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8/3/2019 (2) cours RDM1
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Mthodes nergtiques
Christian La Borderie
Institut Suprieur Aquitain du Btiment et des Travaux Publics
8/3/2019 (2) cours RDM1
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Table des matires
Chapitre 1. Notions nergtiques 51. Puissance : 52. Travail : 63. nergie : 84. Premier principe de la thermodynamique : 9
5. Expression de lnergie lastique dans une poutre : 9
Chapitre 2. Thormes nergtiques : 131. Thorme de Maxwell Betti (1864-1872) : 132. Thorme de Castigliano 16
Chapitre 3. Applications du thorme de Castigliano : 191. Calcul de dplacements de points dapplications de force. 192. Calcul de dplacements et de rotations autre part que sous les charges
(Mthode des charges fictives) 213. Application aux problmes hyperstatiques. 23
Chapitre 4. Mthode des forces 29
1. Introduction 292. Dcomposition du problme : 293. Calcul de lnergie interne : 294. Calcul des inconnues hyperstatiques. 305. Exemples : 32
Chapitre 5. Formule des trois moments 391. Introduction : 392. Rsolution : 393. Utilisation 434. Cas particulier dune poutre traves de mme longueur. 445. Exemples : 44
Chapitre 6. Calcul des intgrales : 471. Intgrales de Mohr 47
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CHAPITRE 1
Notions nergtiques
1. Puissance :
1.1. Puissance gnre par un effort : Soit un effortF appliqu en un
point A qui se dplace par rapport au repre R. SoitV(A/R) la vitesse du point A
par rapport R, alors :
(1) PF ,A/R
= F V(A/R)
est la puissance gnre par la forceF dans le mouvement du point A par
rapport au repre R.
F
A
V(A/R)
Fig. 1. puissance gnre par un effort
La puissance reprsente de faon instantane, le taux dnergie apporte par laforce
F dans le mouvement du point A par rapport au repre R.
SiV(A/R) a une projection positive sur
F, alors P
F ,A/R > 0 et
F participe
au mouvement de A. Si
V(A/R) a une projection ngative sur
F, alors P
F ,A/R < 0 et
F soppose
au mouvement de A.
Si V(A/R) a une projection nulle sur F (vecteurs orthogonaux ou un desvecteurs nul), alors P
F ,A/R = 0 et
F ne participe ni ne soppose au mou-
vement de A.Lunit SI pour la puissance est le Watt : 1W = 1N ms1 , on trouve toutefois desindications de puissance en chevaux vapeur : 1chV 736W
1.2. Puissance gnre par un moment : Soit un momentMA appliqu
sur un solide S en mouvement par rapport au repre R, soit(S/R) le vecteur
rotation du solide S par rapport au repre R, alors :
(2) PMA,S/R
=MA
(S/R)
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6 1. NOTIONS NERGTIQUES
M
(S/R)
S
A
Fig. 2. puissance gnre par un moment
1.3. Puissance gnre par un torseur : Une action ou un systme dac-tions peuvent tre reprsents de faon gnrale par un torseur reprsent parses lments de rduction en un point A :
:
FMA
A
; le mouvement dun solide S par rapport au repre R est repr-
sent par un torseur cinmatique S/R qui a pour lments de rduction au point
A : :
S/RVAS/R
A
.
La puissance gnre par le torseur dans le mouvement de S par rapport R est :
(3) P(,S/R) = S/R =F
VAS/R +
MA
S/R
On retrouve de toute vidence les relations 1 et 2 dans chaque cas particulier.Cette relation peut galement tre utilise pour trouver les actions transmis-
sibles par une liaison parfaite entre deux solides en crivant que la puissance fourniepar les actions de liaison dans le mouvement relatif des deux solides est nulle.
2. Travail :
2.1. Dfinition : Le travail W correspond une accumulation de puissancependant un temps dtermin.
(4) dW = P dt
On obtient donc le travail W12 effectu entre les instants t1 et t2 par intgra-tion de la puissance P par rapport au temps t :
(5) W12 =t2
t1
P dt
Le travail sexprime en Joules (J) 1J = 1N m, ou en calories : 1 Calorie = 4,185 Joule.Une calorie correspond la quantit de chaleur ncessaire pour lever 1 gramme
deau de 1 degr.
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2. TRAVAIL : 7
2.2. Travail dune force constante : Soit une forceF constante en intensit
et en direction, applique en un point A anim dune vitesseV(A/R) =
VA(t) par
rapport au repre R.Appelons P(t) la puissance gnre par la force
F dans le mouvement de A/R,
daprs la relation (1) P(t) =F
VA(t)
En utilisant lquation (5), le travail deF entre les instants t1 et t2 est :
W12 =
t2t1
F
VA(t)dt
OrF tant constante, W12 =
F
t2t1
VA(t)dt et si O est un point fixe dans le
repre R ,VA(t) =
dOAdt et W12 =
F
OA
t2t1
et si A1 et A2 sont les positions de A
aux instants t1 et t2 : W12 =F
A1A2 et si on note
12 =
A1A2 le dplacement
du point A par rapport au repre R entre les instants t1 et t2, on obtient :
(6) W12 =F
12
V (t1)A
A
A
2
1
F
AV (t2)
F
12
Fig. 3. Travail dune force constante
Le travail deF est indpendant du trajet suivi.
2.3. Force dont lintensit varie linairement avec le dplacement :Cest le cas par exemple dune force applique une extrmit de ressort :
Soit un ressort [OA] de raideur K, dont lextrmit O est fixe. On applique enA un effort
F = Fx . Le dplacement du point A conscutif lapplication de cet
effort est Xx et F = KX.On calcule le travail effectu par
F entre les instants t1 et t2.
On note X1 = X(t1) et X2 = X(t2).
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8 1. NOTIONS NERGTIQUES0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 01 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 10 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 01 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 1X(t)
F(t)
xA
A(t)
O
O
Fig. 4. Travail dune force applique une extrmit de ressort
La puissance gnre par la forceF dans le mouvement du point A par rapport
au repre R(O, x ) est donc PF ,A/R
=F
V(A/R) avec
V(A/R) =
dXdt
x , on obtient :
PF ,A/R
= FdXdt = KXdXdt .
Daprs lquation (5), on peut crire : W12 = t2
t1KXdXdt dt soit
(7) W12 =
1
2KX2
t2t1
=1
2K
X22 X21
3. nergie :
On pourra se rfrer au cours de thermodynamique pour plus de dtails sur lessignifications physique des nergies.
(Voir aussi : http ://www.univ-paris12.fr/www/labos/lmp/watzky/C/ThF/index.htmlqui a largement inspir les dfinitions suivantes).
3.1. Concept dnergie : Une nergie est une grandeur homogne desJoules. Une nergie peut tre lectrique, thermique mcanique ... etc .. ;
On distingue pour un systme isol, les nergies possdes par le systme (ner-gies propres) et les nergies changes avec lextrieur.
3.2. nergies propres : Les nergies propres se distinguent en : nergies externes : Elles sont lies la position du systme comme lnergie
cintique : Ec =12v
2dv ou lnergie potentielle Ep =
gzdv
nergie interne : Lnergie interne U est lie aux mouvements et interactionsentre les particules constitutives du systme.
La somme des nergies propres se nomme nergie totale E = Ec + Ep + U
3.3. nergies changes : Ce sont donc les nergies qui sont changes aveclextrieur, les plus courantes sont :
Le travail mcanique W des efforts appliqus au systme
La chaleur Q.
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5. EXPRESSION DE LNERGIE LASTIQUE DANS UNE POUTRE : 9
4. Premier principe de la thermodynamique :
Le premier principe exprime la conservation de lnergie de lensemble {Systme+ milieu extrieur} pour un systme ferm limit par une surface au travers delaquelle peuvent seffectuer des changes nergtiques. Il scrit sous forme de bilano, dans un repre galilen, la variation dnergie totale du systme entre deux tats1 et 2 est gale la somme des travaux et chaleurs reus par le systme pendantson volution entre ces deux tats :
E = W + Q ou encore
(8) E2 E1 = W12 + Q12
5. Expression de lnergie lastique dans une poutre :
5.1. Hypothses et notations : Dans ce qui suit, on ngligera les variationsdnergies cintique Ec et potentielle Ep, on supposera que les transformations se
font sans change de chaleur et que lnergie interne U sidentifie lnergie lastiqueWe.
