gastronomique (série B). Les employés se nourrissent chaque jour des produits qu’ils vendent.

Taux �0,8; 1,2� �1,2; 1,6� �1,6; 2,0� �2,0; 2,4� �2,4; 2,8� �2,8; 3,2� �3,2; 3,6� Effectifs (série A) 1 1 9 7 8 8 6 Effectifs (série B) 3 2 12 6 2 3 0 Comparer les couples (moyenne ; écart-type) de ces deux séries :

a) En produisant un tableau de calcul pour la série A b) En utilisant les fonctions statistiques pour la série B.


ANNEXE Exercice II

Annexe Exercice III

2 3 4 5 6 7 8-1-2-3

2

3

4

5

6

-1

-2

0 1

1

x

y

NOM :



La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes à condition de l’indiquer clairement sur la copie. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.

EXERCICE I : (6points)

On considère la fonction �définie sur v�� ; +∞�par �� = ��"�. On donne ci-dessous une portion de sa courbe

représentative dans un repère orthonormé Y; ZS; [S�

1° On considère la suite $o�définie par � $� = 1$o"� = �$o� = �*�

�*�"� L ∈ ℕ� a) Calculer la valeur exacte de $�, $�, $�. b) Construire les cinq premiers termes de la suite $o� sur l’axe Y; ZS� du repère ci-dessus.

c) Quelles conjectures peut-on faire sur le comportement de la suite $o� ?

d) A l’aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier L pour lequel on a $o < 10��. 2° On considère la suite Wo� définie par Wo = �

*� pour tout L de � .

a) Montrer que Wo� est une suite arithmétique de raison ��.

b) Exprimer Wo en fonction de L. c) En déduire que pour tout L de �, on a : $o = �

�"�o

3° Validation de certaines conjectures de la question 1.

a) Démontrer que pour tout L de �, on a $o > 0.

b) Etudier les variations de la suite $o�. c) Cette suite est-elle bornée ?

0 1

1

x

y

NOM :


EXERCICE II : (5 points) Les 300 personnes travaillant dans un immeuble de bureaux de trois niveaux ont répondu aux deux questions suivantes : – « À quel niveau est votre bureau ? »

– « Empruntez-vous l’ascenseur ou l’escalier pour vous y rendre ? » Voici les réponses :

• 225 personnes utilisent l’ascenseur. Parmi celles-ci, 50 vont au 1er niveau, 75 vont au 2ème niveau et 100 vont au 3e niveau.

• Les autres personnes utilisent l’escalier et, parmi celles-ci, un tiers va au 2e niveau, les autres vont au 1er niveau. On choisit au hasard une personne de cette population.

On pourra considérer les évènements suivants :

• E : « La personne emprunte l’escalier. » • N1 : « La personne va au premier niveau. » • N2 : « La personne va au deuxième niveau. » • N3 : « La personne va au troisième niveau. »

1. Dresser le tableau de répartition de l’effectif.

2. a. Déterminer la probabilité que la personne aille au 2e niveau par l’escalier.

2. b. Montrer que les évènements N1, N2 et N3 sont équiprobables.

2. c. Déterminer la probabilité que la personne emprunte l’escalier sachant qu’elle va au 2e niveau.

EXERCICE III : (8 points) Un groupe de 22 personnes décide d’aller au cinéma deux samedis consécutifs pour voir deux films A et B. Le 1er samedi, huit personnes vont voir le film A et les autres vont voir le film B. Le 2ème samedi, quatre personnes décident de revoir le film A, deux personnes décident de revoir le film B et les autres vont voir le film qu’elles n’ont pas vu la semaine précédente. Après la seconde séance, on interroge au hasard une personne du groupe. On appelle �� l’événement « la personne interrogée est allée voir le film A la 1ère semaine » �� l’événement « la personne interrogée est allée voir le film B la 1ère semaine » et �� l’événement « la personne interrogée est allée voir le film A la 2ème semaine » �� l’événement « la personne interrogée est allée voir le film B la 2ème semaine »

Les probabilités seront données sous la forme de fraction irréductible. 1° Représenter la situation par un arbre pondéré. 2° a. Déterminer la probabilité qu’une personne du groupe voit deux fois le film A. 2° b. Déterminer la probabilité de l’événement ��. 2° c. Déterminer la probabilité de l’événement E : « avoir vu les deux films » 3° Le prix du billet est de 8€ pour le film A et de 12€ pour le film B. On appelle X la variable aléatoire égale au coût total, pour la personne interrogée, des deux séances de cinéma. 3° a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X. 3° b. Déterminer l’espérance de la variable aléatoire X. Donner son interprétation.