Soit une poutre de ligne moyenne oriente par une abscisse s et de section (s).
On notera We lnergie lastique sur lensemble du systme , we lnergielastique linique dans la poutre et e lnergie lastique volumique.
On a donc We =
we (s) ds, We =
e (x,y,z) dxdydz
et we (s0) =
(s0)e (s0, y , z) dydz.
Dautre part, on choisira de dfinir une nergie lastique nulle lorsque le systmenest sollicit par aucun chargement.
5.2. Barre soumise un effort normal constant : Soit une barre [AB]de longueur initiale t = 0 , de section A et de module dlasticit E. On peut
considrer la barre comme un ressort.
0 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 01 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 10 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 01 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1X(t)
F(t)
xA
A(t)
O
O
Fig. 5. Barre soumise un effort normal.
On se propose de calculer le travail de F entre les instants t = 0 et t = t1Cette barre est sollicite en traction pure avec :
N = F et = N EA soit F = EA
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10 1. NOTIONS NERGTIQUES
La raideur de la barre est donc K = EA et en appliquant la relation (7), le
travail de la force F entre linstant initial et linstant t1 est : W01 = K2
2soit
W01 = EA2
NEA
2
W01 =N2
2EA
En appliquant le premier principe de la thermodynamique (8), on obtient :E1 E0 = We1 We0 = W01
On obtient donc lnergie lastique de la barre linstant t1 :
We1 =N2
2EA
si on suppose que ltat de la matire est constant sur lensemble de la barre,on a We1 = we1 et We1 = Ae1 soit :
lnergie linique dans la barre est :
we1 =N2
2EA
lnergie volumique dans la barre est e1 = N2
2EA2avec xx = NA , on obtient :
e1 =2xx2E
5.3. Poutre plane charge dans son plan : Soit une poutre plane de planmoyen (x , y ) de ligne moyenne oriente par une abscisse s et de section (s)lnergie lastique linique dans la section dabscisse s0 est :
we (s0) =N2
2EA+
M2fz2EIGz
+V2y
2GA
y
avec Sollicitations :
N : effort normal Mfz : moment flchissant suivant laxe
z Vy : effort tranchant.
Caractristiques matrielles : E : module dlasticit longitudinal G = E2(1+) : module dlasticit transversal ( coefficient de Poisson).
Caractristiques gomtriques : A : aire de la section IGz : moment dinertie de section autour de laxe Gz A
y : section rduite.Le terme en cisaillement est presque toujours nglig.
Le terme en moment est souvent prpondrant devant les autres. Dans ce cas,on dit que la structure est nergie de flexion dominante.
Lnergie lastique dans la poutre est donc :
(9) We =1
2
N2
EA+
V2yGAy
+M2f z
EIGz
ds
Si on nglige les nergies dues leffort tranchant et leffort normal, on dit que
le problme est flexion dominante et lexpression de lnergie lastique devient :
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5. EXPRESSION DE LNERGIE LASTIQUE DANS UNE POUTRE : 11
(10) We =1
2
M2fzEIGz ds
5.4. Cas gnral : Dans le cas gnral, nous avons :
(11) We =1
2
N2
EA+
V2yGAy
+V2z
GAz+
M2xGI0
+M2y
EIGy+
M2zEIGz
ds
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14 2. THORMES NERGTIQUES :
(12) WF =1
2 F
o est la projection du dplacement du point dapplication deF en projection
sur sa droite daction.
1.2. Coefficients dinfluence. Soit une poutre lastique de ligne moyenne
sollicite par n forces
F1,F2, ....,
Fi,....,
Fj , ....,
Fn
appliques respectivement
en {A1, A2,....,Ai,....,Aj ,....,An} points de .
Considrons le dplacementUAi du point Ai lors de lapplication successive
des forces. Dans lobjectif de calculer le travail deFi, on sintresse donc plus
particulirement la projection deUAi sur
xi , le vecteur directeur de la droite
daction deFixi =FiFi
et i =UAi
xi
Lors de lapplication deF1, le point Ai se dplace de
UAi,,1 et on note i,1 =
UAi,1
xi , comme la structure est lastique, i,1 est proportionnel lintensit deF1,
et on peut crire :
i,1 = i1F1
Lors de lapplication deF2, le point Ai se dplace de
UAi,1 et on note i,2 =
UAi,2
xi et on peut crire i,2 = i2F2.
Lors de lapplication deFj , le point Ai se dplace de
UAi,j et on note i,j =
UAi,j xi et on peut crire i,j = ij Fj
Lorsque lensemble des forces a t appliqu,UAi =
UAi,1+
UAi,2+ . . . +
UAi,j +
. . . +UAi,n =
nj=1
UAi,j et i =
nj=1 i,j soit finalement :
(13) i =n
j=1
ij Fj
Les ij sont appels coefficients dinfluence, ils mesurent linfluence de lappli-
cation de leffortFj sur le dplacement du point dapplication de
Fi le long de sa
droite daction.
1.3. Rciprocit : Nous allons dmontrer que ij = ji , ce qui signifie que
le dplacement du point dapplication de Fi le long de sa droite daction lorsque lastructure est charge par une force
Fj unitaire est gal au dplacement du point
dapplication deFj le long de sa droite daction lorsque la structure est charge par
une forceFi unitaire.
Calculons le travail effectu par les chargesFi et
Fj dans les deux cas suivants :
(1) La structure est charge parFi puis
Fj , le travail effectu est WI (Figure
2)Lors du chargement de
Fi : le travail de
Fi est : 12Fii,i et
Fj =
0 donc
ne travaille pas.Lors du chargement de
Fj :
Fi est constant et son travail est : Fii,j et le
travail deFj est 12Fj j,j
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1. THORME DE MAXWELL BETTI3 4(1864-1872) : 15
Nous avons donc : WI = 12Fii,i + Fii,j +12
Fj j,j ou encore :
(14) WI =1
2 FiiiFi + Fiij Fj +
1
2 Fjjj Fj
ii
i
j
i
iF
(a) ForceFi
j
j
ji
j
Fj
(b) ForceFj
Fig. 2. Travail des forces dans le cas du chargement I
(2) La structure est charge parFj puis
Fi , le travail effectu est WII(Figure
3)Lors du chargement de
Fj : le travail de
Fj est : 12Fj j,j et
Fi =
0 donc
ne travaille pas.Lors du chargement de
Fi :
Fj est constant et son travail est : Fj j,i et le
travail deFi est 12Fii,i
Nous avons donc : WII = 12Fj j,j + Fj j,i +12
Fii,i ou encore :
(15) WII = 12
Fjjj Fj + Fj ji Fi +12
FiiiFi
j
j j
j i
Fj
(a) Force Fi
i i
i
i
j
Fi
(b) Force Fi
Fig. 3. Travail des forces dans le cas du chargement II
(3)
La structure tant lastique et les processus tant tous rversibles, on peut affirmerque WI = WIIsoit que 12FiiiFi + Fiij Fj +
12Fj jj Fj =
12Fj jj Fj + Fj ji Fi +
12FiiiFi, ou
finalement :
(16) ij = ji
ce qui dmontre le thorme.
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16 2. THORMES NERGTIQUES :
2. Thorme de Castigliano
2.1. Travail dun ensemble de forces appliques sur une structure :Soit une poutre lastique de ligne moyenne sollicite par n forces
F1,F2,....,
Fi, ....,
Fj , ....,
Fn
appliques respectivement en {A1, A2,....,Ai,....,Aj ,....,An}
points de .Calculons le travail Wij effectu par les charges
Fi et
Fj lors de leur application,
ce travail est donn par la relation 14 ou 15.En utilisant le thorme de Maxwell-Betti (16), on peut crire : Wij = WI =
WII =12
FiiiFi+12
Fiij Fj+12
Fj ji Fi+12
Fj jj Fj ou encore : Wij = 12Fi (iiFi + ij Fj)+12
Fj (ji Fi + jj Fj )
ou encore en utilisant la relation 13 Wij = 12Fii +12Fj j .
Attention, le travail deFi nest pas 12Fii , ce rsultat nest valable que pour
la somme.
soit donc Wext , le travail de lensemble des forces, nous avons : Wext = 12F11+12
F22 + +12
Fnn ou
(17) Wext =1
2
ni=1
Fii
2.2. Drive du travail par rapport lintensit dun effort : Danslobjectif dobtenir k, calculons dWextdFk . Daprs la relation 17, nous avons Wext =12
ni=1 Fii avec i =
nj=1 ij Fj soit : Wext =
12
ni=1
Fin
j=1 ij Fj
dWext
dFk= 1
2 ni=1
d(FiPn
j=1 ijFj)dFk
= 12
ni=1
dFidFk
nj=1 ij Fj + Fi
nj=1 ij
dFjdFk
dWextdFk
= 12
ni=1
dFidFk
nj=1 ij Fj
+12
ni=1
Fi
nj=1 ij
dFjdFk
avec
i = k
dFidFk = 1
i = k dFidFk = 0dWext
dFk= 1
2
nj=1 kj Fj +
12
ni=1 Fiik =
12
ni=1 kj Fj
Finalement :dWext
dFk= k
2.3. Application du premier principe de la thermodynamique : Lavariation dnergie interne, lors du chargement de la structure est gale au travaildes efforts appliques, soit :
We = Wext et donc dWextdFk =dWedFk
2.4. Thorme de Castigliano5 : Soit une poutre lastique charge par un
ensemble de forces ( et ventuellement de couples) extrieures, en quilibre dans unrepre Galilen.La drive de lnergie lastique We par rapport lintensit de leffort
Fk est
gale la projection k du dplacement du point dapplication deFk sur sa droite
daction.
(18)dWedFk
= k
On a de mme pour un couple : La drive de lnergie lastique We par rapport lintensit du couple
Mk est gale la projection k de la rotation du point
dapplication deMk sur son axe.
5Intorno ai sistemi elastici, Universit polytechnique de Turin, 1873
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2. THORME DE CASTIGLIANO 17
(19)
dWedMk = k
Carlo Alberto Castigliano
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20 3. APPLICATIONS DU THORME DE CASTIGLIANO :
(2) Moment en O : a X FY + L X YB Y = 0 soit : YB = aFLRsultante : Xo = 0 et Yo =
(La)FL
(3) Diagrammes de leffort tranchant et du moment flchissant :Comme la charge rpartie est nulle, leffort tranchant est constant parmorceaux et le moment flchissant varie de faon linaire. Les relations decompatibilit avec les liaisons en O et B donnent Vy(0) = Yo, Vy(L) = YAet Mf(0) = Mf(L) = 0, il reste calculer le moment flchissant en A :M(a) = (L a) X YB Y soit Mf(a) =
a(La)FL . On obtient les dia-
grammes reprsents sur la figure 2
Les quations du moment flchissant sont
0 < x < a Mf(x) =
x(La)FL
a < x < L Mf(x) = a(Lx)F
L
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
O A
F
B
a
L
a
L
aF
(La)F
L
L
O
Mf
O
a(La)F
L
Vy
Fig. 2. Diagrammes de Vy et Mf
(4) We = 12
L0
M2
fz
EIGz dx et dans lhypothse o E et IGZ sont constants sur lalongueur de la poutre, on a
We =1
2EIGz
L0
M2fz dx =1
2EIGz
a0
x(L a)F
L
2dx +
La
a(L x)F
L
2dx
1
We =F2
2EIGzL2
(L a)2
a0
x2dx + a2L
a
(L x)2 dx
=
F2
2EIGzL2
(L a)2
a3
3+ a2
(L a)3
3
1On verra par la suite une mthode permettant dobtenir le rsultat avec un minimum de
calculs, mais pour linstant quelques petites intgrales ne feront srement pas de mal.
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21/48
2. CALCUL DE DPLACEMENTS ET DE ROTATIONS AUTRE PART QUE SOUS LES CHARGES (MTHODE DES CHARGE
We = F2
a2
(L a)2
6EIGzL
(5) Daprs le thorme de Castigliano (quation 18) = dWedF et donc
=F a2 (L a)2
3EIGzL
2. Calcul de dplacements et de rotations autre part que sous lescharges (Mthode des charges fictives)
2.1. Mthode. Pour calculer A , la projection du dplacement du point Adans la direction u , on applique sur la structure une charge fictive = u aupoint A .
On calcule lnergie lastique We due aux charges relles et la charge fictivedans la structure.
On en dduit
A =dWed |=0
Dans le cas dune structure nergie de flexion dominante, on peut crire :
We =1
2
M2fzEIGz
ds
La structure tant lastique dans lhypothse des petites perturbations : Mf z =M0 + M, o :
M0 est le moment flchissant d au chargement rel (sans ) M est le moment d la charge uniquement, M = M o M est
le moment flchissant cr par une charge concentre unitaire applique aupoint A et porte par le vecteur u .
dWed
=1
2
1
EIGz
dM2fzd
ds =
1
EIGzMfz
dMfzd
ds =
1
EIGzMf zMds
et Mfz |=0 = M0.On en dduit :
A =dWed |=0
=
M0MEIGz
ds
Cette relation est galement connue sous le nom du thorme de Fontviolant2 .
On utilise la mme mthode pour calculer la rotation A du point A en pro-jection sur laxe z . On applique au point A un moment fictif A = A
z et :
A =dWedA |A=0
M0MAEIGz
ds
2.2. Exemple. Une potence OABreprsente sur la figure 3 est composedun poteau [OA]de hauteur H = 3m encastr en O et dune poutre [AB] delongueur L = 1m sollicite par une charge Fy avec F = 30kN. Le poteau et lapoutre sont de section carre de ct b = 0, 25m, le matriau a un module dlasticitE = 30GP a. On supposera que le problme est nergie de flexion dominante.
2Comptes rendus hebdomadaires des sances de lAcadmie des sciences, 1890.
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22 3. APPLICATIONS DU THORME DE CASTIGLIANO :
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1 1 1
1 1 1
1 1 1
01
000000000000000
0
0
0
0
111111111111111
1
1
1
1
000000000000000
0
111111111111111
1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 01 10 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1
0 01 1
O
A
y
x
H
L B
Fy
Fig. 3. Potence
2.2.1. Tracer les diagrammes des sollicitations sur la potence. Les diagrammespeuvent tre tracs directement sans calcul :
0 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 1
0 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 10 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1N 0 Vy0 M0F=30kN F=30kN FL =30kNm
Fig. 4. Diagrammes
2.2.2. Calculer le dplacement sur laxe y et la rotation du point B. Pour ledplacement, on utilise directement le thorme de Castigiano :
Soit We, lnergie due au moment flchissant : We = M20
2EIGzds avec Igz = b
4
12on a :
B =dWedF
=1
EIGz
ModMO
dFds
et comme M0est proportionnel F on a
dMO
dF =
1
F M0
B =1
F EIGz
M2o ds
La valeur de lintgrale peut tre facilement obtenu facilement laide du ta-bleau des intgrales de Mohr (Voir le chapitre 6 page 47) :
M2o ds = F2L2H +
F2L3
3
B =F L2
3EIGz(3H + L)
Application numrique : B 10, 24mmPour la rotation du point B, on met en place un moment fictif Bz. Ce moment
donne lieu au moment flchissant M1 = bM1. Par superposition, le moment total
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23/48
3. APPLICATION AUX PROBLMES HYPERSTATIQUES. 23
est M = M0 + bM1et le thorme de Castigliano donne : B =dWedB |B=0
, et
B
=
M0M1
EIGzds. Le diagramme M
1est donn sur la figure 5. Lintgrale peut tre
obtenue facilement laide du tableau des intgrales de Mohr (Voir le chapitre 6page 47)
M0M1ds = F LH+
F L2
2
On obtient B = F L2EIGz (2H + L). A.N. : B 1, 075 102rad
2.2.3. Calculer le dplacement sur laxe x et la rotation du point A. On meten place une force fictive Ax et un moment fictif Az au point A. Ces chargesdonnent lieu respectivement aux moments flchissants M2 = AM2 et M3 = AM3.Par superposition, le moment total est M = M0 + AM2 + AM3et le thorme deCastigliano donne : A =
dWedA |A=0
et A =dWedA |A=0
.