EXERCICE IV : (5 points) Un casino possède une urne contenant 2 boules blanches et 8 boules rouges. Si le rouge sort, le joueur perd sa mise, sinon il gagne le carré de sa mise. 1. On note ] la mise du joueur en euros. ] est un réel positif. 1. a. On appelle G la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur. Déterminer en fonction de ], la loi de probabilité de G , puis l’espérance de G . 1. b. Quelle mise maximale le casino doit-il autoriser pour que le jeu soit défavorable au joueur ? 2. Dans une autre salle, le casino possède une urne contenant 2 boules blanches et L boules rouges, avec L entier supérieur ou égal à 8. La mise est fixée à 5€ . Si le rouge sort, le joueur perd sa mise, sinon il gagne le carré de sa mise. Le propriétaire du casino pense qu’en prenant L suffisamment grand, il peut rendre l’espérance de gain du casino aussi grande qu’il le désire. A-t-il raison ?


EXERCICE V : (8 points) Dans un lycée, on a demandé à chacun des 700 élèves de premières et terminales le nombre de livres lus dans l’année. Les résultats sont donnés sous forme d’un histogramme :

Partie A : Etude du nombre de livres lus dans l’année. Aucune justification n’est demandée dans cette partie. Reportez le n° de la question et votre réponse.

1. Parmi les « plus gros lecteurs » (ceux qui ont lu 10 livres ou plus), quel est le pourcentage d’élèves de la série S ? arrondir à 1%.

2. Quels est le nombre d’élèves de la série S interrogés ? 3. Parmi les élèves de la série S, quel est le pourcentage d’élèves qui ont lu au plus 4 livres ? 4. Dans l’ensemble des élèves interrogés, quel est le pourcentage d’élèves de série L qui sont « petits

lecteurs » (ceux qui lisent entre 0 et 4 livres) ?

Partie B : Etude du nombre de films vus au cinéma dans l’année Dans un second temps, on a demandé aux élèves le nombre de films vus au cinéma dans l’année. 3 élèves étaient absents et n’ont pas participé à cette étude. L’étude concerne donc 697 élèves. Les résultats sont consignés dans le tableau ci-dessous.

Nombre

de films

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Nombre

d’élèves

5 10 15 30 30 30 60 65 90 85 70 60 60 40 20 10 4 8 5

1. Déterminer à l’aide des fonctions statistiques de la calculatrice, la moyenne ̅et l’écart type p de la série. Les valeurs seront arrondies à 0,01près.

2. L’affirmation « au moins 95% des valeurs appartiennent à l’intervalle �̅ 2p; ̅ � 2p� » est –elle vraie ? justifier.

3. Déterminer la médiane, le 1er et le 3ème quartile, le 1er et le 9ème décile de cette série. Tracer le diagramme en boites.


Partie C : Comparaison du nombre de films vus dans l’année par les élèves de 2 classes. On considère deux classes de première L de cet établissement dont l’une est composée d’élèves ayant choisi l’option « cinéma ». Ces classes appelées A et B, ont le même effectif 32 élèves. On a représenté les diagrammes en boîtes du nombre de films vus au cinéma dans l’année pour chacune des deux classes, en plaçant aux extrémités le maximum et le minimum. (les déciles ne sont pas représentés et n’interviennent pas)

Préciser pour chaque affirmation, si elle est vraie ou fausse. Aucune justification n’est demandée, mais toute réponse erronée enlève des points. 1. Dans la classe A, environ la moitié des élèves a vu moins de 9 films au cinéma. 2. Dans la classe B, environ 8 élèves ont vu 10 films ou plus au cinéma. 3. Au moins la moitié des élèves de la classe A a vu plus de films au cinéma que les trois-quarts des

élèves de la classe B. 4. Environ le quart des élèves de la classe B a vu moins de films au cinéma que chaque élève de la

classe A.

EXERCICE VI : (8 points) Les trois questions suivantes sont indépendantes.

On considère un repère orthonormé Y; ZS; [S� 1° On donne les points�−5; 2� , �−3; −1� et �1; 6�

a) Montrer que le triangle �� est rectangle. b) Déterminer une équation de la médiatrice Δ du segment [��] c) Déterminer une équation cartésienne du cercle � circonscrit au triangle ��.

2° On considère le cercle �1 d’équation − 1�� + @² = 4

a) Préciser le centre et le rayon de �1.

b) Montrer que le point PT0; √3U est sur �1.

c) Déterminer une équation de la tangente à �1 en F, on la note a�.

3° Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Aucune justification n’est demandée.

a) Deux droites ayant un même vecteur normal sont parallèles. b) Deux vecteurs normaux à une même droite sont égaux. c) Les droites \� et \� d’équations respectives : + 3@ − 1 = 0 et 3 + @ + 1 = 0 sont

perpendiculaires. d) L’ensemble des points V; @� du plan tels que : ² + @² + 2 − 3@ + 4 = 0 est un cercle de

centre Ω;−1; ��=.

Classe A

Classe B

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 190 1 x

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1S 2011-2012 sujets - Freemaths.ab.free.fr/1S 2011-2012 sujets.pdfb) Déterminer trois réels C,F,G tels que pour tout réel , on ait : 1 = +2 C +F +G . Expliquer comment vérifier