on obtient donc : A = M0M3EIGz ds et A =
M0M3EIGz ds
0 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 0 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 01 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 1 0 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11M1 M 2 M1H 3Fig. 5. diagrammes des moments pour les problmes fictifs
Les valeurs des intgrales peuvent sont obtenues facilement (Voir le chapitre 6page 47) :
M0M2ds = F LH2
2et
M0M3ds = F LH et finalement :
A = F LH2
2EIGz 13, 82mm et A =
F LH
EIGz 9, 21 103rad
2.2.4. Tracer lallure de la dforme. Dans lhypothse des petits dplacementset dune nergie de flexion dominante, on nglige la dforme due leffort normal.Le dplacement vertical du point A est nul et le dplacement horizontal du point
B est gal au dplacement horizontal du point A. Dautre part, lencastrement enO impose que le dplacement et la rotation du point O soient nul, on peut donctracer lallure de la dforme reprsente sur la figure 6.
3. Application aux problmes hyperstatiques.
Cette mthode sapplique gnralement aux problmes hyperstatiques dordre1, pour les problmes dont le degr dhyperstaticit est suprieur, il est prfrabledutiliser la mthode des forces (Voir au chapitre 4)
3.1. Mthode.
(1) On dnombre dans un premier temps les inconnues de liaisons l et lesmobilits m. Le nombre dquations disponibles est 3 en 2D et 6en 3D, les
mobilits rendent les quation correspondantes inoprantes. On en dduit
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24 3. APPLICATIONS DU THORME DE CASTIGLIANO :
Fig. 6. Allure de la dforme
le degr dhyperstaticit h :
h = l (3 m) en 2D ou h = l (6 m) en 3D
h = 1 pour la suite si h > 1 on utilisera la mthode des forces
(2) On choisit un problme isostatique not P0qui est le problme initial renduisostatique en enlevant une inconnue de liaison note X dans la suite(Attention ce que la suppression du blocage li linconnue X ne crepas de mobilit, car dans ce cas le problme ne sera pas rendu isostatiquepour autant).
(3) On superpose au problme P0, le problme P1 ayant les liaisons du pro-blme P0 mais charg par linconnue de liaison X enleve en 2.
(4) Le dplacement (la rotation si X est un moment) du point dapplicationde X est nul(le), le thorme de Castigiano donne donc :
dWedX
= 0
On a Mf z = M0 + M1 = M0 + XM1 o
M0 est le moment du problme P0, M1est le moment du problme P1 M1 est le moment du problme P1qui est le problme P1 pour une valeur
unitaire de linconnue hyperstatique X
Pour un problme flexion dominante, We = 12
M2fzEIGz
ds.dWedX =
12
1EIGz
dM2fzd ds =
1EIGz
Mf zdMfz
dX ds =
1EIGz
Mf zM1ds =
1EIGz
(M0+
XM1)M1ds = 0On a donc :
1EIGz
M0M1ds + X
1EIGz
M1M1ds = 0
X = 1
EIGzM0M1ds
1
EIGz M1M1ds
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25/48
3. APPLICATION AUX PROBLMES HYPERSTATIQUES. 25
Cette relation est galement connue sous le thorme de Menabra. Toutefois,une polmique sest leve du vivant mme de Menabrea, celui-ci stant appropri
lnonc du thorme de Castigliano, dcd prmaturment. 3
Luigi Federico Menabrea
3.2. Exemple. Une poutre encastre/simplement appuye est reprsente surla figure 7.
0 0 00 0 00 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 11 1 11 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0
0 0 0
1 1 1
1 1 1
q
L
x
y
A
B
Fig. 7. Problme hyperstatique
Ce problme not P est plan, possde 4 inconnues de liaisons, et na aucune pos-sibilit de mouvement. Le problme est hyperstatique dordre 1. On choisit commeinconnue hyperstatique le moment dencastrement MA.
Dcomposition du problme : Le problme peut tre considr comme la super-position de deux problmes isostatiques :
Le problme P0 (Figure 8) dont les liaisons sont celles du problme hypersta-tiques auxquelles on a enlev le blocage correspondant linconnue hyperstatique.Ce problme reoit le mme chargement extrieur que le problme initial.
Le problme P1(Figure 9)qui possde les mmes liaisons que le problme P0mais dont le chargement est un chargement unitaire correspondant linconnuehyperstatique.
P = P0 + MAM1
Rsolution des problmes isostatiques :
Problme P0 :
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
q y
y
G
R
MqL/2
x
A
R0 + qx
Y qL2
Y =
0 soit :
R0 = q
L2 x
Y et V0 = q
L2 x
, N0 = 0
M0
x2
X qx
Y x
X
qL2
Y
=0 soit M0 =
qx2 (L x)
3tudes de Statique Physique - Principe gnral pour dterminer les pressions et les tensions
dans un systme lastique, 1868
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26/48
26 3. APPLICATIONS DU THORME DE CASTIGLIANO :
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 00 0 01 1 11 1 10 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 1
q
L
x
y
A
B
Fig. 8. Problme isostatique associ P0
0 0 00 0 01 1 11 1 10 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 1
L
x
y
1Z
A
B
Fig. 9. Problme norm associ linconnue hyperstatique P1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0
0
0
0000000
1
1
1
1111111
0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0
0
0
000000
1
1
1
111111
M0
L
0
L/2
qL/82
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
qL/2
qL/2
L/2 L
0
V0
Fig. 10. Diagrammes, problme 0
Problme P1 : Remarque : Le chargement correspondant ce problme est unmoment unitaire, les moments correspondant nauront pas dunit et les effortscorrespondants auront pour unit des m1.
Calcul des ractions dappui :XA = 0, YA1 + YB1 = 0, 1
Z + l
X YB1
Y =
0 soit : YB1 = 1L et YA1 =
1L
B
GM
lx
R
1/LY
R1 =
1L
Y soit V1 = 1L , N1 = 0
M1 = LxLZ soit M1 = LxL
8/3/2019 (2) cours RDM1
27/48
3. APPLICATION AUX PROBLMES HYPERSTATIQUES. 27
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
00000
0
0
11111
1
1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0
0
0
0
0
0
0000
1
1
1
1
1
1
1111
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 01 1 1
0 0 01 1 1
L
0
L
0
V1
1/L
1
M1
Fig. 11. Diagrammes, problme 0
Calcul de linconnue hyperstatique : Linconnue hyperstatique est le momentdencastrement au point A. On calcule la valeur de ce moment de manire ce quela liaison initiale soit respecte, cest dire que la rotation du point A soit nulle.
On obtient daprs le thorme de Castigliano (quation 19) :
A =dWedMA
= 0
avec pour une poutre nergie de flexion dominante (c.f. la relation 10) We =12
M2
EI ds et M = M0 + MAM1dans le cas dune poutre homogne dinertie constante, on peut crire :
dM2
dMAds =
0 soit encore
2M dMdMA ds = 0 avec
dMdMA
= M1
On obtient alors :
M0 + MAM1
M1ds = 0 et
MA =
M0M1ds
M1M1ds
Les intgrales peuvent tre obtenues par le calcul ou en utilisant le tableaudonn plus loin (chapitre 6 page 47)
M0M1ds =
qx2
(l x) lxl ds =qL2
8(1) 13 =
qL2
24
M1M1ds =
lx
l
2ds = (1) (1) 13 =
13
On obtient finalement : MA = qL2
8Solution du problme hyperstatique : La solution du problme hyperstatique
est obtenue par superposition des problmes P0 et MA P1.Actions de liaisons : YA =
qL2
qL2
81L =
5qL8
YB = qL2 qL28
1L =
3qL8
MA = qL2
8
Sollicitations : Vy = q
L2 x
qL
2
81L =
q8
(5L 8x) VY(0) =5qL8 , Vy(L) =
3qL8 et Vy5L8
= 0
M = qx2 (L x) qL2
8
LxL
= q Lx
8(L 4x), M(0) = qL
2
8, M(L) = 0,
M
L4
= 0 et M
5L8
= 9qL
2
128
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28/48
28 3. APPLICATIONS DU THORME DE CASTIGLIANO :
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10000000
0
0
0
1111111
1
1
1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
00
0
0
0
0
0
0
0
0
11
1
1
1
1
1
1
1
1
00
0
0
0
0
0
0
0
0
00000000
11
1
1
1
1
1
1
1
1
11111111
0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
L
0
V
M
0
qL/4 L
9qL/1282
2qL/8
3q/8
5qL/8
y
5L/8
5L/8
Fig. 12. Diagrammes des sollicitations
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29/48
CHAPITRE 4
Mthode des forces
1. Introduction
La mthode des forces est base sur le thorme de Castigliano et sappliqueaux structures hyperstatiques lorsque les liaisons sont rigides et parfaites.
On obtient un systme dquations dont la dimension est le degr dhypersta-ticit du problme tudi.
2. Dcomposition du problme :
Soit une structure hyperstatique dordre N, sollicite par un chargement ext-rieur.
Le problme hyperstatique, not P b, peut se dcomposer en Un problme isostatique obtenu partir du problme initial, en enlevant les
liaisons qui rendent le problme hyperstatique et en conservant le chargementextrieur. Ce problme sera not : P b0
N problmes correspondant aux inconnues hyperstatiques Xi (i = 1, n) ob-tenus partir du problme isostatique charg uniquement avec les inconnues
hyperstatiques. Ces problmes seront nots P bi (i = 1, n). Les Xi peuventtre des forces ou des moments. Voir la table 1pour un exemple.On peut noter :
P b = P b0 +n
i=1
P bi
ou encore
P b = P b0 +n
i=1
XiP bi
o le problme P biest le problme correspondant au P bi mais avec une charge (ouun moment) unitaire.
Pour toute variable , on notera 0 la valeur de cette variable dans le problmeP b0 et i, sa valeur dans le problme P bi et on a donc :
= 0 +
ni=1
Xii
peut tre une raction dappui, un moment flchissant, etc ...
3. Calcul de lnergie interne :
Lexpression de lnergie interne peut tre plus ou moins complexe en fonction
de la dimension de lespace et des hypothses sur lnergie.29
8/3/2019 (2) cours RDM1
30/48
30 4. MTHODE DES FORCES
3.1. Cas gnral : On ne nglige pas lnergie due leffort normal ni leffort tranchant, on se place dans lespace 3 dimensions :
We =1
2
N2
EA+
V2yGAy
+V2z
GAz+
M2xGI0
+M2y
EIGy+
M2zEIGz
ds
o s dsigne labscisse curviligne de la poutre.
3.2. Cas bidimensionnel : On se place dans un espace 2 dimensions maison ne nglig aucune nergie.
We =1
2
N2
EA+
V2yGAy
+M2z
EIGz
ds
3.3. Cas bidimensionnel flexion dominante : On nglige les nergiesdues aux efforts tranchant et normal, seul le terme en moment flchissant subsiste.Cest le cas le plus courant, Il faut tre conscient que la dforme due aux effortstranchants mais aussi aux efforts normaux est nglige.
We =1
2
M2zEIGz
ds
4. Calcul des inconnues hyperstatiques.
4.1. Rsolution des problmes associs : Il faut premirement rsoudrele problme isostatique associ ainsi que les problmes associs chaque inconnuehyperstatique.
Il faudra notamment, tracer les diagrammes des projections locales du torseurdes efforts intrieurs prendre en compte dans lnergie.
Voir le tableau 2 pour un exemple.
4.2. Application du thorme de Castigliano. Si les liaisons sont ri-gides, alors les dplacements associs chaque projection des actions hyperstatiquessont nuls. Dans le cas o laction est un moment, la rotation correspondante estnulle.k = dWedXk = 0 si Xk est une force ou k =
dWedXk
= 0 si Xk est un moment. soit
dans tous les cas : dWedXk = 0Suivant les hypothses faites et la dimension de lespace considr, lnergie
est la somme de m termes provenant des types de sollicitations j affects des
caractristiques de raideur j correspondantes.
Dans le cas gnral, on a : m = 6,
1 = N 1 = EA2 = Vy 2 = GA
y
3 = Vz 3 = GAz
4 = Mx 4 = EI05 = My 5 = EIGy6 = Mz 6 = EIGZ
We =
mj=1
2j2j
ds
avec
j = j0 +n
i=1
Xiji
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4. CALCUL DES INCONNUES HYPERSTATIQUES. 31
dWe
dXk =
mj=1
1
2j
d2j
dXk ds
soitdWedXk
=
mj=1
jj
djdXk
ds
avecdjdXk
= jk
dWedXk
=
mj=1
jj
jk ds
dWedXk
=
mj=1
j0 +n
i=1 Xijij
jk ds = 0
mj=1
j0jkj
ds +n
i=1
Xi
mj=1
jij
jk ds = 0
ni=1
Xi
mj=1
jij
jk ds =
mj=1
j0jkj
ds
Ce qui donne un systme de N quations N inconnues.
Les intgrales pouvant tre calcules sparment et on peut poser :
Sik =
mj=1
jij
jk ds
et
Uk =
mj=1
j0jkj
ds
Uk est homogne un dplacement si Xk est un effort et une rotation si Xkest un moment. Sik est une souplesse
on a donc :S11 S12 ...etc... S1nS12 S22 ...etc... S2n
...etc...S1n S2n ...etc... Snn
X1X2
...etc...Xn
=
U1U2
...etc...Un
Ce qui se rduit au systme suivant si le problme est bidimensionnel flexionprdominante :
M1M1EIGz
ds
M1M2EIGz
ds ...etc...
M1MnEIGz
ds
M1M2EIGz
ds
M2M2EIGz
ds ...etc...
M2MnEIGz
ds
...etc...
M1Mn
EIGz d
M2Mn
EIGz ds ...etc...
MnMn
EIGz ds
X1X2
...etc...Xn
=
M0M1EIGz
ds
M0M2EIGz
ds
...etc...
M0Mn
EIGz ds
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32 4. MTHODE DES FORCES
5. Exemples :
5.1. Poutre bi-encastre : On traite lexemple donn dans le tableau 1.Cest le cas dune poutre bi-encastre de longueur L sollicite par une charge uni-formment rpartie q = qy . On fera lhypothse dun calcul plan, et on ngligeralnergie due leffort tranchant. L = 4m q = 50kN/m. Le problme est hyper-statique dordre 3.
5.1.1. Dcomposition : Le choix du problme isostatique associ est libre, ilest nanmoins conseill de choisir une dcomposition qui facilitera la suite des cal-culs. Ici on fait le choix de garder un encastrement et de dcomposer le second eninconnues hyperstatiques (tableau 1).
Problme Reprsentation
Complet:P b
0 0 00 0 00 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 11 1 11 1 1 0 0 00 0 00 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 11 1 11 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
x
y
O A
Isostatique P b00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 11 1 11 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
x
y
O A
Associ Xa: P b1
0 00 00 00 01 11 11 11 1
xx1*
y
O A
Associ Ya: P b20 0
0 00 00 00 0
1 1
1 11 11 11 1
y
y1*
x
O A
Associ Ma: P b3
0 0 00 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 11 1 1
x
y
O A 1*Z
+
Tab. 1. Exemple de dcomposition dun problme hyperstatique
5.1.2. Rsolution des problmes isostatiques : Les problmes sont classiques etne posent aucune difficult. Comme lnergie de cisaillement est nglige, il suffit
de calculer le moment flchissant et leffort normal.
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5. EXEMPLES : 33
Les rsultats sont donns dans le tableau 2
Moment Flchissant Effort Normal
P b00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0
0
00000000
1
1
11111111
0
0
0
00000000
1
1
1
11111111 0000001111110 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
L
qL/2
M0 =q(LX)
2
2N0 = 0
P b1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
000
0
0
111
1
1
000
0
0
111
1
10 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1
1
L
M1 = 0 N1 = 1
P b2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0
00000
1
11111
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
10 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
L
L
M2 = L X N2 = 0
P b3
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 000
0
0
0
111
1
1
1
0000011111 00000111110 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1
1
L
M3 = 1 N3 = 0Tab. 2. Calcul des sollicitations.
5.1.3. Calcul des intgrales. EIGzest constant sur la poutre et peut tre sortide toutes les intgrales qui peuvent tre calcules laide du tableau 1
M0M1ds = 0
M0M2ds =qL4
8
M0M3ds =qL3
6
M2M2ds =L3
3
M2M3ds =L2
2
M3M3ds = L
N1N1ds = L
5.1.4. Calcul des inconnues hyperstatiques. Les termes de la matrice de sou-plesse sont calcules partir des expressions des moments et des efforts normaux.
S11 =
1
EA N1N1ds +
1
EIGz M1M1ds =
L
EA
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34/48
34 4. MTHODE DES FORCES
S22 =1
EA
N2N2ds +1
EIGz
M2M2ds =L3
3EIGz
Les autre termes de la matrice ne comportent que des moments. Comme N0 = 0,le second membre ne comporte que des termes en moment.
Les intgrales peuvent tre calcules laide du tableau 1
LEA 0 0
0 L3
3EIGzL2
2EIGz
0 L2
2EIGzL
EIGz
XAYA
MA
=
0
qL4
8EIGz
qL3
6EIGz
ou :
XA = 0
(1) : 2L3YA + 3L2MA = 3qL4
4
(2) : L2YA + 2LMA = qL3
3La mthode permet de calculer XA, mais il ny a pas de couplage entre la
flexion et leffort normal compte tenu de lhypothse des petites perturbations. (Lesefforts sont calculs sur la structure non dforme). Le systme peut tre rsolu parune mthode quelconque. Des combinaisons judicieuses dquations donnent gn-ralement une solution rapide. Je vous conseille vivement de vrifier constammentlhomognit de vos quations.
2 (1) 3L (2) : L3YA = qL4
2
3 (1) 2L (2) : L2MA = qL4
12
soit :
YA = qL2MA =
qL2
12
5.1.5. Solution du problme hyperstatique. Pour toute variable du problmehyperstatique on a :
= 0 + XA1 + YA1 + MA3
N = 0
M = q(Lx)22
qL2 (L x) +qL2
12
M = qx (L x)
2+
qL2
12
0 0 00 0 00 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 11 1 11 1 1 0 0 00 0 00 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 11 1 11 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
x
y
O A
-70000
-60000
-50000
-40000
-30000
-20000
-10000
0
10000
20000
30000
40000
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
Mfz(mN)
x (m)
Moment flechissant dans une poutre biencastree
M(x)
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
ql/24
ql/12
q=50kN/m L=4m
8/3/2019 (2) cours RDM1
35/48
5. EXEMPLES : 35
5.2. Portique : Un portique bi-encastr est sollicit par une charge rpartieqx sur [OA] et qx [BC](Figure 1). La section et linertie sont constants et le
problme est suppos flexion dominante.
0 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 1
0 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 1 0 0 0 00 0 0 00 0 0 01 1 1 11 1 1 11 1 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 01 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 101 0000011111
00
0
0
0
0
0000000000000
11
1
1
1
1
1111111111111
0 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 01 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 1
00
0
0
0
0
000000000
11
1
1
1
1
11111111101 0 01 1
O
A B
C x
y
E, IL
L
qxqx
Fig. 1. Portique
5.2.1. Dcomposition du problme. Le problme original est hyperstatique dordre3, il y a une symtrie reprsente sur la figure 2 par une liaison glissire en D. Leproblme symtrique est hyperstatique dordre 2. Je choisis comme inconnues hy-perstatiques, les actions de liaison en D : XD et MD et le problme se dcomposecomme mont sur la figure 3.
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1 1 1
1 1 1
1 1 1
0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1
01
0
0
000000000000000
0
0
1
1
111111111111111
1
1
0 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 01 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 1010
0
00000000000000
1
1
11111111111111
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 01 1
O
A
y
q
E, I
x
L/2
L
D
Fig. 2. Problme symtrique
5.2.2. Trac des diagrammes des sollicitations. Les diagrammes des sollicita-tions pour chaque problme se trouvent sans faire de calcul, il faut nanmoins faireattention lorientation du repre local de projection sur le poteau [OA] : X = yet Y = x
5.2.3. Calcul des inconnues hyperstatiques. Les intgrales sont obtenues direc-tement :
MOM1 =qL4
8,MOM2 =
qL3
6,
M1M1 = L3
3 ,
M1M2 = L3
2 ,
M2M2 = 3L2
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36/48
36 4. MTHODE DES FORCES
0 01 1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1
01
0 01 1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1
0 01 10 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 1010 0 01 1 1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1
01 0 01 10 0 01 1 1 0 0 01 1 10 0 01 1 1 0 01 1OAy xD OAy xDq OAy xD 1 x 1 zP0 P P1 2Fig. 3. Dcomposition du problme
0 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 1 0 01 10 01 10 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 01 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1 OA
D
0 1 2Vy Vy Vy
A
D
O
A
D
O
0
0
qL 1
Fig. 4. Efforts tranchants
On peut alors crire le systme dquations :
L3
3XD +
L2
2MD =
qL4
8
L2
2XD +
3L2
MD =qL3
6
soit en simplifiant : 2LXD 3MD =
3qL4
(1)
LXD + 3MD =qL2
3(2)
Ce systme se rsout facilement par combinaison des quations :(1) + (2) XD =
5qL12
2 (2) + 1 MD = qL2
36
5.2.4. Solution du problme hyperstatique. On peut alors tracer le diagramme
de leffort tranchant par superposition des problmes :
8/3/2019 (2) cours RDM1
37/48
5. EXEMPLES : 370 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 11 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 11 0 01 10 01 10 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 01 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1 0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 01 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1OA D0 1 2A D OAOM M ML2qL/2 DFig. 5. Moments flchissants
pour tout point M,Vy(M) = Vy0(M) + XDVy1(M) + MDVy2(M).Vy(O) = qL1XD+0MD = qL+
5qL12
= 7qL12 , Vy(A) = 01XD+0MD =
5qL12 et Vy(B) = 0
Leffort tranchant sannule pour le point E dordonne y = 7L12de mme pour le moment flchissant, nous avons :Mfz (0) =
qL2
2+ 5qL
2
12 qL2
36= qL
2
9 , Mfz (A) = Mfz (D) = qL2
36 et Mfz (A)
Mfz (E) =
A
EVyds =
125qL12
5L12 =
25qL2
288 soit Mfz (E) =17qL2
288
0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 01 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 10 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 01 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1A
D
A
O
D
7qL/12
5qL/12
E
O
Vy
5L/12
7L/12
qL /9
Mfz
17qL /288
qL /36
2
2
2
Fig. 6. Sollicitations du problme hyperstatique
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CHAPITRE 5
Formule des trois moments
1. Introduction :
Les moments sont comme les petits cochons, il se regroupent souvent par trois... Heuu non ce nest pas a ! !
1.1. Motivation : La formule des trois moments est un criture particulire
de le mthode des forces adapte aux poutres continues.
1.2. Hypothses : Nous traiterons par la suite dune poutre droite posesur N + 2 appuis simples charge par des forces concentres ou rparties dont ladirection est perpendiculaire laxe de la poutre.
(Figure 1)
0 0 0
0 0 0
1 1 1
1 1 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1 1 1
1 1 1
1 1 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1 1 1
1 1 1
1 1 1
0 0 0
0 0 0
1 1 1
1 1 1
0 0 0
0 0 0
1 1 1
1 1 1
0 0 0
0 0 0
1 1 1
1 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0
0000
1
1111
0
00
1
11
0
0
000
1
1
111
Fig. 1. Poutre continue
Le problme pos possde une mobilit correspondant la translation suivantlaxe de la poutre. Si cette mobilit est gnante, il suffit de remplacer une liaisonponctuelle par une rotule.
Le problme se situe dans le plan (x , y ) et est flexion dominante. Linertiede section et le module dlasticit sont constants sur la poutre.
1.3. Notations : Les appuis sont nots C0, C1, ...., Cn+1.La portion de poutre i = [Ci1, Ci] est la trave i de longueur li (Figure 2)
0 0 00 0 01 1 11 1 10 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 10 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 1 0 0 00 0 01 1 11 1 1 0 0 00 0 01 1 11 1 1 0 0 00 0 01 1 11 1 10000000011111111 00000001111111 0000000011111111 00000001111111 00000001111111 000000011111110 0 0 0 0 01 1 1 1 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 10 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1
C CC C C C
01 2 n1 n n+1
trave 1 trave 2 trave n trave n+1
l l ll1 2 n n+1
Fig. 2. Notations
2. Rsolution :
Le problme est hyperstatique dordre N, on utilise la mthode des forces avec
une dcomposition particulire.39
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40/48
40 5. FORMULE DES TROIS MOMENTS
2.1. Dcomposition du problme : Plutt que de considrer que le pro-blme isostatique associ est une poutre sur deux appuis - dans ce cas les inconnues
hyperstatiques seraient N ractions dappuis - on introduit une rotule entre chaquetrave au doit des appuis C1 Cn. (Voir figure 3).
Le problme isostatique associ correspond N + 1 poutres sur deux appuiscorrespondant chaque trave.
0 0 00 0 01 1 11 1 10 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 10 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 1 0 0 00 0 01 1 11 1 1 0 0 00 0 01 1 11 1 1 0 0 00 0 01 1 11 1 1
0 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 10 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 1 0 0 0 00 0 0 00 0 0 01 1 1 11 1 1 11 1 1 1 0 0 0 00 0 0 00 0 0 01 1 1 11 1 1 11 1 1 10 0 0 00 0 0 00 0 0 01 1 1 11 1 1 11 1 1 1 0 0 0 00 0 0 00 0 0 01 1 1 11 1 1 11 1 1 1 0 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 1 0 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 1
01 01 01 01
C C CC C C
01 2
n1 n n+1
CnC n1
C1C 0
C1
Cn n+1
CC 2
1 1 2 n1 n nX X XX X X
Fig. 3. Dcomposition du problme hyperstatique
Les inconnues hyperstatiques sont les moments Xi exercs par la trave i + 1sur la trave i.
Le moment exerc par la trave i sur la trave i + 1 tant XiLes moments Xi sont galement les moments flchissant du problme hyper-
statique au droits des appuis.
2.2. quations de continuit de la rotation. Les inconnues Xi sont cal-
cules de faon ce que la rotation de section soit continue.
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1 1 1
1 1 1
1 1 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1 1 1
1 1 1
1 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
X Xi i
C C C Ci i i+1i1
i
i+1
Fig. 4. Appui i
On a donc la rotation de section ii au droit de lappui Ci pour la trave iest gale la rotation de section ii+1 au droit de lappui Ci pour la trave i+1.Soit : ii = ii+1
Daprs le thorme de Castigliano, on a :
ii =dW
ie
dXi=i
MEIGz
dMdXi
ds et ii+1 =dW
i+1e
dXi=i+1
MEIGz
dMdXi
ds
soiti
MEIGz
dMdXi
ds +i+1
MEIGz
dMdXi
ds = 0 avec EIGzconstant.Si on dfinit xi labscisse curviligne de la trave i et xi+1 labscisse curviligne
de la trave i + 1 (Figure 5)
li0
MdM
dXidxi +
li+10
MdM
dXidxi+1 = 0
Pour chaque inconnue Xi ce qui donne un systme de N quations N incon-
nues.
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2. RSOLUTION : 41
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1 1 1
1 1 1
1 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1 1 1
1 1 1
1 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
C C C Ci i i+1i1
xi
xi+1
Fig. 5. Abscisses locales
2.3. Calcul des moments : Pour que les problmes traits soient les mmesdans chaque trave et que lon puisse crire M = M0 +
ni=1 XiMi (o M0 est
le moment flchissant obtenu partir du chargement extrieur appliqu indpen-damment sur chaque trave), les Mi sont les moments flchissants obtenus parapplication dun moment unitaire au droit des appuis Ci.(Figure 6) affects dunsigne positif sur la trave i et dun signe ngatif sur la trave i+1.
0 0 00 0 01 1 11 1 10 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 10 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 1 0 0 00 0 01 1 11 1 1 0 0 00 0 01 1 11 1 1 0 0 00 0 01 1 11 1 101 01 01 01
C C CC C Ci i i+1 i+2
i1i2
1z
ii1 i+1 i+2
1z
Fig. 6. Problme P bi
tant donne la prsence des rotules, le moment appliqu na dactions que surles traves i et i+1 .
0 0 0
0 0 0
1 1 1
1 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
1 1 1 1
1 1 1 1
i
1 z
C ii1 C
C i1
Yi1
y
G
R
M
xi
Fig. 7. Calcul de Mi sur la trave i
2.3.1. Calcul de Mi sur la trave i.Ractions dappuis : Isolons la poutre.Lquation de moment en Ci1 donne : li
x Yiy + 1z =
0 soit : Yi = 1li
Lquation de la rsultante donne :Yi1y + Yiy = 0 soit : Yi1 = 1liCalcul des lments de rduction du torseur des efforts de cohsion : Isolons
R + Yi1
y =0
R = 1li
y
N = 0Vy =
1li
M +GCi1 Yi1
y =0
M xi
x 1liy =
0
M = xili
zOn a donc sur la trave i :
Ni = 0Vyi =
1li
Mi =xili
On aurait pu tracer directement le diagramme des moments flchissants en
sachant que le moment varie linairement et que Mi (0) = 0 et Mi (li) = 1
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42 5. FORMULE DES TROIS MOMENTS
0 0 0 00 0 0 0
0 0 0 0
1 1 1 11 1 1 1
1 1 1 1
0 0 0 00 0 0 0
0 0 0 0
1 1 1 11 1 1 1
1 1 1 1
C Ci i+1
i+1
1 z GC
i+1
M
Rl x
i+1 i+1y Yi+1
Fig. 8. Calcul de Mi sur la trave i+1
2.3.2. Calcul de Mi sur la trave i+1.Ractions dappuis : Isolons la poutre.Lquation de moment en Ci donne : li+1
x Yi+1y 1z =
0 soit : Yi+1 = 1li+1
Lquation de la rsultante donne :Yiy + Yi+1
y =0 soit : Yi = 1li+1
Calcul des lments de rduction du torseur des efforts de cohsion : Isolons
+
R + Yi+1
y =0
R = 1li+1
y
N = 0Vy =
1li+1
M +
GCi+1 Yi+1
y =0
M + (li+1 xi+1)
x 1li+1y =
0
M =
li+1xi+1li+1
z
On a donc sur la trave i+1 :
Ni = 0Vyi =
1li+1
Mi =li+1xi+1
li+1
On aurait pu tracer directement le diagramme des moments flchissants ensachant que le moment varie linairement et que Mi (0) = 1 et Mi (li+1) = 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
CC C C Ci i+1 i+2i1i2
Mi
1
Fig. 9. Diagramme de Mi sur la poutre
2.4. Moment flchissant rsultant sur la trave i. Les moment quiinterviennent sur la trave i sont :
Le moment d au chargement extrieur M0 Le moment gnr par linconnue Xi1 : Xi1 Mi1 avec Mi1 =
lixili
Le moment gnr par linconnue Xi : Xi Mi avec Mi = xili
M = M0 + Xi1 Mi1 + Xi Mi avecMi1 =
lixili
Mi =xili
2.5. Moment flchissant rsultant sur la trave i+1. On a de la mmemanire :
M = M0 + Xi Mi + Xi+1 Mi+1 avecMi =
li+1xi+1li+1
Mi+1 =
xi+1
li+1
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43/48
3. UTILISATION 43
2.6. quation de continuit de la rotation en Ci. La continuit des ro-tations donne :
li0
MdM
dXidxi +
li+10
MdM
dXidxi+1 = 0
avecdM
dXi= Mi
li0
M0 + Xi1 Mi1 + Xi Mi
Midxi+
li+10
M0 + Xi Mi + Xi+1 Mi+1
Midxi+1 = 0
li0
M0Midxi +li+10
M0Midxi+1 + Xi1li0
Mi1Midxi+
+Xi li0 MiMidxi + li+10 MiMidxi+1 + Xi+1 li+10 Mi+1Midxi+1 = 0les valeurs des intgrales peuvent tre obtenues partir du tableau 1
li0
Mi1Midxi =li0
lixili
xili
dxi =li6li
0MiMidxi =
li0
x2il2i
dxi =li3li+1
0MiMidxi+1 =
li+10
(li+1xi+1)2
l2i+1dxi+1 =
li+13li+1
0Mi+1Midxi+1 =
li+10
xi+1li+1
li+1xi+1li+1
dxi+1 =li+16
Soit :li0
M0xili
dxi +
li+10
M0li+1 xi+1
li+1dxi+1 + Xi1
li6
+ Xili + li+1
3+ Xi+1
li+16
= 0
En multipliant par 6 on obtient la fameuse formule :
Xi1li + 2Xi (li + li+1) + Xi+1li+1 + 6
li0
M0xili
dxi + 6
li+10
M0li+1 xi+1
li+1dxi+1 = 0
Remarques :li0
M0EI
xili
dxi est galement la rotation du point Ci pour la trave i isostatiqueet est souvent not +i ou ili+1
0M0EI 0
li+1xi+1li+1
dxi+1est loppos de la rotation du point Ci pour la trave
i + 1 isostatique et est souvent appele i+1 ou i+1
3. Utilisation
La formule des trois moments est applicable sur chaque appui pour lequel on aintroduit une rotule (Figure 3) soit sur les appuis Ci pour i = 1 n
On prendra de toute vidence de X0 = 0 et Xn = 0
2X1 (l1 + l2) + X2l2 + 6l10
M0x1l1
dx1 + 6l20
M0l2x2
l2dx2 = 0
X1l2 + 2X2 (l2 + l3) + X3l3 + 6l20
M0x2l2
dx2 + 6l30
M0l3x3
l3dx3 = 0
.....etc...
Xn2ln1 + 2Xn1 (ln1 + ln) + Xnln + 6ln10
M0xn1ln1
dxn1 + 6ln0
M0lnxn
lndxn = 0
Xn1ln + 2Xn (ln + ln+1) + 6ln0
M0xnln
dxn + 6ln+10
M0ln+1xn+1
ln+1dxn+1 = 0
Chaque quation comporte 3 inconnues sauf la premire et la dernire qui nen
ont que 2. Le systme est dit tri-diagonal, sa rsolution est gnralement aise.
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44/48
44 5. FORMULE DES TROIS MOMENTS
4. Cas particulier dune poutre traves de mme longueur.
Cest un cas relativement courant, la formule gnrale se simplifie pour donner :
Xi1 + 4Xi + Xi+1 + 6
l0
M0xil2
dxi + 6
l0
M0l x
l2dxi+1 = 0
5. Exemples :
Un exemple particulirement simple est trait dans la suite, vous trouverez unautre exemplelgrement plus complexe sur :le site de lISA-BTP http://web.univ-pau.fr/~clb/rdm/isa2/exos/10mars03/exo_poutcont.pdf.
Dans ces exemples jai pris loption montrer comment on peut utiliser la m-
thode sans pour autant connatre la formule des 3 moments. La mthode consistesimplement utiliser la mthode des forces avec la dcomposition propose pourles 3 moments.
5.1. Poutre continue 3 traves gales : Une poutre continue travesgales, inertie Igz et module dlasticit E constants est donne sur la figure Figure10.
0 0 0 00 0 0 00 0 0 01 1 1 11 1 1 11 1 1 1 0 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 1 0 0 0 00 0 0 00 0 0 01 1 1 11 1 1 11 1 1 10 0 00 0 01 1 11 1 1
A
000000
0
111111
1
000000
0
0
111111
1
1
0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 000000
0
0
111111
1
1
0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1000000
0
0
111111
1
1
0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1
Y
C2C3
C1
XC0
l ll
FYl/2
Fig. 10. Poutre hyperstatique
Le problme est hyperstatique dordre 2 (il est symtrique, mais la prise encompte de la symtrie ne rduit pas le nombre dinconnues et ne simplifie pas leproblme) et la dcomposition se fait classiquement pour les poutres continues enintroduisant une rotule au droit des appuis intermdiaires.
5.1.1. Calcul des inconnues hyperstatiques. Les inconnues hyperstatiques sont
alors les moments flchissants X1 et X2 au droit des appuis C1 et C2. Les dia-grammes de sollicitations des problmes se tracent sans faire de calculs et sontreports sur le tableau 1.
Les intgrales sobtiennent graphiquement :MOM1 =
F L2
16 ,
MOM2 = F L2
16 ,M1M1 =
2L3 ,
M1M2 =L6 ,
M2M2 =
2L3
Ce qui donne le systme dquations :
(1) 2L
3X1 +
L6
X2 = F L2
16
(2) L6
X1 +2L3
X2 = F L2
16
(1) (2) X1 = X2(1) X1 =
3F L
40
http://web.univ-pau.fr/~clb/rdm/isa2/exos/10mars03/exo_poutcont.pdfhttp://web.univ-pau.fr/~clb/rdm/isa2/exos/10mars03/exo_poutcont.pdfhttp://web.univ-pau.fr/~clb/rdm/isa2/exos/10mars03/exo_poutcont.pdfhttp://web.univ-pau.fr/~clb/rdm/isa2/exos/10mars03/exo_poutcont.pdf8/3/2019 (2) cours RDM1
45/48
5. EXEMPLES : 45
P0 P1 P2
0
0
1
1
0 01 1 0 01 1 0 01 1
C 01
C C 2 C 3
01
0 01 1 01 0 01 1
1z 1z
C0
1C C 2 C 3
01
0 01 1 01 0 01 1
1z1z
C 01
C C3
C 2
000000111111
F/2
Vy
F/2
0 0 0 00 0 0 01 1 1 11 1 1 1 0 0 00 0 00 0 01 1 11 1 11 1 1
0 0
0
0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 01 1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 1 1 1 1 10 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 10000011111
Vy
1/L
1/L1
0
0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 10 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 10000011111
Vy
1/L
1/L
0
2
0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1000
0
0
0
111
1
1
1
M
FL/4
0 0
0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10000011111
1
M
0
1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1000
0
0
111
1
1
M
1
0
2
Tab. 1. Dcomposition du problme
5.1.2. Trac des diagrammes de sollicitations. Les diagrammes sont alors ob-tenus par superposition (figure 11).
Le moment en A est Mf z(A) = F L4 +12
X1 +12
X2 = 7F L40 .
Le problme tant symtrique, le moment flchissant est symtrique et lefforttranchant antisymtrique.
0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 10 0 0 00 0 0 01 1 1 11 1 1 1 0 0 00 0 01 1 11 1 10 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0000011111
000
00
111
11
V
3F/40
F/2
F/2
3F/40
M
7FL/40
3FL/40 3FL/40
y
fz
Fig. 11. Diagrammes des sollicitations dans la poutre
5.2. Calcul du dplacement du point A. On utilise le thorme de Casti-gliano :
A =dWedF avec We =
12EIGz
(M0 + X1M1 + X2M2)2ds
on peut crire en utilisant les drives partielles dWedF =WeF +
WeX1
dX1dF +
WeX2
dX2dF
or les quations (1) et (2) sont WeX1 = 0 WeX2 = 0
8/3/2019 (2) cours RDM1
46/48
46 5. FORMULE DES TROIS MOMENTS
on en dduit donc que A =WeF . (On peut retrouver le mme rsultat en dvelop-
